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MEMORIE
DELL'
ISTITUTO NAZIONALE
ITALIANO
C L A S S E-
DI FISICA E MATEMATICA
TomoSecondo. Parte Second a
BOLOGNA. 1810
PRESSO I FR\TELLI MASl E COMPAGNO
rtroGXjrj dlll' istjtpto
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DTSCORSO E OSSERVAZrONI
INTORNO I RECENTI PROGRESSI DOVUTI AQL" ITALIAN!
D.ELLE SCIENZE MATEMATICHE E FISICHE.
Vincet amor patriae
Virg. G. Aen.
D,
ella specie nostra si avvera die per istituzio"
ne provida delta iVatura di non lieve moniento e so-
jira di essa in pii'i incontri e sopra ogni particolare iii-
dividuo I' influsso delta cmutazione. A giud/zio de sa-
vii scorgesi palesernente die nelte vediue subtiini della
gran Madre andie questo principio avvedatamente da
essa inserito nella costituzione delT uomo concorrer do-
veva a scuoterne e sferzarne /' industria ; onde rigunr-
do alto sviluppamento di (piesta tuito non rimanesse
affidato atte mere voci e alio stiniolo comecdie acuto
sopra ogni attro ed effi<ace del prepocenie hisogno.
Cfii ponga men re alia presranza dello scopo, non pren-
dera meravigtia die non ne" soli pnrticolari inili\'idni
faccia niostra di se la forza di cjnesto principio, ma
di essa si altarglii ad ah'tnicdare ne* suoi cjfcf^ti le
in fere nazioni: della quut verita , giacdie anclie uel-
V ordin morale conviene arteneru (die prove sperimtm"
tali, Oasta a convincercene it facto e L escmpio illustre
^uanco niun altro de' jjopoti die jyretendono cguutnicn-
)( IV )(
/(' ol inn to (Iclla invert z'lonc dellii busaola; senzn del-
Id iiiKilc i (tnh'fo naviij^ante si troverebbc costreito qua'
si a ji/v'iirr to sj)/a:>;gi' , c aus'enturundosi a scosrarse/ie^
iniarriiebbc agn'ot/iienre iw/r anipio nutre it pjlo e il
conisgitt. Ciiiii in fittti a que' popoli die non S€nro~
nn queifa focc Tticr con essa lo spirito nazionule , fon-
te precipito dtUe belle e memorabili i/nprese. JVe riguar-
do a cid diusi rcnn a una nial intesa fHantrop'a ,
c/ie vorrebbe spento I' aniore della propria nazione , iin-
wnginundo die ne approjitterebbe qudlo dd gencre
umuno. Ell die le cost futte sottigliezzc, o con pi a
vera nonie grosserie metajisiche non voglionsi ascoLr.are
a f route (Idle disposizioni sovrane ddla Natura.
Bendie I' fsperienza ne amniaestra eziandio, die
per un feno'ucno dcgno di osservazione I' injlisso del
mentovato priucipio giugne a tale die andie le diver-
se eta nianijestano un anibizione con forme, e i secoll
net succedersi e sospingersi nspirano a priineggiare gli
uiii su gli iiltri ; e gli uoniini die ci vivono, si annun-
ziaii persuasi di possedere qualdie maggioranza su i
trtipussdti. At quid proposito vuolsi confessare die le
lodi , ddlc quuli ogni eta e liberate a se stessa, nort
vnnno per soliro diigiunte da qunldie eccesso; di es-
sa non di rudo niignifica oltre il dovere i proprii van-
toggi; r/e- qtiuli per alrro non minca quasi niai qual-
die nielanconico die iilT oppasto ne opina bassamente ,
e ccrca quanta e i/i lui di cstenuargli e iiivilirgU. Ill'
)(v)(
torno a che , n fine di uxcire omai (hi proemii ^ non
ct Mil i/isdcffo til (tircsfiiiii a/fjitnnto sii i (einj)i presen-
ti , ne (jiKill ci si off re occusioiie c materia ad afcuiie
osscnaziiini dc/lu specie di quel/e die gli. etpii e di"
screr'i letiori non ci biasimeranno di aver poste alia
testa di quest o volume.
J)e' nostri tempi e Iccito il dire che si farehbe ad
essi 1 1 torto grunde clu ri/iutasse loro il diritto alia
gratitudine de' posteri , presso de' quuli parleranno a
loro favore le scoperte di cui s' illustiano in alcuni no-
hUlssimi rami dello studio delta Natura. Cons'iunta-
mente per grande ventura di questo studio, paralleli ,
per cosi dire, e proporzionati ai suoi incrementi sono
sfati quelli che pur a' di nostri, merce le fatiche e con-
quiste de' sonimi geonietri del seco/o, ha ottenuti I' ana-
lisi sublime; nella quale non ha dubbio die non con-
venga riporrc lo strumento richiesto a compiere ed esau-
rire le spiegnzioni qualunque d' ogni naturale fenome-
no ; giacche di queste spiegazioni e d' uopo confessare
che rimangonsi nello stato di nieri schizzi ed abbozzi
finche non riesca di applicur loro i calcoli e le misu'
re. Congratuliumoci dunque co' nostri tempi; e se ta-
luno per avveniura nelT encomiarneli trascorresse a
qualche esagerazione., non si usl verso di esso soverchia
teveritii. In vecc , diasi il debito tributo di ammirazio-
ne e riconoscenza a quella gran Mente, die conosce
le inolle tiute del cuore umano , e tutte pure tratta e
)( VI )(
manemxia mirabilmcnte, donde masse V ordine all' /-
stituto iWtiziofiate di Francia dl presentare un Quadro
e prospctro dello stato nrtimlc dcllc Sclenze fisiche e
lUiitemuticlie e de' progrcssi loro nel periodo compre-
so fra il jySc) e il j8o^. Al cenno satis fcce prontaaien-
te quel ras^uardcvole Corpo, affidaadone V incarico a
due suoi chiarlssiini menihri c degnissiini di rappresea-'
tarlo ; e ipiesll nicnwri che i Dotti d' ogui nazione
formano siccome una repubblicn , qual costumasi di ap-'
pcflarla, recarono alt' esecuziune il snjjere, la diligi'ii-
za c /' inipaFziuLifit necessaria . Peru alia tnancaiiza
soltaiito rcnduKi prohabilnicnte incvitabile dalle circo"
stanze in cul tnwavajisi, delle notizie. nchlcste all' uopo
attribiiir viiolsi che il rugguaglio o.piu vcnimente il
compendio uscico/ie in luce scmbri, riguardo alle fari~
che dcgl" Italinni, scarso anziche no e bisognoso di sup-
plcmcnto. Mirano a qucsto scopo Ic poche osservazioni
seguenti ; /<; qunli (junnd' anche movesser so^peno che a
dcitarle fosse concorso un sentimenro sovcrchio cenero
dcW oiior n-izionale , chi sard di animo si alpescre che
voglia rimpnnerarnctc? TuttO sta che in esse non.si
ojjc/idiino i diritli i/iviolabili della giuscizia.
Or (piesia iic cosrrmge appunto ad osservare prl"
via dl tuiio , che il chiurissimo Ruffini nun a torto si
lusinga d' csscr riuscito a dimostrare che nan e possi-
bilc dl oticncrc la liioluzion genciale delle cquazimu
algcbraichc determinate j tostu che esse so/passano il
)(vii)(
quarto gmdo. I suoi tentatlvi vengono per vero dire
mentovat't alia sftiggita nel compendia; ma senza the
vi s' incontri motto dell' esito: donde vuolsi inferire
die r esimio Relutore per un infortunio iion raro ad
intervenire al lavori italiani , non conoscendo /' opera
del nostra grande Analista che pel can ale de' giarnall,
o essendog/i mancato il tempo e V agio di consultary
la, ha creduto di non dovere su di essa interporre ve~
run giudizia. II fatto e eke Ruffini premendo le orme
dell' i I lustre Lagrangia die aveva fatte le prime spese ,
e spingendosi oltre /. cnnfini entro de' quali questi ar-~
restossi, ne ha tolto, pud dirsi, ogni lusinga di vede-
re sciolte generalmente per una resoluzione , a cui coni-
petano i caratteri di algebraica, le equazioni determi-
nate. A ccssare gli scrupali, se n ha mestieri , potrebbe
fra gli altri addursi il suffragio del celebre Paoli, da
cui dirhiarcui gimtn. in Ogni sua parte e rigorosa la di-
mostrazione del nostra collega; e che, sconfortando gli
analisti dull' occuparsi piu oltre di una soluzione im-
possibile ad ottenersi , aggiugne riguardo alia storia
del problema una riflessione affiicciatasi congiuntamen-
te ad un alrro scrittore , che si compiace assai d' esse-
re in do d' accordo con un uomo tale. Os%ervano en-
trambi che in Italia nel secolo deciniosesto fra le ma-
ni dei Ferri, dei Tartaglia, dei Ferrari, dei Bombel-
li f Algebra finita riuscl a sciogliere compiutamente le
equazioni del terzo e quarto grado. Qui essa arrestos-
)(VIII)(
si , e incontro iino sco^//i) a cut nippcro gU sforzi som-
fiii dciiH anaiisfi. Aiiche a nostra menioria I' acuro
Van II g I'/te siil/e prime iinmagiiiava di aw re scinlte
general iiicntc le c(piazioiii del quinto grado si avvide ,
senza c/i' idcri ne f aninionisse, dell' ahbaglio , e si af-
fretto a confcssar/o. Fiiialineiite Lagrangia e Ruffiiii ,
it priino, conic d detio , addiiando la strada, I' aliro
battendola c raggiangcndonc il lerininc felicrinente , ne
hanno obhlignii a rinunziare omai a ogni speranza.
Cost deir algebra finira pud dirsi esser dessa una scien-
za dagh ingegtii italiaiii aperia e chiuaa.
Poiclie ci e occorso di far menzione dell' illustre
Lagrangia, di cui i' Italia si pregia d' es%ergH parria,
niun torto noii si farebbe a veruno, e nulto nieno al-
ia gloriosa Nazione chc lo possiede attualinente ed e
d' alrronde si ricca chc non ha niescieri di crescere del'
le spoglie alfrui, cfii inectessc fra gli ar.qiii<tt procrtc^
ciati dagl' Italiuni alle scienze esaite iiel giro di anni
coniprcso nel raggtiaglio oiiche a/cane produzioni di
fjiiesto rarissimo ingcgno. Fra le altre nppartiene a
fjuest epoca F insigne lavoro^ per cui non conreiiro egli
di /acre allargati oltreinisura i con/ini del calcolo su-
bfinie, ha voluto anche rischiararne I' ingresso e stabi-
lirne i princi/iii sopra basi pia salde^ proscrivendo nel-
/' npfi/iuid/tis^iina sua Teoria delle funzioni analiciclie
le idee per lo nieno inesntte c nebbiosc dell' infinito e
dcUinfuiiicsinio. Alia nobite iinpresa non poteva mail'
)('X)(
care il voto degli amici del rigore assoluto. Molti fra
essi commossi da I suo esempio sonosi. affrettatl a seguir-
ne le insegne, e consapevoli delle lor forze mostrano
di non curare gran fatco che la nuova strada sia for-
se ulquanto men breve e plana e agiata della comune.
In fatti non ha problem a si arduo fra fjiielli , ai qua-
il si apphca utilmente il calcolo difj'erenziale e integra-
le, di cut essi, ialendosi del nuovo metodo, non trion-
fino feliccmente. Jntorno a che, a risico che la sicur-
td venga dichiarata eccessiva , non sia disdetto di tor-
nare un momenta sopra di un articolo, su cui nel dls-
corso premesso alia prima parte di questo tomo, si eb-
he il coraggio e /' ardimento quasi di porre qualche
parola in bocca a Bacone. Jiestringendo il tutto in
una sola osser\'azione , cerio che com'ien confessare, e
congraiularsi con V anallsi che le modificazioni intro-
dotte dalla teoria delle funzioni nel adcolo sublime ^
ne assodnno le fondamenta senza scemar panto in lui
r attitudine a sciogliere ogni pi a arduo problema. Ma
d' altra parte saranno forse di quelli , che non si cre-
deranno per questo tenuti a rinunziare al vantaggio
di giugnere alia mcta per una strada piii corta ahjuun-
to e spedira. A qtiesta, diranno essi, ci atterrem quin-
cV innanzi con piu coraggio, giacche fortunatamente
la teoria delle funzioni c sopravvenuta a. rassicurare i
nostri passi pel lame che aggiugne alia metafisica del
ccdcolo sublime. Jggiugneranno essi forse che potendos
)(o(
conte s/oia sperarlo, lo stcsso culcolo dilatare le sue
coni/i/i'ste, e ncmpicndo le molte lacune , die v'l s* in"
contrano per ognl dove, awantaggiarsi dl nuovi me-
todi, c jiorsi per essi in iscato di aff'ronrare rlcerche
ognor pill astruse e innccessibili alle attuali sue forze ,
ragion vuofe , eke non si abbia a vile niuno comecchc
lieve conipcndio e comodo die contribuir possa ad age-
volarne e aff^rectarne e reiiderne comumpie nieno f(J-ti~
cose le opcrazioni . Chi sa eziandio die alcuno fra essi
non triigga innanzi con una supposizione ne illecita
per V un verso ^ c acconcia per V nliro a spurgere
qualche lame ulteriorc suW argomento? Pitengad, di-
ra esso , die a toglier di mezzo le accuse niosse al
calcolo infinitcsiniale diretto e inverso basta I inter"
petrare a dovcre i termini d' in/inito e d' infinitesimo,
chc colle cifre corrispondenti non vog/iono prendersi
mai die nell' aspetto di meri simboli destinati ad epi~
logare i rogionamenti alfjuunto prolissi, a cui guide—
rebbe r assionia per se stesso evidcnte, die non ha (/uan-
ritii tanto graiide o tanto picciola , di cui non possa
assegnnrsi una rapcftivnmente o mnggiore o minore,
Posto cio e conccduio , fingasi die nella fausta occa-
sione del primo scnprimento del calcolo sublime si fos-
se off't'rio alia sagncita degli anulisti prima di tutto
quello che riposa sidlo sviluppamento delle funzioni.
Non ha dubbio che per trionfi estesi a un di presso
egualmente , solo forse alquanto men rapidi, non si
)( ^^ )(
fossero vedute crescere e prosperare le paru tutte delle
matematiche pure e miste. Se fosse in seguito compnr-
so un Leibniz e un Neuton , die conservando al me-
todo I' esattezza e il rigore col vnriarne acconciarnence
I simbuli € i segni , lo avessero addestrato a procedere
con passi pin risaluri, niuno avrebbe rifiutato di acco-
glicre cog/i applausi la novitii , ne veruno scrupolo a-
vrebbero in lui desto i termini d' injinitesimi e di Jlus-
sioni. Chi ^ al presente cite rinfacci al Cavidieri V in-
troduzione del termine d' indivisibili si duro e offensi-
vo delle orecc/iie severe ? Or facciasi ragione die pres-
so quel/i, i quail di mala voglia rinunzierebbero al cal-
colo iiijinitesimale , d' altro appunto non trattasi che
di men ere un comedo, di cui loro sembra, che, ove
conforniemente all' accennata supposizione i due meto-
di si fosser tenuti dietro con ordine inverso, avrebbe
raccolti a suo favore tutti i suffragi. Per altro an che i
jdu tenaci fautori del calcolo comune convenir debbo-
no de' vantaggi inestimabili ad esso recati dalla teo-
ria clello sviluppumento in serie delle funzioni anali-
tiche. Armato di questo soccorso ha potato I' illustre
Lagrangia seder giudice fra JSeuton e i due Bernulli
Giovanni e Niccolo^ e scorgere e additare I' origin ve-
ra sottrattasi nli acume de" due Critici, di quel sottile
abbaujio , che sfiiggt ali Inglese e fu da lui corretto
nella scconda edizione de' suoi Principii, la dove cer-
ca la resistenza incontrata in un mezzo cjualunque da
)(xii )(
un Grave lanciato entro di esso, del quale siipponga-
si die descr'na libcramente una curva data. In tale
inconiro tuttavia d soinnio niateniadco torinese /«e—
gfio anche che non dell' esatcezza del metodo fa mO"
stra dc/le proprie forze, ed ha wodvo giustissimo di
coinpiacersi di questa si/igolar prova del suo acucissi-
mo iim.c'ino,
Uvhhonsi parlmcnte i. maggiori encomli a quel
prodc aiudista, nostra Collcga, che nelU aspetto qua-
si di Mantcnitorc per le prerogative del metodo delle
funzioni analitiche cssendo disceso neW arringo aperto
nltiniamentc dalla illustre accademia di Padova ha
oitenufo fra i concorrenti la nieritata corona. Benche
non pud fitrsi menzione del chiarissimo Brunacci sen-
za che corrano ali aninio congiuntainente i suoi meri-
ti verso le niateniatiche e i loro progiessi appartenen-
ti al pcriodo compreso nel Ragguagiio c Compendia,
che forma /' oggetto prccipuo delle presenti Osservn-
zioni. Cli sano queste scienze debitrici per pi it riguar-
di , c nclle parti loro piu nohili, come a recarne pure
uno o due esempii fra i molti. Id dove ci si occupa
utilmentc di quel ramo di aunlisi ., in cni gli ncquisti
reccnti da cssa faiii nel calcoio delle differenze finite
la mettono in istato di nvvolgersi con stcurezza fra le
inccrtczze delle probabi/itd, e di sottomettcre al calco-
io i capricci stessi e la tenieritd della fortuno ; come
pure Id dove ha desso spinto oltre i limiiij ne' quuli.
)(xiii)(
era rlmasta fra le man! del chiarlssimo Le Genclre la
scouerta de critcril richicstl a distiiif^iiere i inassiini
dai minimi dclle formule integrali indefinite.
J\el periodo nientovato cadono simdinente parec"
chie insigni scoperte cite rendono il douissinio Paoll
benemerito di questi studii quanto veruno. E nondime-
no incidentcmente solianto e alia sfiiggitn e una so-
la volta il Santo lo nomina sal proposito delle dif~
ferenze parziali dette acconciamente miste da Lacroix;
e anzi gti si associa il Sig. Poisson; ned egli certa-
mente memore rfc' suoi trionji ncll' eta fresca di po-
co oltre i venti anni nan rifiucerd la compagnia di
quesio valoroso giovine franzese; e certo della sua glo"
ria, che nan pud cssere dal silenzio offuscata, non si
lagnerd ne anche che un semplice cenno renda con to
delle novitd rinchiuse nel profondo opuscolo da lui
con altri due aggiunto ai suoi aurei elementi di alge-
bra, nel quale, a restringer tutto in breve, si percorre
una carriera dischiusa appena e da lungi additata da
un Condorcct e da un Laplace; ne che venga taciU"
to ogni altro suo merito verso le parti piii elevate del'
V Analisi da lui provveduta di nietodi ingegnosissimi,
in ognun de' quali si trova scolpita V improntu del
nuovo. Meno poi a lui premerd di non veder mento-
vata la correzione o modi ficazi one che voglia dirsi, da
lui aggiunta ad una nobile scopena delC illustre 3Ion-
ge, al qual debbesi d' essersi avveduto prima di ogni
)( ^^y )(
altro , cite fjiiando nclle equazioni differcnziaU a piit
d'r ildc iarinbili icngon nieno i critcrii d' integrabUi-
td, nan iiiolsi gid per qitesto dichiurartie disperata
/' integrazione . Ben dell' avvlso pud dirsi die nan dis-
piucquc al grande mateinadco franzese; giacche in fat-
ti esso panto non diminuisce il mer/to di una osseiva-
zione , da cut come da germe^ pullulo un nuovo inte-
ro ramo di analisi. Di quest e dimenticaggini il Sig.
Pao/i non. votra certaniente adontarsi, vedendo di ave-
re in cio comune la sorte col dottissimo Fossonibroni ,
il nonie del quale celebre fra i matcniatici viventi , si
cerca indarno nel compendia. E pure, per tacere tan-
ti altri titoli , doveva esso correre sotto la penna del~
V egregio relatore, allorche almeno quest i annoverando
le dtmostruzioni di fresco recate del principio delle ve-
locitd virtuali, pare die non potesse sfuggirgli /' esimio
lavoro nnalitico pubblicato su questo argomento da Fos-
sonibroni, die nel rnfforzar quel principio della brania-
ta rigorosa dimostrazione avverte incidenteniente e di-
mosira poter esso sussistere, qnand' cinche le differenze
delle velocitd virtuali si concepiscano comunque finite;
la qual ultima avvertenza pare die non siasi ne an-
die sottrutta all' autore della nuova esatta dimostra-
zione inserita nel prinio di questi volumi, del princi-
pio deir equipollenza, nel caso almeno speciale^ in cui
venga posto niente ai vincoli., die passando fra questo
principio e quello delle velocitd virtuali permetiono
)(^v)(
(Vlnfcrire a vicenda V uno daW altro. In somma, mnl-
grado it sileiizio dclla relazione, la Toscana si pre—
gia di possedere in lui Paoli, in un Fossombroni , in
un Brunacci chi ha diritto di aver posto onorevule fra
quelli che a' di nostri sono concorsi a soUevare a mag-
giore altezza un edificio, che mentre quinci reggesi sta-
hilmente su la geometria , quindi nierce I' analisi pog-
gia oltre ogni conjine colla inaccessibile cima.
Se Mnscheroni fosse fra i vivi , certo cli ei si
compiacercbbe delle lodi, di cui il compendio e libera-
te alia sua geometria del compasso. La compiacenza
per altro non lo tratterrebbe forse dal metter qualche
lamento che in uno specchio de' progressi delta scien-
za non venga fatta commemorazion niuna delle fati-
che da lui utilmente iinpiegate intorno a una forniota
ribelle agti sforzi dcgli analisti accintisi ad integrar-
la^ e ch' ei non pertanto riusci a domare felicenierite.
Non a torto gli stava a cuore una fatica che bastereb-
be di per se sola a fame fede che non gli niancava
vigore e ten a onde ergersi a voli piii alti, se morte im-
matura non fosse fntatmerite sopras'venura a troncare
le ben concepite speranze. Per altro di questo infortu-
nio gravissinio die pose per cost dire le Matematiche
in latto , V Italia si racconsota mirando a quelti che
nati net suo seno^ e costituiti in eta fresca. si annun-
zian disposti a Hstorarla del dan no. Fra gli altrl, per
dire di un solo, permetca la modestia, del sig. profes-
)( ^vi )(
sore Bfa^'istrini die noii si passi sotto sllenzio la sua
recent e opera e a pi a riguardi. originate sulla mi sura
dc' Po/igoni. In essa sopra uii oggrtro roccato piutto-
sco die trattato finora ei si apre dinanzi un sender
nuovo, e pnsseggia per luoglii = nullius ante trita so-
lo = . Pcrdie viiolsi osservare die egli svolgendo it sua
argomento inscgna all' analisi metodi generali e lumi-
nosi, e la nictte in israto d' intraprendere con sicurez-
za ricerdie , intorno alle qiiali gll analisti die lo pre~
cedcttcro, piu die rion le forze delta medesiina, aveva'
no mostrate quelle del proprio ingegne. Soffra egli pu-
re die alle congratulazioni dovutegU si aggiunga ch' ei
net rivolgere a se gli ocdii del Pubblico, gli ha posto
congiuntnnicnte in mano siccome un pegno e un' arra
cli cid die gli e ledto di proniettersi e aspetcare da
lui .
Ma per ancnerci scrupolosameme ai liniiti pre"
scritti alia relazione , del celebre Oriani direnio not
die in essa gli si renda la dovuta giustizia? o non
piutrosto die qucsta riguardo ad esso soffra qualdie sen-
sibite offesa ? Com' e die non vi si fa motto de' suoi
Elcmenti di trigonometria sferoidica! lauoro die del
j8o6 coniincio ad essere di pubblica rngione. Forse
die in essi non contiensi una moltttudine di cose c/e-
gne per la noviia, utilitd ed eleganza, die gli en e sap-
piano grado gli analisti, gli astronomi , i geognifi? e
die gli ottennero in fatti per parte degV intendenti i
)(XVII )(
mnssimi applausi ? Forse die poteva all' autore del
Sunto rimaner nascosta un' opera, in cm per un vero
incremento della scienza spinta in essa , pud dirsi, al-
ia perfezione , vengono sciolti compiutamente problenu
conformi ad iino, di cui erasl desso occupnto, e del
quale, nialgrado la sua singolare perizia , non era
giunto a recare salvo che una soluzione ristretta e in-
comph'ta ? Coni e duncjue ch' ei dirnendca un servi'rio
tale renduto dal nostro Oriani a una scienza che pur
gli € cara ? Gli si potrebbe chiedere inoltre il morivo
per cui egli parlando di Urano, non cid quasi Oria-
ni che per sngrificarlo a se stesso, aggiugnendo cli es-
so per la scarsezza delle osservazioni impiegate non fit
abbnstaiiza felice nella detenninnzione degli elenienti
ellitfici dell' orbira descritta dal plane ta. Non s intea-
de di estenuar punco il merito delle sue Tuvole, di
cui ei ne in forma che il corso di ben diciasseite an-
ni coniprova L' esattezza: pur scmbra che avrebbe po~
tuto norarsi il slngolar pregio di quelle che a vantag-
gio grande dcgli astrononu trovansi inserite nelle Effe-
meridi di Milano. In esse per uno sforzo raro cV inge-
gno trovansi eglino provvcduti di soccorsi ne chiesti e
aspettati , ne forse creduti possibili. Jntorno a che non
vuolsi omettere di avvertire che il vantasaio cresce a
pill doppii, clii ponga mente che gli ariificii ingegno-
sissimi da Oriani impiegnti inrorno ad Urano , non si
Tcsiringono ad esso solianco ; com' ei niosira npplican-
d
)( XVIII )(
(loli alia formazione (idle Tavolc poste ancli esse neU
le mentovate Lffemeridl, di Merciiiio , cui lo decermi-
nnno a scealiere gli ostacoti particolan die lo rendono
aliiiianto men docile ad ascoltar questo frciio, die noii
la jnu parte deglt altrl piancti piimarii. Ma su (JUC'
sto proposifo la celcbrita a cui e salito il nosrro eml~-
neiite Astronomo rendc soverdiia ognl ulrenore osser--
vazione. Di lui e dc' coltivatori pari a lid delta scieri'
za dcgli astri e lecico il dire die per un privilegio
speciale i loro nomi perverranno alia piu tarda posierl-
tu intrccciatl a quelii delle Costellazioni da essi con-'
template .
Fra gli acquisti non rari , de qauli soiio a' di no-
stri cresciute le Mateinatiche iniste, merita quanio ve-
runo, di arrestare sopra di se gli sguardi degli intent
deiiti quello di cui I' idrodinamica e debitrice alle cu-
re del chiarissiino sig, professore Avanzini. Da una se-
rie numerosa di esperienze, nelle quali riluce per tutto
la sagacita nell' imniaginarle, la destrezza nell" eseguir-
le, il criteria nell' interpetrarle , e desso condotto ad
ammonire i matematici a volere per una indispensabil
rifurma introdurre qualche cambianiento nelle fornude
da essi adottate a determinare la posizione del centra
di resistcnza opposta da un obice qualunque all' azio-
ne de" liquldi. Senza cid vengono quelle formule pale-
sememe a contrasto colla spcrienza e col fatto. Lar-
^omento pure lo guida ad cntrare aaiinosameiue in
)( x-rx )(
zuffa coi Bob ins, coi Juan, cogli Euleri padre e fi~
glio , e ne esce ogni volta vittorioso. Una folia dl con-
seguenze emerge dalla scoperta; e le appUcazioni mot-
tiplici per cui pad fame suo profitto V idraulica , la
balistica, la nautica, le aggiungono importanza tale ,
ende noa si esita a riporla fra quelle, di cui piu si
onorano i nostrl tempi . Del resto non c molto a stupi'-
re cite non se ne parli nel compendio franzcse. Delle
merci italiane di tal natura e noto die penano assai
a valicar le alpi , comecclie queste un Eroe le abbia
omai col braccio e col senno per cost dire appianate .
Se il nostra Volta non recavasi a Parigi, i Dotti di
cold proseguirebbero forse a perjidiare die il Fluido
galvanico e diverso dall' elcttrico. Intorno a die sia le-
cito di osservar di passaggio die quelli i quali si osti-
nano a riconoscere differenze essenziali fra i due flui-
dij inciampano y senza forse avvedersene, in un equi-
voco poco diverso da quello , in cui urterebbe clii pel
motivo o pretesto che il dividers il tempo e un effetto
essenzialmente diverso da quello di cuocere un polio
immaginasse, che la gravitd, mentre nelV orologio a
pesi e a pendolo guida in giro V indice che segna le
ore, non fosse identica a quella che aninia il menar-
TOStO.
Ad un infortunio di origin con forme trovasi espo-
sto con esso il suo gonimetro il nostra celebre Pino;
iebbene per I' un verso il Sunto non dinientichi in tut'
)(x^ )(
to le mncchine , e per V altro V invenzione non fosse
nk unclte affttfto ignota in Francia, dove, ha qnnlche
anno^ nc nailo II giornale delle ininiere. II fatto sta
che i Alineralugisti debbono super grado al Fislco ec-
ccllente e Ceologo som/no che gli ha provvedud d'uno
strumento dope I miglioramend di fresco aggiuntigU
di gran lunga supcriore a qualunque altro fnora pro-
posto; che pub rivolgersl ad usi sopra niodo svariad
nel carattere di vero pantometro ; e del quale ponno
essi servirsi a guisa di filo, onde avvolgersi con sicu-
rezza nel buio e laberinto dclle Cave e in que' luoghl
riposii misurare gli angoli, la direzione , la pendenza
de' filoni , delle vene, degli strad terrestri.
Qui non sia disdetto d' interporre una riflessione
suggrrita dull' argomento. La breviia del compendio
non victa uW egrrgio relatore di arrestarsi con qualche
compiacenza su le opcrazioni geodesiche 3 = qunrum
pars magna fuit, = che in francia ft giuocoforza
intraprendere a quell' epocn luituosa , in cui era quivi
pur sorto il capriccio d' innovar tutto . Diedero in
quell' incontro i travagiiutorl una prova e un esempio
illustre di zelo e di ferinezza impenarbabile ; detla
quale csscndo uno di essi riniasto vitdnia,gli aliri non
isgnmendron per questo , e a traverso gl' inciampi, i
disagi, le avversita senza numero ch' ebbcro a sosrene-
rc, guidarono a termine la malagevole imprcsa. Fra i
vantaggi quali dlrctd , quali subalterni ad essa dos/ud
)( XXI )(
we ottennero pur qiiello di potere per una grande e
universale rijorma riferire le misure tutte ad una sta-
bile unitd, scegliendo all' uopo la dieciniillionesima
parte del (juadrante di an meridiano terrestre , e deno'
minandola metro. Delia pennanenza di questa unitd
ci e in certa guisa niallevadore il Globo., finch' esso
aliheno ritcnga la sua atruale figura; e ove col volger
de' secoli nasca pur qiialche dubbio sulla giustezza de'
campioni del metro die serbansi all' uso di servire di
norma, sard sempre led to di rifarsi da capo, e con
nuove misure di un arco del Meridiano ccrcar nclla
terra il moddlo die per avventura si sospetti perduto.
Pfrb non a torto gli Astrononii compiaccionsi di ave-
re procacciato a gli uomini quesro vantaggio; e quan~
d' an die nel mng/ii/icarlo trascorrnno a qualche eccesso,
sanbbe sconesia lo sgridarnegli, giacche non si vuol
pietendere die ad un oggetto qualunque, intorno a cui
siasi impiejiata nioltn faticn , non si redii eziandio
niolta iniponanza. Certo die di questo nuoi'O sistema
di misure menasi al presente il romor grande; ne non
sarebbe panto a stupire die qualche o severo o fast id lo-
so trovasse alquanto esagerati i vanti, pe' quali direb-
bcsi die ndV ipinione di cilcuni mcrce questo soccorso
€ quello pure delle nuove nomenclature dehba /' inge-
gno unnino nwtter le ale e spaziure con piii agilita
pe" cam pi ddio Scibile. Aon manca dii ml l/nguag-
gio die tiene annunzia speranze cost magnijidie, sen-
)( xxu )(
za forsc por nicntc die Ic vere conquiste ncllo studio
del/a Nafiini dcbhonsi per solito alia compnrsa di at'
ami di ijue' rari uomini , ai quail per la luce iinprov'
visa, die sii di esso diffondono b conceduto di ajjfret^
tanie i progressi. Dircni noi die conseguentcmcnte alle
novna proposte e in pane adoctate sorgeratino quind' in-
nanzi con ptii frequenza i Laplace in Fraiicia, in Ita-
lia i Lagrangia? Davvero die seinbra lecito di dubitor'
ne. Ae per qucsto gia punto scenia il merito di quegli
Astronomi coraggiosi, che mirando alio scopo, non fu~
ron disanimati doi pericolic fra i quali si avvolsero,
Ae sieno ad essi grozie senza fine. Cost a qualche com-
penso delle low fatidie consentono le nazioni ad ac~
cettare d' accordo contro il loro costume le nuove ml'-
sure. Per tal modo si eviterebbe la fatica e la noia del
tradurre, come spesso interdene, le misure di uii paese
in quelle di un altro. Diasi che in cib consista unica'
mente il profitto ; ne per esso ottengasi che il sollievo
de' pigri. Forse die non e quasi possibile d' impedire
che gli uomini a tratto a tratto non ascoltino la pi"
grizia? della quale pero giova con acconci provvedi-
menii tener lonrani gli effetti sinisiri.
Prima di cnngedarsl dalla parte matematica del
compendia, poiche in esso I' angusiia dello spazio non
hu impcdito die I' egregio rdatorc non vi collochi al-
cunt libri meramente elenwntari , a sua imitazione sia
lecito iti citurne uno uscito presso noi, ha pochi anni^
)( XXIII )(
di questa ultima specie. Debbesi esso al chiarissimo sig.
Professor Venturoli , che co' suoi dementi di Meccatii-
ca e Idraulica rigunrdo a questi rami delle Matemati-
che applicnte ha provveduto egrcgiamente ai bisogni
delta pubblica istruzione. la essi ci si offre siccome uri
esemplare compiuto e an niodello di cjuesta sorta scrit~
tare; e il discorso neW afferniarlo non intende che di
far eco a que' dotti uomini, che non contenti di com-
mendargli altamente , nelle scuole meritamente loro af-
fidatc , sonosi affrettati a sceglierli a preferenza per te-
HO. Benche, di questa opera elementare pud dirsi che
con/ina assaissimo con quelle, cui colloca in una clas'
se pill elevata il prcgio della invenzione e delle origi-
ncili scoperte. Non le manca un lustro tale , comecche
forse, chi non aguzzi alquanto la vista, non si giun-
ga a discernerlo; con tale acQorgimento ha il dottissi"
mo Professore saputo intrecciare e innestare nel corpo
della dottrina osservazioni nuove e propria di lui, che
lo dichiaran capace di estendere i con/ini e crescere il
vatrinionio della scienza, Di ciu potrebbonsi addurre
prove ed esempii ; se non che si teme di offendere la
modi'stia dell' Autore ; al quale se nel concetto propo"
ito del sua Uworo sembra per awentura che abbia qual-
che pane I' amicizia, non gli si vieta di crederlo, pur-
chd ricenga congiuntamente, ch' essa intervenendo , noa
fa niun vela al giudizio.
Parimente, poiche nel passare in rassegna i pro"
)( XXIV )(
grcssi (It una scienza II rein fore si crede permesso dl
accoppiare ag/i scopritori i sempllcl storici, e no/uina
fra (lucsri Bosmt, e Montucla, e fino le informi e tu-
luulfunrie aggiunte futte non senza I' ajuto di gualche
assistcnte uir opera di fjuest' ulciino daW ast,ronomo La-
lande, le quali per altro non basiano dl gran lunga a
trarla dull' imperfezione, in cui I' autore lasciolla, dav
vera cJic (juesto onore lo nieritava asset i piii I* opera
net JYQT comparsa presso noi del chiarissinio Cossall
sail' origine e i primi passi dell' Algebra . Oh in que-
sta si clie risplende per tutto il molto sapere, I' erudi-
zione estesissinia, la critica luminosa , il giudizio seve-
ro. A resiringere le molte in poco , essa hen /nostra die
lo Storica allorche riesce a disotterrare norizie per I'una
parte autcntiche , e per I' altra peregrine, e sepolte
neW oblivione , ptio aspirare e preiendere al vartto del'
le scopcrte. Se non die come lusingnrsi die nel sun-
to si trovasse nientovata un' opera die svela e addita
i grnii abbagli ne poco frequenti, ne' quali inctampa
Montucla., e strascina V incauto lettore?
Passando ora alia seconda parte del compendio ,
andie in questa s' incontrano parecdiie lacune riguar-
do ni nieriti drgli It a Hani verso la Fisica. nel periodo
ptit volte omai inentovato. Ae recheremo cosi per sag-
gio pocliissinii eseinpii, nella persuasione die il diia-
rissimo e umanissinio relatore lungi di ndontarsene ama
die gli vcngano addiiate. Cli si diiede pure licenza
)(xxv)(
di porre interamente da pane la Ch'unica , su cui ei
si arresta ulfjitanto a lungo , ravvisaiulo in essa pro-
babilniente la base prccipua in jatto di Fisica , della
gloria naziunule. Delia nota grande livoliizione a (jue-
sti uliimi tempi scgiiita nella Chimica, non sembra vie-
tiKo il dire cli' essa trovasi attuulmente sotto una spe-
cie di processo. Pur ora e stata dessa chianiata dinan-
zi al tribunale e posta, per cost dire, sotto la tortura
del piliere di Folta^ strumento nieraviglioso , nel qmde
non solo e rinchiuso I' arcano forse non piii tale de'
pid astrusi fenonieni aiumali, ma c pur rij)osto V agen-
ts meglio di ogui altro ejficacc a svelare i intima com-
posizione de' corpi . Fin die I' esito del processo pende
incerto , ragion vuole che si tcnga sospeso ogni giudi-
zio , ne nullii non si jtronunzii su i diritti de Neochi-
mici raccolfi sotro Ic iuseaue di Lavoisier ad aver luo-
go fra i bcnefattori della scienza, riguardo, s' inten-
de , a certe idee s/sremntic/ie ; giacche rigunrdo ai van'
taggi e aumenti reuli ad- essa procacciati dalle grandi
fatiche e urilissime de* mvdesinii , niun ecpio e iinpar-
ziale estintatore vorra rifiutar loro cjuesto diritto Ben
nel mcttere in tutto da banda un raino delle scienze
jisiche , del rpiale non si dubita che non abbia prospe-
ntto e certo e sopra ogni altro coltivato a' di nostril
non vuolsi omettere di avvcrtire die in un compendio
ove irovansi legi strati oltre i frnnzesi i nomi di parec-
dd ChimicL stranieri per veto dire reputatissum, pare-
f
)( XXVI )(
vn chi' a iin onor con forme potesse ammettcrsi qunhht
Jraliano Un Briignatelli per mo' cli esempio , un Fab-
broil i , un Cioberti, un. Bonvicini , per vigor d' ingegnOj
per copin d't cognizioni j per htancabile zelo , per uti-
litii e varieiii d'l scopcrtc non cedono ai piu rinomati .
Diraasi die I' intero ragguaglio non nianca di fame
menzione ; ma cssi risponderiwno che bramavano di
non essere dimcnticati e che i loro nonii si udlssero in
un discorso detto in una occasion solenne e alia pre--
senza di un Sovrano , che nella grandezza deW aniino
suo accoglie ugiialmente ogni suo suddico.
Permetta in olire ii dottissimo relatore che gli si
chiegga come ailorclie parla della dilatabilicd de' cor-
pi prodotta da I colore, e cita Dal ton e Cay-Lussac,
non gli sieno corsi all' animo i diritd anteriori su que~
sto ramo di fisica del nostra illusire Volta? Questi non
page del priniato concedutogli da ognuno su la elettri-
cita, e inteso a gi ova re ad altre parti dello studio del-
la Naiura, con ana serie di esperienze dirctte e deci-
sive ne assicuro che I' aria comune diradasi uniforme-
mente al crescer pure unifonne della teniperatura entro
I liiniti alineno quinci del gelo , quindi delV acqua bol-
lente . Per una niisura che consente assai e coincide
quasi con quella del celebre De Luc ei determina in
oltre I' auinento uguale di volume corrispondente ad
ogni ugual grudo di riscaldamento. Egli scopre per ul-
timo, prevenendo in cid di parecchi anni V osservazio-
)( XiXVII )(
Tie dl Gay~Lussac , II fonte^ donde eniersero gli abba"
gli pill o men gmvi presi da quelli die lo precedettero
veil' indogine, fni gli a led e sopra gli altii^a Mor"
veau. J I perche a gran torto i Fisicl comuneniente met-
tone in non cnle i suoi diritti; ne' quali vond senza
ditbbio il dotto ed equo relatore ristabdirlo nel suo rag'
g^taglio e suppUre con esso ai difetti del sunto. Qui ci
ii fa incontro , e viene a porsi da se una osservazione.
Nel vapor acqueo e giuocoforza dl animettere una leg-
ge con forme; giacchc trovandosi esso sospeso nell'aria,
entro ■dclla quale I' elasticitd sua lo costringe a sten-
dcrsi per una spazio eguale a quello della medesima ,
^ manifesto che ogni qualvolt.a esso non obbedisse a
quella legge, gid non potrebbe osservarla puntualmente
V aggregato di aria e di vapore. Donde ognora me-
glio si scorge che il germe dell' iniera teoria intorno
agli effetti del calore sopra ogni maniera di arie e di
vapori trovasi rinchiuso in uno stato di notabile svilup-
pamento nelle sperienze di Volta.
Queste cose, poiche ne tace il compendia, converrd
che supplisca il fogguagUo ; in cui inoltre permetta I'e-
gregio relatore che gli si addid un' Opera, la quale
ben merita cli ei le serbi un luogo distinto e cospicuo.
S* intende quella che il nostra illustre Venturi pubblico
col 1 1 tola d' Indagine fisica sopra i colori ; lavoro in--
signe di cui senza esagerazione niuna pud affermarsi
che per esso la teoria de' colori e spinta oltre i iuniti
)( XXVIII )(
a cut fuidolla quel Grande, die nella sua immoT'-
mle Ottica cuigiiinse per cosi dire alia siessa luce una
nuova- cliiarezza . Per un Analisl dianzi non tentata ,
c a ctrti ri guard i piu esatta die non quella die su la
luce pud effi'ttuarsL col prisma^ <^o^'-> d^h/igundo i rag-
gi a fi/trarsi anraverso di piu corpi diafani e vario"
tinti , riusci a tergcrli dogni eterogeneitd e ad ottene-
re colori pun, mondi , scevri di qualunque mesdiianza.
GuiddCo dalle sue esperienze , a lie origini del colora-
mento conosciute in addietro tre in nuniero, per rifles-
sione, per n frazione , e per accoppminento e avvicen-'
damcnto ddla riflessione e dclla trasinissionc, ne ag-
giugne una quarca da niuno non avvernta, nella qua-
le nc riflessione , ne ri frazione non ha luogo , ma sib-
bene la semplice rrasmissione . E perdie forse e scnza
forse frequenii e numcrosi sopra gli nltri sono i colo-
ratnenri di questa ultima origine, si coniprende agevol-
mente come tra manl si esperte debba projitiarne ed
csserne per un insigne aumento promossa questa nobil
parte delle teorie ottidie; e come al vantaggio parteci-
pi ogni Arte, die manipola e mesce colori . Bciiche rl-
guardo andie ai colori di origin diversa I' (fj)era e ric-
ca per ogni dove di osservazioni nuove, acute, projon-
de ; come la dove difendendosi Neuton, dene convinto
di crrore il franzese du-Tour , die scostandosi d.il graa
Britanno interpctrava nati da ri frazione i colori, de'
quail la riflessione e la trasniissione ahernando adonia-
)( XXIX )(
no h sottili trasparentl lamlnetre ; e la dove con pro-
ve apcrinientali si mostra non cssere I'occhio uno stru^
jTiento acromatico; e (juando recansi congetture soprain-
modo pldusibili appoggiatc ancli' esse a prove sperimen-
tcdi sti la forniazione di alcune mcteore enfaticlie; e
quando si rende rogione d(dle time e cadenze diverse
dvW azzurro atinosferico. Bastano cjuesti pochi ceiini
a fame credere die all' cgregio relacore, come in lui la
cortesia udegua d raro stipere, dispiacerd di non ave^
re rammeniorata ua' opera tale. L'autore di essa per al-
tro potrebbe anclie querelarsi die net listrctto per la
parte matematica vengano oniesse in tutto te sue Hi-
cerclie spcriinentoli sulla coniunicazione laterale del
inovimento de' fliiidi , le rjindi pure furon Ictte alia
presenza dcW htituto nazionale di Francia, e ne ot-
tenner gli a/iplousi, die non potevano in farti man-
care a an lavoro, da ciii deriva all' Idrodinanuca teo-
rica e pratica iin rea/e incremento.
Dopo cid vend egli conceditto di prender posto
fra nonii si illustri all' autore di an opuscolo piibbli-
cato da prima in i tali an o, poi rccato in franzese snir u-
so dclle Anastoniosi nc' va'ii delle macdiina viventi?
A prendersi qnesta siciirid lo conforta /' iniportanza
del soaiietro. Cnn/ida egli di avere sdolto an problema
ardno nsfioi d' Jdraulica antmale, e ove abbia raggian-
to lo scopo , come ne fiene lusinga, di aver pure reca-
to qualdie servigio alia dottrina del circolo del san-
S
)( XXX )(
giic; del qual ciicolo , chi non tolga dl mezzo uno scO"
glio die del use gl'i sforzi de' p'tii solenni Fisiologi , non
si comprende come si cjfettui e sussista. Ma i vincoli
strettissimi , pe' cpmli I' autor del I' opuscolo forma un
tutto con fpiello del presence discorsoj non perniettono
di aggiiigner altro.
In I'cce , per (pielli die fosser dlsposd per avven-
tura a chicder ragione alio scrittore del suo silenzio,
sulle uTili loro fan'che c scopene, a qualche sua scusa
e difesa vaglia V ingenua e apena protesca ch' ei gict
non si e proposto di render con to di tutto; die gliene
mancavano i mezzi; ch' ei non, ha inteso die di ad-
ditare, recandone un semplice saggio, i luoghi bisogno-
SI di supplemento nello scritto franzese; die in somma
ei nspcrta i diritti di ognuno, i quali riniangonsi in-
tattiy e servir ponno a mettere in salvo ognora meglio
quelli del la P atria . Di questa per altro pud dirsi che ri-
fiuta le cosiffatte difese, ne vuole averne bisogno. Jl
qual proposito il celebre David Hume nella sua eccel-
lente Storia d' Inghilterra osserva che I' Italia e si ric-
ca e sazia di gloria letteraria ant'ica e moderna , che
non tien cura, ne mostra di accorgersi che altri prenda
il passo sopra dl lei. A quelli, che ne mettesscro in
dubbio i vanti , forse il profondo e imparziale Storlco
e Fdosofo risponderebbe = Ch' ella k si glor'Cosa cha
non ode = .
)(XXXI )(
ANNOTAZIONI
(Pag. XXI. Lin. 12) Nel compendio die si esami-
na leggonsi le seguenti notabili parole = Borda e Cas-
ilni , recando alle osservazloni una precisione in tutto
nuova, misurarono la lunghezza del pendolo , <:he bat-
te i secondi a Pan'gi ; onde ottenere il rappono esatto
di (juesto pendolo al metro =. Non ci si dice che alle
fatiche corrispondesse I' esito. Pur senibra che si; nel
qual case e d' uopo convenire che nel pendolo ci si of-
fre una niisuraj la quale j ove nel corso degli anni sor^
ga sospetto die qualche alterazione sia sopravvenuta ai
Campioni del metro , pub servire acconcianiente a veri-
ficarlo; giacche non si tratta piu che di assicurarsi ,
impiegando le Industrie e diligenze praticate da Borda
e Cassini , se fra la lunghezza del mentovato pendolo
e quella de' campioni su cui cade il dubbio, sussiste il
rappono scoperto. Questa operazione e senza confron-
to meno faticosa di quella di misurare di nuovo un
arco del Meridiano. Piu: poiche della lunghezza del
pendolo a secondi in Parigi, come in qualunquc altro
parallelo , non ha dubbio che non sia stabile; e ch'es-
sa inoltre conseguenteniente al rappono suo colla lun-
ghezza del metro, ^ nota , a taluno purer potrebbe die
fosse stato da prima miglior partita di assumerla co-^
me modulo e unita di ogni sorta misure. Cost, preteu-
)( XXXII )(
dcra esso, si sorcbbcro evitnte le ipotesi, deUe qunVi ri-
mane un tal poco infctta la scclta a quest' uso del me-
tro ; alia deterin'inazione del quale si e giunto /m/«a-
ginando e supponendo die i gradi del Meridiano ter^
restre nel procedere dull' E(piatore nl Polo, crescaao
con una certa legge ; menire d'altra pane senibra cer-
to sollanto ck' essi crescono , ma nan si sa con qual
legge; anzi i niigliori al presence conscnrono die il Glo^
bo non debba riporsi fra le figure die appellansi di ri-
voluzione. Ma a die proposito, diranno alcuni, muo-
vere quesd scrupoli? Pel modvo unico die recandosi co-
muneniente a quest' oggcito rnolta importanza , senibra
die non sia dispregevole in tutto qualunque osservazio^
ne, la quale ad esso si riferisca.
(Pag. XXI. Lin. 24) Malgrado la drcospezione e
la nniiditd quasi, con ciii I' autore del discorso espri—
nicsi in questo luogo, ci non pertanto nel lasciarsi ca-
dcr (Iidia penna le nuove nomenclature , punto non
isttipirvbbe die alcuno fra i Neodiiniici sorgesse a sgii-
darnelo, e ad ammonirlo severamente die non dcbbe
un pro fun o arrognrsi di stendere la niano all' Area.
Talc presso di essi e la nuova nomendatura , in cid
al pin al piii e conccduto ai conoscitori e agli Adepti
d introiliirre qualdie innovazione. E pure, poichd il
nuovo linguaggio s' inilirizza al Pubblico^ pare die
anche a lih iioni del popolo non. debba essere in tutto
)( XXXIII )(
disdetto dl proporre qualche sua osservazione .
E per la prima, eld ne assicura , die conforrne-'
mente ad una riflessione recata poco dopo net discorso
i nuovi mezzl offertici dai Pillere di Volta, dl decom-
porre i corpi, non cosiringano i Cldinici a riformare
in piu luoghi il loro linguaggio? A buon conto del
pri/icipio dichiarnto comuneniente generators drgli aci-
di un valoroso Chiniico inglese pretende die concorra
alia formazione degli alcali. Ove la novita si amniet-
ta, converra die i Chiniid risolvnno di cangiar nome
alia sostanza poco nota per vero dire , intanto die noa
manca chi si ostina a dichiararla ipotetica, alia cpia-
le si affrettarono d' imporre il nome di Ossigeno. Poi-
die le conipeterebbe egualmente quello di Alcali geno ,
e probabUe di' essi ammonid daW esempio de' perico-
li , a cui espone la J ret ta, si porranno in cerca di cpial-
che altra proprictd del principio megUo opportuna ul-
V intento. Ben vuolsi credere die rifiuteranno V offerta
seriamente forse, ma furse andie per ischerzo lor fac-
ta della denominazione di Pantogeno. In secondo luo-
go non ha nome per quanto sembra, di cui gli autorl
d<fl nuovo vocabolario p/u si mostrin contenti , quanto
di qurllo da essi introdotto di calorico; riguardo a cui
ponno in fntd essi preginrsi del siiffrngio de' Fisici die
in ciu (/' accordo con essi non isd*'gnano di valersene.
Sul qual proposlio unn fra qucsd , degno senza dubbio
quanto veruno di parlare a nome degli altri , in un
h
)( XXXIV )(
suo esrratto inseriro nelLa Biblioteca britnnnicn, deoll ele-
iiienri fisici di Tibcrio Cavallo si es/iri/ne come segue.
= II fuoco c la cagione che fra gVi aliri suoi ejfctd
produce ncgli esseri aniinatl qiicUa scnsazione indefi^
it'ibde che si a p pell a calore. Peio I dotti Autorl della
IVomenclarura chiniica franzese, col cliiamare questo
eleniento il calorico, gli hanno dato un noine soprammo-
do coiwenience, che ne fa sovvenire di una delle sue
pn\ principali caratteristiche propriefa, avvisandoci nori'
diineno cli' esse gid non la manifesta in ogni incon-
tro^ potendo, guand'anche non si prova sensibil calore j
esisrer fuoco imbrigliato comunque e mascherato =. Dav-
vero die questo tratto , chi non conoscesse d' altronde
il nostra insigne Fisico e la ingenuita ed elevarezza
de* suoi sentiinenti , potrebbe muover sospetto die in es-
se anzi che /' apologia egli intenda Ai far la satira
del [ermine calorico. II ragionamento interpetrato a ri-
gore guida a questa consegucnza; che i JSeochimici,
poiche il fuoco pud risvegliare la sensnzione detta ca-
lore, hanno adoperato saviamente sostituendo il vocabo-
lo calorico a quello di fuoco, e proscrivendo quest' ulti-
mo: vuol dire die ncW opinion lore il Pubblico ave-
ca mestieri d' essere aivertito che il fuoco scotta. Oh
verrebbe pur voglia di esclamnre = quantum est in rebus
inane! = Bendie sono poi essi i Chimici e in genere
anzi i Filosofi si certi die presso il popolo e nella cO"
mane significazione del tcrmine colla parola calore si
)( XXXV )(
dcnoti la semnzione? o non jnuttosto , come si e in al-
tro luogo avvertito , ne si reputa inutile cli ripetere^ net
rimprovero fatto al popolo per pane de' filosofi, rin-
c/iiuddsi una vera calunnia? Eh die non ha uonio si
rozzo , il quale concepisca nella punta di un ago nul-
la di simile al dolore della puntura. Per simll mode
esso non immagina nel fuoco nulla di conforme alia
sensazione risvegtiata dal calore; termine, die metten-
do da parte e lasciando senza nome la sensazione ,
cui ben sa di non poter confondere con verun' altra,
vlene da esso impiegato sempre a denotar la cagione .
Certo che nebbiose assai sono le idee, che di questa for-
masi il popolo. Esso ne abbandona. la ricerca ai filo~
soji., de" quali bonariamente immagina che meglio la
conoscano; in cib forse onorandoli di troppo , e igno~
rando di essi all' opposto lo disprezzano al segno di
supporre che confonda miseramente le proprie sensazio-
ni culle cagioni , che le producono . Or se a queste e
non alle prime vuolsi nel comun senso riferire il vocabo-
lo calore, cessa ogni moiivo o pretesto d' innovazione .
Anche un' ultra osservazione: perche si pud chie~
dere ai JSeodiimici per quale dimenticaggine abbiano
essi trascuntto di arricchire il loro vocabolario de' ter-
mini a cagion d' esempio di odorico e di saporico .
AdotiandoU avrebbero tolto di mezzo lo sconcio secondo
le loro idee inevi labile di valersi de' nonii di odore e
sapore nel doppio significato di cagione e di effetto.
)( XXXVI )(
E a (jiiesto propnsi'to si nod eziandio che ne libri. di
I'lsi'ca e Cliiniicu modcrnl ridensi IL nome di frcddo
e rifencndo/o non si crede necessario di opporre verun
dparo agfi cfjidvoci temud per pane di (jue/lo di ca-
lore, di ciii e desso reciproco. Agli auiori anzi di quesd
libii lion si crede disdetto di chieder ragione delLe fre-
qiiend contradizioni , die presso di essi s'incontrano fra
le massime e la pradca. Come accade ch' essi inciam-
pino si spesso a valcrsi del termine colore nelle occa-^
sioni, in cui pare che quel di calorico dovesse preferir-
si? Parlano essi non di rculo del colore diretto , riper-
cosso, raccolto, raggiante,-e nel farlo ben mostrano che
Jianno per ozioso il vocabolo calurico. Qnalche diffici^
le, e se cost vuolsi, sofistico, potrebbc an che pregarli a
voler dime per qucd niodvo siasi sosdtuito al vocabolo
ana quello di gaz, o gas; del qiial vocabofo ignobile e
barbaro non. si e avuto scrupolo di contaminnre e iin-
barbarire la lingua^ onde scorgasi vie nieglio non avc-
re in tutto il torto i Saggi , che gemono sul pericolo^
da essi temuto che un secolo diccntesi colto torni di
galoppo alia barharie.
Per ultimo non rincresca loro di mostrare i van-
taggi inesdmabili , si dice, della niiova nonienclaturn ,
recandone la prova sopra ogni ultra efftcace a conver-^
tire gli increduli. II niiglior partito sembra quello di
addurre qunlclie csempio di qualche nlquanto impor-^
tante scopcrta dovuta unicamente al nuovo soccono, ta-
)( XXX VI I )(
Ic cioe die senza di esso non avrcbbe potato otteiicrsi.
Cost rlusciranno esst a chiudere la bocca ai detrattoii
me<^lio nssai die cog/i encornu , de' qiiali sono larg/il
verso it nuovo vocabolario , di cui non ccssano di pre-
dicate die csso per iiii suo privilegio porta scoipita
I' inipronta delta reale coinposizione de' corpi . JSon
bastuno di gran liinga qiiesti enconiii a tranfjiiillare i
tiinidi , i quail loderanno a cielo lo scopo , e dichtareran-
no f assunto nobile , tnagni/ico al maggior segno; ma
ravviseranno in esso molti pericoU, quello fra gli altri
e sopra gli altri di esporsi per avventura a mettere it
suggello e dare una specie di sanzione alle ipotesi , in-
nestandole sul linguaggio. Ma non serve di accutnula-
re le osservazioni , quando in vece, come la Nota ha
da principio avvertito, giova mspettar quelle piu gravi
assdi, a cui schiuderd I'adito il Pi/iere di Folta.
(Pag. XXIV. Liii. 3) Da qiieste aggiunte informi
€ tumultuarie basteru conformemente alio scopo del Di-
scorso cstrarre uno o due ese/npii de' torti die in esse
soffrono gl' Italiani, contro peraltro le intenzioni delCAu-
tore, a cui vuolsi render questa giustizia, di ei si mo-
stra in ogni luogo per carattere e per massima equo
verso tutti , e anzi verso noi annunzia una cotale par-
zialitii , di cui conviene sapergU grado , senza die per
questo siasi in obbligo di occultarne le inesattczze .
Ndl' ultimo tomo , a proposito della Nautica , egli ,
senza truppo por meriie se la gravitd della Storia e d
i
)( XXXVIII )(
tenor con forme con ciii dcbhc in essa proccclere V espo-
sizionc , tolleri <juc.st' injriinie<isa , nan esira ad inter-
porre una h'sta dnisa secondo le varie nazioni in clas-
si , de Nnviganri j)iu rinomad. Fra gl' italiani notasl,
mnnco male, Colombo, e guegli che diede. il iionie all'A-
tnerica. Ma jra gt ing/esi , chi to avrcbbe sognato? i'm-
conira regUtrato il vcneziano Cabotto. Questa svista ne
fa sovvenire un' alt/a della sressa nntura, nella quale
incianipa I' autore dell' esrratto inserico nella Biblioie-
ca Britannica, degli elcmenti di fisica di Tiberio Ca-
vallo. Questo Fisico napoletano e quivi battezznro per
inglese e dichinrato conipatriouo del Neuton . Non. riii-
cresca al dottissimo estrattista il cenno di un abbaglio
die non doveva troi>arsi in un giornale nieritamente si
rcputato; giacchc di simili lavori e lecito il dire ch'es-
si radunano notizie , onde fra gli altri fini a cui nii-
rano, servire acconciamente alia storia delle scienze e
de' lore coltivatori. 3Ia tornnndo alle aggiunte , net
primo tomo di esse, terzo deW opera intera , s' incon-
tra un tratto onorifico per gli Ttnliani. Di essi non
senza encomii ci si narra che in alcune ricerche astru-
se assai ban no cold vo to egrcgianiente il metodo dcgli An-
tichi ; intorno al quale giova osservar di passaggio, che
mal a prnposito viene nppellato sintetico da quclli , che
arresfandosi alia coriecria , poiche il calcolo non e in
esse impiegaro, sbngliano miseraniente lo strumento pel
metodo. Dupo gl'/iuUani vengon gl'Inglesi, che non a
)( XXXIX )(
torto commcndansl siniilniente. Pol dnW /nahilrerra si
torna sal Continente, dove I' aiuore e chiamnto da M^.
Casidion , di cui si scorge palesemente die gli e igiio-
la la puma. Senza do d gti avrebhe dato htogo fra
gli Italiatii , ne avrchbe lasdafo incerto a qiial nazio-
ne npparrenga; e ci avrehbe i/iforniati die il sua co-
gnome di famiglia e Salveniini, da lui per un certo
vezzo , o piuttosto per certi suoi spedali motivi, can-
gmto in cjiu'llo di Castiglione sua patria , terra nobi-
le posta nel cuor dell' Italia fra Arezzo e Cortona.
( Pag. XXV. Lin. i ) Bitenendo la protesta fatta
nel Discorso e didiiarando di nuovo die s' intende di
mettere in tutto da banda la Chimica, diiedesi nan
per tanto licenza di collocare nella Nota preaente una
o due rijlessioni , che ci si fanno incontro spontanea"
mente , suggerite dull' impresa lodevolissima a cui al~
cuni Valentuomini sonosi accinti , di applicare all'ana-
lisi de corpi il Piliera di Folta. Delia Chimica seni-
hra Iccito il dire, dii ne scorra di volo la storia^ die
ogni f/ual volta si e arricchita di fpudche ingegno e ar"
tijicio a deconiporre i corpi dianzi nan conosciutOj
nan solo ha prosperato imniantincnte , ma si e pur ve^
duta sorgere in essa una specie di rivoluzione . Come
son gli uomini disposti sempre a vagheggiare la perfe-
zione, e a sognare ngevolniente d' essere omai vicini a
raggiugnerla , non e improbobile che si aprisse V ani~
)(XL)(
mo a grandi speranze aflorche per I' invenzione de*
Iambi cclii e (Idle stone riuscirono i Ch'iniici ad impri"
gionare e raccog/iere le soscanze, che senza cid dile-
guercbbero in forma di vapore. Ma comunque di cid
si opini , c cerio che in niiui epoca si accesero essi di
lusi/ig/ie pin vive tjuanto a" nostri tempi in seguito del-
la reccnte scoperta degli apparnti pneiunato-chimici ,
vale a dire de' mezzi, onde afferrare e padroneggiare
que' JIuidi sottili e f/igaci die in piii incontri, eonse-
guentcniente al conjlitto reciproco e ai nuovi accoppia^
menti de' principii de' corpi condotti ad agire gli uni
su gli altri, se ne svincolano e ne prorompono in fol-
ia, assumendo congiuntamente la forma aerea. Non
ha dubbio che questi Jliudi non abbiano in ogni teni-"
po fatta frequente mostra di se, ed e a gran torto che
gli operatori intenti per I' addietro ad opporsi ai dan-
ni che daW impetuosa loro energia per awentura so-^
prastavauo ai vasi, entro de quali sorgevano , costu-
mavano di aprire ad essi uno sfogo, ne curavansi di
esaminarli. Debbonsi all' opposro i maggiori encomii a
que' prodi, die a di nostri coliivando feliceuiente que~
sto nuovo ranio di Chimica sonosi procacciati un vera
diritto alia riconoscenza della postericd, die ne sard,
loro tenutu; quand'andie non ritenga tutte le idee si-
stematiche , per le quali si annunzian persuasi di ave-
re omai solid ata Z' Arte al grado e alia dignitd di
Scienza, traendola daW abbiezione , in cui dianzi a lo'
ro avviso giacevasi, di un ignobde empirisnio.
)( XLI )(
E a proposito delle idee sistematlc/ie comunemente
adottate non si repitta inutile di osservare cite a (jiiesco
carattcre parted pa d notne stesso di Chiinica pneuma-
tica posto in fronte alia nuova dottrina. E^ desso un
nome die a rigore e per propria significato compete al-
ia raccolta delle norizic intorno alia costituzione delle
arie. Ma nelV opinione de' Neochimici gli si da un
senso piu largo assai. Sono eglino persuasi d' esse re per
grande ventura della Scienza giunti a scoprire nelle a-
rie i prindpii piu semplici e piu universali d^ogni ma-
niera di Corpi, di cui son di purere die in esse annidino
nella loro quasi assoluta ed elenientare purezza , asso^
ciati soltanto al principio igrieo. In cid e riposto sic-
eome il perno , intorno a cui raggirasi la nuova dot-
trina, ed e riguardo alia ferinezza e soUdita di questo
die propongonsi essi di consultare il Piliere di Folta
noti senza lusinga di ottenerne risposte die tronchino
le dispute. Ben nell' iinpiego di questo nuovo strumen^
to attivissinio, per cui con armi dianzi ignote vengono
assaliti i cor pi , e all' oggetto di svelarne I' intima com-
posizinne rivolta V efficacia sovrnggrande dell' a gen te e-
lettrico, converra ch' essi procedano con piu ritegno, che
non forse in nddietro. I Fisici , co' quali pregiansi di
avere contratta lega , gli ammoniranno dell' obbligo di
aver presente che non a torto fu dagli antichi Sapien-
ti simboleggiata la Antura net Proteo della Favola ;
ch' eisa sotto i lor occhi e fra le lor mani e pronta a
&
)(XLII)(
vestir m'lUe forme e senihianze diverse, e a prender Va-
sjjcrto or d' aria, or d' acqua, or di fuoco; mentre di
essi fjuo tenicrsi fondaramente che non <li rado sbagli-
no quesrc trasformazioni pe' chiari oracoli e per le aper-
tc risposte delta medesima . Senza quest' aw ertenza po-
trcbhc accader loro di urtare in uii abbaglio poco, se
si osa dirlo , diverso da quello, die prende il Rusdco,
allorclie immagina che per una cotal virtu magica pos-
scduta dal Giocolatore siasi convertito in un pulcino il
pugno di niiglio da lui poco prima veduto porsi sotto
il bossolo. Non si adontino di grazia i Valentuomini
di un confronto niente offensivo, chi rijlctta die la sa-
gacitd loro, coniedie grande , rinia/isi di un immenso
inicrvallo at disotto della calliditd ineffabile clella JVa-
tura .
Non e improbabile che il nuovo ordine di ricer-
che guiderd i Chiniici a nconoscere qualche piu o men.
iiotabile composizione in molte sostanze dichiarate seni-
plici , o a meglio dire, a non ojfcndere la Logica, in-
decomposte. Delle cosiffatte sostanze il numero e oggi-
mai grande oltremisura e cresce ogni di pin, tahnente
che qualche difficile e poco disposto ad ammettere tan-
ta mohitudine di esscri tali forse ne inferirebbe che una
scienza la quale confessa di non possedcr mezzi onde
chinrirsi alniono se i corpi la piu parte siano semphci
o composii , o si arroga di assumere un nome che non
le compete, o trovasi tuttavia in una siato d'infanzia.
)( XLIII )(
Benche , qiiesto difficile potrehbe prender coraggio c
chiedere inoltre se sieno poi essi si cenl di non avere
in pill incontri decompostl realmente que' corpi stessi
die dichiarnn restii ad ogni scomposizione . Chi sa
che a tenerla low nascosta non concorrano per avven-
tura le idee sisrematiclie da essi adottate ? Trattasi ne'
cast qualunque di spiegare acconciamente certi fenome-
ni sensibili. Certo che ne rendono essi quanta busta ra-
gione , ritenendo che incite sostanze non soffrano niu-
na deconiposizione . Ma se ben si mira, riescono all'in-
tento impiegando la scomposizione di qualche altra so-
stanza, dell' acqua fra le altre e sopra le altre , che
molto opportunamente al loro uopo rinvengono per o-
gni dove. IVe gid si mette in. dubbio che le interpetra-
zioni non sieno plausibili. Solo si avverte che per tu-
na parte la logica rigorosa ne imporrebbe di astenersi
dal proferire che i corpi suggetrati alle sperienze ri-
tnangansi indecompostij e la comparsa delle sostanze,
che veggonsi emergere, debbasi unicamente alia deconi-
posizione deU'ncqua, e per V altra che questo appunto
pare uno di que' luoghi numerosissimij su i quali prO'
mette qualche luine il piliere di Volta. A nodrir le
lusinghe concorrono le sperienze recenti , che al pre-
sente traggono a se gli occhi di tutti-, dell' inglese Da-
wy. A proposito anzi di questo eccellente chimico for-
se alia scoria del la scienza e a quella pure dello spi-
rlto uinano non k in tutto inutile di osservare che la
)( XLIV )(
cons^cttiira di If act , e di Cavendish suW indole com-
posta dciracqna, die sarehbe forsc perita net nascere^
ebbe fortuna migliore in Francia, dove Lavoisier adot'
tandola e incorporandola al suo sistenia le procaccib
gli opplausi e il favore universale quasi de chimici ,
intanto die n' ha jmr podii die noii la tengano per
una veritd dimostrata per analisi, si dice, e per sincesi.
Questo singolare incidente comnwsse finalnrenie gV in-
glesi a cogliere le opportunica di rivendicare alia pro-
pria nazione il nierito e il diritto alia scoperta. In
faui Dawy fra gli altri abbattendosi a parlarne non
esita ad appellarla la grande scoperta di Cavendish,
Concedasi per ultimo alia nota di aprire un suo
desiderio. Di questa proposizione quanto niun' altra
fondamentale della miova chimica e noto die a di-
spetro del favor generale da essa ottenuto non manca
dii rifiuta di ammettcrla, movendole difficolta, delle
quail non pud non bramarsi die venga condudente-
mente mostratu i insussistenza. E lasciando stare gli
uliimi aitacchi o vigorosi o violenti die debban dirsi,
di Sigorgne, ben sembra die non debbano disprezzarsi
qnelii con cui si accinse a combatterla i autore illu-
stre deW introduzione alia Jisica terrestre . K vero die
a proteggeiia sorse a nonie per cost dir della scuola
/' estensore dell" cstratto dell" opera mentovata the leg'-
gesi nella Biblioteca francese e negli Annali clumici
ill Parigi. Ma e vero altresl die il grande Fisica di
)( -^I'V )(
Cincvrn insert In fjitesti stessi nnnnli una sun risposta,
la quale per I' una parte pofrcbbe a inluno parcrc ro-
bnsta , nientre per /' altra non senza qnnlchc sorpresa
rhnansl luttavia senza replica.
(Pag. XXIX. Lin. 3) Ax^ solo nclla iiuuiginc Jisica
sopra i colori ci si Ja toccare con ma/io non essere
V occhio , qual lo ininiaginava V Eulero , una strumen-
to acromatico : ma la nuova prova recntane non e die
una conferma e illustrazione dl quella non, meno ro-
busta, con cui gid tempo nel terzo tonio della Socie-
td Italiana it nostro illustre Collega sorse il primo a
combattere la supposizione del sommo Maternatico sidz-
zero. Intorno a die per un fenomeno singo/are quasi,
non e inutile d' osservare die /' Eulero , coniecdie par-
tisse da un duto meno die giustu, e prendesse inoltre
(jualdie altro nbboglio, indovino nondimeno il rimedio
e segreto , onde togliere ai canocdiiali un vizio da
Neuton didiiarato immedicabile. Ma do niettendo da
parte, h nieglio in vece osservare die il diritto di prio-
ritd compete a I nostro Fisico per ogni titolo. Non cer-
to valgono ad indebolirlo i meri dubbii e privi del ca-
rattere di prove dirctte mossi all' Eulero dal celebre
Dalembert. D' altra parte gli argomenti piii fondati
die contro la mentoiata prerogativa dell' occhio leggon-
si presso il sig. Blair nelle 1 ransazioni cdimburgliesi
furono dl qualdie anno preccduti dalla pro^a pur ofa
)( XLVI )(
citata inaerita nelle Mcmorie delta Societa Italiana.
Noil si ^ crcduto inutile conic di toccave di volo net
Uiscorso, cosi di ripetere alquanto pid estesamente in
questa nota an fatto appartenente all' occliio e alia
teoria quanto niuii' alcra iniponantc , delta luce e del-
la i'isione. II perclie si pena alquanto a comprmdere
come accada die libvi anche recentissimi, quail riferisca'
no nudamentc il ragionamento dell' Eulero , quail si
mostnn disposti a crede/io giusto. Eppure a renders
agli aucori loro sospetto alcun poco il supposto privi~
legio delL'occliio bastava forse una rijlessione assai sffin-
plice. De' canocchiali acromatici e nolo die I' arteji^
ce per sole to e contento di correggere il vizio della len-
te obiettiva. Ei si crede lecito di trascurar quello, co-
mecdie lasciandolo senza rimedio, reale e inevitabile ,
aella oculare: ne in cib non ha torto interaniente; glaC'
chh pel breve tragitto dt' raggi, la separazione di que-
&U cade entro i Umiti die /' occhio pud soffrirla inipu-
nemente e senza die attorno all' o<rgetto vediito coni-
pnnscano [range vario-colorate . Il fmomeno in fatti,
sia I ocdiio o non sia fornito della mentovata prero"
gativa , pare die non ammetta die quest' uriica spiega-
zione; la quale con segue ntemente pub applicarsi a quel-
la tenue divisione qualunque die i raggi soffrono per
avvcntura ncll' nrtraversare gli uniori dell' ocdiio. Po"
tra durique questo fur senza comodamente della fucol-
tu di riunirc i ra^gi ; e la natura die non fa nulla
)( XLVII )(
indarno poteva lasciarnclo prlvo ne/la vhionc ordina-
ria,a cut era dessa soltanto tenuta dl pnnvedcre. Ma
non serve dl porsl a puntellare una sentenza appog-
glata solidamente alle sper'ienze decisive del nosr.ro Col-
lega .
Si rammeniori piuttosto iin altro suo men'to verso
I' Oitica , c nel farlo si supplisca ad una oniissione
del Discorso. In quesco non senza motivo fu detto che'
V analisi della luce istiruita co' metodi descritd nellf^
Indagine fisica de' colori ^ a ccrci riguardi sorpassa
nelLa esattezza quella die pud effettuarsi col prisma.
In essa ci si offrono nuovi argoinend , onde cessar fi-
nalmente ogni disputa sul numero de' colori priv.iitivi,
e impor silenzio a quelU che di fresco anche e fra gll
stessi Jnglesi sono coniparsi a sostenere doversi restrin^
gcre a tre sole le sette specie alle qucdi Neuton ridus-
SB i colori senza numero rinchiusi in ogni raggio qual
giiignc a noi scagliato dal sole. Fra questi vuolsi an-
noverare I' irlandese sig. Matteo Young; a cui sembra
probabile che non convenga riconoscere per semplici e
primitivi che tre colori, il rosso, il giallo , I' azzurro;
e a Jin dl fissnre le idee, del verde opina che debbasi
all' accoppianiento de' raggl giulli e azzurri , fra i
quail tgli suppone che n' abbia sempre parecchl capa-
ci di iin egiial grado dl rijrazlone, per cul si gll unl
che gti altrl vcngano piegati verso il mezzo dcllo spet-
tro prisniatlco la dove fa mostra dl se il color verde.
)( XLVIII )(
Certo die amnic^aa qiiesta siippoaizione divengono inu-
tili i tcntalivi , ai qiicdi i fautoii del Neuron costunia-
vano di ricorrere, tratli dalla rifnizione o dalla rijies-
stone. E^ giuocoforza i/npiegare all' uopo la trasmls-
sione. £ bene; perinetta il sig. Young eke gll si ad-
ditino alcunl esperlnientl del nostra Venturl e venga pre-
gato a ripetergU; qaello a cagion d' eseniplo , in cul
la luce e costretta a Jiltrarsi prima per una soluzione
allungata a un certo grado , di ranie neW anwionia-
ca, poi per un ultra siinilmente a un certo grado di-
luita di gomnia gotta, acqua e alcool. La prima in^
tercetta il color gialio; la seconda /' azzurro. Secondo
i suoi principii il verde dovrebbe sparire. Or gli si osa
annunziare cJi esso si scorgerd linipido e puro , e col-
la sua presenza lo convincerd ch' esso neW emerger dot
sole non e altrimenti composto de' due primi, ed e
quanta questi omogeneo e primitive.
M E M 0 R I E
DELLA CLASSE
DI FISICA E MATEMATICA
FINE DEGLI ELEMENTI
Dl Trigonometria Sferoidica
Di Barn ABA Ouiani
Presentato in novemi;ie i{Jc6
P li O B L E M A VII •
104- A-Jaii nel trii
[04. JL/ati nel triangolo sferoidico elittico i tre ele-
menti a , cp , sr trovare 1' angolo ^ .
SOLUZIONE I
Sieno A', $' le latitudlni sulla sfera inscrltta cor-
rispondenti alle ladtudiai date ^ , cp, e I'acciaino per
brevita
I
2 O R I A N I
<r=/3 .(F— F') -f-2/3 . [i] -H-2/3 .[a] -4-ec.
1" equazione XVI diventera w-+-<r=Z — Z', da cui si
otterra come sopra (§ 95)
cos ^ senl's -+- 7) -+- sen^ seny cos{:!! -^(y)=:sen^ cos >.' tang(p'
Sara per conseguenza tang ( = ; - ^' — .
•i " COS/, tang <p — sen/> cos[, -^y)
Pongasi ora z: -^ 7 = u; e sia o- = * « , avremo 1' equa-
zione
o=ar — u -i- <i> u
dalla quale ricaveremo (§§ 48, 44)
a. a u 2,.6au
avvertendo di mettere nel second© membro di quest' e-
quazione =1 in luogo di u dopo tutte le differenziazio-
. , . . dJ'i'uY rr(t>uY
ni . 1 termini — -j—^ ■> ' , , ■> ec
2.au 2,.o a ti
si otterranno facilmente, poiche sara in generale
e dalla preccdente equazione cot ^ sen u ■+■ sen /.' cos u
= cos a' tang $• si ha
(IK
-r—=senK cos ^ cot u — sen t^ sen A'
a u
TKIGONOMETUIA SFEIIOIDICJA.
Uunque tanto \ '■ quanto — , / » — , , ,ec.
si potranno sempre determinare colla sempllce differen-
ziazione, giacclie sono fuiizioni delle variabili ^, ?i e
delle costanti /', 4>'. Dal valore poi di a si dedurra 1' aii-
golo ^ inediante 1' equazione
tang ^ =
cos a' tang cp' — sen a' cos u
io5. Propongasi, per esempio, di trovare I'angolo
^ per mezzo dei tre elementi a', ^', w , negligentando
la sesta e le piu alte poteuze dell'eccentricita. Avreino
te* e* ~\ e"'
— -H — {i-¥-senp>^) [V—V')senp'-^ — senp' cosp'^-^il
{<!.«)'- =^1^[V-V'ysenp>^
^du a^^ ^ ^ ^du\scnp' d <^ d^ J.
JMa si e gia trovaro (§ 70)
d.senp' , ,^ d(V—V') r ',
^ r=^senp cotZ •■> -^ '- =tang p'^ cot ^ {tang T —tang V)
tang p-'' cot Z sen ( V— V) .
cos V cos V
mettendo pertanto ss in luogo di a, e supponendo Tan-
golo H tale, die si abbia
tangH=z ; '— . ; fatto inokre per brevita
cos A tung ^ r— sen /■. cos v *
O U I A N I
A=^-r-=- -7— 1 sara
a a a ar
a./« a* ^ ' ^ L °^ cosy cos y J
ed il calcolo tleirangolo ^ si potra dispone come segue
sen or
I ) tang 11= .
C05 a' tang (p' — sen /.' cos or
a ) A = senll { cos H cot w ^-' sen H sen ;/)
3 ) senp' = sen II cos a'
4) senV'=^J!LL
cosp'
5 ) senV = 21
cos p'
L^.1. (i ^senp'^) \{F—V')senp'-^L^senp'cosp'\[i'\
H-l! A{F-F')cotHsenp'' \v^ F'^tangp''"'"^J^'~^')'\
• a L tosFcosF'J
7 ) tang Z =
je/T «
co^ a' tang <p' • — sen a' cos u
SOLUZIOKE 3
io6. RitenenJo le due equazioni della prima so-
luzione, Cioc tang ^ = sen {^ ^ s) .
cos / 'ta ng <f' — sen a cos ( a h- j )
tanT IT sen^a: rl.tangH
cos / tang q.'—sen a' cos »-' * dm
TUICONO!\ILTRIA SFEHOIDICA.
, iV . tan":, IT (P . tang // . „„ > . ,
b = r-T^— ' ^ = f—f — ' ^^- etr in oltre
a Ti a V
* ^ =: a . «• -f- 1 — -4- ec, avremo 1 ennazione
o = tang H — tang C -+- * ^
Quindi facendo come sopra (§ 90)
otterrenio
-+■ ee.
^ = H-^^H. COS H -^1-21 H^ — —
a 2.0
avvertendo di niettere in (*'^)% (*"C)' ? ec. dopo le dif-
ferenziazioni II in vece di ^.
107. Limitandoci all'esempio precedente in cui om-
mettonsi le potenze dell'eccentricita superiori alia quar-
ta, avremo <i>^ = a . s- H — '—, vale a dire
* 4" = [^ -i- -^(i -H senjj'')! a {V— V)senp'
-»-—<» 5e«/;'coi/?''.[i] -H __ h {V—V'Y sen p''-
W= iUl? )!£££« =- 1' a. (F- rr s,np- sen f c« f
— a [y — y ]senp' cose I -'__< i -' I
a ' ' ^ Lsenu' d: dl J
5 O n I A K I
d.senp' d{V—V')
sostituenJo i valori (§ loo) cli — jy— ' j^^ '
dH „ dd H .,, ,,••
e faceiulo A^-j- ; B = -T-r, cosicche abbiasi
il 31 lb W
A , B -\- 2. J^ tans, H i,
o= — ttt; l^ = ,,, „a ° ^ 1 equazione
COi ii COS H
tz=zH-^^H.cosH -^^ — ^ • nsultera
a,
^= //-4- f- -H — (I -t- JC/i/?'')! A{ V— V')senp' -+- -^Asenp'cosp'\[i\
L a a" J a
ii a \
• tangp
,2SeniF-V')
cos
y cos v]
le quantiia H , A , p' , V , F si avranno dalle cinque
foriiiole precedend (§ io5), e B dalla ibrmola i
__ ,. sen 2 H
Bz=.A (cos 2 H cot :iT -~ sen a H sen /) 1 •
io8.Teno;hiamocontosolaiuentc del quadrato dell'ec- ;
centriciui; sara j
^ = H^€A{F-F')senp' j
i
Volendo poi rendere quest' espressione indipendente dal- i
la slera luscritta, si prenderii uii angolo A tale die sia ;
« 1
tans h = ^!^-^^ Ora h diventa H quan- '■■
cos A tan^ ^ — sen / cos a? j
<
TUIOONOMETUIA SrEUOIDIGA. 7
do ill It si mettono a', (p' in luogo di /, (p; ed essen-
do (§ 33)
.a
},'— ;^ — ^^sen2,>.;(p'=<p—~ sen 2.(p, si avra
In luogo delle cjnantita p\V —V\ A gia moki-
plicate in e si niettera rispettivamente p, u — i^',
Jen h cos h cot is — sen K' sen x , e 1' ordine del calcolo di ^
per mezzo dei tre elementi a , $ , sr sara
, sen Ts
I ) tans h =
' ° cos ?. tang (p — sen / cos nr
a ) jera p = ^era /i coj A
3\ , sen A
) sen v'
cosp
, V sen cl)
4 ) sen u =: 1
cos p
5 ) ^ = A -+- L sen2,hcos > I cos/-^{v—v'){cotzu'—sen?tangIi)senh I
109. Facendo uso deU'eqiiazione pritnitiva (§§ 25,
27), la quale, negligentando la quarta e le piii ake po-
tenze deireccentricita, e ritenendo il valore di - (§ 101,)
si ridiue a sj-+-s=s — s', otterremmo un' altra espres-
sioue di ^ indipendente dalla si'era inschtta, cioe
d vs'
ossja
^ T e* J , , ,,r , seniv — v)cos\>~\
^=-n-^ —senhsemhcosMcotm — senxtans.h)\ y— i^'-t- ^ I
4 L cosu J
o O II I A N I
o
e si potrebbe agcvolniente mostrare 1' identita di qu e-
sto valore di ^ col precedente (§ lOo).
r 11 O U L E ]\[ A VIII
HO. Dati nel triangolo sferoidico elittico i tre ele-
meiui <P > ^ i ^ trovare la latitudiiie a.
SOLUZIONE 3
Dicansi $' , a' le latitudini nella sfera inscritta cor-
rispondenti a cp , a , e ritongasi il valore di o- come nel
problema VI, si avra 1' ecjuazioiie (§ qS)
coi ^ sen{i: -i- t)= tang p'cos a' — cos{x -+- <r) sen a'
tangtp'^i — tang I /'') — 2 cos {::-*- a-) tang I a'
I -♦- tang t A'^
d' onde si ricava
, , — 5e/itcoj'$'cos(37-Hv)±\/r5en^* — coj$''.?e«(-~HJ-)"l
tang 7 a' = ^^ — —^ 2 r^ —
sen f sen (p' -+- cos (' cos cp' sen [v -^ a)
Poiiendo era z<=3!--t-s' = 2?-i-*u, otterrenio (§§ 43 , 44)
2, a u a.D a II
purche dopo le dilTerenziazioai si ponga w in liiogo di
. ..<£('t)«r- (r{'\>nY .
It ne termini ——r- » — t— r^ , ec. Avremo in seguito
J , , — sen '^ cos (p' cos u±\/ {sen t" — cosii'^senu') .
sen ^ sea (p' -+- cos ^ cos tp' sen u
e finalmente alia latitudine a' si troYcra (§ 33; la sua
corrispondcnte a uello sleroide.
TniCOXOMTITiaA SFEIIOIDICA
III. Propongasi, per eserapio, dl tietermlnare ;.' co'
tre elementl <?' , C » af nel caso clie si trascurino le po-
tenze deireccentricita superiori alia quarta, avremo(§67)
f — i-i-{i -{-sen jr') \{V~V')senp'-{-^— se?ij}'cos/y''.[l]
a*
3.du~2.'^ ' ^ '^dJLsenp' ' d\' d ?,' J
Ma abbiamo gFa trovato (§ 80)
<ZA' ^ o ^^, COS p' '
e dair equazione precedence
^4, tans <p' cos \' — sen)^'cosu . ,
co^^= — 2-1 SI ha
sen u
d a' tang a' — tang $' co5 11
d u sen u {tang a' tang :^'->r-cos u)
Siipponendo pertanto che a' diventi L' quando si met-
d U
te w in luogo di a, e facendo per brevita ^ = -j — »
ne risulteranno le seguend formole per calcolare la la-
titudine a' :
V , ,, — sen ^cos<p'cosT!:±^ {sen ^^ — cos<P'^seni!!^)
sen ^ sen <p' -t- cos ^ cos (f' sen s
a) A =
tang L' — tang $' cos m
sen a; {tang L' tang 41' -t- cos 3)
2
10
O i; I A N I
3 ) sen //' =: sen ^ cos L'
senV
4 ) sen J'' =
5 ) sen V
cos p
sen cp'
cos p'
6) u^^ ^ S^L^t,[i^senp'^)\{V—V')senp'^^- sen p' cos p'\\\\
4 4
^\A{V—V')^tangL'senp"—-J{V—V')tana,L'tan^p'\senp^HanV->rCck
sen ^ cos $' cos u r±= \/ {sen ^' — cos (p'"' sen u')
7) tan^.A^
sen ^ sen cp' -+- cos ^ cos cp' sen u
S O L U Z I O N E 2
1 1 2. Conservancio i yalori di o- ; iang i L' ; tang I a'
stabiliti nella soluzione priaia, pongasi
d . tans: i L' , d\ tang h L' d\ tang i. L'
dss d w d TS^
ee.
e di pii
lU
* 3
' $ /,' = a . (T -i- b . ^ c . — 3 ■+- ec.
a a.D
avremo 1' equazione o = tang ^ L' — tang i a' h- * a' , la
quale ci dara (§ 8i)
a>'A')\coj'L'' sl' i<i>" ?.')'. cos iL'^
A'=Z'-t-a<l'Z,'.co5iZ''-H -^^ 1 ■ '—o -^ ®<^-
a a. a
purclie si ponga in (*' a')S (f"^')'^ ('^"' a^ , ec. dopo
tutte le dirterenziazioni L' in luogo di a'.
11^3. Piendiamo lo stesso esempio, in cui si om-
TUICOXOMETRIA SrCROIDICl II
niettono la sesta e le piu alte potenze dell' eccentrici-
9
ta, sara <t>?.'=a.ir-^h. — , vale a dire
^ — asenp' cos p'\ [i] -+- — b {V — Vf sen p'^
(« Ay= -^ a' {V— V')\ sen p''
(<!)'/') = -ii — ^— J =5 -a {F—F')senp'^ COS U' tangle'
^ta'{F-F')senp'^cos^A'S=}^.±Ifll^^J^:=n-]
ovvero (§ ii i )
(*'/')'= — \a^{F^Fysenp^cos\h'\itang>!^tanq,\>!)
——a'(F—F!)tangp'^cosbA''tangx'{senp''^tangF-^-coiF')
Ponghiamo ora L' in luogo di /', e facciamo
A^^^^' . n ^^^' 1' 1 • 1 ^ .
•^=:7— > -0= j~«~i a onde si ha a = r-irn '
i r-*
*' = r-/ z — -; 1 equazione ^'= L' -i- a 4> L' , cos 1 L
^a.^i'f'yy.coshL'^
SI cangera in
I a O u 1 A N I
— -»-^ (i -*-senp-') Ll(F—F')senj?'-^i-^Asenj?'cosp'\[i]
-^fL{V—V'ysenp'' (5 - a A^ang L')
1 ^' [V—V) tang p'^ tang L' {sen p'^ tang V-^cot V)
Le quantita Z', A,p\ V , V sono state sopra (§ iir)
deienninate, e ^ si avra dalla formola
J5 _, ^fl^g- $' -4- a ^ 5e^ a- — .^' (M^g <j' -f- Mwg L' cos w)
tang L tang q.' -h cos bt
»
114. L' equazione A' = Z' -H- _^(F— Fl^enz;', •
die contiene solamente il qiiarlrato dell' eccentricita, si
puo rendere indipendeiite dalla sfera iiiscritta, prenden-
do r angolo L in maniera clie si abbia
tans. ^ L — ■^g^ C -^g^ ^ cos g ± \/ [sen ^* — cos (|)* sen ai') .
^era i; sea 4) -i- coj- ^ cos cp jt/i ar
c siccome L diveuta L quando in L si mette
^' = '^— -z^««a«P in luogo di cp (§§ 33 , 77), sara
■P :i ra/zg c}> ^^«g Z -H cos w
Inoltre si ha >' ^^-.^seniA^iA — ^lsen ^ L . Duncrue
a a 1
cainbiaiido le quantita y^,(r-F'),je«//rispettivameute in
TUIGONOMLTRIA SF£110IJJ1CA I 3
tan<i L — tan" 0 cos w
— , , (y— !>') J jeny; per esscr qiieste
sen a {tang L tang ^ -h coi s)
gia moltiplicate in f\ la stessa equazione diventera
T e' r r r (" — v') seii^{sen L — tang:)cosLcos^) — taiis.Zsen-5s~\
,s=:L-^- — I sen L COS L-^- ■ ; f— ^— I
a L sen m [tang L tang 4) -+- cos s) J
nella quale sara
p r sen ^ , sen L
sen p = sen ^ cos L ; sen u = ; sen i/' = .
cos p cos p
1 1 5. Possiamo ottenere per mezzo dell' equazione
primitiva (§§ 25, 27) uri akro valore della huitudine a
indipendente dalla sfera inscriita, poiclie negligentando
la qiiarta potenza dell' eccentricita, e supponeudo
^ — -senp .Iv — u H i '- ), la delta equazio-
a \ cos u I ^
ne diventa (§ ioj), ar-t-s=z~s', dalla quale ne ri-
sulta (§ 1 10)
sen ^ sen ;p -t- cos ^ cos i|? sen ( s -t- I)
Facendo pertanto
tang i L = — -^g" K sen j) co^ sr =b v/(jc/z C'— cos cp' jgra ar')
5t;« ^ jtf« (p -I- coi- 1, cos ^ sen s '
3i 2.yrxtangl,=tang\L-^Z.(il^3r^>^^ ossia
'^ = ^-<- - -(j^), vale a dire
^ ^_»_l! ■ •'"^^^{senL— tang 0 cos Leo s") I
A Jew w (^<i«g ^ tang L -\- cos w J V '
scnL — x')cos'\
H \ — —L 1
cos J )
1^ O R I A N I
116. L' U30 di quest' ottavo problema debb' essere
fiequente iiella geodesia, allortjuaiido 1' angolo dato Z e
retto, e quantumiue sia facile T adattare le date solu-
ziodi a questo caso (§ 71), nori sara forse inopportu-
no il ricavare diretiuniente dall' equazione XUl una
niiova soluzione iiidi pendente dalJa sfera inscritta. Sia
pertanto da irovarsi la latitudine <> per mezzo dei tre
elementi (p , w , ^ = go" non ommettendo die 1' ottava
e le piu alte potenze dell' eccentricita. Facciamo per
brevita
») = Z? . i|/ -+- 27 . sen a d/ -^ B . sen 4 4'-^ 6c.
01 * '
I'eqnazione (XIII) sara 3=90" — ^ — », da cui si con-
chiutle (§ 102)
tans; d) _,. , , seni) cos(Pcos(js-}-k)
tang}, = — ■—— Si ha ancora coi4/= = — ^^ -9
cos[:b -i-ij) sen A cos A
ovvero sen I = cos :^ sen {is -^- if) . Pongasi ora w-+-ij = w-)
ed K = t>u, lie verra T equazione
0 = 37 — M -+- *?/:, la quale ci dark (§§ 43 , 44)
tt=ar-f-<t)orH 1 ' , ; -+- ec.
.id II a.o a u
Ma, ne2;ligpntando 1' ottava e le piu alte potenze deU'eC"
ceuiricita , si ha
<t> u = *i = B .>!'-<- ^ • sen a J/ -♦- B . sen 4 4'
01 3
k>!.Y= B' .V-^ 2B B ^l.sen2 4^
o 01
(* uy = B'^. 4' 3
TllICONOMETRIA SFEKOJDIOA l5
Avremo quindl
H- (^) .[b' .i^-^D B {sen 2 vj. -t- a | coj a i{.)l
^d u' L. o o » J
d*(<\>uY r dB d^~\' I „, ,^f,ddB^
d u d u o^ diir^A
e siccome dall' equazione precedence sen cp = cos 4^ sen. ^
si ha (^—) = co^ / CO* v{/ j similmente dall' equazione
tang(p=iang>.cosii si ha (-= — )^=^sen^cos^. tang u=sen?. tang 4^;
d u
otterremo pertanto ( Ji^) = ( J") ( 51,) = '^^•^ ^ '•
■ ^ = — sen A^ tang 4^- Ixioltre abbianio (§ 70)
o ^ a 2.4 '
5 = -L (A:' Jew a' -4- /T" je« A*) coj A
1 a
B = -^ . K" sen A* coj A
Quindi sara
I 6 O II I A N I
= — A sen > H- - K' (2 — 3 sen ?^) sen A
_ =• -; A ' (i — 3 sen a') sen A
d A a
\
~j~^= (~r-^) (~)= — sen >' tang 4,1 K—- K' (n-^3 sen ^') (
d u ^ d A ^ d u' L a, J
J 5. ,d B J y ,
' = (_^) (^/) = _L A'' (i - 3 sen >') sen a^ tang 4^
d u d A d u ix
ddD^
■ - = — A sen A cos >. {i -h 3 fang v|>') .
Sostituciido questi valoii, avremo
'—. — =• — ysenf^cosytanai'] <!/iK-\- -K' sen?.'') -^—^K' sen a sen 2.^ I j
tkd u La a J
\K-lK'{^—3sen>.')~\ \
-+- -^ KK'-^sen 2 v|/ tang ^ (a — 3 sen A^)senA^ cos?\-\-K'li cos a ^ .[K-\-K'senx*)
H — 5- KK' sen A* coj a' (^en a i^ -t- a vf/ coi a »|^)
= A'\ J/ C05 A (co* a' — ^ tang ^ sen a')
KK'
H J- . 4/ /a/7g i|' ('1' ■+- sen ^ cos i^) sen A sen 4 a
KFC
H (a ij/ -H vf' coj a 4^ -»- J«« v|/ coj vf/) J^n a' co^ a'
■A
d* (<t> nV r'» , / , , . ,v,
J-J—i = A . 4- CO^ A (CO^ a'— 4/ ?fl/?g 4/ 5e« A*)*
. v{/- jea a' co^ a' 1 3 tang 4, -♦_ 4, (r n- 3 tang 'V) \
'I
TKIOONOBrr.TRIA SrEKOlDICA. I 7
Laonde, chiamando Z Tangolo ^, e q I'angolo ^ quan-
do si incite m in Inogo di u, si avranno le seguenti
equazioni per determinare la cercata latitudine a.
i)tangL = t5!lS^
cos ar
a ) sen q = sen tss cos ^
1.3
3 ) u=: w -H q{K-i- ' K'senL'-i- — K" sen V) cosL
a a.4
-^-^sen^q[K'-\-K"senU)senUcosL-¥---K"ten^qsenVcosL
a a
-^ K' . q cos L {cos U — q tang q sen U)
H — 1 KK' q tang q sen L sen 4 L {q -{-sen q cos q)
"+- - KK' sen Ucos U [^.q -\- q cos 2, q -i~ sen q cos q)
-*- K^ . q cos L {cos U — q tang q sen L'Y
— - K^q'senUcosU {%tangq-^q{i -^Ztangq^) )
cos u
avvertendo clie si ha (§ 70)
J, I J r.i I-I-3 « . ^,_i.3 »-3^. . rr„_ 1.3.5 ,
a a.4 a.4.0 a.4 4-^ a.4.0
117. Rappresentiarno con ijl la somma di tutti i
termini di u affetti dall' eccentricita, si avra «=37 -+-/*•
Ora, siccome L diventa a quaado si mette u in luo-
3
■ec. '
I
1 8 O K I A N I
go di or, ne risukera (§ 76)
d s'' a d js ' a. 3 ^rf w*^
Supponghianio che si oinmetta ancora la sesta potenza
deir eccentricita, essendo
_ tane. 4> • I-
tang L = — 5 — 5 sen q = sen m cos cp , e quinax
cos ar
<?Z> T ^ d^ L T T , 1\
-— = sen L tang q ; - — - = sen LcosL [i -^ si tang q)
(t H Ct '3d
e*
M* = — q^ cos U ; otterremo i
y-^L-^qtangqsen^Ly— ^t-{'i,^lsenU)\^'L.e'' senq"- senV sen'xL \
e* •< '
■^ — q tangqsen2 L{cos L^—qtangq sen r)-{-- q'scn2.LcosV{i-^-!itangq^) \
a a'' I
j
Problem aIX i
i
118. Dati nel triangolo sferoidico elittico i tre an ;
goli ^ , 9 , s; , irovare la latitudine a . I
SOLUZIONEI i
Siipposta a' la latitudine sulla sfera inscritta cor- j
rispondente a ', e ritenuto il valore di s come nel pro- J
blema VI, 1' equazione (XVI) diventera i
V -^ s = Z — Z' . Essendo poi (§ 88)
tang V= \/A^'~^enp'^) . ^, ^ tang x' ^
sen ^ cos ,.' cos 6 " cos ^
TUIGONOMETUIA SFEROIDICA. 1 9
nc yerra
/ \ ^ irj rf,\ senp' (tang F— tang V')
tang (a; -H j) = tang IZ—Z') = LA — -5 -—s ^,
^ ^ ' ^ ^ ^ I -H senp-' tang Vtang V
vale a dire
, . — senlsenx'cos^-^cost\/{sen^^ — senp'^)
tang{m-k-<i)= !i ^ ^ ^^
cosi^ cos 9 -t- sen (^'sen ?^'\/{sen 9 — senp' )
e quindi
, > — sen t sen >.' cos $ -t- cos ^ x/ (sen d"^ — sen p'^)
JCAj ( sr -H 0- ) = :;: ——^ — — ■
cosp'
I y, cos t COS ^-i-sent sen a' v/ (sen i* — senp''')
cosp'''
Eliminando i radicali da queste ultima espressioni, ot-
terrerao
, cos Z cos {■ST -^ a) — cos d
sen Z sen [m -\- a)
Ora facendo t? -i- «• = «, ed in oltre <s =:<\> n ^ avremo
r equazione
0 = nr — U -¥■ ^ II
donde ricaveremo (§§ 48 , 44)
M = w -+- <l> OT -»- — i '- -+. ^ '— -+■ ec.
^ d u a. 3 d II
avveitendo di mettere dopo le differenziazioni w in luo-
go di u ne termini , ■ - , — \ , , , ec. Si avra in se-
■iO O K I A N I
COS t COS u — COS 9 . • r 1
giiito sen A' = — ^ ; e Si trovera iinalmente
sen ^ sen u
(§ 33) la latituuine ?. siillo sferoide corrispondente a /'.
119. A rischiarare la soluzione del problema pren-
dianio I'eseinpio in cui si trascmano la sesta e le piu
ake poteiize dcU' eccentritita. Avieino (§ 67)
<^u = y=\-^t^^{i^senp<')\{V—V')senp'-^\senp'cosp>\[\\
a.du a'^ ' ^ \senp' d a' d a' r d u^
... cos ^ cos a'
Avendosi poi cosV=ztan^p'cot^\ cosV'= ; — j
ne verra (§89)
a a' cos p' cos p' senyseny
si avra in seguito ' , = — senp' tang /'. Inoltre dall'e-
quazione precedence sen /' sen ^ sen u = cos Z cos u — cos 9
d x' — cot Z — sen a' cot u t 1 ..1
SI ottiene -r-= ^^- • Laonde, mettendo
d U cos a'
V in luogo di u e supponendo che in questo caso a di-
d L'
veniiZ/': facendo ancora per brevita ^^='^r~-> ne risuUera
TRICONOTIETKIA SILUOIDIOA 31
ml u J. \ cosp' senyseny I
e le seguenti forniole serviranno a determinare la la^-
titucliiie a'
cos ^ cos TB — cos i
I ) sen L' =
a) ^ =
fen t^ sen v
cnt C — sen. V cot »
cus L'
3 ) sen p' = sen ^ cos L'
, V .7, sen L'
4 ) seny ' =
cosp
5 ) sen V ^ tang p' cot J
t'' e* 1 e*
H- (i -i-senp'^) \{V'—V')senp'-+-—senp'cosp'*.[i]
-.'l,AiV~F')tansL'senp''{F-V'^ '"".^^~/'\,)
a \ cosp' senyseny /
. , cos t cos II — cos d
7 ) sen a' =3= — .
SoLUZIONE 2
120. l^itenute dalla prima soluzione le due equa-
r, cos ^ cos -^ COS^ . cost COS (:j! -i-<r) — C0s6
Zioni senL'= — ^ ;sen/,'= ? — - — '— — ^ — ,
sen <■ sen ar sen ^ sen ( ^ -»- j )
d.spnL' , d\senV d\senL'
pongasi «=__, Z, = _^_^; c = -^3- J ec.
Sia inoJire
3:3 O R I A N I
<t> x' =1 a . (T -\ 1 5- -+- ec. avremo 1 equazione
a a. 3 ^
0 = sen L' — sen a' h- <^ A'
la quale confrontata coU' equazione (§ 43)
o = « — X -\- <^ X
ci da sen L' = ct ; sen y = x; * a' = * a; . Quindi se si vuol
avere rinimediato valore di a', si fara Yx = ?v' ^ cosicche
y d'Y X , d A I T^
sara —, — =W x=-r-'= , . Uunque posto
a X a X cos A I tr
d {^i^""\ d r^^^n d [{^:::3n
Lcosa' J Lcoja' J „ Lcos a' J ,
~dv- =("' '')> a.' =('^"^') ' -~dir- ={*"'^'r; ec.
avremo
A'=Z,'H ^,-H-5^ '■j-,-\ 4 ^, H- ec.
COS L a cos L a . o cos L
e si metteru. ne' termini (*'a')S (*" a')S ec. dopo le
diflerenziazioni L' in luogo di a'.
121. Applichiamo questa seconda soluzione all' e-
sempio precedence, in cui non si tien conto della sesta
e delle piu ajte potenze dell' eccentricita . Sara in que*
sto caso
(px'=a.::-^ , OVVerO
a
* '*^' == I ^ — i-—^{f-i-senp'^)\{F—F')asenp-^t^asenp'cosp'\li]
■+-^lb{F—Vfsenp''
TRICONOMETRIA SFEROIDICA. a3
{<» A'y =:^l^a' {V-Vf sen p''
I tang a'
o
d k' a cos a'
a cos a' \ je«/'' <i /.' <Z A' /
vale a dire (§119)
a^ ' C05A' \ cosp'^seiiVsenV't
Mettianio ora Z'in luoo-o di a', e sia ^=-7 — ; B=z — — - ,
sara a = A cos V; h =B cos L' — A^sen L'. Onde reqiiazione
y = L' -^ T-, •+■ 77 diventera
cos L' a cos L
a*' ' " ' a u* <. senysenF'
Le quantita Z', ^,yj', F', F si otterranno dalle prime
cinque formole precedenti (§119), e ^ dalla formola
B =z tang L'{i ■+■ cot ar* -+■ A") — A cot ar
122. Da quest' ultima eqnazione si puo ricavarne
un'altra die ci dara il valore della latitudine a sullo sfe-
roideiadipeudeiitemeute dalla sfera inscritta. In latti I'ar-
r. I • ^ J IP r. COStCOSuJ — C0S9
CO L determinate dall equazione senL=. — ^-—
* sen ij sen rs
a4
O II I A NM
h lo stesso tanto suUa sfera irsscritta, quanto sullo sfe-
roide; quindi tutti i termini del secondo membro di-
pendonti da L' e dai tie dati elementi ^ , H ^ ^ resteran-
iio invariabili. 11 priino membro poi sara (§ 33)
(?* e'*
/' = A -sen a A -sen 2 A (2 — cos a. /)
a a"*
Laonde col nietodo sopra (§ 92) usato troveremo
i 4
A = Z:'-+- -{senL'cosL'-^-^{F—F')senp')-^.^sen2L'{2-^cosaL')
■ (i -t- senj)'"- -H 4 coj a L') A {V— V) senp'
Asenp' cos p'"^ sen [V—V) cos (T-t- V)
■L. (F— V'Y senp'' {B — 2. A' tang V)
A^ (r- V) tangp'^ tang L '^^^-
sen y sen y'
e si calcoleranno le quantita L\ A ^ p\ V , F,B col-
le formole gia accennate (§§ 119, 121).
123. Qualora rangolo < sia retto, ne verra,
/;'=9o''-L'; V' = go\ e sara
ten L' =
cos 9
sen 57
Quindi posto ^=90"^^!", si avra (§ 71),
cos F=~ sen ^' = cot 6 cot L', owero
tang Y' x cos L tang »
TRIOONOMETUIA SFEKOIDICA iS
^ . X > T I . 13 t(l"^ L' I COS W* \
Inoltre sara^ = -^«"gL co^-J ^= "W (' "^ ^^77?) '
Facendo pertanto le dovute riduzioni , ed avvertendo
che ruliiino termine
_ !! A' (V-V) tangjr' tang L 'IliS^ZlE^ diventa
a' * ' ° sen y sen y
— -, ^' Y' co^ L' /►ang Y'= - ^ -v' cos L' , otterremo
a 2.
e* <?"
;\ = Z' H (senL'cosL'—fsenL'cotvr) -f '('-+- 9COiI'')jenL'cofs
a a"*
a a
.$en 37
Lo stesso valore di / si potrebbe ricavare dall' equa-
zione (Xlll), oppure dall' etjuazione (XVI), qualora
(§ 71) si poiiga ill questa ^ = 90".
P 11 O B L E M A X
124 Dati nel triangolo sferoidico elittico i tre ele-
meuii Cj^>=', trovare la latitudine a.
SOLUZIONE I.
Posta >' la latitudine nella sfera inscritta corri-
spondente a ^ , si sostituisca iiellVquazione (XVI) in vece
di V \\ siio valore trovato soj)ra (§§ 46 , 5i). Per age-
volare la sostituzione , si noii (§ 44) die si ha
aft O u
I A N I
P O'
tita a' , a" , «'" ec. sono le stesse die «, ; «a ' *3 5 ^c. (§ 66).; ,
quindi facendo per brevita !
»• s= — tt P -\- a. sen a ^' -t- jf jen AV-^- a sen 6 F' -4- ec. 1
e I a ' 3 ]
-\-a'Asen'x{V'-^P—a P)-\-a" BsenAlV'-^P—rj P)^ec. j
o o '
I
-^a'A'sen^[^V'-h-P—ct P)-^-a"B'sen2{3V'-i-!iP—!ix P)-+-ec. j
O O
H-a'j'''j«raa(P-« P)-Ha"2?'''ie/ia(F'^-aP— a« P)-t-ec. ;
* c I
I
\
-+- ec.
i
avremo r= P -+- P -+- j- . Ora nell' equazione (XVI) '
vr=zZ — Z' — fiJF—F') — 2fi -[i] — a/3 .[a] — ec. . (
si ha ,
Z = Ang.tang[senp'tangF] = Jng.tangisenp'tang{F'-*~P-^T)]i \
Z'=Ang.tang{senp'tangV'], e supponendo per brevita '
x-=V'-^P; y = Ang.tang[senp'tangx], ed in oltre •
n dy t' rr y t* d^ y
dx a dx a. 3 ^ji^
secondo il teorema di Taylor si avra Z = y -¥- R, e sara
d y sen p'
d X I — cos p' ' sen x^
d' y sen p' cos /?'* sen a x
dx' (i — cosp^senx^y
TIlIGONOME'l'lUA SrEUOIDiCl 27
d* y A sen p' COS p'* sen a, x^ o, sen p' cos p'^ cos a x
d X* {i — cosp'^senx^y (i — cos p'^ sen x'^f
ec.
Rimettendo in vece di x , j i loro valoii, ne risultera
Z — Z'=Jng.tang\senp'tang[V'-\-P)'\ — ^ng.tang[senp'tangV]-^R
Sara inoltre generalmente
[i]=scni{P-i-T)cosi{2,F'-i-P-\-T); vale a dire
[i]=seniPcosi{iF'^F)-^-(2iT-^^^ -+. ^^^J -ec.) cos2i{V'-^P)
s.\ % a.iJ.4 a.3.4.5.6 / ^ '
Dunque supponendo
ff=— i?-H/? (PH-T)-t-ai3 .filH-aS ra]-t-a/3 rSl-i-ec.
la stessa equazione (XVI) diventera
w -4- «• = Ang. tang \senp' tang ( V '-hP)] — ^«g. tang [senp'tang F']
da cui ricaviamo
tang (i>^A = '_f!Ltl±"A {^"-^ P)- senp'tang P
1 H- je«/?'' tang[V' -+- P) ^a«g F'
sen p' tang P
cos V''' ->>~ sen F'^senp''' — cosp'^sen V cosV tangP
sen ^ tang P
cos a' — sen /' cos ^ tang P
Reciprocamente sara
a8 O u I A N I
, sen^senPcosPcos{--^T)±cos::senP\/(i''n{--\--Y—sen!:'senF-)
cos > = — — jT^. -. ^ ■ —
( I —sen (,' sen P ) sen (^j -i- a)
Pongasi final iiiente M = w-+-r = ti^-^-<^Mdi maniera die
sia <r eguale ad una fuiizione di a, ne verra 1' equa-
zione
O = ar — u -\- <J> U
la quale ci dara (§ 45 , 44) .
d{<t>uY d'it^uY
u = m -<- <I) B H -. 1 —J — i ■+■ ec.
Q. a u n.D a u
avvertendo di mettere 3 in luogo di u ne' termini
^ , ' , — ^ , \ , ec. dopo tutte le differenziazioni . JLd
e manifesto die, essendo ^u=is fiinzione di a' e del-
le costanti P , ^ , sara
e dair equazione precedence
sen ^ tans P , ■
tangu = , ^ avendosi
cos A — sen A cos i, tangP
d A sea t tans P ,
T~ = n ; -, z Ks 1 n<? segue che
« u sen u [sen x' -t- cos a' cos ^ tang P) °
d (0. u)"" d" (* uf d' (1> ?/)"
lu du'
, ec.
u
saranno pure funzioni di a , a' e delle cosranti P,^ fa-
cilmente determinabili colla sempiice differenziazione.
TUIGONOMETIUA SFP.KOIDIOA. 2^
II trovato valore di u sostituito nella formola precedents
, senP\ sen^cos Pcosjizt:cos^\/(seni/ — senCsen P')'\
cos/.= 5^—^ —
(i — sen ^'^ sen P') sen u
ci dara la latitudine a', a cui si trovera (§ 33) la cor-
risj)Oiidente latitudine a sullo sferoide elittico.
125. Sia, per esempio, da trovarsi la latitudine a'
per mezzo dei tre dati elementi ^ , P , m nei caso che
si trascurino la sesta e le piii alte potenze dell' eccen-
tricita. Facendo per brevita
[i] = sen P cos (a P-h P) ; [a] = sen a P cos 2 (a V -¥■ P) ,
avremo in primo luogo (§§ 5i , 124)
r=r'H-P-t-r=r'-HP— « P — a* seniP—^^ P)cos[iV'-^P~x P)
• 1 ^ o ' \ o '
— a* .[a]-+-4a* .[i]cos<i{V'-k-P)
cioe sara
rr= — « P— a« .[l]-Hafl! a Pcos^{V' -ir-P)~%^ .\%\-^^a* .[\'\cos%{V'-\-P)
ossia (§ 66)
sr:—\-^cosp^^-^cosp^*cosi{V'^P)\{P~-[i])^^cosp''{i/^V—i()[\]-^['i\)
Posto inoltre per brevita
. sen p'
I —cosp<^~sen{y'-^-Py
^ T> . A" T- . cos p'^ sen ^ (V -^ P)
ne verra /? = a r -1 L ^ : ,
a sen p'
Essendo poi (§ 67)
3o O R I A N I
C .(P^r)-Ha/3 .\i]=[-^^{^-^cosjf')'\Ps€np'-^-'-L^enycosp'\[i]
se ponghiamo ancora
n = (P — [i]) coj/?' H i-
avremo
a* a. \ senp'
^6senp'[P{^-*-cosp'')'-'[i]cosp-^]j
^^Acosp''Up{Z-^iisen{F'-^Py)-8[i](i-^2'Sen(F'-i-Py)-^[o.]J
^ ' a^
e sara
£.^=,_A_ . ±f^-^^A^cotp'sen{V'-^PYt^^^cosp'cot{V^P). ^)
<i/ Jen//' (1/ ^ ^ ' \ dh' d t^l
^,= a[P-[.]-^P^en(F'-^Pr]co.y(f?-£^')
— ^cosp'' \Psen^{V'-^P) — senPsen{;:i r-v-P)l(^')
vale a dire (§ 80)
d\ r ,rr, «v,/ , cot V cot (F -^- P) 1
li: = — A fa«£ A' I — a A ien (F'-H P)\senp' -+- -11-1 ^ '-s
dK' ^ L ^ «e«/ ^J
TniGOXOMnTJUA SFEROIDICA 3 I
~=2tang>.'^{Pcos2{F'-¥-P) — [i])senp''—cotF'{Psen2{F'^P)
— senP sen (a V -+- P) )\
Supponendo pertanto che a' diventi L' quando si met-
te m in luogo di w, e facendo ^=2 — Jl calcolo del-
la latitudine a' si potra ordinare nella mauiera seguente
I \ cot L' ^^" Pjsen^ cos P COST ±cns^\/{sen:ii^—sen^^ sen P^)]
( 1 — se?i ^' sen P') sen m
a) ^ — sen ^ tang P
sen 57* {sen L' ■+■ cos V cos ^ tang P')
3 ) senp' = sen Z cos L'
4\ 77, sen L'
) sen V'=
5) A =
COS p
sen p'
I — cos jr' sen (V ^ Pf
6) n =(/>-[,]) CO. />''-f-^Z£!^'
A
-\ ^ , r, i^\^cosp''sen2(V'-^P) ,„ , tu
7) ii=ar-t-— .An -> i- 5 1 lp—\l^f
' a a*' senp' ^ ^ ^'
-^d sen p'[P{%-y- cos p'^) — {i'\cos p'^'\ \
— — Acoj/?'" j 2/>(3-t-8.e«(P-t-Pn— 8[i](r -+-aje;z(r'-*-/')')-»-[2] ^
^-,AA^n^tangL'\,-^Asen{V'-^PY\senp'^'JiI^'S^-S^'\ \
^ ' L sen p' J '
3a O a I A N I
^AA'ntangL'\{Pcos2{r-^P)-[i])^enp''-'CotV'{Psen!i{V'-^P)
'-senPsen{iV'-k-P))\
avvertendo che si ha
li] = senP cos (a F'-»- P) ; [a] — sen^P cos a (a V'-^ P) .
Finalmente sara
, senP[sen^cos Pcosu±cos^\/{senu'—sen(:^senP^)]
8 ) cos A'
( I — sen ^* sen /*') sen u
SOLUZIONE 2
126. Colle sostituzioni e denoiniiiazioni della pri-
ma soluzione si arrivera all' equazione
, senP[sen ^ cosP cos{w-i-t)±cosZ \/{sen{ii ■+■ y)^ — sen j^* sen P^)]
(i — sen (J^ sen P') sen (» -♦- a)
Facendo quindi
senP \sen ^ cos Pcos:s± cos^ \/(sen ©' — sen ^* sen P')}
cos L = 7 1 =r-
( I — sen <; sen r ) sen m
d.cosL' , d'.cosL' cP rosL' , . ,
a = — 1 ; ^= — r-i— ' '^^ — J— T- ' ^■^' ed inoltre
a 37 as ii a
<^ A' = a.a- H 1 r- -H ec.
a 2.0
lie verra V equazione
o = cos L' — cos >.' -+- 1> a'
Onde se noi pongliiamo come sopra (§ 74)
TRICOXOMLTRIA SrEUOIDICA 35
otterremo
x'=L' r,-^- — h Q T'~^ ^^•
sen L a sen L a . o sen L
purclie cloj)o le differenziazioni si rnetta nel secondo
membro di quest' equazione L' in liiogo di /'.
127. L' esenqiio precedente (§ i25), in ciii si om-
inettono le potenze dell'eccentricita snperiori alia quar-
la, puo servire a rischiarare ancora questa seconda so-
liizione. Avremo pertanto * a' = o . a- h- Z* . «■% ossia rite-
nendo le denominazioni di a , n , [t] , [a] gia stabilice
senp
.,, A* A* VA^COSp'* SenO.(V'-^-P) ,r, r -,\z r ,,r,, ,»
♦ A=-,.aAn-pa[ —7^ ^ {P-[y]y^Gsenp\P{^^cosp'')
-[.]coj/;'')j
— iJaAcovr''(aP(3-i-8^e«(PH-P)^)-8[i](i-+-2je«(r'-H/Y)-+-[2])
a.'
b \'n'
a*
K/r = _k^£^=i;«'An.(an^H-2A^-Anc.n')
' d K' u' sen^K dx' d a' /
Sostituendo i trovati valori di -, -, » -y—, , e facendo
d A' d a'
34
O R I A N I
dV (V L'
A = -r^ ; B = —, — ~ , cosicche abbiasi a= — A sen L' ;
dm dm
h = — B sen L' — A"* cos L' , avremo
^ ^ ' sen J)'
-[i]cosp'')],
a c
a"
-^^A\A'ntangL'!>[Pcos:i{V'-^P) — [i'\)senp'^ — cotV{Psen2.{V'-^P)
sen Psen (a V -\-P) ) I
nella qual equazione le quantita L' , A , p\ F' , a , n si
otterranno colle precedenti (§ laS) sei formole, q B si
avra dalla forrnola
■B = — J cot zn {a. -^ A" sen ts')
138. Possiamo dall' una o clall' altra sohizlone di
questo problenia ricavare la latitudine cercara sullo sfe-
roide elittico indipendenternente dalla sfera inscritta,
poiche I'arco L', e le quantita p', F', A , n , J , ^ che
da esso dipendono, rimangono le inedesime tanto sul-
la sfera inscritta quanto sullo sferoide; onde, stando
neir esempio della seconda soluzione, bastera sostituire
(§ 33) in vece di a' il suo valore a ^^e/zaA-t-
a
1.^
TllIGONOMETKIA. SFEROIDICA. 35
^5e«aA (a-+-coja/), e col metodo sopra (§ 92) usato, si
trovera facilmente la cercata latiturline sullo sferoide,
vale a dire, posta per brevita =1- la somma de' ter-
mini mokiplicati in A"* nel precedence (§ 127) valore
di a', si avra
— {sen a L' -H ^ . A n) -H _
a* a
A = L' -4- — {sen a,L'-^ A. AH) -{-Z- A .An cos 2 L'
A*
. sen a L' (a — • cos a £')-+- ^
a-* * '
Ommettendo ancora la quarta potenza dell' eccentrici-
ta, avremo
, T> «T r. A ,1 T, PsenPcos{2V'-^P) ^^,„,A1
a^L ^V i~^cosp''sen{V'-^P)' /J
e le quaiitita L' , A , p\ F'si calcolano colle prime quat-
tro formole sopra (§ i25) esposte.
129. Dalle due equazioni (§§ 27, 40)
„ „, e* /n sen P cos v'\
vs =:z — z' — — sen y ( P -h I
a ^\ cos{u'-^P)/
„ e*r,„ „ „ , _, , , a.cosu'senp'~i
, = ,'^P^^^^(^P_SsenPcos{^v'^P))cos/-^^^j^^^j
si ottiene un' altra espressione della latitudine a indi-
pendente dalla sfera inscritta,' nelT ipotesi die si ne-
gligeiitino la quarta e le piu alte potenze dell' eccen-
tricita .
Col metodo usato nella soluzione prima (§ 124),
facendo per brevita
36
O K 1 A N I
senp
COSJ)'s€ll{o'-^P)- L -' ^ COs\y'-^P) J ?
\ cos(y-+-Pj/»
a jera
'si ha
'^ -t-- = -^/?g. /ang^ [^e«/?^fl/7g(u'-+-P)] — y^ng. tang[senptangv'] ,
da cui si ricava
cos A — sen a cos ^ tang P
e per conseguenza sara
. __ senP{sent,cosP cos{-^->^^.)±i cos ^ \/[sen ( -^-t-i- )'— sen 'Csen P*)]
cos
(i — sen ^^ sen P) sen (37 -h I)
Dunque prendendo Y arco Z' in maniera che sia
cos L' = ^^" ^ [-^^^^ ^ go-y P coj ?T ± co.f f \/{sen •n'-—sen Csen P')]
{ 1 — sen ^ ^ sen P') sen a
SI avra a = L' h- s . -^— , vale a dire
^—L'^-,A\ ~\ , . co5y/(P_3je«Pcoi(au'-i-P)).
2 jen P ( P
je/z P C05 t
co7(7IhP)
;)f
nella qual espressione e senp =. sent, cos L'\sen\)^r=z- ;
2 sen p^ sen Peas 'A
'cos(y'^P)
sen L'
A —
sen ^ tang P
sen m"- (sen L' -+- cos L' cos ( tang P)
m
TniCO>'0]\IETKIA SrlLKOIDICA Zj
\^o. Se r angolo dato C e reito, si potra ottene-
re la latitucline ^ sostituendo nelT ecjuazione (Xlli) il
valore delT angolo 4^ = 90" — u determinato precedeu-
temeiite (§ 55), e seguendo le stesse tracce delle due da-
te soliizioiii (§^ 124 e seg:). Ma noi dedurremo piti
brevenieme la laiitudine / daH'ultima eqnaziotie (§ 128).
Essendo in cpirsto caso F' =: 90" ; /^' = 90° — L' , avre-
mo le seguenti fonnole per calcolare la laiitudine / sui
tre dati elementi ^ = 9o''.P,x, cjnalora non si tenga con-
to delle potenze dell' eccentricita supcriori alia quarta
cos L'= tang P cot m
, cos L'
A =
sen X cos u
cot L
\ cos a /
B = -
sen Si
P' = P —[\] = P -^ sen P cos P
cos L' sen 1 m
1 — sen Z,'* cos P^ sen 2 P
sen P^
A =
n . = P' senL'^ -^2.P
sen m*
a=I,'h--, {seniL'-^A.Ar.)-\-^A.M-lcos2.L'~-jen2.L'{^—costi.L')
2 a a"*
— ~AcosL'Up-^lP'senL''—P'senL'UangL'''^^!:-C^^,\
ax sen P cos P J
^t. A. A sen L' [P' (3 -^10 cos F') — ^Pcos P']
-.A'n\B-^A'tansL'cosi:c)-i--^A\A*asenL''tansL'{P'-'!iPcosP')
a'
38 O R I A. N I
Pkoblema XI
1 3 1 . Dati nel triangolo sferoidico elittico i tre de-
menti, A , P , m, trovare 1' angplo ^.
SOLUZIONE I
Conservando le denominazioni di r , 7? , b- stabili-
te nella soluzione prima del problema X, avremo I'e-
quazione
t^^„.^ , ,)- senQangP ^ a tang P tang l^
°^ ' COS),' —sen a' tang P cos ^ cos{a' ->t-P)-^cos{h'—P)tanghC
Keciprocamente sara
, sen P cos {-^ ■+- a) dr\/ [sea P* — cos A'* 5era(-ir-Ho-)*]
tang -iZ— cos {>.' — P) sen [:!! -^ <r)
Pongasi m-H(rt=w=a;-t-*7^, cosicche sia ir eguale ad una
fiinzione di u, Y equazione o = =j — zi -h * k ci sommi-
niscrera (§§ 43 , 44) il valore di a , cioe
dl'\>nY d'{i>ny
a, a u 2..0 a u
e si mettera nel secondo membro di quest' equazione
^ in luogo di u dopo tutte le differenziazioni. Essendo
poi general mente
— i '■— = m (<^ 11) ( ) ( — 1 )
e dair equazione precedence
TUIGONOJTKTRIA SrEKOIDIOA. 3()
sen t tans P , .
tang K = ; —r^^ 7i avendosi
C05A — sen/i cos ^ tang r
d^_ I
d u cot ^ sen u cos u — sen a' sen u''
., , . . . . di'Vur d' {fur
e evidente clie tutti i termini —^, — —^ — , ,'-,
au a u
d^ (twr r • • 1- o 1 II
— , ,^— >ec. saranno iiinzioni di a,^ e delle costanti
a u
y ^ P le quali si determineranno colla semplice diffe-
renziazioiie. Quindi I'angolo cercato ^ si otterra sosti-
tuendo il trovato valore di u nell' equazione
J sen P cos u zt.\/ {sen P* — cos A'" sen u^)
° ^ cos (a' — F) sen u
1 32. Si cerchi per eseinpio T angolo ^ per mez-
zo dei tre elementi /' , /* , w nel caso clie si trascuri-
no le potenze dell' eccentricita superiori alia qiiarta.
Riteuute le denominazioni di [«] , [a] , a , n adotiate
sopra (§ 125), si avra
A* ^* /\''cosp^'sen2(F'-^-P) ,r, r n\t
•+■ 6 o-e/z/>' [P (a -^ cosp" *) — [ i ] cosp''^] j
40 O R I A N I
e sara i
d C Jert/v' ^/^ -TV ' \ d Z ^ "^ d U
'■^ = 2{Pcos2{P-^-P)-[i])cosp\'!::^f^-'2cosp''[Psen^{V'-^P)
1 dV
—senPsen{%F'-^P)j{-^)
c • ^ • • /<- A 1 • T ^ .sen p'
bostituendo pertanto i trovati (§ 70) valori di — -7-p — ;
d.cosp' dV ,
^-=:Acot^—^A^senjycot<:sen{V'-^Py[i — tangV'cot{V'-^P))
d Z
d n
= A [cot ^ — a A cosp' sen P sen [V -+- P) ]
~~^!i.senp'^cotK\Pcos^{V'-^P)-[\^-^tangr{Psen^{P-^P)
— sen P sen {a, T-hF)) |
= — 2 sen p' cosp' [P cos{F'-+- a P) — sen P cos {F'-\- P)]
Qiiindi se noi supponiamo die C divcnti // allorche
...... ^ ^fi
SI meite u in luogo di u, e sia jn questo caso A = -j— »
avjemo le seguenti forraole per determinare T angolo
cercato ^ :
TRIGONOMETIUA. SFEUOIIHGA. 4 1
., I rr sen P COS m ± \/ (sen P^ — ens y^ sen m^)
cos (a' — P) sen w
a) ^ =.
sen ST ( cos m cot H — sen w sen A')
3 ) sen p' = Je/i // cos a'
jert a'
4) senV
5) A =
cosp
sen p'
6) n =(P— [i]) co^/?'^-+- £-
A
\ ^ .r. i^* r^ cosp'' sen o-il ' -^ P) ,r, r ^.z
7) « = ar -♦- — .An J •' {P—U\)
' ' a 2.'\_ senp' ^ *- ^'
'+-6senp'[p{2,-t-cosp'*) — [i]cosp'^] I
^^^.Acosp''Up{3^8sen{V'-i-Py)—8[i]{i-^!isen{F-i-Py)-\-[a,]\
-t- — , //.A^n' [cof H—nA cosp' sen P sen (P-f-P)]
— ^ /4.A'n5era/?'coj/?'[Pcoi(F'-t-aP)— w/zPcoj{r'H-P)]
nella qual formola e
[i]=senF cos (2 r'-+- P) ; [2] =sen2P cos a (aF'-t- P)
8 ) /flWg 7 t =: ^^" P ^Q-^ « ± y/ (.yg/z P' — coj A'' sen ^^')
C05 (a' — P) 5e« tt
42
O R I A N I
SOLUZIONE 2
i33. Dalla soluzione pmna si hanno le due equa-
sen Pcos ( x -i- - ) -±z\/\sen P' — cof y'sen (n:-*- o-)*]
zioni tang'_.^
cos ( '.' — F) sen {ss -i- a)
, __ sen P cos w rt \/(.fe« P' — f05 >'* je« ro*)
fang i // == , / p, -' .
Onde se ponghiamo
_cLtanglH d\tanglH _d\tanglH
a J ; y — -J — a ; c — - ^ ;
a la am a a
ec.
ec.
e di pill * C = O..S . .
ne verra I'equazione
o = tang i H — tang ^ 4" h- 4> ^
Quindi facendo
avremo (§ 8i)
d^
= {\>"T ; ec.
^=H-^2.t>H.coshH -i '- 1 5 — li_^ — :^ — -+-ec.
a. a. 3
avvertendo di porre nel secondo membro H in luogo
di ^ dopo le ditlerenziazioni.
I 34. Stando nel precedente esempio, in cui si om-
mettono la sesta e le piii alie potenze dell' eccentrici-
TRIGONOIVIETKIA. SFCIIOIDICA. 43
h *
ta, si avra semplicemente <t ^ = a . s- h — '- — , vale a di-
re (§ 1 32)
a a \ senp'
Quindi sostituendo i trovati (§ i32) valori di^> j^ >
mettendo H in luogo di ^, e facendo A = -j— ,B=-, — r»
J. . , . J , B-\-A'tanghH
di maniera che sja a = tj. ; b = — ^^ — ;.
2.C0S :, H a. COS iH
V • o rr rr T rra tlH<\>' tX -COS ^. H'
1 equazione ^ = // -h a 1> i? .co5 J //" h ^-—^
diventera
?=f/^^U.An--^^(-^'^^^^''""-^i^I:^^(F--[.]r-i-6.e;./>'[P(a^co./>-')
44 O R I A N I ,, .,
^^ A. A cosp"* (2 P{3-^8seJi{P -^ Py)-8[i]{i -¥-asen{V'^PY)^[a.]\
.A'n'[B-\-2A'{cotrr—2Acosp'senPs€n{F'-^-P))]
a*
— ^ /<• . A' n senj/cosp' [ Pcos (P -na P) — sen Pcos {V -t- P)]
Delia qual espressione le quantita H , A ,p\V' , a ,n
si calcoleranno coile sei prime formole precedenti (§ i 32),
e jff si avra dalla forniola
B = A'\ senm cos m ( asen a -h 777 ) — cos zm cot H I
L sen n J
i35. Tenendo conto solaiueme del quadrate dell'ec-
centricita, si avra
e'
Z=H-^-,A.An
a
Volendo poi rendere quest'espressione indipendente dal-
la sfera inscritia, bisogiiera prendere un angolo h tale
die si abbia
,, sen P cos vr ztz \/(sen P^ — cos /^ sen w')
tang :' h = ^— ^ '-
cos (a — F) sen w
ed essendo (§ 33), quando si ommettono le potenzc
deir eccentricita superiori al quadrate, /' = a ^ je/za ;i ,
ne verra H= h ^ ^en a a . ( _ ) . Ma I'equazione (§ 1 3 1 )
senh tangP , • • « i 1 *.
tang:!:= " , da cui si e dedotto
cos A — sen A cos n tang F
TflTGONOlMETlllA SFEUOIDICA. 46
il valore precedente di tang Wi , ci da
d A sen /. sen h — cos h "> ^
avremo
^ = /i — - (/J/ 5fn a A — ^ . A n) ;
r angolo k si calcolera coUa formola precedente che da
il valore di tana i A, ed M col valore trovuto di ^— ;
it A
, . . , ,^, sen A
sara in seffuito senp = senhcosx;senV' = >
o * cos p
. I sen p
sen -a [cos m cot h — sen w sen /) ^ 1 — cosp' sen ( F ' -i- py '
n = {P-senP cos (a V'-^-P) ) cosp" -t- ^^^^"^ .
1 36. Anche dalle due equazioni esprimenti i valori
di t; e di ar (^§ 27,40) si puo avere T angolo ^ seiiza
passare per le laiitudini sulla sfera inscritta. Imper-
ciocclje, ritenendo il valore di 2 sopra (§ 139) stabili-
to, nel ca?o che si negligentiuo le potenze dell' eccen-
tricita superiofi al quadrato, si avra C = ^-»-S.( — ) ,
d ra'
vale a dire
K^h^'l^AU \cosf{P-lsenPcos{^J^P\\^ o^enp^ senPcosxTx
. „ r„ senP cos i/' ~\ \
46 O n I A N I
nella qnal espressione le quantita h , p , A si cakole-
ranno coUe tbrmole ora (§ i35) acceniiate, e saia iiioltre
sen A sen p
sen I/' = i A = ;: i -- ^Tj •
cos/f i—'Cosp sen{u' -+- F)
P U O B L E M A XII
1.37. Dati nel triangolo sferoidico ellttico i tre ele-
menti ^,0,/, trovare la laiitudine cp.
SOLUZIONE
La soUizione di questo problema e facilissima ,
poiclie cliiamando a' , cp' le latitndini sulla sfera inscrit-
ta corrispondenti a ^ , «P, V equazioae (XIV) ci da im-
mediatamente
sen t I
COS (P' = : COS A'
sen 9
e dal valore di <p' si dedurra (§33) quello di 4). Se
poi si vuol presciiidere dalle latitudini sulla sfera iii-
scritta, 1' equazione (§ 22)
sen !^ cos ^ / i -4- A* cos 0'' \
cos (p \ I H- A^ cos a' /
sen
ci dark
* sen t
cos <P = i COS A
sen d
1 38. Ci resta ora da mostrare che le soluzioni dei
TKIGONOMrTUIA Srr,K01I)I0\ 47
dodici precedenti problenii bastano a risolvere i venti
casi clie si possono proporre in uii triangolo sferoidico
elittico. La 1'avola seguenie contiene I'indice di questi ca-
si, ed ill essa si rileva die le soluzioni del 3^° e del 4 ° si
deducono dal caso 2 °, ovvero si hanno mediante I'equa-
zione (XIV), vale a dire sen^= — ^sen b;cosx'= — -cos^ .
^ ' cos a' se/i<^
I casi 6,9, 12, i5, 18, 20 rientrano ne' casi rispetti-
vamente precedenti 5 , 8 , 1 1 , 14 , 17 , 19 cangiando 9
in 180°—,^, cp in A e viceversa. Possiamo dunque con-
chiiidere, clie iiei proposti problemi si comprendono tut-
te le principali questioni della trigonometria sferoidica.
43 O R I A N I
I N D I G E
DEI mOBLEMI
DELLA TRIGOMOMETRIA SFEROIDICA
Elementi dati
Elementi cercati
I
•^ 5 tP 5 C
P^TB ,h dal problemu I
a,
A , (p , 9
P,37,f dal I rnutando $ in A, 9 in i8c" — f e viceversa
3
A , ^ , «
^ dal XII . P,=i dal I
4
^ , C . 9
AdalXIImutando$in A,9in 180"— ^ ; P, w dal I
5
A , C > ^
$ dal II; w J 9 dal I
6
c?) , fl , P
A come 5*°mutando <J> in A, 9 in 180" — ("e viceversa
7
A , cf) , F
^ dal III ; ar , 9 dal I
8
45 , ^, ^
A dal IV ; 0 , 9 dal I
9
A , 9 , P
<p come 8''° mutando A in 4) , 9 in 180" — ^
lO
^ , ^ , p
A dal V; $ dal XII; =r dal I
1 1
A , ^ , =7
(p dal VI; P, 9 dal I
la
C? , 9 , 07
A come 1 1""" mutando:pinA,9iui8o° — ^evlceversa
i3
A , Cl) J a?
^ dal VJI ; P , 9 dal I
'4
Cp , ,^ , sr
A dair VIII; P J dal I
i5
A , 9 , TiT
$ come 14""° mutando / in 4) , ^ in 180" — fl
i6
'7
: , 9 , »•
A dal IX; cp dal case 3^°; P da 11
C , P , =:
A dal X; $ dal II; 9 dal I
i8
9 , P , u7
(J) come 17"° mutando A in cp , ^ in 180" — 6
'9
A , P , ST
4' dall' XI; $ dal II; 9 dal I
ao
(p , p , ^
9 come 19""* mutando <J) in A , ^in 180° — fl
TRICONOMETRIA SrEROIDICA. 49
Neir ultima coloiina dl questa Tavola sono indicati co'
Humeri romani 1, II, 111, ec. i problemi donde rica-
vansi i tre elementi iucoguiti. Cos\, per esempio, nel
caso 5.'° dati i tre elementi >> ■> K •> P , si trova in primo
luogo (|) col projjlema II, in seguito dagli elementi
>^ ■> K i<P si trovano ^ , 9 col problema I.
139. Ma, dirh forse taluno, non si potrebb' egli
nel citato caso 5.'" trovare 1' angolo 9 per mezzo dei
tre elementi a , ^ , P senza esser obbligato a cercare
prima V elemento (p? Non v' ha dubbio che cio si pos-
sa fare. In fatti, avendosi (§ 88) Y erjuazione
. cos t cos (P — r) — tans, >: sen iP — r) , ,
cot 9 = — :! i '- -2. 1 L , col metodo
sen ^
iisato nelle precedenti soluzioni si otterranno le spguen-
ti Ibrmole per caicolare 1' angolo fl su i dati elementi
^' i K ■> I' allorche si negligentano la sesta e le piii alte
poienze dell' eccentricita (*)
\ X ri COS Z cos P — tanii, /' sen P
I ) cot G = ^= 5
sen ^
» . ('^G sen C {cos ^ sen P -^- tang x' cos P)
3) B =C^AS) — ^enGcosG{i-+-a.A')
4) sen p' = sen ^ cos \'
(*) In vccc della formola i ) si possono usaie le due &eguenii
tang ? = CO. ^cot a' ; coi H= ^^tlscn(i-P) _
icn I
So 0 11 I A N I
sen A'
5 ) sen F= :
6 ) cos V = tangp' cot G ; oppure V = V -^- P
7) fl = G--l^co5/7''(/'-[!])-+-^^co5/''''('4^-^6[i]^-[a])
A* „ . /r, r TM A* .i/n r T.senv'cosD'^cosQ.V
avvertendo che si Iia
[\]=senP cos (a F' -<- P) ; [a] = 5en a P coj a (a F'h- P)
140. Nella citata equazione
costcosiP — t) — tansysenlP — r) . . ,
cot^= — ^ ^ ^ pongasi d>' in luo-
sen ^ r D
go di a' , ? in luogo di i8o* — 9, e viceversa, avremo
cos^cosiP — T)-*-tane(p'sen(P — r) , ...
cot^= ^ —^-^ , da cui SI ricava
sen 9
,. — cos(^cos(p' dt\/ [cos(p'^—sen(:^sen(P — t)*1
tans i 9 = ^ ^-— t — .: 5 LJ. .
^ "■ sen ^ cos ((p' -i- P — r )
Si potra pertanto nel caso 8.''° dedurre 1' angolo 9 dai
tre dati elementi cp' , ^ , P colle seguenti forniole, qua-
lora non si tenga conto della sesta e delle piii alte po-
tenze dell' eccentricita (*)
(*) Per r uso de' logaritmi in luogo della formola i ) saranno piii c««
mode le due seguenti
« - „ tang P sen f
tang i^z= cos P tang ^i jcre(C — {)= — - •
TllIGONOMETUlA SFEROIDICA 5 1
^cos?:cos(i>'z^\/{cos(p>^—sen^^senF)
' ) f^"SiG= sen^cos{<f'-^ P)
a) J = '-^ -{tang<p'^cosGtangP)
' I ■+■ cos G tang (p' tang P
3) B — ^^ \AtangP{'xsenQ-^Atang^')
' i-i-cosGtangqi'tangPi-
__coi_01_j p
4 ) sen p' = sen G cos <p'
5 ) cos V = tnngp' cot ?
6 ) sen V = ''^^, ■ ovvero T = F' + P
' cos p
7) a = C--,//co^/7'^(P-[i])-+-^^co^;?"'(i4^-'6[i]h-[2])
^-A'cotGcosp'\{P—[\])[senp'^tangVcosQ, F—cotVcos-i V)
141. Essendosi trovata (§ ii8) nel proWema IX
1' erjliazione cos 9 = cos ^ cos {m -+- a) — sen ^ sea (sr ■+■ e)senx'^
nrlla stessa ipotesi, in cui si omniettono le potenze
dtr-ir eccentricita superiori alia qnarta, potremo nel ca-
80 1 1. 'no ricavare immediatameiue I'angolo 9 dai tre da-
ti eleinenti /^' , ^ , ^^ colle seguenti furmole (*)
CJ Alia formoia 1) si possono sostitiiire ([uc^te due
^ cos u- cos ( r + f )
tang I = sen \ tang o; cos G = -^— — :
sen f
52 O R I A N I
1 ) cosC=cos ^ COS rz — sen ^ sen m sen a'
J /-I
2 ) A = — ^ = COS <f sen a? -+- sen ^ cos x sen a'
it ^
3) B ='^-^ = cotG{i-A')
(I m
4 ) senp'= sen ^ cos A'
r X ,„ sen a'
5 ) sen I =
cos p'
6 ) cosF= tang p' cot G
7 ) fl=G-t. f- -H^(i -+- senp'')! A{V— V')senp'-^ - A sen p' cos p'^lil
142. Cangiando a' in $' , f in i8o° — 9 e vicever-
sa nella medesima equazione del problema IX, essa
diventa cos f = cos ^ cos {s -^- a) -^- sen ^ sen {:s H- ^ ) sen ^' ,
doude si ricava
tans. ' 5= ■^^^^'•^^"(°^-*-°')— v/[-y<'"r — <'O'y0''-?e^(g^-»-<r)n
CC/i i(^ -t- COi { 3 -I- (t)
Quindi nel caso ^.\P'> si potia ottenere T angolo fl dai
tre dati elementi $' , ^ , sj usando le formole seouenri
qiiaiido si tralasciano le poteiize dell' ecceiitricita supe-
nori alia qiiarta (*)
(*) L aiigolo C si calroleiii piu I'acilincnte co" lojjaiitmi sostiiueiido
alia foriuola i ) ie due segiienti
tang 5 = sen p' tang u ; cos{C-^)=, £2lL^2L^ .
CO.* a
TRIGONOMETRIA Sl^EROIDICA. 5$
.^ .„ setKP' Sin w ± \/ {sen ^* — COS (p* sen w^)
cos C -*- cos 37
, . dG sen $' — tang w co^ G
a ) A s= - — = 1 S—-
aw I — /flrtg ar cot G sen (J)
„. „ ddG i — /isen<p' jAiangw cot G\
da^ i—tangmcotGsen<^'\ senG'' cosm^l
4 ) sen p' = sen G cos <p'
5 ) cos F' = tang p' cot %
, V ,r sen (p'
0 ) sen V = 1-
cos p'
7 ) « = G -^ [- -H -^{i^senp'')'\A{V— V')senp'-\- -^ A senp' cosp'\ [i]
{V-F'Y senp'' { B -^- z J' cot G)
-^A'{F—V')tangp'\otG{senp''tangV-i-cotF')
e*
a»
e^
143. Queste soluzioni dirette pero non abbreviano
noraliibnente il calcolo dell'angolo 9, poiche dal pre-
cedente indice de'problemi e dalie date soluzioni di es-
si e manifesto, che ci fanno solamente risparmiare la
forinola sen6 = sen ^ la quale, essendo semplicissi-
cos(p ' ^
ma, co' logarirmi si calcola farihnetite. Altronde acca-
dera rare volte, che dai tre dati elementi abbiasi a ri-
cavare un solo dei tre elementi incogniti; il caso piu
fre(]uente sara quello, in cui si dovranno determiua-
54 O U I A N 1
re tuttl e tre, ed allora coiivcna attenersi alle regole
acceimate nelT iiulice de' pioblciui.
144. Abbiaiuo dato solaineute due soluzioni di cia-
scun probltfm.i, ma ognuno vede facilmente che sd ne
potevaiio dare tante, quante sono le funzioni coUe qua-
li si puo esprimere Telemento cercato. Cosi, per esera-
pio, nel caso 5'<*, in cui si cerca (p per mezzo degli e-
lenienti a,^,P, abbiamo determinato V=Jng.sen\ — — , f
Leo* p J
nelVunica soluzione data del problema TI, si potevano
pero aggiungere due altre soluzioni analoghe a quelle
de' probiemi precedenti, serveudoci dell' equazione
sen <p' =^ sen ^' cos [P — r)-^cos ?^' cosZsen{P — t). Una quarta
soluzione si avrebbe cercando (§ 139) prima fl, e de-
1 • • ^1 in • . senp'
termmando m seguito <^ coll equazione cos<^= — *—.
seny
Anzi si poteva variare la soluzione data in maniera da
ottenere il valore di F sotto la forma, a cui 1' abbia-
mo ridotto posteriormente (§5i) nell'esempio di quel-
la soluzione.
145. A compimento di questi elementi dovremmo
era applicare le formole trovate ad alcuni casi pratici,
ma oltreche Tapplicazione e per se stessa facilissima, ne
abbiamo gia dato altrove (*) qualcbe esen)pio. Giovera
(*) Monntlidie roirespondenz zur beforderiing der Erd und •Hiramels-
Kuiide , liriauff;c};eben vom Freylierrn F. von Zarh. XI Band. Gotha i8c5.
Ellcoiefidi astronoauche di Milauo per gli aoDi 1807, ^^^^ ^ segu.
TRIGONOMETUIA. SFEUOIDICA 55
pero notare, clie le qnantita indicate colle lettere y/,-ff,
p', F^', F,\q cjuali euirano ne' termini mokiplicati nelTec-
centricita snpposta assai piccola, possono valutarsi sola-
mente in gradi ed in minuti primi, ovvero fino ai mil-
lesinii dAV unita. Ma e;li archi o angoli espressi dalle
prime ed ultime formole negli esempj delle soluzioni
prime dovendo calcolarsi con maggior esattezza, conver-
ra per I'uso de'logaritmi servirsi delle note regole del-
la trigonometria sferica, le quali ne'proposti problem!
si riducono alle seguenti .
(S 73) . . . . tang .^^ / ^^^-(^'-4)'-HF)co.^(y^4)'-^PL
(S8o) tans'^^cos^tangP ; sen{L' -t-k)='J!l^^
cos F
(5 89) ... . tang^=cosPtang^ ; iting L' = — -^^^U </
sen^
Sostitnendo ? in luogo di P si avra nella prima for-
niola tang { ^ invece di tang\H , e nelle altre si avra a*
invece di L' . Parimente sostitnendo nelle formole se-
guenti u in luogo di sr, si avranno <^*>Ki^' invece di
F \ H, L.
(§ 97) . . . . tangl^sen>nang^ ; tangF' =^^^ll^I^!^±^
sen ^
(S io5) . . . tang i=cos^ cot $' ; tangH= -"J ^ ^^" '
COs{a'-^-^)
(Sin)... tang^=cos =r cot^ ; cos{L'-^^)=*^!l^LlJf!!J
tangZ
■30 O R I A N I
Mettendo nelle seguenti formole a in luogo di w, si a-
vranno a' , ? invece di L\ H.
(S iiS) .... tangk^cosKtangP\ cos{L' ^^)=^.^!lll^^
,« «. . I. ITT ,\ cot f^' sen ^
(5 182) tang^^—senx'tangis ; sen{tI-i-^)= --
Nel tempo stesso die si calcola sopra queste regole la
prima Ibrinola di ciascnn eseinpio, si potra aumuMuare
P ovvero ^ successivarnente di nno e poi di due miiiu-
ti prinii, donde si ricavera facilmeiue la variazioiie ri-
suliante neli'angolo //, o L' , o F\ e rpiindi se ne de-
duira J, die esprime il rapporto del la vanazloue di
P, o di ar a quella di //, o di L', o di F ;. e dalla
differenza di A si otterra ancora il valore di B.
146. Per chi vorra esercitaisi in qnesti calcoll ac-
cenneremo tutti gli elementi d' uii dato triaagolo sfe-
roidico. Ritenendo pertanto le diniensioni ddio sferoide
tcrrestre sopra (§ i5) stabilite, suppongasi die il trian-
golo sferoidico venga formato dal meridiano di Cadice,
dal meridiano di Pietroburgo, e dall' arco terrestre die
misura la via brevissima fra queste due dtta, avrexno
A :
=
36"
3a'
i"
>
//
= 36"
27'
6" ,
<P
=
59
56
a3
>
<f'
= 59
5i
55 ,
OX
■:—
36
35
45
c
; 33
17
^7 :
>4
TIUCONOMETRIA SFER0ID1C\ 5?
e = 61" 33' 58" , 5
P= 33 8 a6 , 5. Via brevissima = 1886465'"% 3
Onde immaginando che sieno dati tre di questi elemert-
ti, sara facile il verificare coUe date soluzioiu i tre al-
tri elementi.
1 47. AUorche si suppone 1' eccentricita eguale a
zero, lo sferoide elittico diventa una sfera , e non ri-
mangono per la soluzione de' propnsti problemi , che le
formole indipendenti dall'ecceiuricita, cioe quelle stes-
se die servono alle soluzioni de' triangoli sterici. Per
conseguenza la trigonomeiria sferica non e che un ca-
so particolare della trigonometria sferoidica. Le tre e-
quazioni fondamentali nel caso di e = o, souo (§§22,27)
,.„ A cos A ^
sen 6 = sen ^
cos <p
■a ■=.z — s'
la terza delle quali diventa superflua, poiche nel trian-
golo sferico non e necessario che uno degli angoli sia
in un punto determinato, ovvero nel polo come nel
triaiigolo sferoidico. Anzi siccome dalla seconda equa-
zioue si ricava (§ 72) la formola
cos^
sen (J) — sen > cos P
cos A sen P
la quale, chiamando i tre angoli d'un triangolo sferico
A^ B, C corrispondenti a ?, 180° — fl,ar, ed 1 tre lati
rispeitivamente opposri a,b,c corrispondenti ago" — <?>,
90° ~ / , P , si cangia in
T. IL P. IL 8
58 O R I A N 1
-«. A COS a — COS b CCS c
cos A =
sen U sen c '
questa sola forinola ci puo dare la prima
sen B = sen A e tutte le altre della trisonometria
stn u o
sferica, come ha elegantemente diraostrato il sommo
geometra Lagrange.
•"
N>- q ui
N^
-Q-
59
CONTINU AZIONE
Delle osservazioni e sperienze sopra la teoiia
della resistenza de Jluidi del sig. Juan
Di GiustrPE AvANziNi
riccvuta il di priiuo d'ottobre. i3o8
38. J_ja teoria della resistenza de'fluidi del si'g. Juan
non si restriuge alia sola ipotesi finora consideraia {aj
che il solido sia totalinente, e indefinitameqte iinmer-
So riel fluido. £ssa si estende anche al caso che il so-
lido non sia tutto immerso, e che la porzione ch'esce
dal Huido non sia minora dell' altezza, alia quale in
tale circostanza deve il tluido innalzarsi davanti al so-
lido. L' esame di questa seconda parte della teoria di
Juan, tanto importante per 1' applicazione che ne fe-
ce alia scienza del moto dei bastimenti, forma il sub-
bietto delle seguenti osservazioni e sperienze. In es-
se noi fareino uso del metodo seguito nelle preceden-
ti rivogliendole alia discussione tamo dei principj teo-
(a) 1st. Naz. Tgrn. 2. di Fis. c Mat. P. 1.
60 A V A N Z 1 N I
retici, qiianto degli sperimenti ai quali I'illustre Geo-
metra appoggia la sua leoria. ^
39. Egli iiicomincia dalla supposizione che il so-
lido sia un parallelepifjedo rettangolare che si muova
orizzoiitalmeiue, e in direzioiie nonuale alle facce aii-
teriore e posteriore, e con velocita o iiguale, o niinore
dclla lungliezza del parallelepipedo inedesinio. In qne-
sta ipotesi egli trova che chiarnata u la velocita del
parallelepi|)edo, b la Innghezza, « V altezza a cui tro-
vasi imtnerso, la resisteuza ad esso solido opposta dal
lluido debba essere ^_^
m b , , — u* , TJX
40. Questa formola e dedotta immediatamente da
due supposizioni; cioe che la pressione esercitata dal
fluido contro la faccia anteriore sia
mbi-i'-^ !^t -«- — «'' f H -) . . . . (t), ed
a b ^ 64 0.04"' ^ "
a ^ 04 0.64" ' ^ '
quella contro la faccia posteriore. Di fatto essendo la
resistenza, siccome abbiamo altrove noiato (§2), la
ditl'erenza delle due sopraddette pressioni, sottraendo
la seconda (t') dalla prima (t) si ottiene appnnto Tes-
pressione . . . . {/?). JNoi ci faremo quindi ad esami-
nare i principii coi quali Juan dimostra le formole
41. Supposto gc (fig. 1*) il profilo del parallele-
pipedo, XZ \\ livello del fluido, e percio ^ c la por-
6ULLATE0U.DELLA RESIST.DE'fLUIDI DI JuaN 6 1
zione immersa del parallelepipedo stesso, PF 1' altez-
z.i dell' intiimescenza del iliiido, le ipotesi sulle quali
e foiidaia la forinola (t) sono i*. che la pressione con-
tro uii rettangoletto b d t della faccia anteriore Pc sia
mbde{^ e^lu)\ ovvero m h d i {^~7 -\- ^liY
supposta /i r altezza dovuta alia velocita u. 2*. che il
fluido s' innalzi di tiuta la P F = r- u \ V. che la
64
pressione contro un rettangoletto di P F d\ altezza
</ 1', e distante da Z' della quantita «' sia
Tw^i c' (—v/ 1' -+--«)' . Di fatto integrando la formola
mb di{\/ 1 -^ ~uy si ottlene per la pressione contro
tutta la Pc
7nb{- -*-—-\/ 1 -^ ^—^)-^C .La costante second© Juan
deve esser tale che, fatto f = o, la pressione si ridu-
ca a quella esercitata dal fluido contro P F. Per ri-
trovarla egli passa all' integrazione della formola
mb dt' { — >/ c' -i--iiY che ritrova
o
"»*('— — ~*'\/''-+-^''"' ), e sopra tutta la PF^
mb(ILEl^'.u,PF^'FF^± PFu'}-m3L per la 2\
6a AvANziNi
ipotesi P F = j-ru" , dunque sostituendo si ottiene
-7 — -— per la pressione contro PF; e percib la pres-
sione contro tutta la cF sara
mb{i-^"'^ !^i^^_JL_) cheeappunto la for-
inola (t) .
42. Quanto alia prima ipotesi, cioe die la pres-
sione contro un rettanKoletto b de sia
,— I
mb d e {y/ e-i--uY si osservera ch' essa ne contiene
o
altre due. 1'. che il fluido non abbia altra velocita, se
non quella clie nasce dalla pressione della colonna so-
Traincombente , e la velocita u del parallelepipedo.
2\ che la pressione sia uguale al quadrato di v^ * -♦- 5 "*
Ora vedremo che tali ipotesi non sono conformi ne
alia ragione, ne all' esperienza.
Per cio che spetta alia prima, considerando atten-
tamente il moto che concepisce il fluido innanzi al pa-
rallelepipedo ac (fig. 2') si osserva i"- che un filo flui-
do, per esempio Y*, a qualche distanza dalla faccia
«c, come in V, si divide nei due fili v «a',vT'c, lascian-
do lo spazio a ^ t' ripieno di fluido stagnante. 2"* che
gli altri fili si piegano per aa' ec. S' S ec. t' e ec. Don-
de apparisce che il solo fluido davanti alia a t' avra
le due velocita sopraddette, ina che il fluido davanti
SULLA teor.dellaresist.dl'fluidi di Juan 63
alle porzioni aa',TC oltre quelle velocita viituali ne
avra una di reale e parallela alia faccia a c.
Rij^uardo alia 2" ipotesi, dai ragionamenti del § 3i
rimane evidentemente dimostrato che la pressione con-
tro un diderenzio-dinereuziale si della porzioiie a t',
come della aa\ e t'g non deve gia essere espressa
iudistintaniente come vuole Juan da una funzione del-
la sole £,M, e che questa funzione non puo essere il
quadrato della somma di \/ 6-^^u. Nulladimeno a to-
gliere anche il sospetto, che malgrado cio potesse pu-
re essere ainieno prossimamente vera la formola di
Juan perche essa avesse pochissimo a differire dal va-
lore delle sopraddette funzioni qudunque sieno, ho
voluto consultar gli speriuienti. Prima pero di espor-
ne i risultati, e fame il confronto con la formola, fa
d' uopo conoscere gli artifizj coi quali s' istituirono.
43. gc fig. 3*. e una (assetta rettangolare di le-
gno forte e bene stagionato, e si fortemente coniiessa
che, rimanendo nel tluido non abbia a sortrire sensibile
alierazione nella figura. E e, Ee, (fig. 4'.) sono due pez-
zi di ottone terminanti in due lamine rettangolari FF^
ff^FF,//, e normali ad essi pezzi £e,Ee. La casset-
ta e stretta fra le due lamine//,/"/, col mezzo di quat-
tro viti, come lo dimostra la fig. 5." Le altre F F^FF
sono utjite ai due parallelepipedi G H,G If (fig. 2.' ta-
vola 2. mem*. 1'. Nuove ricerche ec. ), scorrevoli tra le
due liste fc.f'c', (fig. i'.) immerse a tale profondita
nelVacqua da lasciare fuor d'essa quella porzione del-
la cassetta che piu piacesse. '
Mediante i due pesi motori P,P (fig- i'- c^f^e
64 A V A N Z I N I
sopra) moventi i paiallelepipedi G H,G H ^ lungo le
sopiatldette liste si fece correre la cassetta per I'acqua
del canale descritto al § 10. e seguenti della mento-
vata memoria.
44. A renderml certo che la cassetta si avesse o-
rizzontalmente ebbi 1' avvertenza di assicurarrni ben
bene che le liste, sicconie pure la faccia superiore ga
della cassetta medesima (fig. 3'.) fossero orizzontali, os-
sia parallele alia siiperficie dell' acqua perfettaniente
tranquilla. Essendo poi le lamine FF^FF, nonnali
ad e E , e E, (fig. 4'.) ed e E^e E a squadra colle fac-
ce laterali g c, nm (fig. 3'.) e fuor di dubbio che
anche le facce ac^no^ anteriore e posteriore, dovran-
no essere normali alia direzione del loro moto.
4.5. A muovere la cassetta con velocita uniformi e
differenti tra loro, feci uso del metodo descritto ai §§
14 ec. della citata memoria.
46. Assicurato che in tal modo il parallelepipedo
moveasi come lo ricliiedeva il caso considerato da Juan,
non mi rimaneva se non di rinvenire V artifizio per mi-
surare le pressioni dell' acqua contro i diflerenzio-diffe-
renziali, ossia porzioni piccolissime della faccia anterio-
re a c. A quest' uopo riputai convenieniissimo 1' ordi-
gno gia accennato (§5) del sig. cav. Dubuat; facendo
nella faccia anteriore del parallelepipedo un foro lun-
go la linea che la dimezzava verticalmente, del dia-
metro di due linee, ed apy^licando ad esso un tubo ri-
curvo mno (fig. 5\) aperto in tutte e due I'estremita.
Scorgesi chiaramente, che se la cassetta tuffata nell'a-
cqua tranquilla fosse ferma, I'acqua salirebbe nel brac-
cio mil lino al proprio livello, ma che movendosi la
SULLA TEOR. DHLLA RESIST. De'fLUIDI Dl Ju\N 65
cassetta, I'acqua contenuta nell'altro braccio no urte-
ra continuaiuente Tacqua esteriore, o cio die torna al-
io stesso, r acqua esieriore preinera in o V acqua del
braccio on, e iara salire quella del braccio n m ad
una tale altezza sopra il deito livello, die il peso del-
la colonna d' acqua di quesc^ altezza, e di base ujua-
le alTarea del foro o, eqnivalga all'indicaia pressione
deH'accjna esteriore contro o.
47. Posto cio e manifesto die per trovare le j)res-
sioni conveiiiva misurare esattamente V altezza a < ui
doveva salire 1' acqua nel tubo. A quest' og2;etto mi
servii di un piccolo cilindro a (iig. 6".) di sugbero gal-
leggianie sull' acqua, e portanie un fusto ac di paglia,
il quale passando per un foro aperto in un coperchio,
die diiudeva I'estremita m del tubo, dovesse ascen-
dendo 1' accjua salire verticalmente senza inclinarsi or
verso una parte, or verso 1' alt ra del tubo. A I coj)er-
diio si uni una laminetta es divisa in qnarti di Imea.
Giunto il parallelepipedo al moto uniforme si no-
tava r altezza a cui era salita I'estremita c della paglia,
indi fermavasi la cassetta, e riacquistata dall accpia la
sua perfetta quiete notavasi lo spazio per cui la stes-
sa estremita c era discesa. JNiuno potra certamente du-
bitare die un tale spazio non sia precisainente 1' al-
tezza alia quale il fluido s'innalza sopra il proprio li-
vello a cagione, come si disse, della pressione del llui-
<lo esteriore.
48. E percbe non rimanga timore alcuno su T e-
sattezza di un tale metodo giovera rammentare i^ die
pervenuta la cassetta al moto uniforme, il galleggian-
te rimaneva costanteniente air altezza cui era salitOj e
T. II. P. n. 9
66 A V A N Z I N 1
CIO in virtu del moto fisiraniente uniforme procciirato
al solido inecliante gli artifi^j clesc ritti al § i^. mrin.
1*. JSuove riccnlii\ ec, e tiello s[^azio ch^* percorrtr-va,
fisiramff.te anch'esso parallelo ala siiperlicie drl livfl-
jo del Huido. 2". the lo spazio percorso da I la cassetta
uniforniemeiite, riinanendo il galleggiaine coutimiamen-
te alio stesso sito, era di 20 e piu piedi. 3^ die aii-
mentaiido o dimiiaiendo alcuii poco la velocita del
solido, si aumentava, o diminuiva in proporzione anche
I'altezza a cui perveniva il galleggiatite; d die mostra
dr esso non incontrava nel salire e scendere ostac-olo al-
cuno. 4°. die per assicurarmi della prerisione nella mi-
sura dello spazio percorso dal galleggiante, inoliiplicai
ciascuna sperienza dieci e piu volte.
49. Dal fin qui detto non apparisce evidentetnente
die se la formola m d hd^ ( y/ 7~-+- \/"A )' della pressione
rinvenuta da Juan e la vera, essa dovra trovarsi uguale
alia pressione dello sperimento, die e quanto dire, the
(v/t -<- \/~fif dovra essere uguale alia soniina della di-
stanza e del foro o dal livello del tluido, e delPaltezza
del galleggiante sopra il livello del fluido esteriore? Le
seguenti tavole presentano ii confroiito di lali pressio-
ni e ie loro djflere«ze.
SULLA TEOU. BELLA UE31ST. DE' FLUIDI D1 J UAN 67
Immersione
Velocita u
Altezza h do
vuca alia
12 poll.
1^ piedi in i"
velocita w, lin. 2,17
Mtezze e
Pressioni dello
Pressioni
Diffcrenzc
sperimento
della formola
di Juan
Linee
Linee
Linee
Linee
I 32
134 , 80
168 , 04
-t- 33 , 24
lao
123 , 33
164 , 57
-H 3l , 2zf
108
III , 5o
14© , 57
-H 29 , 07
96
99 ' 5o
127, 17
-^-27,67
84
87 , 5o
113,17
-4- 25 , 67
72
75 , 5o
99 '^^
-+- 23 , 73
60
63, 5o
84.97
-H 21 , 47
48
5i , 60
70,57
-H 18 , 9-
36
39 , 7-5
55,77
-4- 16 , 02
24
27,80
40 , 57
-+- 12, 77
68
A V A N Z I N I
II
Immersione
Velocita
Altezza dovuta alia
12 poll.
:t piedi in i"
velociia. 4
lin. 40
Altezze €
Prcssionl
sperbnemaU
Pressloni
dclla formola
dl Juan
Differenze
Linee
Linee
Linee
Linee
l32
i35 , 25
184 ,40
-»- 47 , i5
120
126 , 00
1 70 , 40
H- 44 ,40
io8
114 , 25
i56 , 00
-+-41,7^
96
102 , 25
141 ,60
-+- 39 , 35
8 +
90 , 25
\2() , 80
-H 36 , 55
72
78,25
112 ,00
-H 33,75
60
66 , 25
96 , 90
-H 3o , 65
48
54 , 33
81 ,60
H- 27 , 27|
36
42 , 40
65 , 60
-4- 23 , 20
24
— .
3o , 5o
49 ^00
-H 18 , 5o
1
SULLA TEOU.DELLA RESIST. DE'fLUIDIDI Juan 69
III
Immersione
Velocita
Altezza dovuta alia
12 poll.
2 piedi in 1"
l
velocita. lin.
5, 36
Altezze e
Prcssioni cltllo
speriniento
Pressioni
delta formula
Differenie
-
di Juan
Linee
Linee
Linee
Linee
l32
i38 , 00
190 , 96
-+- 52 , 96
120
128 , 00
175 , o5
H- 48 , o5
108
1 16 , 25
161 , 12
^ 44 , 87
96
104 , 33
1 46 , 76
-H 42 , 43^
84
92 , 33
i3i ,76
-+- 39 , 43^
1 ^^
80 , 33
116 , 56
H- 36 , 23
60
68 , 3.3^
loi , 36
H- 33 , o3
48
56 , 33
85 , 36
-•- 29 , o3
36
44 ■> 5o
68 , 96
■^ 2^ , 46
1
24
32 , 60
52 , 20
■+- 19 , 60
70 A V A N Z I N I
Una si grande disparlta tra le due presslonl sopra
ognuna delle dieci porzioncelle della faccia anteriore
del parallelepipedo , deve al certo convincerci che la
formola di Juan e ben lontana dall' esprimere la fun-
zione che rappresemi le vera pressioni del tluido.
5o. Passiaino ora all' esame della seconda ipotesi;
cioe che 1' altezza P F (fig. i". ) del fluido sia eguale
ad j-.u-
La pressione, dice il sig. Juan, sopra un rettafi-
goletto b d i preso alia distanza f sotto il livello XZ del
fluido e
m b d e {y/ e -i- -uy
o
Nel colmo F la pressione dovra esser zero, e percio
mb d £ (\/ i -i — uV =iO
8
quindi \/ £= — - m espressione , soggiunge egli , riella
quale il segno negative indica che il pnnto al quale cor-
rieponde il valore di e e al di sopra, di P origine di e.
Quadrando 1' equazione
v't = — ru, si ottiene e=—-u' altezza di P F. fa)
Sopra tale ragionamento si osservera 1°. che la pres-
sione sopra un rettangoletto bds della superficie imtner-i
(iy § 5i;4 deir opera citata.
SULLA TEOR.DELLA RESIST. De'fLUIDI 1)1 JuAN 7 I
sa e ben diflerente (^§43, 49) da mbcU ( v/^-t-- a)'.
2^ clie se la pressione sopra il detto rettangoletto fos-
se anche (piale vieiie siipposta da Juan, da cib non se-
guirebbe tlie nel colmo del lluido dovesse essere
V'« = ~ o II. Per dimostrarlo bastera che ci ricordiamo
o
clip, secoiido Juan, y/l esprime la radice dell' altezza
del lluido sopra il rettangoletto bd^, ossia la veloci-
ta con la quale il llmdo clie e al contatto del suddet-
to rettangoletto penetrerebbe a traverso di esso a cau-
sa della pressione del fluido che gli sovrasta. Ora al
colmo del fluido essendo zero quest' altezza c, ed ivi il
fluido essendo pure urtato, o premuto dal parallelepi-
pedo con velocita a, che e quanto dire, die dove c
zero la f,a continua a ritenere un valore finito, non
si potra giaminai suj)porre clie nel colmo del fluido
possa essere N/t=— -m, poiche allora una quantita
picciolissima , o zero dovrebbe essere uguale ad una
quantita finita. IVIa si obbiettera forseda taluno essere
pure verissimo che supposta w 6 1/ . ( \/ * ^- - m)' la pres-
sione sopra un rettangoletto della parte iininersa P c ,
la qnal pressione nel colmo dr^bba essere zero, a ren-
derla tale sia di uecessita che \/~ divenga uguale
a -'-u.
La risposta e facilissima. Secondo i principj di Juan
neir equazioiie v/~= — 5 u il segno — deve signiGca-
o
72 A V A N Z I N I
" -"1
re soltanto, die a rendere zero la pressione
m b d e (^y/ e -i- - u)' conviene che le due velocita, cioe
quella dovuta alia pressione della colonna dell' akez-
za £ del fluido, e 1' alcra - a, in luogo di avere dire-
zioni opposte cospirino entrambe ad uno stesso scopo,
ed una delle due sia uguale aU'altra. In fatti egli e in-
dubitato die allora la velocita y/ ^ -^ - u di urto di-
verrebbeY/T— 5 u, ed essendo, per ipotesi, y/T=o ^*
la pressione sarebbe zero. Ora una tale cospirazione
ed uguaglianza si verifica bensi, come vedremo, die-
tro al parallelepipedo, ma non giammai nel fluido in-
nanzi ad esso. 3°. finalmente che supposto pure che
nel colmo del fluido sia, come vuole Juan,y/T= — «"»
il segno — annesso alia x a ben lontano dal dover in-
dicare che il punto F sia sopra P, dimostra all' op-
posto che esso punto dovrebbe essere di sotto. In fat-
ti perclie \/ ' = — ■« w potesse provare che il valore di
f deve essere negativo cioe sopra P , non e egli evi-
dente che dovrebbe essere negativo non gia il valore
di v^ < , ma bensi qnello di <? Ora lo stesso Juan tro-
va f= — a', vale a dire « positivo; dunque essendo-
dULLA TEOll. DELLA UESIST-DeVlUIDI D1 Ju AN yS
si preso i positivo disceudendo da P, y/ e = — -u mo«
strerebhe che e devesi prendere sotto non sopra P.
Queste ridessioni diinostrano cliiaramenie clie dal
ragionainento di Juan non pub dedursi ne che il flui-
do deljlm innalzarsi, come gli sembra di poter inferi-
re dalla sua foruiola, ne che dtbba innalzarsi all' al-
tezza = 7- a".
64
5 1. La verita di questa 2'. conclusione e pure con-
fermata irrefragabihnente dalla sperienza. I sig/' Alem-
bert, Condorcet, e Bossut ne' loro classici sperimenti
eopra la resistenza de' fluid i osservarono che 1' altez-
za, a cui sali 1' acqua davanti ai parallelepipedi che
fecero muovere, parte immersi, e parte fuori del flui-
do, cresceva aumentando la loro velocita, e che in pa-
rita di circostauze si aumentava [nire crescendo la lar-
ghezza ; e per I'opposto si diniinuiva aumentando I' im-
mersione . In breve, che l' altezza dell' intumescen-
za e una funzione non solo della velocita, ma anche
dell'immersione e larghezza del parallelepipedo; cjuan-
do, so fosse vero che 1' altezza suddetta dovesse esse-
re espressa da — u' , come crede Juan, sarebbe una
04
funzione della sola velocita.
52. Che una tale altezza non sia uguale ad -^ u"
ce lo dimostrano direttamente i sperimenti instituiti dai
Roprammentovati Matematici sopra un parallelepipedo
di 6 piedi e un pollice di lunghezza, e 19 pollici, ed 3
liuee di larghezza, e riferiti ai §§ 801, 802, SoS dell'I-
T. J I. P. IL JO
74
A V A N 2 1 N I
N
tlrodinamica cli Bossut. JNelle tavole seguenti espongo
il coiifroiito delle altezze osservate, e cli quelle che
dartbbe la foiiuola cli Juan.
laimersione 7
poll. 10 lin
Mczzi secondi
spat a pcrcorrcrc
5o piedi
AUezze
osscnate del
labbro
Altczze
secondo Juan
Dijfcrcnze
Li nee
Li nee
Linee
41 , 75
2| h
i3
-111-
37 , »o
32 I
16
- 16 i ;
34 , 75
38
19
- 19
32 , 5o
46
22
- 24
29 , 90
5o
26
- 24
II
Iniinersiorie 12
poll. 5 i lii
1.
Mczzi secondi
sptii a perrorrere
So piedi
Altczze
osservate del
labbro
Altczze
secondo Juan
Differciize
Linee
Linee
Linee
52 , 00
i5
9
_ 6
46 , o5
18
11
- 7
42 , 07
20 i
i3
- 7 i
37 , 25
26
j6
— 10
35 , 18
32 i
'9
— i3 I
jULLATEOR.DELLARESISr.DE'FLUiDIDI Juan 7$
III
Iminersioiie i5 poll. 10 liii. 1]
Mfzzi sccoiuli
sjjc'ii a pcrcorrcre
5o picdi
ALtczze
osscn'dtc del
labbro
Ahezze
sccondo Juan
jDiJfercnzc
Liiiee
Linee
Linee
5o , 7.5
i5
9
- 6
46 , 5o
18
1 1
- 7
41 , 00
24
H
— 10
36 , 5o
33
18
_ i5
33 , 69
39
21
- 18
53. Una legirtima e immediata conseguenza della
erroneita dell' altezza a cui secondo Juan deve il (lui-
do elevarsi innaiizi al parallelepipedo troveretno la 3*
ipotesi, cioe che la pressione che il tluido innalzato
esercita coniro un reitangoleuo 6 ch' della P F, (fig. i'.)
sia (§ 41 ) mb dt' ( — v/"? -h ^ u)" . Dalla supposizio-
ne che nelT equazione \/ e = — -u (§ 5o), il segno —
indichi che il pnnto al quale corrisponde il valore di
* sia negative, cioe sopra P, il sig. Juan deduce CaJ
per corollario, che per deterininare le pressioni del lluj-
do innalzato non si avra che a rendere negativa la v/ «
(^) § ^90 dell' opera ciuta.
76 A V A N Z I N I
iiella formola m b d ( {\/ > -»- ^ a)* della pressione con-
tro un rettangoletto bd^ della parte immprsa Pc; e che
qiiindi la pressione coiitro un rettangoletto b d -' della
PF sara m b d ^ ( — \^ s' -^ ~ u)' . Cib premesso, non
essendo giusta (§ 42,49) la formola mbd^ {\/ e ■+■ « ")*»
da cui Juan fa nascere iaimediatamente ]& y/ t = — - iiy
e ne tampoco essendo vero (§ 5o) che il segno — ab-
bia il sigiuficato da esso supposto, si dovra necessaria-
meute coucluudere che ueppur vera, ne giusta potra
essere V espressione m b d t' { — \/ s' -^ -^ii)' .
' 64. Con tutto cio ripntai importantissimo il con-
sultare anche so[)ra di cio l' esperienza investigamfo
con gli artifizj dei §§43 — 48 le pressioni sopra caique
porzioncelle della parte P F.
La seguente tavola presenta i risultati, ed il loro
confronto con quelli della formola
m dbd i' {— y/ e -^^-u)\
sullateok.dellaresist.de'fluididi Juan -"i
Immersione
12 poll.
Velocita
8 piedi in 4"
Altezza dovuta alia
velocita 9 lin. 64
Aliezza P F dell' Ii)tumescenza i5 li
nee
Aucizc — i
Linee
I , 5o
a , 5o
3 , 5o
7 , 5o
1 1 , 5o
Fiessioni
dello spcriincnto
L
inee
12
, 33
9
, 83
8
, 33
4
, 33
I
, 5o
Frcssioni delta
formola di Juan
Linee
3 , 60
2 , 28
I , 48
I , 04
O , 10
Diffcrenze
Linee
— 8 , 73
— 7 ' 55
— 6 , 85
— 3 , 29
— o , 40
Da questa tavola si scorge cliiaramente die I'espe-
rienza concorda peilWtameute nel dimostrare die an-
che la formola per le pressioiii contro P F h e^^ual-
meute erroiiea della formola delle pressioni contro P c.
55. Passando poi allVsaine della formola (t) (§ /40)
per la pressione contro la parte posteriore Qo ((ig. T.)
rilletteremo prima di tntio die le ipoiesi, dalle quali
essa e dedotta sono: 1°. die la [)ressiorie contro um rec-
taiigoletto mbdi ddla o ^ disiante dal livello Q di
f sia m 6 c/ ^ ( >/ . - 1 M )' : 2^ die il fluido si abbassi
-S AVANZINI
di tutta la Q E= j- it' . E in fatti integrando si avra
a 6 04
La costante deve esser tale che fatto 1 = E Q che, co-
me si disse, secondo Juan e = — u' , la pressione di-
venga zero. Percio supposta nell' equazione preceden-
I a ,. m b . li* , ,
te « = — a essa diventa 7 — F"5"' dimque la costan-
m b . u* • 1- 1 1 IP
te = — - V — ^-j- e quindi la pressione sopra la o £-
=zmb { — _«cy/j_4_5j^»_ — u* ) , conforme
a 6 " 64 6 . 64
perfettaniente alia formula (t').
56. Per cio che risgnarda la i' ipotesi si consi-
derera che la pressione contro il rettangoletto bd^ non
potra certamente essere misurata da mbcU{y/ ^ — -u)'
a meno che non fosse vero 1". che dietro al paralle-
lepipedo il fluido non avesse altra velocita se non quel-
la di tendenza contro la faccia posteriore cagionata
dalla pressione del fluido sopraincombente, e che in
oltre la funzione esprimente la pressione mentovata
avesse ad essere il quadratoJi \/7— ^ u piuttosto che
SULLA TEOK.DnLT.A RESIST. DE'fLTJI DID I JuAN 79
qnalche altra funzione. Ora ponendo attenzione al mo-
to che coricepisce il lluido dietro al parallelepipedo si
osserva ch' esso e ben diderente dal rriDto iminagina-
to da Juan; conchiudtreino quindi che ben diHerente
dalla vera dovra essere aiiclie la foraiola ch' egli ne
porge della pressione.
57. Intorno a questa importaiiiissima conseguenza
vpgglamo ora cosa ne dica lo speriinento. Posto il si-
foiie iir tanti forami aperti nella faccia posteriore del-
la cassetta gc, (fig. 5'), lutigo la linea che diinezzava
la faccia stessa verticalmente, e mossa la casseita co-
me iiegli speriinenti del § ^i^ si trovo che il galleg-
giante ac (fig. 6'.), in luogo di salire discendeva ri-
nmnendo pure costantemente senza oscillare alia stes-
sa altezza in tutto il tempo in cui la cassetta percor-
reva uniformeinente i 20 piedi. Applicando a questo
caso il ragionamento del § ^6, si raccogliera che la
pressione contro una porzioiicella della faccia posterio-
re della cassetta uguale a qiiella dell' area o del sifoue
deve essere misurata dal peso d'una colonna di lluido
che ha per base 1' area sopraddetta, e per altezza T al-
tezza a cui si sostiene il lluido nel braccio n m. Mi-
surata con r artifizio del § 47 una tale altezza si eb-
bero per le pressioni contro dieci porzioncelle della
faccia posteriore i valori espressi nelle tavole feeguenti,
le quali offrono pure i valori della formula di Juan.
8o
A V A K Z I N I
Imrnersione
Velocita
Altezza dovuta alia
12 poll.
1^ piedi in i"
velocita. 2
lin. 17
Altezzc t
Pressioni
Pressioni
Dijferenze
dello
della formula
speninento
di Juan
Linee
Linee
Linee
Linee
1 3a
1 3 1 ,90
100 , 40
— 3i , 5o
1 20
119 , 84
89 , 93
— 29 , 91
108
107 , 84
79.57
- 28 , 27
96
95 , 84
69,17
— 26 , 67
84
83 , 84
58,17
— 25 , 67
72
71 ,84
49' 17
— 22 , 67
60
59, 86
59,37
— 20 , 49
48
47,88
29.77
— 18 , 11
36
35 , 90
20 ,57
- i5,33
24
23 , 95
II .77
- 12 , 18
SULLA TEOU.DELLAIlESIST.DE'rLUIDl DjJtJAN 8l
II
Immersione
Velocita
Altezza dovuta alia
12 poll.
! piedi in i"
velocita 4 ]
in., 40
Akezza e
Pressioni dello
sperimemo
Pressioni
della formola
Differenze
di Juan
Linee
Linee
Linee
Linee
l32
i3i , 10
88 , 24
— 42 , 86
120
118 , 80
78 , 40
— 40 , 40
ic8
ix)6 , 80
68 ,80
— S8 , 00
96
94 ' 80
59 , 20
— 35 , 60
84
8i2 , 5o
5o , 00
— 32 , 5c
72
70 , 5o
40 , 80
— 29 , 7c
60
59 , 00
32 , 00
— 27 , CO
48
47 •> 10
23 , 20
— 23 , 90
36
35 , 5o
i5 , 20
— 20 , 3o
24
23 , 60
7,80
_ i5 , 80
T. II. P. II
11
82
A V A N K I N 1
III
Imrnersione
12 poll.
Velocita
t: piedi in i"
Altezza dovuta alia
veluciia. 5 lin. 36
Alcezza e
Li nee
1 5:2
I20
io8
96
8|
72
60
48
56
24
Prcssione
dello
sperinicnto
Li nee
i3i , 20
119, 10
107 , 10
95 , 10
82 , 90
70 , 90
59 , 00
47 .CO
35 , 10
23 , 60
Press! one
dcUa fonnula
di Juan
Linee
84 ,21
74 ■> 16
65,56
55 , 96
46 ,96
38 ,06
29 , 5o
21 , 36
1 3 , 5o
6 , 70
Dif
erenze
Linee
• 46 , 99
■ 44 ■> 94
■41 , 5^
■ 39 , 14
■ 35 , 9+
- 33 , 84
■ 29 , 5o ;
- 25 , 64
-21 ,60
• 1 6 , 90
SULLA TEOR.DELLA RESIST. Ul' FLU 11)1 Dl JuAN 83
Facendo considerazione alle differenze tanto sen-
sibili tra le pressioiii dello sperimento, e della formu-
la di Juan, dovra ognuno rimaiiere convinto ch' essa
€ ugualmente inesatta e inammissibile come quella dal-
le pressioni anteriori.
58. JNiente meno viziosa ritroveremo la seconda
ipotesi, cioe che il Uuido si abbassi di tutta la
Siipposto vero cbe la pressione contro un rettan-
goletto bde di oE sisi mb d^ {>/ e —-u)' e indubi-
tato cbe il fluido dovrebbe abbassarsi di tutta 1' akezza
Q E = — u ^ o piu* esattarnente che il fluido dovreb-
be rinianere staccato dalla faccia posteriore di tutto il
tratto Q E = -r- .u. Imperciocche in vigore della for*
mull niedesiina, e del significato di \/ e die espriine la
velocita dovuta all' akezza f ^ e manifesto dovervi esse-
re nn punto E talmente distante dal livello Q, che la
"velocita dovuta alia pressione della colotina dell'altezza
Q E sla = - u. Ma non potendosi assolutamente ara-
mettere (§57) che la pressione contro il sopraddetto
retiangoleito sia quale la crede Juan, non potreuio iiep-
pure esser sicuri che sia Q E = ■-- u'.
«4
A V A N Z I N I
59. A persiiadersene anche col fitto si esamini
nella seuuente tavola il coiitronto ira l' abbassainento
del llnulo rinveuuro con e?aiti e ri[)ftiiti sperimenii su-
pra la cassrtta (fig. 5\) e rabbassauieiiio ricbiesio dal-
]a formula di Juan .
Iniinersione della cassetta 12 poll.
ydocicti
ossia spazj
pcrcorsi in i"
Abbassarnrnti
corrispondcnti
Abbiissamcnd
secondo la
formula di Juan
Differcnze
Picdi
Linee
Linee
Linee
3
4 ' 37
9 ^54
-+- 5, 17
I i
3 , 5o
5 ,36
-^ I ,86
60. Se le pressloni elementari coniro le due fac-
ce anteriore e posteriore d«'l parallelepipedo di tanto
si scostano dalle vere, coine tiuto il fin qui detto con-
corre a porlo fuor d' 02;rji dnbbio, anrlie le pressioni
totali ( f ) , (t') che il si*. Juan ne dedus^e dovranno
indubitatamente tenersi per tn)ppo inesaite, e perrio
imperfetta, e pericolosa antbe la formula (i?) della
resistenza (§ 39) .
61. Ma potrebbe a taluno insorgere il dnbbio che
gli errori delle due forniule ( -), { ■^' ) potessero, sot-
traendo 1' una dalT altri per otteuere (§40) la resi-
stenza, compensarsi a vicen<la, e (pnndi uialgrado la
loro inesattezza dovessero somnnnistiare un valor ve-
SULLA TEOIl.DELLA RESIST.De'fLUIDI D1 JuAN 85
ro dflla resistenza medrsiraa. Se cosi fosse e indubl-
tafo (he la formula {/?) dovrebbe per la resistenza
iiicoiitrata da un parallelepipedo moventesi per V a-
cqua irafupiilla porgtre un valore del lutto, o prossi-
iiiameme coiiforine a qiullo della sperienza. Vegj^iamo
aduiu|ue se si trovi veramente una tale corris[)ondenza.
62. Senza iiistituire a quest' og2;etto nuovi speri-
menti mi si vorra al certo accordare die a quest' uo-
po esser debbano valevolissimi quelli degli altrove men-
zionati Matematici francesi, e gli altri che due anni
dopo intraprese il sig. Bossut , e riferiti ai §§ 991,
10 1 2 della sua idrodinamica. Ecco il confronto delle
resisteuze riuvenute dai sopra mentovati Geometri con
quelle che porge la formula -„- (u e y/T-t- ^, "* ) .
Un' occhiata sopra le enormi loro differenze bastera,
io spero, a levare fin anche ai piu scrupolosi, e ai piu
aderenti alia teoria di Juan qualunque lusinga ch' es-
sa dovesse pure per le addotte ragioni ritenersi alme-
no per probabdnieiue vera.
86
A V A N Z 1 IJ I .
Lunghezza del parallelepipedo 6 piedi i poll.
Larghezza i8 poll. 8 liii.
Immersione 7 poll. 10 lin
•
JIh'zzi second i
spcsi a percorrcrc
5o piedi
Resiitcntc
ilello spcniucnto
Resist cnzc ilella
Jonnola di Juan
Dilf'ereiizc
Marchi
Marchi
Marclu
41 , 75
16
88
-i- 72
37 , 80
20
96
-+- 76
34 , 75
24
104
-t- 80
32 , 5o
3o
1 1 1
-H 81
29 , 90
36
120
-H 84 j
II
LuiJghezza e larghezza del parallelepipedo 1
come sopra
1
Immersione 12 poll. 5 i lin. 1
Mczzi secondl
Rciistcnze
Resistenzc
Differcnze
spcsi n percorrcrc
So picdi
dcllo spcrimento
delta formula
di Juan
Jlarchi
Marclu
JIarchi
52 , 00
16
i35 1
-H 119 1
46 , o5
20
153 X
-H i33§
42 , 07
24
168
-+- 144
37 , 25
3o
189 i
H- i59i
1 35 , 18
35
200 f
■+- i65 3
SULLA TEOR. DELLA RESIST. De'fLUIDI DI JuAN 87
III
Luiigliezza e larghezza del parallelepipedo |
come sopra
Itnmersioiie i5 poll, lo lir
1.
1 Mtzzi sccondi
sjjcsi a pcrcorrerc
5o picdi
Rciistenze
dcllo spcrimento
Bcsistcnze
dclla formola
di Juan
DiJ/ercnze
March!
March!
March!
5o , 75
20
201
-+- 181
46 , 5o
24
220
-t- 196
41 , 00
32
249 3
-*-217i
36 , 5o
40
280 '
0
■+■ 240 i
33 , 69
40
3o.5 i
H- 255 ^
I V
Lungli
ezza del parallelepipfdo P' 4 [|
Larglu'z^a
2 piedi 1
lininersione 2 piedi 1
Sicondi
Rcsistcnze
Hcsistcnze
Diffcrenze
spcn a pcrcorrerc
1)6 piedi
dcllo spcrimento
dclla formula
di Juan
Libbre
Libbre
Libbre
78 , 08
60 -4- I , 8
149 1
.+- 88
57 , 5i
110-4-2,5
202 Ti
-*- 90 i
47 ^ 44
160 -t- 2, 5
245 ^
-t- 83 i
41 . 49
210-4-2,5
276
-<- 64
37 , 3a
^ -
260-*- 2,5
314 i
•*- 52
88
AVANZINI
V
Lungliezza del parallelepipedo 2 piedi
Larghezza 4 piedi
Imiiiersione 2 piedi
Scconiii
spesi a i>crcorrcrc
72 piedi
72 , 00
Rcsistenza
lello speriiuenco
Libbre
I 10 -4- 2 , 5
Besistcnza
delta Jhnuula
di Juan
Libbre
241
Dijferenza
Libbre
i3i
63. Dalla snpposlzione delle facce anteriore e po-
steriore del parallelepipedo perpendicolari alia sua ba-
se passando a considerarle inclinate alia base medesi-
ma d' uii angolo qualunque S vuole il sig. Juan fa J,
che la resistenza che incontrerebbe allora il parallele-
pipedo immerso nel fluido fino alKaltezza s,e moven-
tesi con la velocita u orizzontalrnente, e in direzione
parallela alia base ed alle facce laterali, sia espressa
dalla formola
- m b ( u sin 6 . s \/ e
— u* sin* i
04'
) {R')
Sebbene non sia difficile a comprendere die non reg-
gendo in conto alcuno la formola ch' egli adotta nel
priino caso, non debba regf^ere neppur quella del se-
cond©, traendola egli imrnediatamente dai principj foil-
(a) § 640 Examen Maritime ec.
STTLLATEOlLUIiLLA RESIST. 1>l'j?LUII)1 Dl JlTaN 89
tlamentali della prima, tuttavia non sara inutile 1' ag-
giungere aiiche sopra tal foruiola alcune osservazioni,
e sperieiize.
64. La formula (/?') come la (7?) e pure fondata
sopra cincpie supposizioiii
La i\ c the la pressione sopra un dififerenzio-differen-
ziale (/ b . d i della faccia immersa anteriore sia
mdb.de ( y/ t -f- - « 5i« 9 )* .
8
La 2*. che il fluido s'inalzi davanti al parallelepipedo
della quantita * = 7^ "' "^'^' ^ •
La 3". che la pressione sopra im diff'erenzlo-differen-
ziale della faccia col pita dal Huido che s' inalza si«i
mdb.de {-*-\/e-^-ux'm^)'.
8
La 4". che la pressione sopra un diflferenzio-differen-
ziale della faccia posteriore sia
VI d b . d i [y/ i — -usin^y,
o
La S*. fmalmente che dietro al parallelepipedo il fluido
si abhassi sotio il h'vello di « = 7- ^ s'm" 9 . Li fatti
eseguite le necessarie integrazioni di tali formule, e
sottratio dairii>tegrale compleio delle pressioni elemen-
tari anteriori 1' integrale completo delle pressioni ele-
mentari posteriori, si trova che la resistenza del fluido
e per aj)punto espressa dalla formola (./?').
05. Quanto alia prima ipotesi si osservera, che il
fluido davdnti al parallelepipedo a faccie inclinate, ron-
cepisce \^x\ moto simile a quello del fluido davanti ai
T. IL p. IL 12
C}G A V A N Z I N I
parallolepipedo a faccie perppiidicolari, e descritto al
§ 42, vale a dire the siif)j)c)sto gc (fig. 11") il pro-
lllo del parallelepipedo, xz i\ livello del lluiilo, il llui-
do itmanzi alia taccia «c movesi per le curve ►«', i^ c,
ec, die la velocita per e c cresce in parita di circo-
stanze quanto e piii acuto I' angolo delle facce arite-
riori, e a misiira che il (Inido si accosta all' estreiuita
inferiore c, il che e del pari conforme ai princlpj teo-
retici acceiinati al § 10 del la Mem'. ■2\ Nuove ricer-
che ec. Dnnque il (luido iiinaozi al parallelepipedo
avra, okre le velocita virtuali ^/T, a, anthe la veloci-
ta reale per le curve suddette, e percio la pressione
non potra essere giustatnente determiuata dalla formola
m d b . d i ( v/ £ H — u sin hV .
66. Che la formola sressa dissenta moltissimo dalla
vera, e compiutamente dimo>trato anche dalla sperienza.
Eseguiie cogli artifizj dei §§ 4^.... 48 sopra le
tre cassette (fig. 7'. 8'. 9".) delle quali la prima avea la
faccia anteriore e posteriore inclinata alia base oc pro-
lungata, o alia direzione del mo to, sotto Tangolo dcZ
di 67°., la 2*. di 45°., la l\ di 23".
A rendere piu sicuro il moto orizzontale di tali
cassette,© parallelepi[)edi, ritrovai giovevolissimo, ch'es-
se foss'TO unite ai sostegiii C Fe (fig. 10'.) dop[»j dei
sostegui cF (fig. 4'.) della cassetta eg (fig. 5'.) a fac-
ce normali alia base.
Irisultati di tali sperienze, siccome pure i corrispon-
denti. calcolati con la formola m d b . d f {\/ e -{- - u sinh )"
o
80110 registrati nelle quattro seguenti Tavole.
SULLA TEOU.DELLA RESIsT.DeVlUIDI DI JuaN 9I
IiiiriKMsione
■12. pollici
Aiigolo 9
07°.
V("locitu 8 j)i<'<Ji
in 3" , io"'
Altczza dovula
alia vclucita
i3,74
AUczzc t
Premoni
dcllo spcruncnto
Frcssioni ilclla
j ormolu
Differciize
Linee
Li nee
Linee
Linee
i3o
i36 , 00
219 , 45
H- 83 , 45
100
1 10 , 00
179 , 88
-+- 69 , S8
91
io3 ,00
167 , 74
-+- 64 , 74
39
5 1 , 5o
93 , 25
-t- 41 , 75
iO
24 , -00
43 , 22
^ 9 , 22
1 1
Immoisione
Atifjolo fl
Velocita H piedi
Altezza dovuta
12, pollici
45°.
in 4^
alia velocita
9 , 54 linee
Attezzc I
Fresuoni
dello speriokento
Prcssloni
dellu fonnola
Differ enzc
Linee
Linee
Linee
Liriee
1 33
l32 , 90
188 , 14
H- 55 , 24
108
III ,75
i58 , 16
-+- 46 , 41
78
82 , 5b
121 , 34
-+- 38 , 84
54
59 , 70
90 , 86
-H 3l , II
24
30 ;, 5o
5o , 16
-t- 19 , 66
92
A V A N Z I N I
I II
Iiiiiuersioiie
Antrolo 9
)«?locita 8 piedi
Altezza dovuta
i:i pollici
1
2.3".
in 5"
alia velocita
6 , ca liii.
Alcczzc I
Prcssioni
dellospenmento
Prcsiioiii
delta formola
Di^crenze
Linee
Linoc
Linee
Linee
129
127 , 5o
i5i , 5i
-<- 24 , 01
112
112 , 00
i33 , 02
-H 21 ,02
84
84 , 25
102 , 3o
-H 18 , o5
57
58 , oc
72 , 3o
-H 14 , 3o
26
28 , 00
36 , 5i
-H 8 , 5i
I V
Inimersione
I a pollici
Angolo 6
a3».
VelociUi 8 piedi
in 3" , 4a'"
Altezza dovuta
alia velocita
u , 34 linee
Alcezze e
Pressioni
dcllo spcrimento
Prcssioni della
formola
Differenze
Linee
Linee
Linee
Linee
129
127 , 34
108 , 79
-+- 3i , 45
I 12
III , 75
1 39 , 86
H- 28 , II
84
84 , 5o
108 , 33
-f- 23 , 83
37
58 , 20
77 ' 32
-H 19 , 12
26
28 , 5o
40 , 22
__«p —
-H I I , 72
—
SULLA TEOR. DELLA RESIST. DE'fLUIDI m JuAN 9^
Dal cosi grande dissenso delle pressioni della spe-
rienza e quelle della fonnola si raccogliera ch'essa sen-
za aicun dubbio non esprime le vere pressioni.
67. Sopra la seconda ipotesi, vale a dire, che il
fluido s'inalzi davanti al parallelepipedo della quantita
« = r-: "' ""•" ^ si ponno fare a rigore i ragionamenti
del § DO, d' onde si conchiudera ch'essa non e meno
erronea della prima.
68. II confronto ch' io present© degli innalzamen-
ti osservati nelle mie sperienze coi calcolati mediante
la formola — «" sin' 9 ci rendera certi , ch' essa e con-
64
tradetta pienaniente anche dal fatto.
Angolo 9 — 67^
Imniersione
12 pollici
Alrczze
dovutc alia
vclocita
Innalzamenti
osscivati
Innalzamenti
secondo la formola
g^ u' sin'^ 9 .
Dijferenze
Li nee
Linec
Linee
Linee
i3 , 74
16 , 00
11 , 64
-4,36
8 , 45
10 , 00
7 ' 01
-2, 99
94
A V A X Z I N I
II
Angolo i
— 45^
Immersione
12. pollici
Altczze
doiittc alia
velocita
Innalznmcnci
ossert'UCi
Iminlzaincnti
sccondo la furmola
1 u' sin' 6 .
Dl^eicnze
Lince
Linee
Linee
Linee
10 , 86
12 , 5o
5 , 4.3
- 7.07
6,11
4 ' 25
3 , o5
— I , 20
III
Angolo
9 — 23^
Immersione
12 pollici
Alcezze
doiute alia
velocita
lunalzamcnti
osiervati
Jnnalzamcnti
sccondo la forniola
1 u* sill' 6
Differcnzc
Linee
Linee
Linee
Linee
14 , 45
l5 , 00
2 , 20
— 12 , 80
5 , 54
1 1 , 00
I , 45
— 10 , 55
69. Dai ragionamenti del § 53 s'inferira non po-
tersi assumere per vera neppure la V. ipotesi, cioe die
la pressione sopra un dilTerenzio-differenziale della
SULLA TEOIl. DELLA RESIST. De'fLUIDI DI JuAX qS
porzione della facciu colpita dal lluido clie s' innal-
za, sia ,
r— r
mdb.de {— \/ i -i — u sin6)*.
70. A rinforzare vie maggiormente la giustezza di
tale conclusioiie presento le grandi disparita rinvenute
tra le pressioiii della formola, e quelle raccolte da e-
satti e ripetuti sperimenti.
Immersione 12 poUici
Velocita diBpiediin 3", 20'"
Angolo a =
= 6f.
Innalzam". del fluido 16 lin.
AUezzc — I
Picssioni
Prcssioni
Diffcrenze
osservate
sccondo la formola
Linee
Linee
Linee
Linee
2 , 00
l3 , 00
3 ,99
— 9,01
9 t 5o
6 , 00
0 , 10
— 5 , 90
12 , CO
3 , 00
0 , o3
-2 ,97
96
A V A N Z I N I
II
Iinmersione 12 pollici
Velocita 8 piedi in 4"
Angolo 9 =
= 45^
111113123111°. del lluido 1 1 lin.
AUeizc — t
Frcisioni
osscivutc
Picsuoni
secondo la formola
Dijlrenze
Litiee
Linee
Linee
Linee
3 , 00
8 , 00
0 , 20
-7 , 80
5 , 00
3 , 5o
0 , 00
_ 3 , 5o
8 , 00
3 , CO
0 , 42
-2, 58
III
■^
Iinmersione 12 pollici
Velociia8piediin3", i5"'
Angolo 9 = 23°.
Innalzam". del fluido i5 lin.
j'lkczzc — i
Linee
3 , 5o
5 , 00
II , 7^
Piessioni
usscrvate
Linee
8 , 00
6,75
1 , 5o
Prcssiuni
sccondo la formola
Linee
0 , 14
0 , 56
3,77
JDiffcienze
Linee
- 7 ' 86
— 6 , 1.9
-H2 , 27
SULLA TEOR. DELLA ULSIST. Dt' FLUIOI 1)1 JuAN 97
71. Per cio clie risguarda la qiiarta ipotesi, cioe
die la pressione sopra iin dineren/.io-dillerenziale del-
la faccia posteriore del Huido sia
m d 0 . d e {y/ e — ^ u sin a Y osserveremo che come riel
caso delle faccie del parallelepipedo normali alia ba-
se, cosi nelle. obblique, il Huido olire le velocita vir-
tuali y/ f , o M concepisce un moto reale simile afTat-
to a quello clie concepisce dietro ad una lamina ob-
bliqua, e descritto al § ii; mexn. 2\ JYuove ricerche ec.
cli' e quanto dire che il (luido da} punto £ (fig. ii'.),
dove si e abbassato, si muove verso 1' estremita iufe-
riore h, e con tanto maggiore velocita quanto e rni-
nore I'angolo Ehc. Quindi pel § 65 la pressione so-
pra un difFerenzio-differenziale di Ek non potra es-
sere rappresentata da mdb . d i{s/ e — -usin^)'.
72. Finalmente consultando le differenze contenu-
te nelle seguenti tavole tra le pressioni dell' esperi-
mento e quelle della forniola saremo convinti che es-
fia non conviene per niente con la vera.
T. IL P. II. i3
90
A V A N Z 1 N I
JinilKMSIOlie
Aii"olo 6
Velocitii 8 piedi
Altrzze dovule
10, j)olli(:i
07".
in 3" , ao"'
alia velocitu
1 3,74 lin.
Altczzc t
Frciiioiii
Prcsiioni
Dijferenze
dclLo spcrimcnto
dclla furinola
Li nee
Li nee
Linee
Linee
i3o
126 , 33 !
65 , 83
— 62 , 5o
100
95 , 25
43 , 40
- 5l , 85
91
87 , 00
37 , 55
- 49 ' 45
39
36 , 00
8 , 02
- 27 , 98
10
7 » 00
0 , 06
- 6,94
.
II
Imniersione
Angolo 6
Velocitu 8 piedi
Altezze dovute
lii pollici
45".
in 4"
alia velocita
9»54
AUczze t
Pressioni
Pressioni della
Dijferenze
dcllo sperlmento
formola
Linee
Linee
Linee
Linee
i33
129 , 5o
87 , 29
— 42 , 21
108
104 , 67
67 , 37
— 37 , 3o
78
73 , 75
44 ' 19
— 29 , 56
54
49 , 00
26 , 67
— 22 , 33
24
19 , 00
7 , 37
— 1 1 , 63
SULLA Tj^OU.I>ELLAI<£SIST.»E'rLUiI)IDjJrjAN 99
III
ZK>- cl.fferenz,ah della facda posteriore del parallele
pipecJo elalsa, non sara nernmen vero (§58) die il
fluido debba abbassarsi ddia quandta e = Lu^sin^s
64
74- La grande imperfezione anche di questa ipo-
tesi e penamente dimostrata dalle differenze che non-
go sou occh.o tra i yeri abbassamenti, e qudli che
oitre la jpotesi stessa.
100
AvANriNi
Angolo fi
67°.
Inimeisioiie
12 ])ollici
Altczzc
dovitte alle
i'clocita
Abhassnmcnci
osscnuti
Ahbassnmcnri
sccoudo la jonnola
Diffcixnzc
Linee
Linee
Linee
Linee
i3 ,74
4 » 00
I I , 64
-H 7,64
8,45
I , 5o
7 ■> 01
-H 5 , 5i
II
Angolo
6 — ^5°.
Immersione
12 pollici
AUezze
dovuie alia
velocica
Abbasianicnli
Oiservaci
Abba.isamenti
secondo la Jonnola
Diffcrcnze
Linee
Linee
Linee
Linee
10 , 86
4 ' 5o
5 , 45
-4- 0 , 93
6,11
2 , 17
3 , o5
H- 0 , 88
Sulla teou. della ke sist. de' fluidi di Juan i o i
HI
Angolo 9 — 23°.
Immersione 12 pollici
Jllnzze
dovuCc alia
vclocilix
Liiiee
14 , 45
9 ' ^4
Jbbassamcnti
osservati
Linec
i3 , 33
6 , 5o
Abbassamcnti
secondo la /ormolu
Linee
2 , 20
I , 45
■DiJfcreiiLe
Linee
— 11 , l3
— 5 , o5
75. Ora se tutte le ipotesi fin qui esamlnate sono
manlfestamente contradeue da giusti e sicuri ragioiia-
meiiti non meno che da esatte e ripetute sperienze, e
manifesto che dovra essere per \o meno nial sioura
la conseguenza che se ne trae, che vale quanto dire
la forniola (7?) della resisieiiza.
Per assicurarci poi ch'essa e pure realmente assai
lontana dalla vera, bastera dare un' occhiata alle spe-
rienze esegnite sopra parallelepii)edi a prore e poppe
obhhque dagli alire volte menzionati matematici pari-
gini, e alT articolo 353 degli eleaienti d'Idraulica del
sig. Prof. Venturoli .
76. Cosi noi potremo conchiudere con siciirezza
che le leggi tanto della resistenza diretta che ob!)li-
qua di paralielepipedi immersi in parte riel lluido rin-
1 02 A V A N Z I N I
vemite con la teoria di Juan sono assolntamente da rl-
fiiitarsi del tutto e cio principalinente perclie le pres-
sioni elemeiuari sulla faccia anteriore e posteriore dei
detti sol id i noii voglionsi esprimere con le forinole
m d b . d e (v/Tdrlw)', mdb . de { v/"^— lusinby .
o 8
77. In una delle mie susseguenti memorie Nuove
ricerche ec. vedremo quali sieno le formula delle pres-
sioni elementari piu consentanee ai veri principj idro-
dinamici ed alia sperienza; intanto ci giovera T osser-
vare die quand' anche potesse omettersi, come si fa
da Juan, la velocita del iluido moventesi lungo le due
facce del parallelepipedo, le fonnole
md b . d i [e ±h), m db . d e {e ±h siri" 6 ) ,
cir egli faj riprova, sono ben piu conformi al fatto
delle sue propria
m d b . d £ { y/TzL y/li ) % mdb . d e { y/~ =t \/~^ ^'^^ ^ )*•
A persuadersene piu agevolmente, e con raaggiore e-
videnza bastera che si confrontino col mezzo delle se-
guenti tavole le differenze tra le pressioni ottenute
dalle sperienze de' paragrafi precedenti, e quelle che
porgono le forraule sopraccennate .
(a) § O44. Examen maritime ec.
SULLA TEOR. DELL A RESIST. DeVlUIDI DI JuAN I o3
Differ en ze
fra le pressioni sperimentall , e delle formole
( s -t- /O » ( \/~-^- ^ " )•
Immersione 12 pollici
h — 2 ? 17 linee
Jltezze
Differenze tra lo spe-
Differenze tra lo spe-
e
r'un., e [e -t- h)
rim"., e (^Th-v/'A)'
Linee
Linee
Linee
24
- I , 63
-H 12 , 77
36
- I , 58
-*- 16 , 02
48
- I , 43
H- 18 , 97
60
- I , 33
-H 21 , 47
72
- I , 33
-H 23 , 73
84
- I , 33
-♦- 25 , 67
96
- I , 33
H- 27 , 67
108
- I , 33
H- 29 , 07
120
- I , 16
-+- 3i , 24
l32
— 0 , 63
-t- 33 , 24
104
A Y A N Z I N I
II
Imniersione 12 pollici
h — 4 » 40 linee
Altezze
Dijfcrenze tra lo spe-
Differenze tra lo spe-
t
nm".j e ( « -+- A )
riin.3 € (y/7-H\/7i)'
Linee
Linee
Linee
24
■— 2 , 10
-+■ 18 , 5o
36
— 2 , 00
H- 23 , 20
48
_ I , 93
-4- 27 , 27
60
- I , 85
-H 3o , 65
72
- I , 85
H- 33 , 75
84
- I , 85
-H 36 , 55
96
- I , 85
-4- 39 , 35
198
- I , 85
-t- 41 , 75
120
— I J 60
H- 44 , 40
I 32
- 0 , 85
-t- 47 , i5
SULLA TEOIl. BELLA RESIST. DE* TLUIDI DI JuAN 1 o5
III
Immersione 12 pollici
h — 5 , 36 linee
Ahczze
Differenze tra lo spe-
^Differenze tra lo spe-
6
rirn'.j e ( f -j- A )
rim'^.j e iV ^ -*-\/ ^Y
Linee
Linee
Linee
24
- 3 , 24
-t- 19 , 60
36
— 3 , 14
-»- 24 , 46
48
- 2 , 97
-H 29 , o3
60
- 2 , 97
-4- 33 , o3
7-
- 2 ' 97
-4- 36 , 25
84
- 2 , 97
-^- 39 , 43
96
- 2 , 97
-+- 42 , 43
108
— 2 , 89
H- 44 , 87
120
- 2 , 64
-♦- 48 , o5
l32
— 0 , 64
-+- 52 , 96
T. 11.
P. I J.
14
J
io6'
AVA-NZINl
Diffcre?ize
tra le pressionl spcrinieruall e delle formole
{e-h), (v/T-i^r
Idimersione 12 pollici
h — 2 , 17 linee""
Altezze
Differcnze
Differenze
e
tra lo sperinf.^ e la
tra lo spcrini". , e la
•
formola {e — h)
formola {^yy~e —y/Tif
Linee
Linee
Linee
24
- 2 , 12
— 12 , 18
36
— 2 , 17
- i5 , 33
48
— 2 , o5
_ 18 , II
60
— 2 , o3
— • 20 , 49
72
— 2 , 01
— 22 , 67
84
•— 2 , 01
— 25 , 67
96
•— 2 , 01
— 26 , 67
108
— 2 , 01
— 28 , 27
120
— 2 , 01
- 29 , 91
l32
- 2 , 07
- 3i , So
SULLA TEOR. BELLA RESIST. DeVlUIDI D1 JuAN I07
II
Immersione 12 poUici
/i = 4 , 40 linee
Altezze
Linee
24
36
48
60
72
84
96
108
120
l32
Differenze
tra lo sperlni". , e la
formola [e — h)
Linee
— 4 , 00
— 3 , 90
— 3 , 5o
— 3 , 40
— 2 , 90
— 2 , 90
— 3 , 20
— 3 , 20
— B , 20
— 3 , 5o
Differenze
tra lo sperim'^.j e la
formola (y/7—^l^Y
Linee
— i5 , 80
— 20 , 3o
— 23 , 90
— 27 , 00
— 29 , 70
— 32 , 5o
— 35 , 60
•— 38 , 00
— 40 , 40
— 42 , 86
io8
A V A N Z I N »
III
Inimersione 12 poUici
/i =r 5 , 36 linee
Altezze
Linee
34
36
48
60
72
84
96
108
120
l33
Differenze
tra lo sperim^. , e la
Jormola {e — h)
Linee
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
96
46
36
36
a6
26
46
46
46
56
Differenze
tra lo sperbif., e
Linee
— 16 , 90
— 21 ,60
— 25 , 64
29
32
35
39
5o
84
94
14
41 , 54
44 ■> 94
46 , 99
i^
SULLA TEOK. DELL A RESIST.De'fLUIDI DI JuAN 1 09
Differenze
tra le pressionl dello speriniento , c delle formole
md h .dt [t -^ h sirC 4 ) , mdb .de [\/ e -^ -u sin^Y
0
= 67°.
h — i3 , 74
AUczze i
Di^L-rcnzc tra to sperim''.
Differenze tra to spertm*.
e Id f ormolu (t -t-h siii^ 9 )
e la /ormolu (^ i ■*■ '^ u sin 6)*
Linee
Linee
Linee
10
- a , 36
■+■ 9 , 22
39
— 0 , 86
-*- 41 ' 7^
9«
— 0 , 36
-4- 64 , 74
100
-♦- 1 , 64
-+- 69 , 8«
i3o
-♦- 5 , 64
-*- 83 , ^5
II
6
r 0
/l _ 9 , 54
Altczzc (
Differenze tra lo sperim.
Di ffcrenze tra lo spertni.
c la /ormolu ( t + /i sin' 6 )
e la /ormolu (■>/ t ^ j^ u sin i).
Linee
Linee
Linee
24
- I , 73
-+- 19 , 66
54
— 0 , 98
-+- 3 1 , II
78
-+- 0 , 27
-*- 38 , 84
108
■+■ 1 , 02
-+- ^6 , -^l
113
-+- 4 , 87
-+- D^ , 24
'"■■' ^— - "*-^^— — — T
no
AVANZINI
III
6 = 23".
h — 9 » 54 linee
AUeMze i
Linee
26
57
84
I 12
129
Differcnze tra lo sperim.
e la formola {t—h sin' 6 )
Linee
- 0 ' 77
-»- 0 , 53
-t- I , 23
H- I , 98
-t- 3 , 39
Differcnze tra lo sperim.
e (V~ — 1 " sin 6)'
Linee
•+■ 11 1 72
-H 19 , 12
-t- 23 , 83
- 2 8 , 11
— 3i , 45
SULLA TEOIl. DELLA RESIST. De' FLUIDI DI JuAN I I I
Differenze
tra le pressloni dello sperimento e delle formole
mdb.di{e-~hsin'^), mdb.de {\/~7— - u sin 6)'
8
fl
- 67'.
h — 1 3 , 74
AUezze i
Linee
to
39
91
100
i3o
Dijferenzc tra lo sperini.
e ( I — A sin' « )
Linee
- 8 , 64
- 8 , 65
-7,65
- 6 , 90
- 7 ^ 98
Diffcrcnze tra lo spcrim.
« ( V~ — 5 « sin % y
Linee
- 6 , 94
- 27 , 98
- 49 . 45
- 5i , 85
- 62 , 5o
II
d
- 45".
/i — 9 , 54
AUezze I
Diffcrcnze tra lo spcrim.
c ( t — /j siii^ i )
Diffcrcnze era lo spcrim.
e ( V t — g u sin 6 )=
Linee
Linee
Linee
24
-+- 0 , 23
- II , 63
54
-+- 0 , 23
- 22 , 33
78
— 0 , 52
— 29 , 56
108
— I , 44
•— 37 , 3o
ii3
— 1 » 27 — 42 , 21
113
A V A N Z I N I
III
9
- 23°.
h — 9 , 54 linee
Alcezzc (
Diffcrcnzc tra lo speiiin'.
Diffcrenzc tra lo spcriiu''.
c {( — h sin' e )
c ( ^/ t — i u ija 9 )*
Liiiee
Linee
Linee
26
-H 6 , 54
— 2 , 85
^7
-+- 6 , 54
- 8 , 77
84
-+- 3 , 54
— i5 , 67
1 12
-H 3 , 34
— 23 , 09
129
-t- I , 54
— 22 , 96
78. Un'akra prova die la formula mdb.cle[edzh)
esser dee molto nieno inesatta della forraola
m
d b'. d t (\/ e dz-u)" si e questa: che la resistenza
a
otteiiuta dalla prima s' accosta assai piu a quella of-
fertaci dagli sperimenti che non fa la resistenza dedot-
ta dalla seconda. Per la. m db.de {(± ^u)\3i resisten-
za. dovrebbe essere ^ mb a a (a)^ ossia 2. mb ah., e
per la m db . di{\/ i±: -uY ., ^ {ui\/ e -^ ^ ),
(a) § 644. Opera citata.
SULLA tlor.dellauesist.de'fluididt Juan I IJ
m h
(§ 39)1 ossia "^ {?, a >y ah-i-h^) siipposta It I'akezza
dovuta alia velocita u. Dal confronto di queste resi-
steiize con quelle degli sperimenti del § 62 risiiltaiio
le diderenze notate nelle segueiiti tavole ,
1 b^f, p.ed.
a — 1% piedi
i Mezzi 1" spesi
Differcnze tra Ic rcsistcnze
Difficrcnze tra le resistenze
a pcrcorrere
5o piedi
sperimcntali , e
2 ni b a h
spcr'unentali , e
Marchi
Marchi
41 , 75
37 , 80
34, 75
32 , 5o
8
10
II
10
72
76
80
81
29 , 90
1 1
8 +
II
r
3^ piedi
a
= n P'efJ'
Mczzi 1" spesi Diffcrcnze tra le resistenze
a percorrere
So piedi
52 , 00
46 , o5
42 , 07
37 , 25
35 ,^
T, 11.
spcrimentali , e
a rah h
Marcbi
8
II
i3
18
»9
P. 11.
Differenze tra le resistenze
spcrimentali , e
I '6 a y/ ah + hi)
3
Marchi
119
i33
144
1 59
i65
lb
114
A V A N Z I N I
HI
b = :
4 piedi 1 a = ^ piedi
Mczzi i" spcsi
a I'd comic
So piedi
Diffcrcnze tra Ic icsistcnzc
spcriniciitali , e
•2 a in b h
Diffcicnzc tra le rcsisicnze ,
spciiinciitdli , c
Marchi
]\hn 111
5o , 75
46 , 5o
i3
i5
181
196
^1 , 00
36 , 5o
33 , 69
19
24
27
2.7 ■
a 5. 3
79. Per cio the risguarda gli speriineiiti ai rpiali il
sig. Juan ap[)oggia la sua leona in gent-rale abbianio gia
d»-tto al § 6 che iiitti resiringonsi ai cinqne accennati
nel paragrafo stesso. Ora ve<lreino che <la nessnno di
essi niente si pub al certo inlVrire ne pro ne comro le
formole fin qui esaminate, e (hegh, fondato massima-
nienre sui risultati di quei speriinenti, crede di dover
adottare per vere.
E ijriinierainente e manifesto ch' essi non ponno deci-
dere circa le formole delle pressioni elenientari, noa
essendovene alcuno col quale siensi investigate tali
pressioni .
Egli e poi facile da conoscere che non ponno de-
cidere nemmeno della veriia o falsita delle furniole
(/?), (7?') della resistenza.
Non i due primi, dei piani rpttan'j;()lari p«!posti
perpendicolarmente airazioae di due correuti d' acqua,
SULLA TEOU.DELLA RESIST. DL'fLUIDU)! JuaN I iS
poiche qiiand' anche essi piani non fossero stati afl'at-
to immersi neU'accjua, e eviclente die gli urti del fliii-
do potrebbero non diflerire grandemente da quelli del-
le Ibrniole (/?)j {H') non gia perche esse fosser ve-
re ma solaniente y^erche il solido losse un piano soc-
tile, non un parallelepipedo, e percbe fosse il lluido
cbe si movesse contro il piano, e non il piano contro
il lluido, come lo ricliiederebbe il caso cbe si esami-
iia. h\ faiii non poirebbe essere cbe intanto il piano
immerso a maggiore piofondita nella corrente avesse
incontiata maggior resistenza cbe immerso a profondi-
ta minore, unicamente percbe a maggiore profondita
r acqua avesse velocita maggiore? JNegli sperimenti di
Juan non e notato se la velocita della corrente siasi
misurata misurando la velocita della superficie, oppu-
re la velocita media delle due correnti d' acqua urian-
ti il piano nelle due dilferenti altezze. Quando parlero
della teoria di Juan relativa all' urto de' lluidi discu-
tero con maggiore dettaglio i ragionamenti faiii su ta-
li sperienze.
Intanto rilletteremo cbe se queste potessero pro-
vare in favore della formola cbe risguarJa la resisteu-
za incontrata da un parallelepi[)edo moventesi per I'a-
cqua tranquilla, a piu forte ragione dovrebbero deci-
dere in favore della formula medesima gli sperimenti
del § 62. Ora essendo questi, sebbene eseguiti nell'a-
cqua quieta e sopra parallelepipedi, contrarj del tutto
alia formola sopraddetta, ne dedurremo di necessaria
conseguenza cbe gli sperimenti dei piani immersi nella
corrente debbono essere insufficienti per lo meno a pro
vare la venia della formula inedesnua.
11 6 A V A N Z 1 N I
Veramente fa sorpresa che ipotetiche come sono
per sua siessa confessione (a) le f'ormole di Juan , si
voglia da esso, e da alcuii altro geoinetra, die lo spe-
rinieuto particolare de' piaiii immersi nella correiite
comprovi le forniole suddette, e piu ancora sorpiende-
rebbe se qnesto speriinento si volesse preferire agli
sperimenti da noi istituiti o citati che le dunostrano
tanto loiuane dalle vere.
8o. lo certamente nori vorro poi persuadermi che
da qualcuno possa avvisarsi essere troppo in piccolo i
nostri come i sperimenti de' matematici fiancesi, oiide
possan decidere veramente contro la teoria di Juan. E
quanto ai nostri mi restringero a far ridettere che ese-
guiti in grande, ch'e quanto dire, con parallelepipedi
che s'immergono a maggiori altezze f , e si muovano
con maggiore velocita a, ben lontani dal favorire la teo-
ria del geometra spagnuolo dovrebbero per lo contra-
rio mostrarne piu decisamente I'imperfezione . In faiti
considerando le tavole degli sperimenti del § 49 si ve-
de che le differenze tra i risultati della formola
mdb.de{\/e -+--7iy e quelli della sperienza crescono
moltissimo e regolarmente crescendo «, ed u.
Circa gli sperimenti de' matematici francesi da nes-
suno ch'io sappia si e messo in dubbio se essi possano
essere decisivi per cagione della loro picciolezza, e fa-
rebbe certo sorpresa se questi sperimenti fatti con tanta
esattezza, e ripetuti tante volte, e de'quali non pochi '|
furono instittriti -piu in grande di cjuelli de' piani im- >}
(a) g 6.1.4. Opera citaca .
SULLA TEOU. DELLA RESIST. Dl' FLUIDI 1)1 JuAN 1 I 7
mersi nella corrente, si volessero posporre agli speri-
menti de' piani medesinii , quand'anche quelli provas-
sero pur qualche cosa in favore di Juan.
81. Quanto al 3° speriinenio di questo geometra
consistence nella velocita delle navi la quale, calcolata
con la sua formola, trovo convenire con la velocita os-
servata, dico clie neppur esso come i due prinii puo
comprovare la giustezza della sua teoria nella parte che
risguarda il caso clie presentemente consideriarno .
Quando parlero della teoria di questo geometra re-
lativa ai solidi dotati di una figura simile a quella de*
bastimenti, vedremo che neppure la corrispondenza tra
la velocita delle navi calcolata con la sua formula, e la
velocita osservata , e sufficiente a dimostrare ch' essa
fornmla possa adottarsi come vera almeno in questa
circostanza, che sarehbe delle piu importanti.
Ma una tal prova sia pur anche se si vuole favore-
vole alia teoria spettante alia resistenza incontrata da*
bastimenti, dico ch'essa poi non puo esserlo in alcun
modo alia teoria medesima applicata al caso de' paralle-
lepipedi. Tn f'aiti non potrebb'essere ch'essa teoria fosse
falsa in riguardo ai parallelepipedi e che gli errori ch'es-
sa contiene venissero a distruggersi quando si applica
alia resistenza incontrata dalle navi dotate di una figu-
ra ben dilTerente da quella de' parallelepipedi ?
82. Finalmente per cio che spetta al quarto e quin-
to sperimetito di Juan e manifesto ch'essi appartengono
a due casi tropj^o diversi da quello che si e finora di-
scusso, e che quindi non ponno assolutamente addursi
in prova della veriia della formola spettante al caso
medesimo.
ii8
A V A N Z I N I
CORREZIONI E NOTE
ad alcuni paragrafi delle memorie precedenu
( I ) Le due ultime tavole del § 5 {Osseivazioni ,
e sperienze sopra la teoria della resistenza de' Jluidi
del slg. Juan) si cangino nelle segueuti.
Pressioni
Pressioni
Diffcrenze
dcllo
della
sperimento
formola
Linee
Linee
Linee
201
3 18 , 07
ri7 , 07
202
319 , 24
117 ' H
204
828 , 96
124 , 96
205
332 , 52
127 , 53
222
387 , 64
1 65 , 64
225
599 , 29
174 , 29
23o
414 , 75
184 , 75
232
4'9 ' 74
187 , 7^
SULLA THOU. DELLA RESIST. DJe'fLUIDI D1 JuAN 1 1 9
Prcssinnl
ddlo
spcriniento
Pressionl
delta
formola
Differcnze
Linee
Linee
Linee
171 , 00
82 , 84
- 88 , j6
170 ,95
80 , 97
- 89 , 98
i63 , 95
59 , 89
— J 04 , 06
i5i , 00
40 , 26
— no , 74
I So , 00
38 , 71
_ III ,29
(2) Nel § 36 della stessa meiuoria in luogo del'
la espressione
(i-*-5) (a;-Hjtt-4-A) : — I z dz . u
7 -^
— {h' -4- 5') (x -H « -H 1^'- A) -H ti^ fz' dz' .u' si legga
(J-+-B)(a?-+-A)-f-^.jot : — ? I z d z . u
^\h'-^B') {x-i-ci — h)^b'.^'
a . 22
fz' dz' .u'
e invece della formola . . (aj si ponga
A {2 h — c() -i- b . lA — 6'./*'—- ~ ' ^^ ( / z d z . u — /z' d z' . u')
120 A V A N Z 1 N I
(3) L' eqiiilil)rio delle lamine clie servlrono agli
sperimeiui della memoria i." Nuove ricerche ec. si ot-
tenne (come puo rilevarsi dal § 19 di essa memoria,
e dai §§ precedenti, e successivi) quando esse lamine
trovavansi gia del tutto immerse nel tliiido. Di modo
die il cosi da me deito centra di gravita dellc lamine
era il ceiuro comune della loro gravita as'soluta, e della
spinta verticale del lluido. Da cio, e da quanto io fe-
ci osservare nella suddetta memoria rendesi manifesto
che nei sopraccennati sperimenti la spinta verticale del
fliiido non poteva in alcun modo distrarre daH' asse
deir eqnihbrio delle lamine il centro di resistenza ad
esse opposta dal tluido, e che il principio da me as-
snnto , che il centro di detta resistenza dovea cadere
su I'asse medesimo d'equilibrio e rigorosamente e ge-
neralmente vero.
(4) Gli sperimenti del § 28 {Osservaziont , e spe-
rienze sopra la teorui di Juan) si fecero in un gran
vaso d' acqua alto piii di cinque piedi, e largo quattro
incirca, cosi che si scorgevano benissimo i moti del
pendolo descritti nel medesimo § 28.
121
IVr E ]M O R I A
SOPRAICRITERJ
chc cUstinguono i Massimi dal Minimi clelle Fortnole
Jntegrali do p pie.
Dl ViNGENZIO BllUNACCI
ricevuta il di 8 di Aprile 1801)
I
.0 non so die alcuno siasi avvisato di spingere le
dottrine sopra i criterj che distinguono il inassiino dal
miniino, siiio alle lormole iutegrali doppie. Egli e ve-
ro che tal ricerca e una delle piii scabrose iiel per-
fezioiiamento dtiranalisi; ma e altresi indubitato che
essa e iinportantissima per la determinazioue di quel-
le siiperticie, le quali goder debboiio di una certa
proprieta di massiuio e di iniiiiuio.
Per cio che riguarda le t'ormole inregrali sem-
plici Legeudre il primo ne asseguo i criterj (i). lli-
prese a tratcare ([uesta dottriua il Lagrange ed al-
cune condi/ioni aggiunse alle tbrmole del primo (2).
In seguito (3) io niosirai come Legeudre, ira-
(1) Alii dcir Ace. R. di Fiaiicia del 1780.
(2) Teoria delle Funz. Aiuilii.
(3) Atii dcir 1st. Naz Ft^l. Toui. I. i\ II.
Tom. J I. P. IL 16
122 B U
U N A C C I
sciiraiulo alcnnl termini dilVerenziali del secondo or-
diiie, clie ei doveva apprezzare, si era iiigaiinato in
una certa classe di casi, e corressi le di lui formole.
Ora mi propongo in questa memoria d' indagare
i crircrj per distinguere il massimo dal minimo delle
formole integrali doppie, cioc di J f"^ d x d y, e co-
si di portare un cjualche avanzamento nella dottrina
generale dei massimi e dei minimi, (i)
Onde poi riesca pin semplice la lettura'di que-
Pto scritto, incominciero a trattare di nuovo le teo-
rie soj)ra i cricerj degli integrali semplici, per cosi tar-
mi straila a qnelle, clie sono Toggeito della memoria.
§. I. Essendo ^ una fnnzione di x , y, si diman-
di qnal relazione esister debbe tra quelle due varia-
bili, onde f^vdx riceva un valor massimo o minimo
estendendo T integrale da x = a siao ad x = 6; e
quale debbe essere il criterio per distinguere il mas-
simo dal minimo.
Se noi iudicbiamo per w una qnantita qualun-
que indeterminata fnnzione di .«,/, le leorie spiegate
nel cap. 16. del mio corso di cal. sublime ci danno
r equazione (y— ) = o per stabilire quella relazione
tra X ed y.
Le stesse poi ci dicono che per distinguere il
massimo dal minimo coaviene esaminare se Tintegra-
w' ( -7— t) d X esteso tra i limiti x = a, x = b e
a r '
(i) Questa dottrina generale di massimi e (niniiiii h auche cotiosciuta
sotto jl titolo di Calcolo delle Variazloni.
MASSIMI E MINIMI DEGl' INTEGRALI DOPI'J 123
una qunntlti positiva o negatlva: se e positlva la for-
mola f'i'dx e minima; e iiel caso diverso e massima.
Ora nel liiogo citato si dimostra questo Teorema
„ L' integrale f f (x) d x esteso tra i liiniti x = a,
„ x = b, essendo b > a ii seinpre una qiiantita posi-
„ tiva se tale sempre si conserva / (r) per tutti i va-
„ lori possibili die ponno darsi ad x compresi tra
„ X = n , X = 6, purche pero nessuno di qiiesti va-
„ lori renda infiniti alcuiii dei coeflicieriti differen-
„ ziali (7-) 1 (7-4)? ec; ovvero e negativa se quei
„ valori sono tutti negativi.
0)' ( -J— J ) d X esteso tra i
limiti .r = a , X = 6 e positive, se la quantita (7—1 )
e positiva per tutti i valori di x tra i limiti a , b; e
negativo se quella quantita c negativa per gli stessi
valori; dunque la relazione tra x,y condurra al mas-
simo o minimo se la quantita (7— r) e negativa o po-
sitiva per tutti i valori di x compresi tra x = n,x = b ■
A questa condizione conviene aggiungere clie
d T
rappresentando (7-1) per F (x), non sia infinita al-
d F d^ F
cuna delfe funzioni /"(x), (-7- ) , (7— i)-) ec. per qual-
(t X CL 90
cheduno di quei valori di x.
(J y ,
124 B R t; N A C C I
§. 2. Essencio "¥ una fiuizione di x,y, {''-)=p,
il Cap. citato nel § ant. ci insegna clie la relazione
dv
r/T,
dataci (Jall'eqiiazione ( -^ ) -- - d ( j—) =0, ren-
dy
d X
dera I'integrale f ^ d x massiino o rninimo tra i liniiti
dati X =: a , X = 6; e che pt^r distingnere il niassiuio
dal niininio conviene esaniiiiare se iiKlipeiideutenieu-«
te dal valore di a, \ iiiteo;rale
/;
"^-rz^)-^''''^!-)^ 1—1-) -^ -7- b- ' \'^'''
d y dx dydp dx dp
e una qnantita negativa o positiva, esteso tra i liini-
li X = fl , X = 6 .
Indicliianio per L , M ^ N qnei roefficienti dif-
ferenziaii, e I'integrale preadera la tbrina
A
■ji L
^.(i:f)M^Cl^yN\dx.
d X d X '
Sia (? -H y f* quella porzione sbavazzata dal se-
gno sonunatorio, die [)no ottenersi [)t'r mezzo delTrf-
fettiva integrazione, ove C e supposto costaiiit , e ^ iuu-
zione di x.
Avreino allora
/*L'L-H3c-(4^')3/-H(l:')Wj^a;=C-H-.«'-H/7a-'(Z-(^-''))-H
J *■ dx dx ' y t dx
.{^){3i^u)^{pyN}d^
d X d X
MASSfMI E MINIMI DEGl' IXTEGR\LI DOPPJ 125
Dovra clunque essere questo secondo membro una
cjiiaiuita lu'gativa nel inassimo, positiva nel minimo,
ebtesa I' inteo,razione tra i liiniti x = n ^ x = b .
Ptr (io (he riguarda la quanfiLa adeita dal se-
gno integrate, sara cjuesta una quaniita positiva, o
negaiiva se tale e la qnauiiui
ax ax ax
per tiirti i valori di x compresi rra a e 6.
Ora dalla onlinaria teoria dei massimi e dei mi-
nimi si sa clie una quantita di qnesta forma
ax ax
e positiva indipendentemente dai valori di w e di
( .— ) se le due quantita A,C j sono quantita po-
sitive; e negativa se quelle sono negative; dunque
qiielP integrale sara una qnantita positiva tra i li-
niiii X = a , X = b, se le quantita
dx' , N
saranno positive per tiuti i valori possibili di x da
a- = (I sino ad x = b; e sara la snddetta quantita in-
tegrale una qnantita negativa, se tali saranno qneste
due idtime qnantita.
Prr soddi^fare alia condizione che rende positiva,
0 negativa la secoadd di quelle due quantita, uoi po-
126 BuUNACGI
tremo disporre dell' arbitraria y, la quale potrebbe
anche determinarsi ia modo cbe si aiimillasse la me-
desima quaniita. AUora il mdssimo, o miuliuo ci sa-
rebbe dato dall' essere negativa, o positiva la quan-
tita N, cioe ( -r-r ) per tutti i valori di x da x = a,
^ dp ' *■
sino X = b.
Riguardo poi alia porzione sbarazzata dal segno
iiitegrale, cioe C -t- u w\ estesa qiiesta tra i limiti
X = a , X = b, o dcbbe esser nulla tanto pel niassi-
mo cbe pel minimo, ovvero positiva ntl minimo, e
negativa nel inassiino. Indicbiamo per ("«')" il valo-
re di vu' al principio dell'integrale, cioe quaudo x = a,
ed avremo C -♦- (y «')'' = o, quindi C = — {" ^^f ^ ed
u 0)*— (t/ (j')° sara allora quella quantita. Estendiamo
r integrale sino ad x = 6, e sigiiificbianio per {<j w'y
il valore di v w* in cjuesto limite, ed avremo (' «')' —
(yw*)°, cbe debbe essere o nulla tanto pel massiino
die pel minimo, o negativa nei massimo e positiva
nel minimo, e tutto cio dando ad w il valore cbe le
condizioni del problema esigono nei limiti delT inte-
grale, o lasciandolo indeterminato se quelle condizio-
ni non lo determinano,
A tuttc queste condizioni conviene aggiungere
che nessuna delle quantita L , M , N , i', ne dei lo-
ro difTerenziali, divenga infinita per qualcuno di quei
valori di x.
§. 3. Essendo ^ una funzione di x jy,{—^)=p,
{-j—i ) = <2^ se si cerca la relazione tra x ed y onde
MASSIMI E MINIMI DEGL INTEGIlALl DOPI'J I27
r integrale f-v d x esteso tra i limit! x = a , x = b,
sia uu massiino o un miniino, si avra questa rela-
zioiie dair iiuegrazione dell' eqaazione dillerenziale
( )- d {-—)-^—-^d ( _ ) = o
ay ax dp ax d q
Oiule poi distiiigiier si possa il massimo dal mi-
nimo coiivieiie esainiuare se la quantita
dx dx d q dp d X d q
e negativa o positiva
Scriviaino cosi quest' integrale
/
Sia C-t-d:«^-4- 0. ^ u { -7-) -^ y { -J- y q^i^ll^ porzione
sbarazzflta dal segno integrale, che puo ottenersi con
Teirettiva integrazione. Per C indicliiamo una costan-
te, per « , |3 , ? funzioni di x da determinarsi.
JNoi avremo dunque
dx I dx dx
[.l/-(^;;)]«v.[i^^-«-(^)]^•('^)H-2(p-/2)«rjl-:)-H
ax d X dx dx
A
A
128 BnUNAGCI
(/ .1' (I X a X a X a x '
Poniamo 5 = ^; I{~yz=A-, P -p = J"; ()- a /3 -
rintegrale del secoiido membro della superlore cqua-
zioiie prendeni la lorma
/
<l U)
2 B' <» {—) -^ C <o' Idx.
ax )
Quest' integrale sara pol positive o negative, se la
qiiaiitita sotto il segno integrale sara positiva o ne-
gativa per tiitti i valori possiljili di .r, coinpresi tra
i liiniti dell' integrale x = a , x = b.
Le coiidizioiii perche quella qiiaiitita sia positi-
va o negativa indipendentemeiite dai valori di w ,
(,-),( ,— , ) si haniio dalla ordinaria teoria dei mas-
dx^ ^ dx '
sum o del minimi; ponendo ' Z!* = ^ — -; L' = B' —
A' A" A"^ L'^ . .
— ;— ; Mz=C -; X=]\I — — , la indicata teoria
A A L *
ci dara y^>o, Zi>o,^>o, per le condizioni che
stabiliscono l' essere positiva quella quantita sotto il
segno integrale; e le inverse per T essere negativa.
d'v.
Se dunriue sara 5>o, ovvero {-,— ^)>o
^ a q
, avre-
I
3IASSnrT E MIXIMJ DEOL INTECRALI DOPTJ 1 29
ino il mliiimo, piirclie nello stesso tempo possano aver
luoji^t) le altre clue cotulizioiii Z/ > o , X> o. VI sa-
ra poi il massiino se S < o , purclie possano nello
sresso tempo aver luogo aaclie le altre due concUziuiii
Z<o, A" < o .
INulla abl)iain detto sin <pii sopra la deterinina-
zione delle quaiitita a , "3 , v ; ebbene; dovrau'io ipie-
ste determinarsi in tal modo clie si adem[)iano le
condizioni da unirsi a quella dataci da .S.
Se poi si volesse die dalla sola »S ci fosse dato
il criteno per disiinguere il inassimo dal minimo, al-
lora dovrenuno deterniinare x , li , y in tal guisa clie
fosse L =: o , JT = o. Essendo ^Y = M ,- , sara
31 L — L'^ = o y quindi L' = o . Le due equazioni
adunque saranuo
{N-.-Cil)\S-{ll~y){P-(i) = o.
Ove si vede clie tre essendo le indeterminate, e due
le equazioni, resta sempre u\\ indeterminata al no-
stro arbitrio^ la (juale ci poira facilitare di molto i
calcoli.
Quelle condizioni poi debbono verifirarsi per tnt-
ta V esteusione deir integrale, cioe per nuti i valori
da x = b ad x = a. E qui conviene pure osservare
die nessuna delle quautita xl/, zV, P ^ Q ■, /^, 5, ^ , ,i, y
divenga inlinita per alcuno di quei valori di x.
U. IL i\ If. 11
l3o C 11 U N A G G I
iapporto alia qiiantita «&• -f-2«(— )/3_7/(— )
se noi la rapprescnteremo per {A) al principio deirin-
tegrale, e per {B) alia fine, dovremo avere (B) ~
(A) t= o pel massiino e pel miiiimo, ovvero del me-
desinio segno di 5. A qneste condizioni potremo sern-
pre soddisfare e per mezzo dei dati del problema nei
liniiti deir integrale, e per mezzo dell' indetermina-
zione che resta nei valori di « ^ (3 , y.
E di qui senza progredire piii oltre, scorgesi co-
me ci dovremmo regolare se la Funzione "f contenes-
se anclie i coeflicienii dillerenziali del terzo ordine
</* r
( -T— 3 ) e dei siiperiori .
§ 4. Veniamo alia formole inr.egrali doppie .
Dal Teorema, che noi abbiamo riportato al § i,
dediirre si puo quest' ahro .
„ L' integrale doppio f f F {x , y) d x d y, ( nei
„ limiti del quale y e una funzione di x) esteso rap-
„ porto ad y da y = u = ^ (x) ad y = /3 = cp' {x)^
J, e rapporto ad x da x = a ad x = 6, e sempre una
„ cpiantita posinva, se F{x^y) e positiva per tut-
„ ti i valori di y da y = <p {x) = » ad y = $' (x) = ^,
„ posto /3>«, daudo ad x tutti i valori possibili da
„ X ■= a ad X = b.
Sia in fatti /F {x , y) d y = f{x , }')• ^^ ^^ P*^^
teorema citato clie sara f {x , <p' x) — f {x , <? x) una
quantita positiva se tale sara F{x,y) per tutti i
valori di y da y ^ <p x , sino ad y = <i>' x conside-
randosi x come lui valorc lisso e costante . Sia
MASsnn E MINIMI degl' in tegrali doppj i3i
^x=f{x,cp'x)— f{x,<px), ed a viTiiio
f d X f F {x ^ y) d y = f "V X . d x
Rappresentaiido quest' ultimo integrale per rx,
si sa egualmente che sara v b — va una quaniita po-
sitiva se Yx e tale per tutti i valori possil>ili da x = a
slno ad x = 6 . iNIa y x ovvero /"( x , <?' x ) — /( x , c|) x )
e positivo per tutti quel valori di x se per ciascuno
di essi c positivo F{x^y) dando ad y tutti i valo-
ri possibili da y = $ x siao ad y = $' x; duuque T b —
va sara una quautita positiva se F{x^y) sara sein-
pre tale per tutti i valori che si ponno dare ad x da
X = a sine ad x = 6, e per tutti i valori simultanei,
che si pouno dare ad y da y = <j) x sino ad y = $' x,
di modo che ad ogni valore di x corrisponde un nu-
mero iufiuito di valori per y.
Cosi fatto X = m, se i due valori estremi della
y sono y =z M ,y = M\ dobbe /^(x , y) essere una
cfuautita positiva per tutti i valori di y da y = M
sine ad y = M'.
Oltre questa condizione, la quale stabilisce quan-
do r 6 — r a e una quautita positiva, conviene ag-
giungere quest' altra, die nessuno dei differeuziali par-
ziali di (pialunque ordiue di F {x , y) divenga iuliui-
to per qualuutjue di quei valori particolari di x e di y.
Oude il valore di quest' integrale doppio fosse
negative, dovrebbero essere tali tutti i valori di F
§ 5. Rappresentando per t una qualunque fun-
zione di x , y , z, si cerca la relazione che esser deb-
be tra queste tre variabili, onde 1' integrale doppio
1 32 B u n N A. c c I
f ff d X d y csteso tra i liiniti ,v = a , x = ^^ , y = cj^ ;v,
'>=^'x, (livciiga massiino o ininiino, eel i criterj per
clistinr>;nere il inassimo dal nilnimo.
Supponiamo die z cliven<j;a z r*z i '^ essendo w viiia
qiialimqiie fmizioiie in(Ieieni)inara di :i, y; ed i una
costaiue, cui si puo dare im valore qiiaiito si vuol
piccoIi>simo.
Per (jiiesta supposizioiie la nostra formola diverra
yy^ d X d'y±ijy^{ 'II) . dx<h H- '^-ff{'Ll^)/dxdy± ec.
Oiide diinquesiavi il niasslmo od il miniino dovra esserc
J J (' ~) ui d X dy = c.
d Y
Quest' equazione ci da subito {-?- ) = o, cbe confer-
ra la relazione cercata tra s , x , y, onde quell' inte-
. grale doppio sia massimo o minimo. Sara poi niiiii-
mo se la quantita f f ^^ ( — . ) d x d y sara positiva ;
massimo se negativa: ora a-* essendo sempre positivo,
quest' integrale doppio esteso tra quei liniiti sara j)0-
r/" ^
siiivo o negativo se lo sara il cotfliciente (7-7) P^"^
tntti i valori possihili da y = ? x ad y = ^' x, om-
binati con tuiti i posslbili da ,i=rt, ad x = 6; clun-
que il proposro integrale / /^ d x d y esteso tra quei
prescritti limiii, avra uu massimo o mluimo valore se
tra x\y ^ z vi sara la rela/ioue dataci dall' equa-
MA.SSIMI E MINIMI DEGl' INTECRALI DOPPJ I 33
, (I ^
zione ( -) = o; e sara iniaiino se ridotta la <7uan-
tita ( ,) a non essere che una fuuzione cli x,j per
llf lit
mezzo della sostituzione di ;: dato per x , y sarii es-
sa (7-7J sempre positiva per tutti 1 valori da y = 4>.'C
ad y ■= (fi' .T, combinati con quel di x da r = a ?ino
ad X- = 6; sara poi inas^imo per tutta la suddeita
(V' f
esteiisione se la quaiitita ( v^) avra un valore ne-
gativo .
A (]u«"s(a coiidizione aggiiignlamo che per alciino
di quel valori della y e della x non debbe la quan-
tiia ( -j) essere infinita; e questa avvertenza inten-
diamo che si al)I)ia anrora in tutti i criterj , i qiiali
daremo nel seguito per quanto non ne faremo piii
parol a .
Se dando ad x e ad y tutti i valori che essi pon-
. cV^
no ricevere entro i prescriiti limiti, i valori di (^— 1)
dair esser positivi passeranno all' esser negativi , e
viceversa , allora in <[u;'lla porzione di snperficie da
noi cercata, avra hiago ed il massimo ed il niininio: vi
sara il massimo per la p )rzione di superficie per cui
1 valori di (-7— r) sono negativi, ed il miiiimo. qnan-
d z °
do quei valori sono positivi .
1 34 B U U N A C C I
Si dlinandi per esempio 1' equazione della super-
licie ciirva per la quale la lorniola
w* / / ■ -— ^ d X d y e uii massinio o un mini-
mo, siipponendo che la superficle passi per un coiv
toriio disegnato nello spazio, e die quella proprieta
debba regiiare per tiitta 1' estensioiie della superficie
conipresa tra quel contoriio, che equivale a dire, clie
r iiitegrale debba estendersi tra i limiti a: = a , x = 6,
y = $ a: , ^ = 1$' X esseudo questi dati dai massimi e
mmimi valori, che ricevouo le coordinate x , y nella
projezione del contorno sul piano di quelle stesse co-
ordinate.
Sara in questo caso (tralasciando m* che resti-
tuiremo alia line)
5 \ -I— ) 1 J [ - — I ) 1 — •
xyz dz xyz dz xyz
Ora r equazione che ci da la cercata relazione e
( .-) = o; avrenio percio nel nostro caso z^ ~ x^ —
y* = o , ovvero s = \/ (-^^ -t- y*)- La superficie che
gode di questa proprieta e dunque una superficie co-
nica, il cui vertice e nell' origine delle coordinate; il
cui asse e lo stesso asse degli z\ ed il cui lato fa un
angolo di 4-5 gradi con I'asse.
Siccotne nell' e([uaziont; trovata non vi sono ar-
Litrarie, cosi non la possianio assoggettare a passarc
per un dato contorno nello spazio, quando questo non
sia tale, che le equazioni da cui e detenninato abbia-
WASSIMI E MINIMI DEGl' INTEGKALI DOPPJ I 35
no necessariamente liiogo insieme con I'equazlone del-
la supeiTicie; cosi se quel coatorno p. e. fosse un cir-
colo j)aralIelo al piano degli x,y, di un ragglo ugna-
le alia sua distanza dal piano orizzontale, allora la
superficie conica estesa quanto bisogna passera per
quel circolo,
Suppoiuamo die non sia prescritto il passaggio
della superficie per quel contorno, nia sia data la di
lui projezione sul piano degli x , y; siano dati cioe
i limiti tra i qiiali estender si debbe 1" integrale; al-
lora la porzione della superficie conica la quale go-
de della voluta proprieta sara quella, die sarebbe in-
tercettata da una superficie cilindrica, il cui asse fos.
se paralldo a quello degli s, e la cui base fosse la
stessa projezione.
11 criterio oude distinguere il massimo dal mini-
mo consiste nell'esaminare se la quantita (-7—1) c po-
sitiva o negativa tra i limiti dell' integrale,
Ora ( -r-. ) = -r—. 5-, . Se dunque suppo-
d z ' xy v ( ^ -t- / )
niamo clie la projezione sul piano degli x , y sia un
triangolo rettangolo die abbia un angolo acuto nell'o-
rigine delle coordinate, un lato sopra T asse degli x,
la cui lungliezza sia ^, e la tangente di queir ango-
lo egnale ad a, saranno j=o^y = ax i limiti re-
lativauienie ad y, ed .1; = o , x = 6 quei relativamcn-
te ad X. Ma quel criterio e sempre positivo per tut-
ti i valori di y compresi tra y = o, ed y = aa\, dan-
i36
J3 U U N A C C I
do ad X' un valor qualunnuo ira x = o sine ad xrzrb,
dan(|ue qufllu supeiljcie gode di una j)ropneta di
iniiiimo.
Se pol noi sostituiaino ii\ quell' integrale dopplo
il valore di :; dato per x e per j, cioc j3 = \/(x' -^ y'' )}
axreiuo la quaniita
/ / 5:— ^^-^dxdy la quale integrata, ed este-
se le iiuegrazioni tra quei prescrltti liiniti, sara uii
niiiiirno.
Ill generale il criterio essendo sempre una quan-
tita positiva, qualmique valori diaino ad x e ad y,
purche sieiio aiuhi posiiivi o ainbi negaiivi, ue segue
clie ipialuuque porzioiie di quella superlicie conica
godera di ([uelia proprieta di miniiuo, se pel coutor-
no della di lei projezioue sul piano degli x , y, que-
ste coordinate saranuo positive nello stesso tenij)o, o
nello stesso negative. Quando poi la porzione della
superficie couica sara tale die delle coordinate del
coiitorno della sua projezioue una sara positiva e Tal-
tra negativa, allora essa godra della proprieta del
niassiino.
dz
% 6. Sia Y una funzioue di x , y , s, e (— - ) = p,
ax
e vogliasi la relazione tra x,y,s onde f f ^v d x d y
esteso tra i linuti come e detto sopra , sia massinio
o uHuinio, ed i criterj per distinguere il massinio dal
inininio.
Se uoi pouiamo z :±. I <>> in vece di ;; la nostra
furiiiola divcrra
MASSIMI E MIXIMI DEGl' INTEGRA LI DOl'I'J ] 3 -7
Dovra dunque csscre
tra quei limiti; e tra quei medesimi I'integrale doppio
dovra essere negativo nel massimo e positive nel mi-
ll iino.
Ora
dunque
a z d X dp
sara \ ecpiazioiie die ci determinera la relazione cer-
caca tra le variahili x , y , c.
L'lntegrale poi/^(~)(/y, (il quale dee ri-
T. IL P. 1 1. ^' i8
lV3 B U IT N A C C I
giiartlarsi come una fuiizione di x,y, giacche vi dob-
l)iamo sostituire il valore di z dato per x,y) esieso
tra i liiniti prescritti, debbe esser nullo aiicora esso
indipendeiiteinente dal valore di w; cio che otterre-
nio per mezzo delle indeterminate contenute nel va-
lore di z, avendo pero prima riguardo alle xondizio-
ni particolari del problema nei bmiti dell'integrale.
Per r altra condizione sia fi^' ^ d y la qnantita
che puo ottenersi facendo un' integrazione riguardo
ad X, ed avrenio, indicando per P , Q , R le quantita
a z a 'z a p a p
ff> -JP-^ 2 u,{'L^^)Q^{'^^YR J dxdy = f<.' CL dy -H
J J i d X d X d X ]
Ora I'ordinaria teoria dei massimi e minimi c'in-
segna che la quantita
d X ax ax
e positiva o negativa se positive o negative sono le
quantita R , P — { —) — ' ' ; dunque vi sara il
massimo se /? < o;
r. I da.. (Q — ^X ^ 1-1 ••
P — ( -7— ) — -^^-= — - < o ; ed il mmimo se
dx R
il>o-, P--( )-iX__l >0.
dx ii
MASSIMI E MINIMI DKGl'iXTEGUM.I DOI'l'J 1 ^Q
II niassimo ed il miniino sara iudicato dul coef-
ficiente (• -), e la quantita ^ dovra detcrminarsi in
dp
modo che la scconda concii/Jone combiiii con la pri-
ma nello stabilire il massiiDo od il iiiiiiimo.
Qiieste due coiidizioiii debbono aver luogo per
tutti i valori possihili delle variabili x , y compresi
tra i lirnici ad esse assegnati dal problema.
Potrebbe ancbe deterininarsi « onde fosse
d X R
ed allora il solo criterio /?>o, ovvero i? < o ci di-
stiiiguera il niassimo dal minimo.
A riguardo della cpiantita / w' « rZ y, quest' in-
tegrate esteso tra i limiii prescritti dovra indipenden-
teiiiente dal valore di w essere nullo, ovvero nega-
tive nel massiino, e positivo nel minimo, cio che suc-
cedera se sara ^ una quantita negativa , o positiva
per tntti i valori posbibili di y tra i suoi liiniti. An-
zi indicando per (aw")' — ( j; w* )" quella funzione di
y cbe nasce dalP estendere V integrale o* u da uii li-
inite air altro dei valori di x dato per y^ se awi il
minimo, dovra f \ ( i: a-* )' — ( ^ w" )° \ d y esser nullo,
o una quantita positiva, estendendo 1' integrale da an
limite all' altro della y; questo avverra se ( ^ "^^ )' —
(a j' )" = o, ovvero una quantita positiva per tntti i
valori di y presi tra i suoi limiti: cpiando poi vi fos-
se il niassimo d()vra essere (* w^ )' — (» u' f = o, ov-
vero una quantita negativa.
140
Brunacci
Qnesta condizione debbe verificarsl indipendente-
nieiite dal valore di f, aveiido pero riguardo ai da-
ti nei limiti dell' integrale.
Per es. Sia t = y/ ( i -*- p" )i ed avremo
(7-) = ^ , (— )= ^^—-
d z dp V ( 1 -+-/' )
J. ./{1I)=_Z
d X dp ( I ^_ y/ ) :
d'z.
e la cercata relazioue sani </ = o, ovvero ( ,-^) = o,
dulla quale si ricava z =1 x f {y) -^ f {y) essendo
f 1 j' due fuiizicjui arbitrarie di y. Si ba poi
f''^%^'^'=f''
f{y) 'ly
V[ ' -+-/(/)' ^
il quale integrale
debb' essere nuUo esteso tra i suoi limiti. Supponia-
mo che il coucorno per cui passar debbe la su[)erli-
cie sia dato nello spazio, allora i valori di « saran-
110 ill esso nulli; quuidi quell' iutegrale si auuullera
eft'ettivameute.
I criterj poi per distiuguere il luassiino dal mi-
nimo souo dati dalle (piaiuica
Jl , P — { ,-) — ^-^^ — ,/ deterniinando » iu tal mo-
do che quest' ultima espressioue si anuulli o diven-
ga del medesiuio segno di II. Ora /* = o , () = o ,
/? =
{i^p'y
- , dunque quelle quantita diverrauno
MASSIMI E MINIMI DEGL INTEGRALI DOPPJ I4I
{^^p)
_ )-« (l -+-/7 )
J ax
la prima essendo positiva noi avremo il minimo, e
detenninereino « oiicle sia
fix
( ^^ ) H- «* ( I -<-/ )' = o , la quale da
J ( I -^-/Z)- d X
dove C e la costante arbitr;iria che porta V integra-
zione, e che puo esser fuiizione di y.
I'liialiiiente 1' iiiteji;rale y «' « <^^ J^ cioe
d y
{^-^f{xr\-(^-^c)
debbe essere nullo, o nega-
ftivo nel massimo e positivo nel miiilmo. Egli c nullo
percbe u' = o nei bmiii dell' iiitegrale.
§ 7. Se la fuiizione r conterra oltre le quantita
^indicate nel § ant. anche {■,-■)= p ■> allora facendo
d'Y
relazione tra
lie variabili. la quale porta il massimo o minimo del-
fla forinola fj'i' d x d 3-, sara
1^3 BnUNACCI
N- -L (IP
a X
—dp'
d y
D'^vni poi la qiiantita fuPdy-\-fi'i P' d x esser
nulla tra i limiti delie variabili a: , y iiulipendente-
mente dal valore di w.
Iiioltre vi sara il massinu) od il mini mo se la
qnantita
J J I dz dx dzdp dy dzdp dx dp
dx dy dp dp dy dp' )
e negatlva o positiva, estendendo T integrale tra i li-
miti prescritti.
Ora io osservo che dalla quantita f a'^ x d x -t-
f ui^ ^ d y (differenziaiido la prima parte rapporto ad
y, e la seconda rapporto ad x) si ha
/I' « ^/ .c -t- /^' /3 J/ = AA^ ^'( 'i^ ) -t-a « ( 'ij^ ) « -t- e.^ ( ^ ) -f.
/ J J J i dy dy dx
•^ 2. u {^ 'f.) 12\ d x dy ;
d X '
dunque indicando per Q , R , ec. quei coefficienti dif-
fereiiziali (-7— 1),( /_,-)? ec, e supponendo die
iL z iiz tip
f u>^ 01 d X -^ f u^ & d y sieiio le due quantita, che pon-
no aversi scevre di un segno integrale, sara
MASSIMI E MINIMI DEGL INTI'GIl.VLI DOPPJ I4J
JJ \ dx "7 dx dx dy
H-(i±')' ]• Y^<h=f--dx^f^.\ly^ff>^ "'t<?-( ~) - (^)] -»-
-Ha.(^-"){/?_/3)-Ha.(l:^)(5-.)-f-(^^rr-*-i.(l-")(4_>-i-
a« rtj «.r dx dy
^[^)^Y\dxdy.
d y )
A qnesto integrale doppio del secondo membro
diamo la forma seguente
2. B'l~)<^-hC^'ldxdy
dx >
e r ordinaria teorla dei massiml e dei minimi ci di-
ra die quel coellicieiite di d x d y e positive indi-
pendentemente dai valori di «, i j~)A-j—)^ se facte
/t'" A' A" A"'
L = B-— , L' == B' ~ d-A- , 31 — C —±- ,
A ' A A
/f = iJ/-^; sara ^ > o; L > o , // > o.
Dunque queir integrale doppio esteso tra i prescritti
limiti sara positive se J>o,L>o,/f>o, cioc se
1^4
B U TJ N A C C I
a y ax
r
>0i
T-
r
sara poi negative se tutte quelle tre qnantita saran-
no negative per tiitti i valoii dell' a-, e dell' y compre-
si tia quei limiti. 11 massinio dunque o il ininimo
ci sara dato dall' essere
qnantita negative o positive. Dovremo poi prendere
per -z , /3 tai funzioni di x , y, che conq)iaiio T altra
condizione // > o ; o die rendano H=o. Una per-
tanto delle due indeterminate restera arbitraria.
La qnantita f ^^ x d x ■+- f ^^ ^ d y estesa tra i ]ire-
scritti limiti dovra in oltre esser positiva nel niinimo,
negativa nel massimo, indipendentementc dal valore
di w, ovvero nulla nei due casi.
Prendiamo a determinare la superficie per cui la
qnantita
e un massimo o un minimo.
dz.
Avremo in questo caso t = (^)»_ a'( — )% c *
qunidi (^^- )=o, (^) = - 2 a'p , (;7^,) = ^p'; avre
l\lASSIl\tI £ MINIMI DEGl.'iNTEGUALI UOPI'J \ ^^)
nio aJum|ne ])er deterinifjaie il inassiaio, o iniiiimo
(]iieste due eqiiazioni
il/ dx
/% (i {~)d X — / a a' w ( — ) J J m o .
d/ J d X
L' inregrale della prima e 2 = $(x-<-a j) -*- /"(.r — r/ j),
esseiulo <^ ^ F due I'unzionl arl)itrarie: tale sara 1' e-
qua/.ione della supeificie cercata.
Suppoiiiaino che questa siiperficie debba passare
per uii contorno ovale coiidotto nello spazio, le cui
equazioui siuuo y = in x -*- a, z = \/ {r — x' ). Con-
verra detenuinare queste fuuzioiii onde sia compita
quella coiidizione e ci basiera la deterini\iazioiie di
una sola. Deceruiiiiata op[)ortuiiainente la prima fuiv-
zioiie si avra
s = \/ { 3I-{-N{x-^a/) -hL(j; -^-a/Y i -^ F{x-~ay)
essendo
jrj- r' ( I -4- g m y — a^ n*
( I •+- a mf
N=
2, a n
{ I -i- a my
x =
— I
( I -^ a my
Considerando il contorno per cui passar debbe
la superficie, vedremo clie i limiti tra i qnali esten-
der si debbe quel donpio iiiteiirale sono
T.jj. Ail ^^ ^ 19
146 Brunacci
Esaminiarao ora il ciiterio del massimo e del
minimo.
biccome ( -7—1 ) = a , ( —— ) =z — a, a ,
dp' dp
(.^.)
{ ) — i £ = — a a 5
\ip'''
qiialnnqiie valore si dia ad x; dunque dl qiieste due
quantita titia essendo positiva, 1' altra negativa, noii
saranno adempite le condizioni del massimo ne del
minimo; non vi sara dunque ne massimo, ne minimo
in qnella superficie.
Clie la cosa debba essere in questa gulsa si ri-
levera ancora dall' osservare che quella relazione tra
le variabili, da ^ = o, quindi
//"¥ d X d y = ffo d x dy—fdxfo c? y = J a; = o,
se estenderemo 1' integrale tra quei limiti x = — r,
X = r .
Di tutte le superficie curve, le quali si terminano
ad uno stesso contorno disegnato nello spazio, e dato
di posizione, trovare quella della minima estensione.
«
MA.SSIMI E MINIMI DEGL* INTEGRALI DOPPJ 147
L' iiitegrale doppio
ci esprinie restensione cli qualunque porzione di su-
perficie, qiiando estendasi tra i liiniti die si conven-
gono a quella porzione. avrerno dunque
, d z •. , I d z y. (d^ Zs. , /d^ z X
</' z
r = {-, — ^)} ed avrerno
ax ay
,dr,
a z
i'Y
p=(-V^) =
dp y/ ( I
P'
TT »
■P'')
P'=z{'ll)=
dp' ^{i-^-p
■pn
^e V equazione della ricercata superficie sar4
g{i -+-/?'*) -^q' { t -*-p^) — 2.pp'r = o , ovvero
.d z^ /d Zk , d^ z V
ax d y ax ay
equazione a differenziali parziali del secoiido ordine.
148 B U U N A C C I
Per r integrale di qiiesta equazione si veda il
§ 2 515. Tom. Ill del Corso inio.
Ad una si fafta e([uazione dilferenziale parziale
soddisfa r ei(iiazione di u\\ piano z = A -t- B x -*- Cy ^
esseiido // , Z/ , C le costanti die deterininano la po-
sizione del {jiaiio, e cui dobhiamo dare tali valori ,
die Facciano passare qiiesto piano pel coiitorno da-
te nello spazio, coiuoriio die debbe essere ancora
esso tutto ill uii piano.
I criterj poi per distinguere il massimo dal rnl-
uimo ci dicono die il piano c una superficie della
minima estensione.
A qndla eqnazione della inassima o della mini-
ma supoiTicie soddisfa z = A cM^+/v'-«l essendo A ed
» due costanti aibitrarie.
§ 8. Sia ora "¥ una funzione di x , y , s,
I (I Zx id Z^ , iCr Zy, , d" Z X , I Cr Zy. „
e cerchisi la rdazione tra .T,y,s, onde //"¥ d x d y
sia un massimo o iin minimo, ed il criierio die di-
stiimne il massimo dal mininio.
- = ^v,
a z '
Se noi facciamo ( '- ) = iV, C , ) = P •> {^-r—,) =
a z' dp ' a [J '
cei'cata sara data dall' equazione
MASSniI E MINIMI DEGL INTEGRALI DOPl'J I49
ax ax
l.dP'-^-J--
d X dx dy
d'Q' ^=0
d y
, d'Q'
Dovra poi la quantita
/{
,i"+(?''(£^)-.('^')-»(^') 1''^
d y d y ax'
esser nulla tra i limiti delle variabili x , y indipen-
deiitemeiue dal valore di u e dei suoi ditTerenziali,
avuto riguardo alle coiidizioni del problema nei limi-
ti deir inttgrale.
11 criterio poi per distinguere il massimo dal mi-
nimo si desuinera dall' essere il seguente integrale
doppio una quantita negativa, o positiva,
m-'^i
estpso tra i
Ora SI
juantita
d avremo
SI A S S I M I E MINIMI D E G l' I N T E G R A L I D O P P I
i5i
JJ \ ^dz^' \lx' Uzdp' \ly'\lzdp'' ^dx^'^dzdq' dxdy dzdq'' \iy'^d>/-dz'
^/ « dp
dy dp dp
i y d pf
.dui.,d'a., d'r .^„,d-^\i d' a ,, d'r \ . „ /'^"^/'/'i'v, d'Y ,
dx dq dx dxdy dqdq dx dy il q <l ,/'
r/' a
dxdy d a'
^dxdy'^dy''\/.j'd,j"'
^ df ' ^ d q"' '
d X d y
eslcso tra i proscriiti limit! dell' x e clell' y. Rappresentiimo rjiirsta qiiamita per { 3f).
Oia supponiaino die faceiulo una tlelle due integrazioiii possano levarsi di sotto al doppio segno somniatorio le due
<jii;intita
d a ,1
f).^.^:..^'l^t)^^{'Ll)^y^^ii,'L^)f^'LJl)\dy
■' ' a X a X dx ay S
c. * -t-au ( )/3'-t- ( — ) y'-4-a,J' ) ( -_ ) {dx
■ dy dy dx dy '
< '^1 avrerao
(i
Brtjnacci
I 53
"/ dy clx dy
rt* dx
-f- w^ F ^ dxdy
ove e facile vedere clie i valori di quei coefficienti saranno come segue
dpd q" d z d q " d q' dqdq
dp'dq'' ^dpdq'' dzdq' dq
MASSIMI E MINIMI DEGl' INlTGllALI DOPPT 1 5 3
B.= (f^)-(^*)-(!"'),
a pap ax dy
dzdp' dy
£ = ("£!)-. ,3-(4r),
az dp a X
f=(!^)-(l_«)-(!Ll').
a z d X d y
Facciamo
{M)=fGdy-^fHdx^ffOdxdy
e questa quantita dovra essere negativa nel rnasslmo
e positiva nel minimo.
Peiche r iiitegrale cloppio ffOdxdy esteso
tra i prescritti limiti sia positivo, o negativOj convie-
ne che la quantita O sia essa medesiina positiva o
negativa per tutti quei valori cH x , y compresi tra
qiiei lirniti stessi . Per T altra quantita f G d y -^
flldx o debbe qiiesta (estesa tra i bniiti assegna-
ti ) essere nulla, o del medesinio segno di O. Onde
la quantita O sia positiva indipendentemente dai va-
lori di « e del suoi dilTerenziali parziali, si banno le
1^4 Brunacci
condizioni della ordinaria teoria dei massimi e dei
nHiiiini .
Qiiesta teoria ci dice che, supponendo
3I=B- — ; ]\r=B'—dl£' ; M"=B"^-€:^; 3I"'=B"'—^^; 3r=B''-~~ ;
A A A A A \\
iV = C — ^^ ;N' = C' — £-^ : N"= C"— ^^-^ ; iV"'=C"'— ^-1 ■■
A A A A '
) '
L=D-.^-i::i,L'=.D'--d::j^;L"==D'-f:^,\
A " A A ■<
H—E-— ; H' = E'-d-^- ]
A A \\
A '■ :
M M ' M ' M '\.\
M M M l\
^ 7|r»,,i M"'M'''
31 ^ 31
n = i
31 ■ \
5 = P - 1'- i 5' = P'- ^^ ; S"= P"~ £^' ii i
K K K \ ]
A ' ^ A- ' ^
A'"'*
MASSIMI E MINIMI DEGl' INTEGRALI DOPPJ 1 5S
o o
Y=Z-fL ;
sari la quantita O positiva se tali lo saranno le quan-
tita J , J/, A' , iS , JT, Y; e negativa se quelle quan-
tita saranno negative.
Avremo dunque il ininimo se ^ > o , il/> o ,
/<r>o, 5>o, X > o , Y > o ; ed il massimo se
A < o, M < o, K < 0 , 5<o, X<o, F<o, per
tutti i valori possibili die noi possiamo dare ad x,y
compresi tra i limiti .
Le quantita poi « , (3 , y , ^ , a' , j3' , y' , ^ deb-
bono deterniinarsi in mode die quelle condizioni, nel-
le quali esse s' incontrano , abbiano luogo, insienie
con le condizioni indipendenti da esse.
Le tre quantita A^M^K non contengono alcu-
na di quelle indeterminate; cosi la loro determina-
zione non ba luogo die per soddistare alle ultime tre
condizioni, o per annullare quelle ultinie tre quan-
tita; il massimo adunque ed il minimo ci e sempre
dato dalle tre prime condizioni.
£ di qui si vede che potremmo estendere la ri-
cerca anclie al caso nel quale in Y si contenessero i
differenziali parziali degli ordini superiori; ma i cal-
coli vengono cos\ prolissi, die non niette il conto
trattenervisi.
T. IL P. IL ao
i56 BnuNAcoi
§ 9. Sla y una funzionc di x , y , s, (~ ) =p,
(^-p)=7J'. r, esseiulo F dato dair equazionc a dif-
ferenziali parziali (-— -) = c|), indicando per ^f una
(6) funzionedix,y,r,(i^)=^;,(^^) = 7/, r, (^^) = ^:
si dimanda la relazione die esser debbe tra x , y , 3,
on(.]e Jf -ir d X d y sia massimo, o miuiino, ed i cri-
terj onde distiiiguere il massimo dal minimo. Sup-
poniamo che qiiando z divieiie s -t- i w, la ([uantita
F divcnga F -^ if); c qiiando z diviene z ~ i <.>, F
divcnga F — i 6'.
Se noi indichiamo ancbe per '^{z^j)^p\F)
(p [z , p , p\ F,g) le funzioni 'i', <?, le due dillereiize
{e) . ...yy^Y^z^ i.-,j. + i{il) ,p'^i{i^),r^ i^yixdy
~yyr{z,p,p',p')dxdy,
-ff^ {2,p.p\V)dxdy,
dovranno essere simultatieamente positive nel mini-
mo e negative ncl massimo.
Trattiamo per ora la prima di queste dne diffe-
renze^ la (e).
M.vssnii E MINIMI degl' integrali dopi'j 1 57
Noi avremo
ilzUy ax up ax ay dp dp
. /^"\«/ d'r V , /du.i.d'-r, tdu!.,, (V ^ V
■^'^J-x^'^didV^^^Ty^ ^JF^^^'W^d^-^
-^^'('~)yixdy
La seconda si ridurra ad una serie consimile nel-
la quale i segiii degli integrali doppj saranno aker-
iiativi, ed in tutta la serie safa d' invece di 9.
Ora faccianio
/"/"v /d'i'. idi''udr.^,du,.,dr. I,, dr.-, J J
= /"( ;d fl H- 13 c -f- J ) df -+- /'{ ^' 9 -t- /2'« -4- 5' ) J ;C ,
ed avremo
dz ax dp dy dp dV dx dx
d X d X d X dy d x
^«( -t-^' )-l-( -);
ay dy "/
i58 Brunacci
Ma r eqnazione
i~ ) = (p{z ,p,p',r,q) c'l da.
ax
^d-J='^d-J'^^d'J^d}'-^^d}^'^d]P^^^^dP^'*'^d-J^d^^
r/d'cp
(d u^i d^ <p
d'<p
d'(p
ay dzdq ax dp ax dy dp dp
,d «x„/ <f * (J) ^ , ^t^i '^xifl Ki ^' $ N . i(i '^'^rid^ ^
dx dpdv dx dy dpdq dy d pf
cc.
Indicando dunque per {F) la quantlta contenuta tra
queste parentesi \ >, avremo
j^.
dV,
(£.^)^(^)-,-i«(F).
MASSIMI E MINIMI DECL INTEGRALI DOPPJ I 5<)
Da questa equazione si ricava
(.) (7^)-»(^)-(^>-(^') = »'
clz dz cLx ay
<'» 'S'-<g'-'^ = ^
9
(3) lil)~a{'Ll)-^'^0,
(5) «(1$)-H.' = 0,
d q
Dalle prime cinque equazioni eliminando « , /3 ^
«' , ^' , si ottiene una equazione, la quale ci dark la
ricercata relazione tra le variabili x,y,z, ossia 1' e-
quazione della dimandata superficie curva . Si trove-
ranno in seguito i valori di « , |3 , «' , /3', ed avremo
in fine la serie clie esprime quella differenza (e).
§ 10. Indichiamo per E^F^G^H^I^K^L,
M y JV , Oy i coefficienti di «*, 2 w ( ,— )»ec. nella pri-
d X '
ma serie trovata per (e); e per E' ^ P ^ C\ H\ I' ,
K' , L' , M' , IS' , O' , P\ Q' , R' , S\T' '\ simili coef-
ficiemi nella quantita {F) ed avremo
i6o Brunacci
-+- L /T^'(^--^^')-Haa{4^)(f-«F')-*-a«('5")(G-«G').
%J J I ax ay
-t-a
id 9i r» id '■'m/ '^ ' \ idus.id u\
^ dy dx dx' ay
dx dx dy dy
,do,,,dK T,, . ti>r^ ..riA ../l/^\
.o(i^)5(^^_«,Y')_a('i^)(ii_V/?•-^-()^(O-«O0-29r-).5'
'dy
^(ilfccTldxdy 1
ec.
Per r altra serie (e') facciamo *
JJ\ ^Tz^^^dJ^TjJ^dy'^dp'^^UV^ f
= - /"^ « 6' -+- /3 0, I dy—r\ *'«'-+- /3^' } J X ^T dy -^p dx
-(f)»-(f)('L")-(i-';)('5-')-(^)»-=-.d^)-
dz dp dx dp dy dv ax
tn d u
dPj
d w
\/.t \lx' ^dx' ^dx dy'
»6'(^')-M^^V/3'(y-)-^(^')-
dy
d y
dy d y'
Ora r equazione
1
MASSIMI E MINIMI DEGl' INTEGRALI DOI'PJ l6l
( i_ ) = (p (::,/; ,y ,/% y ) ci da
a X
a X a z a x a p up ay dv
-(^)(f^')-Hi(F')-^ec.
a q ay 2,
indicando per (/"') la stessa espressione indicata per
(/") nella quale si scrive S' in vece di 6; avreuio
dunque
-(!^).-(^^)('|-")-(i-^)('L")-{i;)«=-j.(^)-
a z dp dx dp dy dV I dz
-•-(7-) p-jM7^)-t-«'M7-)^-(:r^'*"
a y ^ I d q ) dy d x
-*-(-—) -f- - «( P ) •
d y a
E di qui ricavianio le medesime cinque equazioni che
noi alibiamo novate sopra, quindi la stessa equazio-
ne della superficie, e gli stessi valori per «,«',^,/^'.
La sesia equazione poi sara
dx d y 2,
Troveremo pertanto per (e') quest' espressione
i6a Brunacci
(e') = — i /") a 6' -H^w \dy — ir\ «' fl' -h /3' w I Ja; -t-
-/ / I la stessa quantita clie era in (e) mutandovi
§11. Facciamo per semplicita di espressione
(c) = j y I «9-4-/3w J J/-+-Z /*i «' d -H ^' « I c?x -t-
( C ) =— /y > « fl' -+- /3 w J <^7 — i /*! «' fl' -*- /3' w I J a; -H
-»- -/7^1 / ^' }^/xv//-t-ec.
I termini ove si contiene un solo segno somma-
torio, estese le integrazioni tra i litniti delle variabi-
li a; , y, debbono annullarsi indipenflentemente dal
valore di «, di fl, e di 9', nei due valori di (e), (e'),
CIO clie si conseguira per mezzo dell' indeterminnzio-
ne che resta nei valori di « , a' , ^ , /3', avendo ri-
guardo alle condizioni speciali del problema nei li-
miti deir integrale.
I termini poi ove si trovano due segni somma-
ton, debbono essere positivi nei minimo: negativi nei
massimo indipendentemente dai valori di w , 5 , 6'^ e
dei loro dilFerenziali parziali.
MASSIMI E MINIMI DEGl' INTEGRALI DOPl'J l63
Ora snpponiamo die eseguendo una delle inte-
grazioiii, ])03sano toglicrsi di sotto al doppio segno
le duf (jiiaiitita
/{g«-
a /« 9 01 -H 71
H.
iy^f\&'^"
-J- a7?r 5 w -t- 7i' 6') J:c
\'
DilT'erenzianio la prima di <pieste due quantita rap-
porto ad x, c la secoiida rapporto ad y, ed avremo
.d ^.
(1 a',
,d
d&
ilx' ^dx'^ \l x' ilx' ^dx'
,i,dn. i.,dK xids,\ , „ td<^^',^t, ,dm ,
dx dx dy dy ay
• I. id w. I ,d i ^ .1 ,dn s. t id '^ \ I
aw6( — ) H-aw w(-— )-l-6 (__)-j-a 9{--) 7j
dy dy dy dy
Ora
(a/7.«-4-a577)(4^) = (amt.-t-a9«)j«(''^)-*-('4^)(4^)-H
dx I d z dx dp
ily'iljf' en' ilq'cly' '
iDunqae la somma del differenziali di quelle due
Iquaiuita sara
fZcp
d ni
dU !>
d (p
d z dy ' ^ (ly ^ d ij )
T. II. P. II.
21
164
B R t; N A C C I
2 ( — ) ^\ m -\- n
d X
('i*)jH-V{(4:')-^.„(l|)
dp 5 dx dV
( ) -»- 2( __ 9 > w -t-ji{-Jl) C ^ a 6 — |/i
d 7 ' dy I ^ dp' ' - dy
d y
ec.
Indichiamo per E" , i^" , C" , //" ; /" , K" , L" ,
M",N", i coefiicienti di «% 2 =. ('4^), a « (1^), ec.
ed avremo
ar A S S I M I E H I N I M I D £ G l' I X T E G II A L I r. 0 I' P I 1O5
\ff[f'^ ) d X dy =lf{s'J + ^ m .«-»-« 5' } dy -*- i/'^j g' <^' -^ ^ "^' '^ ^ -*- ^' ''' } d -v
d X " •*■ " > " x (/ X ay
■+■ ( ^ )\M - « ilf ) -t- a ( '4-" ) 3 (^ - « ^V' - BI") -H 2 ( '^." ) ( '^.' )(-«/?')
«/ dy dy dy
-i- (I' {0 - ccO' — L")-i- 2.t{~) (- u S' — N")
dy
^{ilyi-«T')\dxdy
dy '
•+■ ec.
E qiicsto secoiido mennbro dovra es sere negative nel massimo, e positive nel minimo. All' integrale doppio, che in csso si tro-
va, diaiiio la scgiiciite lurina.
2,/ y '■\lx' ^dx'^dy ^dx' dy' dx' ^dx'
^dy' ^dy' dy' dy' \ly'
dy dy dy
-^aE\dxdy
MASSIMl E MINIMI DECL' INTEGRALI DOl'I'J 167
Ove sara
A = l—I'x
A' = K-xK'
A" = — cc Q'
A'" = L~uL'~ K"
A'" = F-ccF'-F"
B = 3I—uM'
B' = -uR'
B'" = G~aG'-G"
C = — uT'
C'=.~uS'- N"
C = - « P' - T"
D=0-xO' -L"
D' = n~u H' - II"
E = E — »E'-E"
a jj
i
1 68 Brtjnacci
iji> , Am > I <J ^ \ I ds> . , dm »
// = H_ „2 ( ) ^ ;j ( -H )
a X dv a z dy
I =m -^m[ — !- )
d tj
dp
d <j
A = w -4- n { -J- )
dp
t" f d n >. , ^ , d (b ^ , dn s
dp
at" ' . I d (^ s
d (j
§ 12. Ora secondo cio die abbiamo cletto alia fi-
ne del § 8 con i coefficieiiti A^A^ ec, B^B\ ec. ec.
( 1 ) formando le quaiuita M ^ K , S ^ X ^ quest' ulti-
mo integrale doppio sara positive, o iiegativo, este-
so tra i prescritti liiniti, se per tutti i valori di x e
di y conipresi tra i liiniti dati, avremo J>o; iM>o;
K> O; 5 > o ; X > c ; ovvero J < o ; i)/ < o ; A" < o ;
»S < c; X <: o.
E siccome si trovano le medesime condizioni per-
clie sia positiva la quantita - / / {f^' ) d x d y con-
tenuta nel valore della eeconda difl'erenza (e), quin-
( I ) Si avverta di non confondeic tia loio i si^nilirati (Jelle lettere
M , K , I , ec- dei tre §§ antecedenti con quel delle stesse lettere de'.
§ i> , die qui si riportaoo .
MASSnri E MINIMI DECI,'lNTEGRALI DOPPJ 1 69
di concluderenio , die la cercata superficie godera
della proprieta del massimo se J<io; M<co; K<.q\
S <. o; X < o; c del minimo se tutte queste cpian-
tita saranno positive.
Riguardo poi alle quantita afiette da un solo se-
gno difierenziale nei valori di - / / {f^)dxdy,
-//{f^)dxd'y debbono queste, estese le inte-
grazioni tra i limiti, rendersi o positive pel minimo,
o negative pel massimo, o nuUe in anibedue i casi,
indipendentemente dai valori di w e di «, avendo pe-
ro riguardo alle condizioni del problema nei limiti
deir integrale. Cio conseguiremo per mezzo dell' in-
determinazione clie resta nei valori di m , n , g , m ,
n , g\ della quale noi possiamo disporre.
Nelle tre quantita A,M,K non entrano le in-
determinate Tii,n,g,ni^n\g; in fattir essendo (§ ant.)
dp dp' ' ^ dp dp' '
dpdq
^ dp'^ ' ^ dp'' '
B' = -ul ^'^ )
^dp'dq'
170 B K U N A C C I
a q
Le formole del § 8 ci danno A^M^K espresse
per qiiesti soli coefHcienti : esse diinque non coiiter-
ranno le iiideteniuiiate siiddette. Tali iudeteriniiiate
si iroveraaiio solameiite nelle (|uaiitita 5 , X ^ e dj-
vremo deteniiinaile in modo die »S , X siaiio dello
stesso segno delle akre tre, ovvero siaiio nulle . 11
massiino aduiiqiie ed il miiiimo ci sara dato dalTes-
sere J < o, iJ/ < o ; /^ < o ; ovvero A> o, M > o,
Kyo. Alle akre due condizioni soddisfarenio per
mezzo delle quantita ni , n , g , in , a , ^'; delle qua-
li quattro rimarraniio sempre al nostro arbicrio.
^
■ ■^fM'^^
SLLLE LIVELLAZIONI BAROMETRICIIE
Di Francesco Venini
Continuazione drdla parte II.
riceviita il di 1 1 di Aprile 1809
DEI METODI COMUNEMENTE CHIAiMATI INDIRETTI, O DEI CALCOLI
D' ALCUNE OSSERVAZIONI CAROMETRICHE .
S E Z J o >r E I
Dellc misurc gcometriche delle altezze
A u T I c o L o I
Metodi per misiiror le altezze apparenti per mezzo
dcir ani^olo d' elevazione.
$2. X utti i Flsici, die han data qualclie regola
per misiirar le altezze col barometro han procurato
di confermarla per mezzo delle misure geometritlie o
delle livellazioiii ordinarie fatte cou esattezza. JMa,
noil essendo difricde di cader in errori non dispre-
gevoli nel calcolo delle misure geonietriche , come
avreino occasion di vedere in appresso; lio ciednto di
far cosa utile ai leggitori trattando anclie questo ar-
gomento con qualche estensione, tanto piii, die al-
tri, cli' io sajipia, non 1' ha fatto ancora.
11 Sig. C'assini nel trattato della grandezza e fi-
gnra ddla 'jcira dice con rjigicne, che per calcolar
r akezza d' un moate sopra ii livello del mare sa-
»7^
V E N I N I
pendo di qiianto e superior al marc 11 luogo, in cui
si inisura 1' anLiolo d' elevazioiie del mome, coiivien
risolvere il tiiaiigolo CAB ( liji. I), nel <juale C e
il ceiitro della Tena; a im piuito di livello colla su-
perficie del mare, ed J il luogo dell' osservazione .
Ora in si fatto triaiigolo, j)rosiegue egli, son noli i
due lati CJ, AB^ e l' angolo da essi compreso;
poiche questo e iiguale alia somma di 90 gradi, e
deir angolo osservato EAB dell' altezza apparente
del monte sopra la retta orizontale o tangente del
punio A nel cucolo, il cui raggio e CA. Sara dun-
que nota anclie la grandezza di C B distanza del cen-
tro terrestre dalla sotnmiia del monte; dalla qual di-
stanza sottraendo il raggio della Terra resta T altezza
perpendicolare del luonte sopra il livello del mare.
Quanto alia distanza o linea visaale A B ognuri
sa, cli'ella si determina col calcolo trigonometrico per
mezzo d' una base di nota hinghezza e degli angoli
fatti con quella dalle due linee visuali, die vaiiiio
dalle sue estremita alia cima del monte . Ora iiel
triangolo CAB, di cui son noti i lati C A , A B
coir angolo compreso si ha, per le note regole trigo-
nometriche la seguente analogia
CJ-^AB:CA — AB = tan
D
■C ^ B — C
— : tan
Essendo noto 1' angolo CAB sara nota anche la se-
niisomma degli altri due, ed il logaritmo della tan-
gente di qnesta seniisomma si trovera nelle tavole.
Da questo e dai logaritini di C A -^ A B e di C A ^
A B si concluudera il logaritmo della tangente di
8ULLE LIVKLLAZIOXI BAKOMETUICIIE I'o
; cii cui troverassi nelle tavole 1' anp-olo cor-
rispondente . Fatta la somma del valori cogniti di
:, si avra il valor di ^ : e la difTerenza
a a
loro dara quello di C angolo siriiato al centre della
Terra, e distiiito per cio col nome di angolo al centro.
Trovati i valori degli angoli B e 6, qaello della
distanza C B s'l detern^iua coUa seguente analogia
sen. n :cos, E J n = C J :C B ;
dalla qual si deduc«
L C B = L COS. EAB-\-LCA — L sen. B .
Eccone alcuni esempj tratti dal libro summen-
tovato della giandezza e figiira della Terra, pei quali
il Ciissiiii suppose il raggio terrestre di tese 327 1420
traito dalla niisura delT arco di meridiano coinpreso
fra CoUioure e 1' osscrvatorio di Parigi.
CaUolo deir altczza del picde della tone della
Alitielotie sopra il Li\''elLo del mare.
I dati del calcolo sono i seguentl
Aa'=.io te. C^ = Ca -t-a^ = 3271480 te.
E A B =^^° 1-' xo":, A B = 2228 te. ; e da questi vie-
ne C A -H A B = 3273658, C A-A B = 3269202 ;
e — ; — = 40 46' 25".
2. II. P. IL 22
1-4 V £ N I N I
Cio premesso abbiamo
L tan .
9 . 9356954
L{CA-AB) = 6 . 5144418
Somma = 16 . 45oi372
L{CA^AB) = 6 . 5i5o334
Ltan.- — 9 — 9 . 935io38
^~^' == 40° 44' 6" , 06
a
B = ^jtL? H- ^~^ =: 81" 3o' 3i" , 06
a a
(^_B-^C _B-C _ ^o 2' 18", 94
Determinate per tal modo il valor di B fassi,
come segue qui sotto il calcolo dell' altezza.
L COS. E A B = 9 . 9952566
LCA = 6 . 5147877
16 . 5099943
Lsen.B = 9 • 995ai3o286
LC B = 6 . 5147812714
CJ5 = 327i758,43i D B = C B — C A = ^2ii ,4^ te.
SULLE LIVELLAZIONI BAROMETRTCIIE }10
Questa e 1' altezza del pie clella torre della Ma-
telottc sopra il liiogo dell' osservazioae ed, algina-
te a questa lo tese^, si ha 1' altezza sopra il livel-
lo del inaie di te. 338,43. 11 Cassini la dice di
336, 5; ma tie' suoi calcoli e scorso certameiite qual-
clie piccolo errore. Per cliiarirsene si abbassi da B
sulla tangente la perpendicolare B F; la (jiiale, seb-
Leii di poco, e mauilestamente mitioie delT altezza
vera B 1) . Cio fatto si osservi, esser B F =
yJ Ij sen.E J B . , ., -in
, espriincnclo per /• il raggio delle tavo-
le ; e die per conseguenza e LBF=LAB-^
L sen. E A B — lo = 2 . 5i52i55; "al qual logaritmo
corrispoiule iin nuinero alc[uanto maggiore di 327,6.
Aiiche BO sara diinque maggiore di 327,6; e B D -t-
10 > 337,. S. L' altezza assegiiata dal Cassiiii e duii-
que minor della vera poco meno di due tese; ma for-
se per error di stampa si e posto 336 in luogo di 338.
Calcolo dcW altezza del montc Cani2;ou nc' Plrenei.
o
I
(nota. Al/a pag. 56 I'm. jo della prima parte
si sostUiiisca Coracon a Canigou ) .
Tn quest' esempio fn ^^a=i,5; CA=:?)2-ji^2i,S;
A B= 2lii6-i; ed E A B = 2° 37' o". Fu dunqne
C A'=^ A ^ = 33ooi88,5; C J - /I ^ = 3242664,5;
B -y- C
e = 43^^ 41' 3o". Da questi dati viene il cal-
colo seguente
1-6
V E N I N I
P -t- c
Ltan. 1 = 9 . 9801591
L{CJ —A B) =: 6 . 510900707
16 . 49'o590o7
L{CA-^AB)= 6 . 5i85388a6
L tan. = 9 . 9712520981 ; = 43* 11' 18", 88
a 2.
B = 86° 52' 48" , 88 ; C = 0° 3o' 1 1" , la
11 calcolo deirakezza e dunque come qui sotto.
L COS. E A B = 9 . 9995469
LC A = 6 . 514736597
16 . 514283497
L sen. B = 9 . 9993558708
LC B = 6 . 5149^76202
6'5= 3272861,05 te.;Z>2J = 1439, 55
A qiiesto valore aggiungo una tesa e mezzo; e
n' ho r altezza del Caiugou sopra il Irvello del mare
di te. 1441,00. Questa, secondo il Cassiiii e di 1+41;
onde la differenza fra i nostri risukati e di — di te-
sa su 1441-
SULLE LIVELLAZIONI BAIlOMETIUCHE 17-7
Calcolo pel monte San Banolomco
Dati
C A = 3271421 , 5 ; A D = 524ao
C A -¥- A B = 3^23841 ,5; C A — AB— SaiQoor ,5
EAB = o° 5o'o"; ^'^^= 44" 35' o"
a,
II calcolo per gli angoli e dunqiie qiiesto
L tan. ?-±S'' = 9 . 993683a
a
L{CA'-JB)= 6 . 507721 198
16 . 501404398
L{CA-i-AB)= 6.521640296
L tan. = 9 . 97976410a
- a
B -C
= 43" 39' 56", 29
a
2? = 88' 14' 56", 29; 0 = 0" 55' 3", 71
Queste preniesse dan no il seguente calcolo dell'al-
tezza.
L COS. E A B = 9 . 9999541
LC-A = 6 . 5^4736597
16 . 514690697
L sen. B = 9 . 999797 '774
LCB — 6 . 5148935196
Ci? = 3272604, 66; Z>^== ii83, 16.
l-B V E N I N I
Tal e Taltezza del monte sopra il Itiogo dell'os-
servazione; alia quale aggiungendo una tesa e mezzo
si ha r altezza sopra il maie di tese 1184 , 66. Giu-
sta il Cassini ella c di 1184, 5; onde la differeaza
riducesi a di tesa.
100
53. Dopo d' aver trovato nel triangolo CAB i
valori degli angoli B e C^ T altezza B V puo calco-
latsi anche col triangolo AB D. A questo fine si
cercliera il valore di AD corda dell' angolo al cen-
tro. Ora la corda di qualunque arco A in uu cer-
cliio, il cui ragglo sia R e = ::^ .jw. — esprimendo
per r il raggio delle tavole . Nel caso nostro sara
dunque A D = 'L.sen.--^ ovvero, cliiamaado « Tan-
^ r a
2;olo al centro sen.~ . Deterniinato il valore di
o 7- a
AD SI avra quello eziandio di B D per mezzo delVa-
ualogia sen. B : sen. B A D == A D : B D . In questa
r angolo BAD e ugnale alia somma delT osservato
EAB^ e di EAD fonnato dalla tangeute e dulla
corda, e per conseguente ugiiale alia ineta dell' an-
golo al centro. E' dunque BAD=:EAB-^ — . Anche
I'esprcssione delVangolo B c d'uiia forma simile a quel-
la di BAD; poiche, essendo B = \'6o°—C A B — w,
STILLE LIVELLAZIONI BAROMETUIGIIE 179
e C A B = 1)0^ ^ E A B sara B = go" - £ A ~ <,.
Cio posto avremo sen. B A D = sen. {E A B -¥-- ); e
sen. B = COS. { E A B -*- u ) . Sostitulti in fine questi
\alori nella piecedenie analogia ne trarreino
JBsen.iLAB-^--)
DB= ^ e_ .
COS. ( E J />' -H w )
NeH'osservazione della torre clella IMatelotte si ebbe
EAB — 8''z'7' 10"; co = o' 2' 18", 94; e Cyi = 8271430 .
Dunque, per calcolare la corcla AD, avremo
X 2 =: o . 3oit/3oo
LCA= = 6 . 5.47877
L sen. - = 6 . 5278609
Somina =13. 8431286
L r = 10 .
LAD= 8 . 3431286; y:/D=22o3,68.
Dopo d' aver trovato il valore di A D calcole-
remo anche quello di B D iiel modo seguente.
Lsen.{EJB-^'^ = 9 . 1682884
LAD = 3 . 3481286
12 . 5i 14120
Lcos.(EAB-^u) = 9 , 9902149
LDB= a . 5161971 ; Z)i?= 828 ,244
loO V E N I N I
!Nel primo esemplo, calcolando qiiest'altezza me-
desima col triangolo C AB^ rabbiam trovata di 828,
43 te.; cosicche la difl'erenza iVa i due risultati non
giugne ad un quiiito di tesa .
Pel moiite Canigoii Taiigolo al ceiitio e 3o' i i",i2;
E AB -H^ = 2''52'5",56; ed £ A B -i-^ = y f ii",^2.
Fatto il calcolo con (jviesti dati e col valor di C A
si trova D B = i^^Sq , 489 valor niinore del tro-
vato col calcolo del triangolo CAB di 6 ceiitesinii
di tesa. ^
Pel monte San Bartolomeo Y angolo al centro c
55' 3", -ji; E A B ^-= i°i7' 3i", 85; ed E A B -^
w= i°45'3", yr. Facciasi il calcolo con questi da-
ti; e si trovera D B =: ii82,i5-^ valor miiiore d'una
tesa di qiiello, clie ci ha dato \\ calcolo del trian-
golo CAB.
54. Quando la visnale A B non eccede la lun-
ghezza d' un grado di latitudine, 1' angolo al centro
e r aliezza D B potranno detenninarsi nel mo !o se-
guente anclie per mezzo del triangolo AB F. In (pie-
sti casi la retta A F piio senz' alcnn sensibil errore
sostituirsi alia tan«;ente A d. Ora AF e =s
A B COS. E A B , 1- I . . 11
; vale a dir, cli essa e nota quando la
visnale A B ., e l' angolo d' elevazione son noti . Tl
valor cognito di ^ Z' e dunqne l' espressione della
tangeiite dell' angolo al centro iii un circolo; il cui
SULLE LIVELLAZIONI BAKOMETRICHE l3l
raggio ^ C A; e per consegucnza -., e V espres-
sione della tangeiite deU'angolo anzidetto nel cerchio
del raggio r, die e quel delle tavole. Per mezzo di
qiieste troverassi diuique 1' angolo C, ed il coseno e
la secaute, die gU convengono.
^ ^ r-. . ^ fi COS. E A B , n r? ^
Come A F c = , cosi /j i' c =
r
A B sen. E A B r\ • • i • .• v • -r
. Or SI osservi, die pci triangoU simili
CacU.BF d e B cl = ^'l:^^ . Ma nd triangolo
C A d e C A : C d = r : sec. C. Sara dunque C d ^^
C A sec. C „ , B E sec. C
^ ; e per conscgueiite U d = — =
A B sen. E A B sec.C A B sen. E A B ^ i n / <
T = . In oltre JJ d e
r COS. C
= Cd-C A = ^f^'^'-^ ^CA = CA( £f£:£:Z.' ). Sa-
, , r, ,^ A B sen. E A B r, a i C .
ra dunque B Dz= -; ^ C A { sec. - — i ) .
^ COS. C ^ r '
Per la torre della IMatelotte abhiamo C A =
3271430; A B = 2228; td E A B = 1^" 27' 10". Con
questi dati il valor di A F si cal.cola nel modo se-
guente
T. II. P. II. 23
iSa V E N I N I
L COS. E J B = () . 9g5i566
LAB = 3 . 3479 1 5a
com.LCA = 3 . 485a,6a3
L tan. C = 6 . 8284341 ; C = a' 18" , gS.
Neir esempio F calcolanilo col triangolo CAB
abbiam trovato lo stess' angolo = 1' 18", 94: onde la
difterenza dei due risultati si riduce ad uii centesi-
mo di secondo.
Detcrminato cosi 1' angolo al centro si passa a
calcolar 1' altezza B d come qui sotto
L sen. E A B z= 9 . 1673008
LAB = 3 . .3479 r5a
la . 5i5ai55
L COS. C = 9 . 9999999
LB d =■ a . 5ioai56 ; B ^/ = 327 , 5o3.
Resta da trovarsi il valore di clD; al qual fine
supporremo il raggio delle tavole uguale all' unita.
In questa supposizione avremo dD = CA{sec.C—i);
e nel caso presence = C A { sec. 2' 18", 9.5 ~ i )• Ora
egli e noto, clie le porzioni delle secanri comprese
fra la tangente e la periferia sono nei piccoli ango-
li ad un di presso in ragion duplicata degli angoli
medesimi. Sendo dunque sec. a' — i = o , 0000002,
r analogia ( 120" )* : ( i38" , 9$ )* = o , 0000002 : x ci
dara il valor di d' x col calcolo seguence
SULLE LIVELLAZIONI BAROMETRICIIt l83
Z(i38 ,95)' = 4 . 285717a
1/ 0,0000002 =: 3 . 3oio3oo
7 . 506747a
Z-(iao)* — 4 . 1583624
Lx = 3 . 4283848; a; = 0,000000268'.
Qiiesta frazione mokiplicata per 3271430 valor
di C A ne dara finalmente d D = o , 8772; e quindi
B D = B d-^d Z>= 328,3802 valoie minor di qiiel-
lo die da il calcolo del trian3;olo CAB di — di
o 100
tesa •
Pel Canigou fu C ^ = 3271421 ,5; J5 = 28767;
ed E A B =2° 37' o". Fu dunque LAF=LAB^
L COS. EAB — LCA = i. 9437038 ; al qual loga-
ritino dcUa tangente corrisponde nelle tavole 1' an-
golo 0° 3o' 11", 83. Con questi dati calcolo 1' altez-
Tt J A B sen. EAB , 000
za Bd=i ; e lo trovo = i3i3 , 37 te.
COS. C - '
Or per aver anche il valore di d D mi valgo dell'a-
nalogia ( 3o')* : (3o' , 197)' = o , oooo38i : x; en' ho
X =: o , oooo38574; e da questo valore moltiplicato
per quel di CA mi risvdta 126, 38; onde viene BD =
B d -*- d D = 1439 , 65; valore che supera d4 un de-
cinio di tesa quello del triangolo CAB.
Facendo aifnie pel monte San Bartolomeo un cal-
colo simile ai precedeud si trova B d =i 762 , 4888 ;
i84
1^ N I N I
fZ 79 = ^19 , 8[ ; e i? Z) = 1182 , 298B; vale a dire;
die ([iiesto risiiltato c iniiiore di qucUo del triangolo
CAB di 86 centesimi di tesa.
II valor mcdesimo di d D puo determinarsi an-
clic ill tjiicst' akra maniera piu spedita. Qiialunque
sia ran;>;olo al centro il valor di t/Z> e riaorosarneii-
tc —
Ad
all-^dD
esprimendo per R il raggio terrestre.
jiMa nelle livellazioni ordinarie e nelle misiire geome-
triclie doUe altezze l' angolo al centro e semprc cosi
picciolo, che senza pericolo d'alcun sensibil errore si
puo sostitiiire AF ad Ad, e ridurre i! deiioininatore
— _i
a 2/?. Cio fatto sara dD= '--^ ; e LdD = i LAF~
Z 2 /?; ovvero 2 L A F -^ com. L 1 R pe' cast della
differenza neaiativa.
Per la torre della IMatelotte abblamo 2LAF=
6 . 686:3436, e com. L 2 R = ?j . 1842320 ; e quiiidi
L d D = c) . 8705709; e d D = o J 74229.
Pel Canigou e 2 L A F =S.()\6S\i'^o, e L2R —
6 . 815766597; onde viene L d D = 2 . 10116400; e
fZ Z> = 126 , 21.
Finalmente pel monte San Bartolorneo si ha
:i L A F = () . 4389022 ; L 2 R come pel Canigou;
L d D = 2 . 623i356o3; e tZ Z> = 419 , 89.
Le dilTerenze tra questi valori e quelli, che qui
sopra al)]jiam trovati sono — o , 1249 1 ; — o , 07 ; e
-t- o , 08.
55. !Ma, poiche nel modo comune si e determi-
SULLE LIVELLAZIOXI BxVROMETKICIIE
l85
nata la Imigliezza clella \isaale J B e niisnrato 1' an-
golo £ A JS , put) determinarsi 1' altezza D B senza
calcolaie alcuii altro triangolo. A questo fine si pro-
](in2;lii entro al circolo la visuale J3 A fino a die ne
tagli la circoiiferenza in qnalcli' altro panto B\ e lo
stesso si faccia del raggio R. Consta dagli elemcnti
geometrici, esser B a\b A -^-A B') = B D{BB ^ 2R).
Or r angolo osservato EAB c uguale ad eAB' op-
posto al vertice; e questo, essendo formato dalla cor-
A C B'
da e dalla tangente e = . Dnnque la corda
/i C R'
A B', la qual h = 2 R sen. dev' esser iiguale
anclie a 2 R sen. E A B. Sia A B = a; £AB=:(p;
A D = x; ed avrenio 1' equazione a: ( a* h- 2 i? ) =
a {a -*- 2 R sen. ?)'; dalla qual si deduce
x = — R-t-\/{R'-^a{a-i-2R sen. <p)).
Applichiauio il metodo all' esempio della terra
idella Matelotte; in cui fu a = 2228; c? = 8" 27' 10";
[e giusta la supposizion del Cassini i?= 32-1430. Cio
iposto, per aver il valore di 2 R sen. (p faremo il so-
lito calcolo, cioe
La = o . 3oio3oo
LR = 6 . 5147877
Lsen.(p = 9 . 1678003
5 . 9880680
[A questo logaritrao corrisponde il numero 961762,
1 86 VEifiNi
88; al quale aggiunto 2228 avremo a -^- 2 R sen. (p =
963990 , 88. Con questi dati calcolo come segue
jL ( a -+- a /? sen. (p) = 5 . 984072885
L a = 3 . 3479i5a
9 . 331988085
Cerco il numero corrispondente a questo logaritmo,
e trovo 2 1 47 77 1 708. Tal e dunque il valore di
a {a -¥- 2. R sen. $ ); al qual deve aggiugnersi il qua-
drat© di R per aver l' intera quantita di cui dessi
prendere la radice quadrata. Ora il doppio del loga-
ritmo di i? e i3 . 0294754; ed a questo corrisponde
il numero 10702258620689. L' intero numero posto
sotto il radicale e dunque io7044o6?)92397. II loga-
ritmo di questo e i3 . 0295625562^ e la sua me-
ta 6 . 5 1 478 1 278 1 ; il cui numero corrispondente e
3271708,42. Ne levo 3271430 valore di i? ; e mi
resta 328 , 42 risultato minore d' un sol centesimo di
tesa paragonato a quello del triangolo CAB.
Da quest' esempio vedesi apertamente quanta sia
I'esattezza del metodo; ma si vede altresi, ch'esso con-
duce a calcoli laboriosi; e che non e percio da prefe-
rirsi agli altri metodi d'un calcolo men complicato.
Supposto C B = X sara ( x — ii ) ( x -«- i? ) =:
a{a-i-2 R sen. <p); ed x = \/ {a"" -^- 2 a R sen. <p -»- i?');
ovvero, poiche sen. 4) e = — cos. (90°-+- <?), sara vT =
v/ ( a' — 2 ft i? cos. ( 90" -+- $ ) -4- 7?" ) ; che e la formo-
la trigonometrica, dalla quale e espresso il lato CB
nel triangolo CAB.
56. Per metter meglio in cliiaro la corrisponden-
SULLE LIVELLAZIONI BAROIvrETllICHE I07
za fra i nilei risultati e quelli del Cassini io ho sup-
posto, com' egli fa nel luogo citato, die la Terra sia
sferica e d' uii raggio = d>2-]i^'io tese. Ma egli e ora
fuor d' ogtii dubbio, esser la Terra una sferoide com-
pressa ai poli ed enfiata aU'equatore; in cui pero as-
sai piccola e la differenza degli assi in confronto del-
la lungliezza loro. II misiirar I'altezza d'un punto al
di sopra d' una sferoide consiste nel trovar la lun-
gliezza della perpendicolarc;, che va da quel punto
alia superficie sferoidica. Ma si fatte perpendicolari
non concorron nel centro della sferoide come con-
corrono in quello della sfera, e questa diversita ren-
de la misura delle altezze piii difficile nella sferoide
che nella sfera. Nondimeno, quando gli archi cV un
ineridiano sferoidico son piccioli, essi confondonsi co-
gli archetti di quel circolo, che i Geometri cliiama-
no osculatore ■, il che facilita di molto la misura delle
altezze auche nella sferoide. Imperciocche, per niisn-
rar un' altczza ad una data latitndine snlia Terra, che
si suppone una sferoide elittica, si cerchera di quanta
tese, giusta le piu esatte misure in questi ultimi tem-
pi esegiiite, sia il grado del meridiano a quella lati-
tudine: e sen conchiudera la lunsihezza del ra2;Q:io
osculatore di cjuel grado; ossia il valore di C a nella
fig. r. Ora si avverta che, volendo sulla sferoide ter-»
restre misurar le altezze con precisione, cio dee farsi
in quelle soltanto, per le quali I'angolo al centro del-
la sfera generata dalla rivoluzione del circolo oscula-
tore e molto picciolo, ed al piu poco maggiore d' un
grado. Allora si puo supporre senza pericolo d' al-r
cun sensibil errore, die la perpendicolare ccndotta da
l88 V E N I N I
B alia superficie terrestre sia perpeiulicolare anche
alia slera osculatrice del punto A\ e si confonda per
consegiiente colla retta, die coiigumge i puiiti C^B
perpendicolare anch' essa alia superficie della sfera
osculatrice. 11 calcolo delle altezze si fara duiiv-jue co-
me se la Terra fosse sferica e d' uii raggio uguale a
quelle del circolo osculatore della data latitudine.
Per dichiarare in qiial inodo s' abbia a calcolar
questo raggio io prendero.i dati da lui' eccelleute
nicinoria del Sig. Abate Oriani impressa nelle Efl'eme-
i-idi astronomicbe di Milano per 1' anno 1807 col ti-
tolo Fojwole per calcolare la latitudine c la longitu-
dinc sullo sfcroide elittico .
„ Faccndo, dice egli, il semiasse della Terra =1;
„ il semidiametro maggiore, ossia il raggio dell'equa-
tore = a ; r eccentricita del meridiano = e =
\/(«'-^M. • „ ^ -A ,.. .. ^
si avra il rapporto - = y/ ( i — e^). In
a ^ '- a
5»
oltre, posto nella latitudine >• il grado del meridia-
no = G, sara G = -^ • ~ — ; — — — 7; nella qual
formola t= 3,14159265 esprime la scmicirconfe-
renza del circolo, il cui raggio e = i. Siiuilmente
nella latitudine }' sara il grado del meridiano O =s
T a{\ — e' )
180° (i _e^^e/i. /.'')i
sen. >.'"■ ~{-^,)' sea. A*
onde ne risulta
SULLE LIVELLAZIONI BAllOMLTliICIIE
189
„ Sotto r eqiiatore ahbianio /=o; G =
„ tese iVancesi; e nella latitudiiie media del grand'ar
„ CO inisurato idtiniamcnte in Francia
5, A' = 46" 11' 58" , C'= 57018 tese: si oitiene quindi
5, e* = o J 00596148
a
181
56753
3271209 tese
T I — e
„ l^ = a\/{i--c^) = 8261443 tese
Le osservazioni del Cassini furon fatte a Collioii-
re, e presso lo stagiio di Leucate alia latitudine di
quasi .a3 2;radi. Nella fonnola C=-7r-s • ■ —z
i<ju (i — e je«.A)-'
pongo diinqiie a = 43"; e trovo il logaritmo del nu-
meratore = 17.0092613, e quello del denoiniiiatore
= 12 . 253+630. Or quindi viene Z/ G = 4 . 7657983,
e 0 = 56990. Per trovar il raggio del circolo oscLda-
tore, nel quale ogni grade e di 66990 tese mi valgo
.della seguente analogia t: 1=: 180° . 66990 : i?; la qua-
'le mi da i? = 3265283 , 46. lu tutti i calcoli delle
altezze posti qui sopra si dee dutique nel valoie di
C a sostituire 3265283 , 46 a 3271420; ma da questa
I'sostituzione nascera nei risultati dei calcoli una pic-
icolissima diflerenza.
Ecco il calcolo per la torre della IMatelotte; ove
ffu AB = 222d- EJB = Q' 2-' 10"; 0^"^- = 40" 46' 2 5".
^Essendo C a = 3265283 , 46; ed il inuito A superiore
T. II. I\ 11. ^ o^ ^
IQO
V E N I N I
ad n (li 10 tese abbiamo C J = 3265293,46; e quin-
di C/i-J 5 = 3263065,46; eCJ-t-^i?= 3267521, 46.
Con questi dati io calcolo cosi
L tan
B
Per gli angoli
= 9 . 9356954
L{CA—AB) = 6 . 5i362583r
16 . 449^^^^^^
L{CA^AB)^ 6 . 514218491
J5 Q
Ltan. = 9 . 93510274
B
^ = 8i' 3o'3o",8,- 0 = 0" a' 19", a.
Per r altezza
Lcos.EAB =z 9 . 995^566
LCA = 6 . 513922261
= 4o*44'5",3
16 . 5091 7886 1
L sen. B = 9 . 995212948
LCB = 6 . 518965913; C5 = 3265621 ,9
J9 Z? = 328 , 44.
L'accrescimento dell' altezza e qui d'un solo cen-
tesimo di tesa.
Per tar il calcolo del Canigou abbiamo, oltre al
dati deir esempio 11, CJ = Ca -t- i ,5^3260284,96;
e con questi si trovau gli angoli 5 = 86" 52'45", 26 ; e
SULLE LIVELLAZIONI BAUOMF.TIIICIIE IQl
C" = o" 3o' 14" , 74. Quanto aU'altezza il calcolo da
C B = 3266733 ,9; e D B = 1438 , 94. Qui pme si
ha un accresciinento di soli 14 ceiitesinii di tesa.
Finalinente pe\ moiite San Bartoloineo i risiiltati
del calcolo sono (7/^=3266467,32; e 7.) i? = 1 182,36.
In questo caso Takezza e ininore di 4 quiiui di tesa.
Da ijiiesti cseinpj raccogliesi, che per le latitu-
diiii poco distaiiti dalla media 45" si potra senz' alcu-
no iiiconvenieate iisar il raggio osculatore di 45 gra-
di; il qual e di tese 32663oo, e cosl rispanniare i cal-
coli delle Imighezze dei gradi, e dei raggi osculatori,
die lor corrispondono.
A II T I c o L o II.
Dc/lc jifrazioni tcrrcstrl.
57. Tiitte le altezze determinate coi metodi dei
numeri preccdenti si riferiscotio al puiito B, in ciii
termina la visnale A B . Ma questo punto non e la
vera sonimira del monre; la quale e veramente in b%
ma la ridaziou della luce 1' innalza piu o meno se-
condo che maggiore o minore e la distanza del pun-
to A da queVlo, in cui la superflcie terrestre e taglia-
ta da una perpendicolare abbassata da B; o in altri
termini secondo die maggiore o minore e I' angolo
ACB compreso dalle rette, che dai punti A e B van-
no al ceiitro della siera osculatrice del punto A; e
che abbiam 'ria detto chiamarsi anoiolo al centro. lo
seguiro a nuuiinarlo w; ed esprimero colia frazioue
192 V E N^ I N I
- il rappoito tlella rifrazione a quest' angolo; ontle
//;. w
la rilVazione sara
11
II valore di - non e per verica noto esattamen-
le; ma il celebre Lambert applicando ad alciine os-
servazioni del Cassini, clie si leggon nelP opera da ine
gia citata, la sua iiigegiiosa teoria delle rilVazioni cir-
colari presso la superficie della Terra ne concliiuse die
Tangolo di rifrazione c im quattordicesimo deirango-
lo al centre, ossia die — e = — . Ep-li e pero niestie-
ri d' osservarc, die il dotto matematico fece i suoi
calcoli scnza sapor cjiial fosse la dciisita delTaria nei
luoghi dclle osscrvazioiii; poiche il Cassiiii nou fa in
esse menzion veriuia del baroinetro e del teriiiome-
tro. Si vegga 1' opera del Lamljert intitolata Lcs pro-
prictcs renianjnables dc la lum'ierc ec. pag. 70 , 71 , 75.
11 iriiglior 'mezzo per determinare la quantita del-
la rifrazioii terrestre e, come i Fisici ben sannOj il se-
giiente. Si misnrino con somina esattezza nel tempo
medesimo gli angoli apparenti d' altezza, e di de-
pressione in dne luoghi pe' quali sia uoto 1' angolo
al centro; e qnesti si chiamino a e d. Sia « 1' an-
golo al centro; e la rifrazione si esprima per r. II
vero angolo d' altezza sara dunque a ~ /•; etl il ve-
ro di depressione d — <» ■+-/-. Or, dovendo c^ueste
<luc esyiressioni dcllo stess' angolo esser uguali Ira lo-
vo, sara a — /==(/ — c^ -t- r equazione, da cui si trae
SUI.LE LIVELLAZIONT r.ArilOMETRICIIE 1 9!)
ben facilmente r = . L' iiso cli qiiesta lor-
mola pu6 veclersi nei due csempj seguenti.
II Sig. Cassini de Tliury dal monte di Santa Vic-
toria osservo in Frovimza la deprcssione del monte
des Houpics, e da questo I'altezza del primo. Le os-
servazioni gli diedero f/ = o''4r 40"; ed a = o° 16' 4S".
L' angolo al centre <-i determinato colle misure trigo-
nometriche fatte per la verificazione della meridiana
di Francia fu o" 28' i5" , 5 = iGyj", 5 . Or questi nu-
... „ . - , 3' 20", 5
men sostituiti nella lormola danno /• = ■ =
ico'',25. Qui abbiam dunque -. 1695", 5 = 100' , 20
m
e per conseguente — = -.-^^ = o , 0001 = — : .
Le osservazioni fatte al monte des Hoitpies, e ad
Acquamorta diedero d = 0° 4c' 20"; a = 0° 9' 41"; ed
4' 5?"
w = o°35'36''. Da questi dati risulta 7= — ^-^ =
148", 5. In quest' osservazione fudunque — . 2i36" =
>V7 T ,
148'' , 5; e quindi - ^ o , c6o5 = tt^. II valor me-
^ 11 -^ 14^38
Til ^ 1 c , cSni -Je- o , o6q5 ^ „
aio del due sara dunque — 2_=o,o6^.3=
I
i5 , 55 "
194 V £ X I N I
Se avessiino un biiou numero di simili osserva-
zioni fatte a que' diversi angoli al centro, ai qiiali
senza peiicolo d' errore posson inisurarsi le altezze del
monti, ed a varle densita dell' aria indicate dal baro-
jnetro e dal termometro, noi potreinmo foise dcduriie
qualche regola non affatto incetta per le niisiire del-
le rilVazioni tcrrestri. Ma si avverta bene, non dover
le osservazioui csser fatte ne alle prime ne alle idti-
me due ore del giorno; pcrche allora la gran qnaii-
titu dci vapori iueguabncnte sparsi nelTatmiosfera al-
tera di troppo le rifrazioni, c le rende aflatto irre-
golari .
]Ma nn' altr' avvertenza e non men necessaria del-
la prccedciite; cioe che la misiira dogli aiigoli dell'al-
tezza e -della deprossione apparente sia fatta contein-
porancamente da due diversi osservatori: perciocche se
la misura sara latta da uii solo in tempi diversi, an-
che la densita dell'aria, e per conseguente la rifra-
zione sara probabilmeute diversa; e reudera falsa la
supposizioae, cli' ella accresca di tanto I'angolo d'al-
tezza, di quanto diminuisce quel di depressione. Dc-
termlnato con queste precauzioui il vero valore del-
la rifrazione r, saran noti anchc gli augoli deirakez-
za vera a — /•, e della vera depressione d ~ u -^ r.
Cio iatto ancbe nu solo osservatore, misurando da
nna delle stazioni in ienq:)i diversi ed a varie altezze
deo;li striuncnti meteorolo^'ici p-H au£2:oli d' altezza o
di depressione apparente, potra vedere quanta sia la
diversita delle rifrazioni inauifestata dalla diversita,
die passa fra gU angoli apparenti ed il vero a lui gia
noto.
SULLE LIVELLAZIOXI BAnOMETUICItE IQD
Eccone mi eseinplo. Dalle grandi operazloni tri-
gonometriclie fatte dai iiostri astroiiomi dell' osserva-
torio di Milano, supponendo il raggio tcrrestre di te-
se 3270000, risidta una distaiiza orizontale di tese
10' iT) tra la sala dell' osservatorio ed il castel JJara-
dello di Como. La limgbezza di iin grade pel rag-
gio 3270000 e di tese 07072 ,29; e l' angolo al ccii-
tro pei due liioghi iiidicati si determina roll' analo-
gia 57072,20 a 191 i5 come 60 al quarto; il qiial
trovasi = 0° 20' 5" , 4.
Per mezzo delle osservazloni contemporanee fac-
te dai Sig. De Gesaris ed Oriani si e trovato, che il
vero angolo d' elevazione della sommita della torre
del castel Baradello sopra la sala dell' osservatorio e
= 0° 19' i3" , 6; ed io lo cliiamero (p. Cio posto, se
in tempi diversi e con molta varieta nelle altezze del
barometro e del termometro si misureranno 2;li anoio-
li deir altezza apparente della cima della torre sopra
la sala dell' osservatorio, e chiameransi <P', !?>", cp'" ec,
le rifrazioni saranno cp' zt. cp; (p" dz <p; (p'" ± p, ec. ; e
queste divise per l' angolo al centre 20' 5" , 4 daran-
, . , . .. m
no altrettanti valori di — .
/I
II Sig. Giovanni Tobia Mayer figlio del celebre
astronomo di questo nome nel capo XVI della sua
Geometria pratica parlando delle rifrazioni terrestri
si esprime in questi termini. „ Lo stato dell' atmo-
„ sfera dipende dalle mutazioni di sua densita; e sic-
1, come questa ci e indicata dai barometro e dai ter-
„ mometro, cosi puo dirsi, cbe la rifrazione dipende
„ dallo stato del barometro e del termometro. Posto
196 V E N I N I
„ che la rifrazione sia — dell' ano;olo C (cioc dcW an-
ni °
„ golo al ccntro) io ho trovato, in conseguenza d'un'
„ ipotesi, che nou si scosta nioko dal vero, che,
„ quando nella stazione inferiore il barometro e a 28
„ pollici, i valori della frazione — per diversi giadi
„ del termometro di Reaumur sono i segiienti.
Cradi del termometro
— 10
Valori, di —
in
-___ = o, o64to
lb ,(i
10
20
16,4
o , 06097
= 0 5 o58i4
17, a
— = o J o5555
18,0
„ I risultati di questa tavola si dovranno accrescere
„ o diminuire secondo che il barometro sara piu o
„ meno alto di 28 pollici.
E
S E M P I O.
„ Qual parte dell' angolo C sara la rifrazione
„ quando nella stazione inl'eriore il termometro sia a
J, 10 gradi sopra il ghiaccio, ed il barometro a pol-
„ lici 27 , 5?
SULLE LIVELLAZIONI B.VROMETllICHE 1 97
,, Siccome per -+- lo'' nel termoinetro il valore di — e
' m
„ = o, 05814, COS! si dira 28 :27 , 5 = o,o58i4 : X
1 7 J i
„ e sara a: = o, 05710. Pel supposto stato deiratmo-
„ sfera sara dunqiie la rifrazione =0,05710 deiran-
„ golo C. „
Fill qui r autore, il quale io biamerei, die noii
si fosse ristretto ad acceunar soltanto I'ipotesi, sulla
quale e fondata la sua regola ma avesse spiegato qua-
le ella sia, ed a quali foudanienti appoggiata.
58. II Sig. La Place alia pag. 278 vol. IV" della
Meccanica celeste ha date due formole per le rifra-
zioui terrestri. La prima calcolata neir ipotesi del
calor costaute a tutte le altezze dell' atmosfera la fa
eguale ad 5 — - — quando il termometro e alia tem-
iperatura del gliiaccio che si scioglie;, ed il barometro
a pollici 28 linea i. L'altra da lui calcolata per uu'
lij)Otesi piu probaijile intoruo al calore a diverse al-
Ltezze neir aria, e = allorclie il barometro ed il
1 1 J 9000
[termometro sono alle due altezze pur ora iudicate.
[Preiideudo una media fra le dodici dilatazioni dell'a-
Iria poste al num. 32, cioe o , 004878, o piii sempli-
Icemedte o , 0049 per ogni grado di Reaujiiur la se-
jconda formola del Laplace dara i seguenti valori
Ij. m
Idi - .
"'t. U. p. J I. 25
iqS
V E
N I
N
I
T A V
0 L
A
I.
I termometro
leaumur
Valorl dl —
n
— 10
c , 088147
0
0 , 084031
H- 10
0 , 079913
•+- 20
0 , 076796
Trentatre osservazioni fatte al Peru; 11 in In-
gliikerra; 8 in Italia; 7 in Lapponia; 21 in Austria;
5 al Capo di Buona speranza; e 12 in Francia die-
dero i seguenti risultati per le altezze medie del ba-
rometro e pei valori di — tratti dal Giornale del Sig.
Zacli del mese di Maggio 180 5.
T A V O L A II.
Paesi
Bai
rometro in pollicl
Valori di —
n
Peru
16 , 38
0 , 0378
Inghilterra
27 , 58
0 , 0724
Italia
24 , o52
0 , 052I
Lapponia
27 , 412
0 , o65o
Austria
25 , 789
0 , o63o
Capo
26 , 46
0 , 0690
Francia
26 , 46
0 , 0960
m
SUT.LE LIVELLAZI0>''1 BAROMKTHICHE 1 99
I
lo credo, che questi valori di — appartengauo al-
ia temperatura del ghiaccio; onde altro non resta che
di ridurli alia costante altezza barometrica di 28 pol-
lici; il che si ottiene inoltiplicandoli per la frazione
A
-7: ; nella quale A esprime le altezze del baroraetro
registrate nella tavola, Fatta la riduzione i valori di
m
— saranno come qui sotto.
n *
Tavola III.
Peru o , 059537
Inghilterra o , 0735o3
Italia o
Lapponia o
Austria
Capo
069650
066394
o , 066999
o , 073616
Francia
Med
10
o , 101710
o , 071687
Con questo medio, e colla dilatazione di 0,0049
al grado trovansi per - i seguenti valori .
200 V E N I 5J I
T A V O L A IV.
— 10 o , 075200
o o , 071687
-H 10 O , 068174
H- 20 O , 064661
Ma io son d' avviso, die nelle misure geometri-
che delle altezze eseguite in diversi paesi convenga
far uso dei valori di — dati dalla tavola III per que'
paesi medesimi o per quelli, che ne son meno distan-
ti, anziche del medio posto appie della tavola. Con
queste precauzioni si puo sperare di trar dalla tavo-
la un valore di — , che si avvicini quanto pin puossi
a quello, che avra veramente avuto luogo in ciaJcun
caso particolare. Dico cfie si avvieini quanto piu puos-
si; perche tra il valor medio dato dalla tavola per
im paese particolare e quelh, che nello stesso paese
lealmente esistono in tempi e circostanze diverse e de-
terminate si trova senipre una maggiore o minor dif-
ferenza. Della qual cosa la ragion principale a me
sembra consistere nella tacita supposizione, che fas-
si nel calcolar le tavole, cioe che la forza rifrattiva
dell'aria sia sempre ed uuicamente proporzionale al-
ia sua densita indicata dal harometro e dal termo-
metro; la qual supposizione e non di rado smentita
StJLLE LIVELLAZIONI BAROMETKICHE 201
dair esperienza. E quindl e, die nclle misiire geome-
triche delle altezze, ed in quelle specialmente, in cui
graiide e 1' angolo al centre, restera sempre qualche
incertezza. Imperciocche il solo mezzo, die noi ab-
biam di correggerla calcolandone la rifrazione quello
e di prendere il valore di — , die nella tavola III cor
risponde al dato paese; e di renderlo proporzionale
alia temperatura ed alTaltezza barometrica date dall'os-
servazione. Ma se nelle circostanze particolari di que-
sta sara stata assai diversa la forza rifiattiva dell' a-
ria, la quantita della rifrazione calcolata colla tavola
riuscira sensibilniente o maggiore o minor dt^lla vera.
Eccone un esempio . Nelle osservazioni dell' Austria
ne ha una tra Miskolg e Obelef; nella quale il ba-
rometro fu a pollici 26 , 6; — = o , 098; e 1' angolo
al centro =26', 81. Per 1' Austria il valor medio di
— e nella tavola III = o , 066999 a 28 pol. cV altez-
za barometrica. Dunque per pol. 26 , 6 si ridiice a
o , 063649, laddove per 1' osservazione f u a o , 093.
La diflierenza e 0,02935 1; la quale, mohiplicata per
r angolo al centro 26' , 8 1 , e = o' , 76840 = -j.6" ,11.
Vedrem fra poco die, se una differenza simile a
qnesta avesse avuto luogo nella misura del monte Ro-
sa, ne sarebbe nata nell'altezza calcolata coU'uso del-
la tavola III una diminuzione di tese 10,7 su 233 i , 1 1;
die e quasi an mezzo per cento.
202 V It N I N I
11 Slg. Delambre, dopo aver clctto alia pag. 99
de' siioi Metodi analitici per la deterininazioae d' u«
arco del ineridiano, die il valore di — varia col va-
ra
riar dello stato dell' atmosfera, soggiunge; noii esser
siio discgno d' entrare in un esposizion uiinuta delle
proprie osservazioni; ma bastaigli il dire, che — gU
e parso in estate =0 , oyS; in primavera ed autun-
no = o , 08; ed in inverno da o , 09 a o , 10. Giu-
sta la tavola HI lo stesso valore e per la Francia
= 0, 103 alia teniperatura zero; e, fatto il sollto cal-
colo per la temperatura 10'' = 0,096; e per la tem-
peratura 2o'' = o,092; cosicche le difterenze sono 0,02;
0,016; 0,017. Ma i risukati del Sig. Delambre, es-
sendo dedotti da un gran numero d' osservazioni ,
ch' egli dovette fare per la misura del meridiano, a
me sembra, che meritin giustamente la preferenza.
Articolo III.
Misura delle altezze vere per mezzo dell' angolo
d' elevaziune .
59. Determinata ad un di presso la quantita del-
la rifrazione, per determinare anche 1' altezza vera
D b, osservo che nel triangolo JBb e noto l' an-
golo -ff; e che r angolo B Ab effetto della rifrazione
SULLE LIVELLAZIONI BAROMETIUCHE 2o3
e = — . Dunque nel triangolo CJb avrem Vangolo
C Ab = CA B-"^; e rangolo AbC = B-i-'^-
Cio preniesso ognun vede, che sara
CAcos.{EJB-.!!L^)
(E) Cb =
n
sen. [D -t- )
n
SuppongasI col Lambert — = — , e neU'esempio I
cioe in quel della torre della Matelotte V angolo
EAB-"^ sara =8-27' 10"-^' ^^"- ^4^ ^o , ^„ ^3^
n ' 14 < ' '
e r angolo ^ -h ^= 81" 3o' 3i" , 06 -h ^-^^^^^^^ =
8i°3o'4o",98. In quest' esempio il calcolo sara dunque
L COS. {EJB — "—)= 9 . 996259675^
n
LCA = 6 . 5147877
16 . 5099978753
I,(^-«-^) = 9 . 995ai6ii36
n
LCb = 6 . 5i478ia6i6
C* = 8171758 ,358; Z?^ = 3a8,358
204 Y li N I N I
Nel primo esempio 1' altezza apparente D B si
e trovata = 328 , 43; di che segue, la rifrazione aver
in qiiesto caso accresciuta 1' altezza di 73 millesimi
di tesa giusta 1' ipotesi del Lambert. Egli peio non
corregge le akezze quando 1' ell'etto della rifrazione
c minor d' una tesa.
Per I'esempio del Canigou abbianio w = 3o' 1 1", 12;
_ = 2' o" , 37; e per conseguente E A B 7 == 3*
14 "^ ' ' o j4
34' 5o", 63; e j5 H- - = 86" 54' 58", 25. Fatto con
questi dati il solito calcolo si trova (76 = 3272843,81;
e /> 6 =1422,31. Ma senza considerar la rifrazione
si e trovato D B = 1439 ,55. La rifrazione ha dun-
que in questo caso accresciuta T altezza di tese 17,24.
II Lambert, fatto il calcolo colle sue formole, ha tro-
vato Taccrescimento di 18 tese.
Alfine pel monte San Bartolomeo e w= 55' 3"7ii
ed4 = 3'55",98. Quindi viene ^^^--^=46' 4", 02;
14 j4
G B^^ — ^ = 88° 18' 52", 27. E calcolando con questi
dati nel modo solito si trova C 6 = 3272543, 91; ^ Db =
1 122 ,41. L'effetto della rifrazione e dunque in que-
sto caso di tese 60 , 75. 11 Lambert lo fece di 60.
L' angolo al centro e comune ai due triangoli
C A B , C A b; onde segue, che cjuest' angolo deter-
minato per T altezza apparente D B serve anche per
la reale JDO. A\ num. 52 bo spiegato il modo di cal-
SUI.LE LIVELLAZIONI BAUOMETRICIIE 2o5
colarlo quanclo nel triangolo CABg noto C A eel
incognito CB; ma se CB sara noto ed incognito C Ay
V angolo C determinerassi colla seguente analogia
C B A B = COS. E A B : sen. C.
JNeirequazione {£) posta qui sopra si ha il va-
lor &i C b qiiando son noti C A, 1' angolo apparente
d' akezza EAB. e la frazione -. Ma se saran noti
r angolo, la frazione c Cb; alloia sara CA =
C b sen. ( B H )
" . Finalmente anche la frazione —
cos.(EAB-"l£) ''
n
si determinera nel modo seguente quando sian noti
C A , C b, e r angolo E A B. Nell equazione {E)
sostiiuisco 2L B \\ sue valore 90° — E A B — C; ela
CAcos.{EJB—'±^)
cangio in C 6 = _— ^^ — . Per sempli-
cos.(EAB~— ^C\
n
cita niaggiore sostituisco 4) ad E A B — ^^ ; e n ho
lit
C b = ^- • e ^— = — - . Sara dun-
^ COS. <p COS. C ~ sen. <p sen. CCA . ,. ^
que = — — ; e quuidi cos. C —
^ COS. cp ■ Cb ^
n CA
^ . COS. C
sen. C tan. 0 = -— - ; e tan. (p = . Con que-
Cb' ien.C ^
T. II. P. IL 26
2C6 V E N I N I
sto valor noto dt-lla tangente si trovera nrlle tavole
qiiello dcirangolo, die chiamero v; oiidc avro EAB —
mC ^ ■ r "* EAB — V
- — = r; ed in line — = .
n n C
V
TIo detto al num. Sy, clie il niiglior mezzo per
determinar la quantita della rilVazione e qiicllo di mi-
surar con somma esattezza nel tempo nicdcsimo gli
angoli apparent! d' akezza e dl depressione a , d in
due stazioui d' akezza diversa, per le quali sia noto
r angolo al centro «; poiclie la rifrazione e =
. Ma questo metodo esige due osservatori;
iin de' quali in tempi diversi misuri alia stazion infe-
riore gli angoli dell' akezza apparente, e I'akro de-
termini contemporaneamente alia stazion superiore
quelli della depressione; il clie ne rende sempre in-
comoda e spesso malagevole Tesecuzione. Ma se una
sola volta con un buon istrumento, e colle precauzio-
iii, di cui parlero nelT ultimo articolo di questa se-
zione, si fara una livellazion esatta dalT una all' al-
tra stazione; e se ne determinera con precisione la
dilTerenza di akezza; un solo osservatore luisurando
poi dalla stazion iuferiore gli angoli d' akezza, potra
per mezzo della formola precedente, in cui saran no-
ti C A ; C b ; C ed EAB, determinar il valorc di
ni , . (, . m C
- ; e per conseQ;uente la nJrazione — .
Se il calcolo delle akezze apparent! si fa col trian-
I
SULLE LIVELLAZIONI BAROMETRICHE 207
golo ABD esse trovansi 'colla fonnola del num. 53, che e
ADsen.{EAB-\--)
BD =
COS. ( E A B -J- w)
ApplicanJo ancbe a questa la correzion della rifra-
zione si avia dunque
{EAB^t-'I^)
Bd = ADsen
cos.(EAB-t-<^-'!^)
n
E neir ipotesi del Lambert
AD sen. (EAB-^~)
Bd= 1— '
COS. (E A B -\- —^ )
Si e veduto al num. 53, che per la torre della
Matelotte la corda AD e = 22o3 , 58; e 1' altezza
D B non corretta dalla rifrazione = 328 , 244 ; ma
calcolando colla rifrazione — si trovera E A B -^ =
•4"
7
i3 w
=
8"
29'
18''
, 96
. Or
8" 28' 9" ,55; ed EAB
14
questi valori sostituiti nella formola danno 7)6=328,
137: ccsicdie r alzamento prodotto dalla rifrazione e
poco pill d' un decimo di tesa .
Pfl Caiiiji;ou il valore di B d dedotto dalla for-
mola e di tese 1^.2 1 , 45; e 1' elTetto della rifrazione
iii^39 , 489 — 1 42! , 45 = 18 , 039.
203 V E N I N I
Pel nionte S. Bartoloaieo si trova B d = 1123,
i836; e per conseguenza T alzarnento della rifrazioue
fu 1 183 , I 589 — 1 123 , i'836 = 59 , 9753.
Finalmente, se il calcolo delle altezze apparent!
f assi col triangolo A B F, dopo d' aver deteriniiiato
il valor di D B, si troverii quello eziandio di D b
calcolando il lato Bb nel triangolo A B b; e sottra-
endolo poi da D B . II calcolo e fondato sulla se-
gueate aualogia
sen. Ah B : sen. BAb = AB: Bb,
ovvero (poiche^J6 e =— . ed AbB=\Zo°—B—^^)
^ n n '
sen. ( B -H — ) : sen. — =: A B : B 0 .
n n
Per la torre della Matelotte abbiamo w = 2'i8",
q5, e secondo il Lambert — = — = 9",o2:-5h =
•^ /J 14 n
81" 3o' 40", 98; ed AB = 3228. II valore di ^6 si
calcolera dunque cosi
Lsen."^^ = 5 . 6819143
n
L A B = ^ . 347915a
9 . 0298295
Lsen.{B-i- — ) = 9 . 9952161136
n
LBb = g . 0346133864; Bb = o , io33 .
SULLE I.IVELLAZIONI BAROMETUICIIE 209
Lo stesso calcolo da pel Caiiigou B b ■= lo , 068,
e pel moiue S.iii Dartolomeo B b ^= ^i) ^ 908. Le ri-
frazioui calcolate coi triangoli A D b , A B b son dun-
qiu; sensibiliiiente uguali e tra loro e colle asacgnate
dal Liiiibert, die sono di tese i8,e6o. JMa 11 calco-
lo del triaiigolo CJb del num. 59 da circa ^ dj tesa
in meno pel Canigou; in piu pel monte San Barto-
lomeo; ed io non saprei dire, onde nasca la differenza.
Questi esempj fanno veder chiaramente quanto
r effetto della ritVazione sia grande allorclie gli an-
goli al centro eccedono iiii mezzo grado; ma io ne
aggiugnero un akro; in cui quest' angolo fu alquan-
to maggiore d' un grado; e ne faro il calcolo quanto
piu potro esattamente. Ci dara questo I'altezza d'uno
de' piu alti monti del nostro continente qual e il mon-
te Kosa.
11 Sig. Abate Oriani dalla sala dell' osservatorio
di Milano (situata alia latitudine 46° 27' 59", e supe-
rior al mare di tese 77 , 1 ) osservo 1' angolo appa-
rente d'elevazione della doppia punta piramidale del
mofite Rosa; e la trovo di i°-^7' 39", o5 sendo il ba-
rometro a pel. 27 lin. 11, ed il termometro di Reau-
mur a gradi 18 , 5. Io calcolero quest' altezza pri-
mieramente col valor della rifrazione del Lambert,
poi con quello della tav. Ill del numero precedente.
Dalle operazioni trigonometriche dei nostri Astro-
iiomi gia menzionate risulta, die la vera distauza ori-
zontale del monte dall' osservatorio e di tese 69138.
Si calcoli la lungliezza del grado per la laiiiudine
deU'osservatorio colla formola G= -,^,
T a {t — e^)
180" (i-e^^e/z/')*
.3 '
210
V
E N I N 1
e si trovera dl tese 07011 ,8; alia qual lungliczza
corrispoiulc un raggio osciilatore = 3266536 ,09. A
questo valor del raggio s' aggiurigan tese 77, 1; del-
le quali la sala delT osservatorio c superior al mare;
e si avra il lato CJ del inio triangolo = 326661 3, 19.
L'angolo al centro si deterinina coH'analogia 6701 1,8:
59133 = 60' : x; la quale da x' = 62', 237 = 1° 2' I4",2.
Dunque, siipposta col Lambert la rifrazione = — ,
sara questa = 0° 4' 26" , 7. Ora , essendo E A B =
i°47'39"; «= i°2' 14", 2; si ha J3 = iif 10' 6", 8.
Sara diuique £ J b = E A B - - = 1" 43' 12" , 3; ed
14
AbC = B
= 87° 14' 33" , 5 . Fatto il solito cal-
colo con questi valori degli angoli e coa quelle di
C^ troveremo C6 = 3268926, 59; e Z)^ = 23i3,4i.
11 Sig. Oriani ha calcolata la medesima altezza
colla formola
sen. {E A B
Db=^AD
cos.{EAB
I 3 W X
supponendo C A = 3270000 ; ed ha trovato D h =
2312,4. ^^ s^^o risukato e dunque minor del mio
d' una tesa su piii di 23oo.
Finalmente, per trovar la rifrazione colla t'amlll
del num. prec, osservo che per 1' Itaha il valbre di
m
n
SULLE LIVELLAZIONI EAKOME TKIClIE 211
e 0 , o6o652 alia temperatura zero. Danque, facen-
do iiso della dilatazione o , 0049 per grado, alia tera-r
peratiira di 10°, 5, sara o,o55i54, e per T akezza
■t ■ T • 1 • 335 (o , c55i54)
barometrica 27 po. 11 lin. ridurrassi a ^— ^.^7: ^^=
0,05499. Qut*sto valore moliiplicato per quelle dell'an-
golo al centre, cio^ per 37.34" ,2 ci da la rifrazione
3' 25", 34. Cio posto EAb c = i" 44' i3" , 66; ed
A b C = 87° i3' 32" , 14; dai quali valori, fatto il so-
Iito calcolo, si deduce C b = 3268944 ,3; e D b =
23ji , I I.
Suppongasi ora , che come nell' osservazione
deir Austria, di ciii poc' anzi ho parlatO;, anche in
questa la forza rifrattiva dell' aria abbia superata quel'
la della tavola di circa 0,029 cosicche sia = 0,089654.
n ^
La medesima serie di calcoli fatta con questo valore
ci dara — = 4' 1 1" , i; el' altezza D b = 232o , 41
minor dell' altra di tese 10,7. Questa difterenza non
giugne al mezzo per 100 delT altezza totale; ma e
una delle maggiori; poiclie rari sono i casi , in cui la
forza rifrattiva dell' aria sia tanto diversa dalla me-
dia, o rangolo al centro maggiore di un grado ;, com'e
nel presente. Si avverta in fine, che, calcolando 1" al-
tezza senz' aver rignardo alia rifrazione, ella trovasi
di tese 2389,855: onde si fa manifesto quanto gran-
de in questo caso sia refl'etto della rifrazione.
212 V E N I N I
60. Agli esempj fin qui recati ne aggiungero fi-
nalnieiue un altro in cui e Tangolo al centro e quelli
d'altezza e cli depressione, e per conseguenza anche
il valore della rilrazione furon noti. Gli Accatlemici
francesi spediti al Peru, affin di deterniinare qual sia
sotto I'equatore la lungliezza d'un grado di latitudi-
nc, misurarono con un'estreuia esattezza, ma con fa-
tica graudissima la distanza orizontale di Carabourou
ad Oyambaro^ cioe delle due estremita della base,
die servi di primo lato a tutta la serie de'lor trian-
goli; e la trovarono di tese 6272,77. Da questa,
con un laborioso calcolo fatto sulle distanze, e su gli
angoli d'altezza e di depressiope di niolti punti inter-
medii, ne conchiusero; die la lungliezza rettilinea del-
la base in aria era di 6274,06 tese. II risultato delle
grandi operazioni loro fu , che un grado terrestre di
latitudine sotto 1' equatore ed al livello di Carabou-
rou e giusta il Sig. de la Condamine di tese 66770 , 3.
L' angolo al centro w per le due estremita della ba-
se fa dnnque = ^^7"'^^^^"' = 6' 37", 776. Gli an-
^ 06770 ,2. III.
goli d' altezza e di depressione, secondo la Conda-
mine, furono a = i" 6' 19", e d= i*'ii'53". Sostitui-
sco tutti quesii valori nella formola della rifrazione;
e n' bo 7 = ^^ ^- =3i",888. Ouesta rifrazione
corrisponde a c , 08 dell' angolo al centro, ed e ve-
ramente alquanto grande rispetto alia rarita dell' aria
pel livello di Carabourou, ed alia temperatura, clie
SULLE LIVELLAXIONI BAROMETRICHE 2l3
vi regna; ma non puo nondimeno dirsi assolutamen-
te eccessiva*.
„ Cli angoli di depressione e di altezza, dice il
„ Sig. Bonguer, erano alquanto soggetti a cambiare
„ per r irregolarita delle rifrazioni tenestri, che le
„ circostanze locali rendevano ancor piii variabili. Es-
„ sendo noi tutti insieme a Carabourou estremita set-
„ tentrionale trovammo Televazion d'Oyambaro estre-
„ mita australe di i° 6' 9"; ed un akro giorno il Sig.
„ de la Condamine, Don Antonio de Ulloa ed io, es-
„ sendo soli ad Oyainbaro osservamino la depressione
„ di Carabourou di 1° 12' 20". II Sig. Godin ha ere-
„ duto dappoi, dover piuttosto attenersi ai due nu-
„ meri 1" 6' 3o", ed 1° 11' 35".,,
In quest' incertezza io prendero una media fra
le tre determinazioni; la qual mi dara a = i" 6' 19",
333; rf = 1" 1 1' 56"; ed r = 3o" , 5,54. Per calcolar
r altezza d'Oyambaro sopra Carabourou abbiam dun-
que i dati seguenti: E AB= i'^ 6' 19", 333; £^ = 6' 37", 776;
B = 88" 47' 2", 891 ; r = 3o", 554; ed AB lunghezza
della base in aria =6274,05. Resta da determinarsi
il valor di CA raggio osculatore per 1' estremita infe-
rior della base. Or questo si ottiene assai facilmente,
• I ' M J • 1 uu' '^^^ -56770 ,a
poiclie 11 detto raggio debb essere = ;
e per conseguente L R = L 180" h- L 56770 , 2 —
Z, T = 6 . 5122430; al qual logaritmo corrisponde il
nuniero 3252691 ,79.
Dai valori di EAB, di ^, e di r vengono EAb =
1" 5' 48", 779; ed J 6 C= 88° 47' 33", 444; e cio
T, JI. P. II. 37
214 Venini
posto calcolo come segue
L COS. E A b=s 9 . 9999204428
LC A =: 6 . 5i2a43o
16 . 5iai634488
L sen. A h C = 9 . 9999035721
LCb=. 6 . 5122598766
CZ' = 325a8i8,48; £>^= 126 ,69 tese.
II Sig. Bouguer ha scritto in pin luoghi, clie que-
st' altezza e di circa 126 tese. Anche la Condaniine
r ha detta di 126 tese; ma nel suo profilo della ba-
se si vede, ch' egh ha sempre neghgentate le frazioiii.
Facendo il calcolo colla formola del num. 58
AD sen. {EAB-^-~r)
Db^ . ^
cos. {E A B -*- u — r)
troveremo LAD=Lsen. (0° 3' 1 8",888) ^L:l^L C A^
3. 7974559; LZ)6 = L JZ>-^-Z5e/^(l°8'56", iiSSj-
Zz COS. (1° 12' i5", 221) = 2.0997135; e Z^6=i25,8r.
Finalmente col calcolo del triangolo AB F i\ tro-
va 6fZ = 120, 104; fZZ) = 5, 9567; e per conseguente
Db= 126, 0607; cioe il valor medesimo, che fu as-
segnato dai due accademici; poiche la differenza e mi-
nore di 61 millesimi di tesa. Anche la media delle tre
altezze poste qui sopra, cioe 126, 1869 e ben poco
diversa.
Neir esempio presente, e piu generalmente ogni
SULLE LIVELLAZIONI BAIIOMETRICHE ai5
voka che 1' angolo al centre e quelli cV altezza e dl
depressione son noti, il valore dell' angolo d' altezza
corretto dalla rifrazione , cioe E A b e U2;uale ad
a
— . Imperciocche, chiamati a\d' gli angoli non
apparent! ma veri d' altezza , e di depressione, sara
a' = a ~ r\ e cl = d ~ u -*- t-; e quindi a' -^~ d' ==:
a ->r- d — w; e perche d' non e diverso da a' quando
le inisure sono esatte , 2 a' = a -+-(/ — « , ed a' =
a -¥- d — ' 0)
a *
Si sostituiscano in questa formola i valorl di a, d, u
posti qui sopra; e si trovera a' = 1° 5' 48", 7780, cioe
il valor medesimo di EAb, che abbiani trovato cal-
colando la rifrazione.
6r. Ho parlato piu volte delle correzioni^ che il
,, Sig. Lambert ha fatte per coiito delle rifrazioni alle
altezze dei monti calcolate dal Sig. Cassini. Siffatte
correzioni son fondate sal teorema xxxiii, e sul pro-
blema xiv dell' opera gia citata del Lambert sul sen-
tiero della luce nell' aria. Nel teorema dimostrasi per
approssimazione che (supposta circolare presso la Ter-
I ra la curva di rifrazione, chiamato R il raggio del cer-
chio di rifrazione; cui Tautore da il nome di raggio
orizonia/e, ed espresso coll' unita il raggio terrestre )
gli oggtiti, che nella livellazione si veggon nella tan-
gente o retta orizontale sono alzati dalla rifrazione
della quaatita ^^' " ~ esprimendo al solito per w
2l6 V E N I N I
Tangolo al centre. Nel problema stabilisce che, se
dalla ilistanza apparente della sonimita d' un monte
dal centre terrestre si sottrae il prodotto della qnanti-
ta precedente nella cosecante della distanza apparente
della cima del monte dal zetn't, nel residuo hassi la di-
stanza vera, cioc corretta dalla rifrazione. Egli aggiu-
gne poi neir osservazion prima, die nelle misure del
monti quella cosecante e quasi sempre vicinissima
all'unita; onde segue, che le altezze calcolate senza
riguardo alia rifrazione si correggono diminuendole
sec. u — r
della quantita
Se la rifrazione e espressa da — il raggio ori-
zontale diviene — ; e quindi la correzion si riduce
aw *
^ zm(sec.u — i) ,. ,. , .,
a i; o megho, chiamando r il raggio
3,mr{ sec. u — r )
terrestre, ■ ' .
n
Nella fig. 1 la quantita r (sec. w— i) e = d D. Si
aggiunga, che, come abbiain veduto alia fine del num.
54, a (ID si puo sostituire . Ora^ calcolando col
triangolo A B F, questo valore di d D fa trovare I'al-
tezza non corretta dalla rifrazione. Dunque, ponendo
A F ■ . .
in iiso la correzione del Lambert, ad si sostitui-
a r
t
9UI,LE LIVELLAZIONI BAROMETRICHE 2I7
■ ■- a a
K A F ^ m A F . rr ■,,
ra — — ■ . Ainn d avere un espression pm sem-
pllce io suppongo questo ])inomio = ; e ne for-
. . . Amr
mo un equazione; per cui mezzo trovo x = — i
* n — a/Ti .
II valore di d Z>, dal qual dipende la correzion del-
Uc ■ < 1 AF tn — zm)AF
ritrazione, e dunque ; •= .
^ a r -h- ^m r a n r
n—am
Se la rifrazione fosse un decimo dell' angolo al
centre, essendo alloia w = i , « ^ lo, ne verrebbe
a~f'
d D = formola data dal celebre astronomo
a r -H a r
"4
Maskelyne per la suddetta ipotesi di rifrazione. IMa
per quella del Lambert cioe d' un quattordicesimo
deir angolo al centre sarebbe d D = —
a
AF
2,r
"6~
62. Oltre alia correzion della rifrazione dovrebbe
talvolta farsi ancbe quella della deviazione della ret-
ta orizontale apparente dalla vera prodotta daH'atcra-
zione dei monti quando appie di questi si misura 1' an-
golo d' elevazione. Ma come determinare la quantita
di questa deviazione? Rarissimi sarebbero i casi, ne'
2l3 V E N I N I
quail cio potesse ottenersl con un' osservazion attuale,
e non senza difficoka nell' esecuzione. Ne da quelle,
clie Bouguer e la Condamine fecero al Peru, e Maske-
lyne in Iscozia si puo dedurre alcuna regola da ap-
plicarsi ai casi particolari.
Quando il Cassini, per esempio, da CoUioure pre-
se r angolo d' altezza della torre della Matelotte egli
aveva alle spalle il mare ed a fronte i Pirenei; 1' at-
trazioii de' quali deve superar quella delle acque del
Mediterraneo, e puo aver un rapporto sensibile al-
ia totale attrazion della Terra. Ma la quantita del-
la deviazione, che quest' attrazione puo cagionare e
affatto incerta. II Sig. Maskelyne 1' ha trovata di 5", 8
al monte Scheallien. Supponeudo (ma sol per dare un
esempio della correzione, che dovrebbe farsi all' an-
golo d' elevazione, non perche la supposizion sia pro-
babile ) che l' attrazione de' Pirenei a Collioure fossfe
doppia di quella del monte di Scozia, mettiamola di
12 secondi. In tal caso 1' angolo d' altezza osserva-
to debb' essere accresciuto di 12", e portato ad S^ 27'
ji .^- C
22". Da questo cangiamento viene =40^46' 19";
e ^ = 81° 3o' 19". Calcolata con questi dati 1' altez-
za si trova (7^ = 3271759, 17; e DB=: 629, 17 in
luogo di 328,43; cosicche alia supposta deviazione
di 12" corrisponde uell' altezza un accrescimento di
I di tesa.
Fatte le supposizioni medesime pel monti Cani-
gou e S. Bartolomeo, e con queste calcolate le altez-
ze loro , troverebbesi quella del primo accresciuta di
SULLE LIVELLAZIONI BAROMETKICHE 21 Cj
tese 3 , 98; e quella del seconclo di 3 , 09. Qiiesti eseni-
pj, ne' quail ho supposta V attrazione de' Pirenei, die
poco a poco s' iiinalzano allontanandosl dal mare, cer-
tamente assai magglore del vero, bastario per dimo-
strare, clie nei casi ordinarii assai piccolo e 1' effetto
deir attrazione del nionti; e clie dilFicilissiino, per non
dir impossibile riuscirebbe il determinarlo in ogni case
particolare. Nei risultati dei calcoli delle altezze re-
stera dunque qualche piccola incertezza ogni volta che
abbiasi alcun fondameiito di credere, che 1' angolo
osservato d'altezza possa esser dall' attrazione dei mon-
ti vicini sensibilmente alterato.
Artigolo IV.
Misura delle altezze vere per mezzo dcgli angoU
di depressione.
63. I metodi fni qui esposti siippongono, che le
altezze si misurin dal basso all' alto prendendo gli
angoli d' elevazione. Ma la misura puo esegnirsi an-
che dair alto al basso per mezzo degli angoli di de-
pressione.
Sia A ( fig. II ) un luogo plu alto di B; AD la
tangente del circolo osculatore del punto A; e DJb
V angolo di depressione, sotto il quale il punto B al-
zato dalla rifrazione si vede in A. Sia in oltre C il
centro del circolo osculatore; ed esprimasi al solito
per — r angolo di rifrazione B Ab. Cliiamato $ lan-
golo osservato di depressione D A b avremo
220 V E N I N I
n ' n
90°— C; e Cj5y4 = 90°-t-(p-C-+- — . Ora nel trlan-
golo CAB e C B :CA = sen. CAB: sen. C B A =
, 7nC . , ^ mC . 1 ^>»
COS. (cj) H ) : COS. (O) — C -i );eaa quest ana-
n ' n
logia deduces! 1' equazion seguente
CBcos.{<p-C-^~)
<^"^^= „ mc'l ■
COS. (<P -*- )
n
Ho gia fatto osservare, che l' angolo al centre C
e lo stesso pei due triangoli CAB, CAb. Se CA e
cognito, saran noti nel tiiaiigolo C Ab i due lati C^,
Ab coir angolo da essi compreso= 90° — cj); e con que-
st! dati si calcolera T angolo al centro. Se e noto C B ,
il suo valore potra, scnz' alcun sensibil errore nel risul-
tato del calcolo, sost!tuirsi a quello di Cb. Sara dun-
que Cb: Ab = cos. <p : sen. C. Determinato il valor di
C, la formola precedente dara quello di CA quando
e noto CB, e quello di CB se e noto CA.
Ne serva d' esempio 1' altezza del monte Canigou.
Abbiani veduto al num. 52, die T angolo dcU' altez-
za apparente di questo monte sopra la stazione infe-
riore (distance giusta il Cassini di tese 3271421, 5 dal
centro della terra ) fa = 2° 87' o"; e V angolo al cen-
tro Uo' 11", 12. Vediam ora qua! sarebbe stato Tan-
SULLE LIVELLAZIONI BAROMETRICIIE 22 1
golo della depressione apparente se un altro osserva-
tore dalla cinia del nionte 1' avesse misiirato nel tem-
po medesimo, in cui fii preso l' angolo d' elevazione.
Pel num. 57 chiamando a, d gli aiigoli apparent! d'al-
tezza e di depressione, u T angolo al centro, ed r quel
di rifrazione, il rapporto di queste quantita e espres-
so dalla lorinola a ~ r = d— u -^ r; per la quale vien
ad esser (/ = a -i- w — 2 /• .
Supponendo /== -^ avremo cZ = 2''37'-»-3o'n",i2—
— =: 3° 2' 52", 39. Questo e dunque il valo-
re di <?> , il quale;, sostituito con quelli di C ed — =
— nell'equazione (E) la riduce a 6*^ = 3271421 ,5
(a° 34'5o",635) 0020 ' a'
"^^•k:{¥''"5^,^5]=^^7^^-^^\^^' e qmndi, presa
C/}'=CB; Taltezza A'A e =C^-Ci?= 1422,31 te.,
quale appunto I'abbiam trovata al num. 59.
Applichiam ora la formola ad un caso, in cui
r angolo di depressione fu veramente osservato; ma,
[come vedremo, con poca esattezza. Dalla sommita del
INlonbianco; ove il barometro era a linee 192, 9; ed
il termometro a gradi di Reaumur — 2, 3; il Sig. de
Saussure disse d' aver misurato l' angolo della depres-
sione apparente del monte llosa, e trovatolo di 3o mi-
nuti. L' angolo al centro per la sommita dei due moiiti
^si determina per mezzo della lor situazione geograli-
T. 11. P. IL 28
222 V i; N r N I
ca in longituiliiie e latitudine. II Sig. Abate Oriaiii
lia calcolata Tuna e T ahiu per la sominitu del momc
Rosa; ed l\a trovata la longitudine = 25° 32' 17", i;
c la latitudine = 40" 55' 56", i. 11 siio calcolo e nel
giornale del Sig. Zacli, Giugno 179H, e tradotto in
nostra lingua nel vol. XX degli Opuscoli scelti di Mi-
lan© pag. 379, 3 80. Nel vol. X degli stessi Opuscoli
scehi pag. 242 leggesi la seguente nota.,, In un fo-
„ glietto recentemente stainpato dal Sig. Bourrit so-
„ pra un siio viaggio nelle alpi si trova la seguente
„ notizia. 11 Sig. Baufoix inglese Astronomo e Fisi-
„ CO nel giorno 9 Agosto dell' anno corrente perven-
„ ne alia cima del Monbianco, ne misuro la latitndi-
„ ne, e la deterinino a 45° 5o' 11". „ iNella carca del
Sig. Pictet pubblicata nel secondo vol. dci Viaggi del
Sig. de Saussure il Monbianco e posto presso a poco
alia stessa latitudine, ed alia longitudine 45' all' est
di Ginevra; la cui longitudine e 23" 49'. Quella del
Monbianco sara dnnc[ue 24° 34'. L' arco del chiesto
angolo al centro e per conseguenza il terzo huo d' un
triangolo sferico; di cui son noli due lati col T ango-
lo intercetto. 1 lati sono 44° 9' 49"; ij.4" .:j.' 4" distan-
ze dal polo; e T angolo 58' 17" dillerenza delle lon-
gitudini. Con qnesti dati faremo il seguf'nte calcolo.
Sia P il jiolo (fig. HI), ^ ed /? le cime dei monti
Bianco e Ilosa. Sara dunque P/? = 44°4'4"; PB =
44" 9' 49"-, e r angolo intercetto <p = 58' 17". Si tiri
da y? r avco perpendicolare /? 5; e per le note rego-
le della trisononietria sferica sara tana:. P S =
o^
COS. (p fans;. PR ^. ,
°- . Lio posto avremo
SULLE LIVELLAZIONI BAROMETllICIIE 223
L COS. (p = 9 . 9999876
Ltan.PR= 9 . 98586524
19 . 98580284
— 10 .
Ltan.PS= 9 . 98580284; P5 = 44*3'49",i8; 5 5 =
PB~PS= 5' 59", 8a.
c > • 1 D 75 COS. S B COS. P R
bara in okre cos. B R=. — r— ^ ; e per conse-
COS. P b ^
guente
L COS. S B-=: 9 . 9999993
Lcos.PR= 9 .85643788
19 . 85643668
Lcos.PS= 9 . 8564676
Lcos.B R= 9 . 99996908; 5 7? = o''4i".
Alio stesso risultato si giugne calcolando il va-
lore (\'\ B R colla formola seguente. Sia P B = A .,
P JR = a, e r angolo intercetto 4*- Chiamato x V ar-
co B R sara
X / f . t (h I A — a\
sen. - = y/ ( sen. A sen. a sen . - -t- sen ) .
2 2 a
Ecco il calcolo di questa formola, di jcui daro la di-
•221
V £ N I N I
inostrazione nella nota (a) posta in fine di quest'ar-
ticulo .
Lsen.A= 9 . 843o5i83
L sen. a= 9 . 84a3oo6a
X sen\^=: 1 5 . 8578706
a
5 . 543aa3o5
Nuniero corrispondente
Lsen*. — III— = i3 . 844724a
0 , 0000349320
Numero corrispondente o , 0000006994
o , oooo3563i4
Somrna
iOjOooo3563(4= i5 . SSiBSag
Sua meta = 7 . 7759 1 64 = X sen. - ; - = 20' 3 1 " ;
a: = 41' 2". Questo valore supera dunque quelle del
calcolo precedenie di 2 soli secondly o di 8 millesi-
rai di 41'.
Per I'ottima osservazione dell' Abate Oriani da me
calcolata al num. 59 la cima del moiite Rosa e su-
periore alia sala dell' osservatorio di Milano di tese
235i ,11; alle quali aggiunte altre 77 , i ne risulta-
no 2400 , 21 per T altezza sopra il iivello del mare.
Gia si c visto nel numero citato, f he il raggio oscula-
tore per la sala deH'osservatorio e di tese 3^66536,09;
SULLE LIVELLAZIONI BAROMETRTCIIE 225
di che spgue, esser C B ^= 3268944, 3. JNel presente
caso abbiaiii cliinque
(3o'-H^4i'-4i')
Cy/ = 32C8944 , 3 cos 1
C05. { 3o' -f-— 41')
n
In quest' equazione il valor Ai C A non puo es-
ser noto finche qiiello della frazione — resta incogni-
to. Ora il valore di questa frazione dipende da due
elementi, cioe dalla ternperatiira , ch' ebbe T aria al-
ia cima del monie Kosa quaudo fu osservato V an-
golo di depressione, e dall' altezza, che c|uivi avreb-
be avuta il barometro se stato ci fosse. Ma, poichc
la diflerenza d'altezza in questi due nionti e certanien-
te d' un picciol nuuiero di tese, io supporro senz'al-
cun pericolo d'errore, che uguali presso a poco fos-
sero in ambo i monti la temperatura e T altezza ])a-
rometrica, e che aiirbe alia sommita del monte Ro-
sa il termometro sarebbe stato a — 2°, ed il barome-
tro a lin. 191 ,9.
11 RTonte Rosa e presso a poco al confini d' Ita-
lia e di Francia; ond' io nella terza tavola delle rifra-
zioni prendero per — un valor medio fra quegli de-
gli anzidetti paesi , cioe o,o8ii8i,e per — 2 gradi
0,081976. Duiique per lin. 191 ,9 d' altezza baro-
, 101^0(0,081076) ,,, T-v
metrica sara — — -^o-^? — -^— = o , 046819. Da. que-
226 V E N 1 N I
sto valore vieii poi — 4i'=i'54"; e quindi I'equazio-
ne si canpjia in CA=?>26Saii,o'^^^'\. 5^_ ,„!=326qo73,3i;
° COS. (oi' 54 )
onde viene C A— C B ^= 129, 01 tese. La cima del
Monbiaiico sarebbe dunque siiperiore a quella del
nioute Rosa di tese 129; il che noii puo in verun
coiito accordarsi colle altezze dal medesitno Sig. de
Saiissure assegnate ai due monti, sopra il livello del
mare, le qnali sono 2460 pel Bianco, e 2430 pel Ro-
sa; cosicche la dillerenza e di 20 tese in luogo di 129.
Dalle niisure del Monbianco de' Signori Sbuck-
burg e Pictet risulta come vedremo nella sezion II
articolo II un' altezza media di tese 2420 , 26 sopra
il livello del mare; per la quale il monte Bianco vie-
ne ad esser piii alto del Rosa nulla pin che di 12
tese. Ora, supposte esatte queste misure, sara CA =
C B -^ 12 = 3268906 , 3. Partendo da questo dato,
e chiamato x V angolo incognito di depressione, egU
potra determinarsi colla forinola
[x -t- — C) _,
CA n • . 1 mC
__-= cos ; e, sostituito y ad x h ,
COS. (X-+- )
71
CA (y — C) COS. y cos.C -¥• sen. y sen. C
— : COS ' — -^ ~^-
CB cos.y cos.y
cos.C-^sen.Ctan.y; dalla qual equazione deduces!
f
tan.y ■=■
SUI.LE LIVELLAZIONI BAROMETRICIIE 227
CA .'
— — COS- C „ .
CB 1,00000367 — cos.^v
scn.C sen. ^i'
Ecco il calcolo di quest' equazione
L COS. 4^' = 9 • 9999(^9'
Numero corrispondeiite o , 99992884
Numeratore della frazione o , 00007488
io , 00007483 = 5 . 8740757
comple. Lsen.J\i' ■=^ i . 9235oo3
Ltan.y=. 7 . 7976760; 7=:ai'34".
Ma X e =r '■> ed = 1' 64" . Sara dunque
•' ri, n ^ ^
x= 19*40" non 3o' come disse d' averlo trovato il
Sig. de Saussure. (a)
(a) La lormola sen. — r= 1/ ( sen. A sen. a sen.' — -f- sen.- ) ser-
ve , come abljiatn veduto a calcolare iin triangolo, di cui sian noti due
lati coir aiii^olo da essi coiiipreso ; e fra poco diinostieru , clie sen dedii-
cono anche le formole , die esprimon i tre anguli cpiando son noti i tre
lati . lo so bene , die i calcoli di tiitte cpieste roiiiioie son piu lunghi di
qiidli delle antiche regole della trigonometria sfeiica , e piu ancora di
qiiclli dellc foiniole elegantissinie dell' Eidcro ; e non ignoio , dift non sa-
rcbbero in pratica di veinn use . Ho trediito non pertanto di far cosa
grata al leggitore conuinicandogli una forniola , die lia la singolarita d'es-
ser fondata sulla consiileiazione dci circoli parallcli all' eijuatore , e nclla
tTigonomptrla sfeiica non usitaii . Eccone la diiiiostra^ione .
Nel triangolo sferico PQO {'fig. IV); ncl quale considero P come il
polo , e P Q , P O come due arcLi di meridiauo , sla. 2' QzzA , P 0=za ,
228 V E N I N I
A 11 T 1 C O L O V.
Delia depressione dell' orlzonte inatino.
64. Se la visuale Ab h perpendicolare a C 6, i
due triangoli CAD, D Ab son siinili, e gli angoli
C, e D Ab eguali tra loro; vale a dire, clie C in
questo caso e =<p. Or cio avviene esattamente allor-
che da un punto qaalunque A superior al mare se
ne osserva T estremita apparente 6, e 1' angolo DAb
rappresenta la depressione dell' orizonte visibil del
mare. Allor diinqae, essendo C = (p, la mia forniola
e r angolo intercetto = (p . Si coriducauo pei punti Q , O due circoli pa-
rallel! air eqiiatore , o siano Jll O , Q JV le corde dci due aiclii egnali de'
mcridiani ; Q Jll , N O le cordc drgU arclii dei paralleli . Sian A ^ B \ pun-
li d'intersezione dei paralleli coll' asse . II raggio BQ del parallelo del
piiiito Q saia =scn.A\ il raggio AO del parallelo del punto 0 — sen.a\
cA A B distanza dei due paralleli sara = cos. a — cos. A . Le due corde
dei meridiani BIO , QN cgualmente inciinate all'asse lo taglieranno nel-
lo stesso punto R , le cui distanze da ^ ed ^ saranno
_ ( COS. a — COS. A ) sen. A
"~ sen. A — sen. a
( C05 a — COS. A ) sen. a
A li — • •
sen. A — sen. a
Le due cordc MO ,Q N prolungate forman dunque il triangolo isoscele
Q M R ; cd in (juesto la retta NO ("; parallcla alia base Q 3t . Nel trajjpzio
Q MO N gli angoli. opposti saran dunque ugnali a due retti ; ed eiso po-
tr^ per conseguente iscriversi al circolo . Dunque per la n»ta propiieti
dei quadrilatcri iscritti al circolo sara il prodotto dclle sue diagonali unna-
le alia somina dei prodotii dci lati opposii ; ossia , poich^ le diagonali soa
eguali tra loro, ed eguali pur le due corde' dei meridiani , sara (^ o' = Q M.
N O ^ M O . Ora QJf corda deirarco 9 in un cercbio, chc Iia per rag-
SULLE LIVET.LAZIONI BAROMETRICIIE 229
C B COS. — -
can2;iasi in C A= — ; ed in essa CB espri-
COS. (cpH- — - }
n
me il raggio osculatore della latitudlne del luogo, in
cui fassi V osservazione.
Col mezzo di questa formola si deterniinerebbe
esattamente Taltezza dei luogUi, dai quali puo misu-
rarsi la depressione dell' estremita apparente del ma-
re, se fosse ben nota la vera quantita dell' angolo di
2io sen. A ^ =z2 sen. A sen. — ; e similmente la corda iVO c =: 2 sen. a
sen. — ; MO cortla deli'arco — d'uu ciicolo massimo e zz2.scn.
A — « -
— - — . Ciii posto sari
Q O' = 2 sen. A sen. — X 2 sen. a sen. 1-4 sen.' — ; — ; e finaltnento
<2 0 — 2\/ ( sen. A sen. a sen.^ — -f- sen.' ) . Si osservi , che O O
h la corda del terzo lato del triangolo sferico P Q O, ed, espresso questo
lato per a;, si vedril tosto dover cssere i sen. -^ = Q 0 ; ed in fine
a:.,. (B ^ A — a ..
ten. — = [/^ ( sen. A sen. a sen.' h sen. ) , come si dovea di-
2 2 ^
most rare .
Sia P Qz=.a, PO=:b,QO=;c; c sieno gli angoli P — ni,0 = n,
Q ■=. p . In ogni triangolo sferico qiialuiique angolo si puo piendcr |ier
polo; e quindi considerati successivamente come t?li ^li angoli /* , 0 , Q
fle avrcmo le tre forruole seguenti.
T. 11. P. IL 29
■^- V E > I N I
2J0
VI
rifrazione, ossia del valore di — ; per ciii deve molti-
n "■
plicarsi Tangolo al centre, die in qnesto caso e iigua-
le a quel di depressionc. Ma noi gia abbiam osservaio
quatito incerta e variabile sia la legge delle rifrazioni
terrestri, e se tale non fosse ueU'aria del continente,
potrebbe ancora esser dubbiosa in quella, che sta so-
pra ad un vasto spazio di mare. Per determinar la
legge (se alcuna ve n'ba, di qiieste rifrazioni, cb'io
cbiamerei marittime, converrebbe da varii luoglii, de'
quali fosser note le altezze sopra il livello dt-l mare
fra loro assai diverse, fare un gran numero d'osserva-
zioni suir abbassamento dell' orizonte marine; e col-
^
c , ,m a — b
I sen.'- — = icn. a sen. b sen. 1- sen.''
2 ■ a
2
a , . n b — c
II sen.- — =; sen. b sen. c sen.' 1- sen.'
3 a ^
b p a —c
III sen.' — =: sen. a sen. c sen.' k sen.' — -— .
2 a 2
E da queste tre forrnole se ne dedncoii facilmente tre altre , che ilaa-
no gli angoli per mezzo dei lati ; le qnali sono
c a — b
sen.' — -» sen.'
m 2 ^
IV sen.' — zz
2, sen. a sen. b
a h — c
sen.' — — sen.'
V sen.' — =
'J- sen. b sen. c
b a — e
sen.' sen.' ——-
VI sen.* L —
2 sen. a sen. c
SULLE LIVELLAZIOKI BAUOMETRICHE 23 t
la formola precedente, in cui sarebber noti i valori di
C A^ di C By e d'l 0, determinar quelli di - . Ora col
^ n
solico inetodo troveremo, che dalla formola si deduce
COS. <J) — —
tan — - =. ; e quindi in ciascun caso parti-
n sen. 4)
colare si trarra il valore di ^^; il quale diviso per $
n
dara il valore di -
n
II Cassini osservo la depressione apparente dell'ori-
zonte marine dalT alto della torre di Sant'Elmo vici-
no a Collioure; e trovoUo di 26' 20". L'akezza di que-
sta torre sopra il livello del mare calcolata coi dati
deir osservatore ma col raggio osculatore della lati-
tudiue 45° e di tese 10 1 ,84 altezza, che supera d'un
solo terzo di tesa quella del Cassini calcolata col suo
raggio 3271420. Ora, se determineremo l'akezza col-
C B COS. —-
la formola C-^ = "" supponendo col Lara-
COS. ($-4- )
1 ^ 7« I 7n(P , r „ or ■ m<^
bert — = —, avremo -— = 1' 62" ,86; e $ h
7i 14 n n
28' 12", 86. Colla sostituzione di questi valori trove-
remo C A^ 3265392 ,82^ ed J' J = C J - C i? =
2 J2
V E N" I N I
3265393 , 82 — 326o28?x , 46 = iOv9 , 36 altezza, che
siipcra la data 'di tese 7 , 52 ; o piii di 7 ^ per 100.
Qui diuique \\ supposto valore di -- e smentito
dair osservazione; ond' io, per deteriiiinare qual ve-
ramente e' sia staco, il calcolero colla formola
cos.<p — —
jn(p C A
tan. — = : — . Ill questo caso abbiamo C B =
" sen. <p ^
3265283 ,46; C A = C B ■\- \oi ,84 = 3265385 , 3; e
^ = 26' 20". Da questi dad mi viene L tan. — - =
6 . 3945259; e per conseguente — = 5i , ed — =
= o , 03228 =~ -, valor ben lontano da — - .
a6'ao" do, 98 14
II medesimo Astronomo osservo la depressione
dal pie della torre della Massane; e la trovo di 5o'2o".
L' altezza del luogo calcolata da lui col suo raggio
8271420 tese fu =408 , 5. Ma calcolandola colla luia
formola, e supponendo, come dianzi, — = — avremo
^ = 3' 35", 71 ; $ H- -— = 53' 55", 71; e sostituiti
questi valori con quello del raggio del Cassini trove-
remo C J = 3271821 , 59; ed A' A = 401 , 69 akez-
m
SULLE LIVELLAZIONI BAROMETRICIIE 233
za minor della data quasi di 7 tese, o di i e quasi
per ICO.
Per calcolare 11 valor di — abbiamo CB=i2-j\^20;
C A = 327182O ,5; e 4> = So' 20". Da questi dati ri-
sulta poi /, tan. — — = 7 . 0749829 ; ed — = 4' 5 .
oa
bara dunque — = r-^- — ■ = 0 , c8 1 1 a =
^ n 5o' ao" la ,
Questa e una delle due osservazloni delle quali
il Lambert si e servlto per calcolare il raggjo orizon,
tale; che gli e risultato = 7 , c6; onde segue, esser
— = — in luoQio di r-. Ma I'esattezza del mio
TV 14 , Ja *-^ 12, , 6-2,
valore dimostrasi ancbe in quest' altra maniera. Sen-
za la rifrazione I'angolo di depressione, cbe cbianie-
ro X sarebbe espresso dalla formola A' A =
r tan . x
Nel presente caso sarebbe dunque, 408 , 5 =
8471420 ^a«\ a? , „ 1 • 1 1 r o
— —^ ; dalla qual si deduce L tan. x =■ o .
1987429; ed X = 54' 19". Ora, poicbe I'angolo os-
servato fu 5o' 20", nella differenza di questi due an-
i, cioe in 3' 59" avremo 1' effetto della rifrazione.
Cio posto sara - ( 5o' 20") = 3' 59"; ed -- = ^^, =
* n ^ ' ^ - « 5o 20"
234 V E N I N I
— ~ = o , 07914 = rrr valore ben poco diverse dal
3oao
iiiio
Da questi clue esempj chiaramente apparlsce
quanto incerto sia il valore della rifrazione dedotto
dalla depressione dell' orizonte niarino. Ma le os-
servazioni dallo stesso Sig. Cassini fatte a Colliou-
re lo diinostrano ancor piu apertamente. Da un luo-
go superiore al liA^ello del mare di tese 1 1 k egli os-
servo ai 26 e 28 Febbrajo, ed al primo e i3 Mar-
zo la depressione; e la trovo ne' prinii due giorui
di 8' 5o"; nel terzo di 8' 35"; e nel quarto di 8' 5".
Senza la rifrazione per 1' altezza di tese 1 1 i col rag-
gio osculatore della latitudiue 43 la depressione sa-
rebbe stata = 9' 8". Le differenze fra questa e le de-
pression! osservate furon dunque 18"; 18" ; 33" ; ed
i' 3"; alle quali corrispondon per — i valori o , o34;
o , 034; o , 064; 0 , i3; ovvero
a(j , 41 29 , 41 j5 , 63
7,69
Queste variazioni tanto grandi nelle rifrazioni del-
1' aria marittinia, c quelle anche niaggiori, che da aitri
furon posteriornieute osservate rendon troppo iiicerti
i risultati del calcolo delle altezze fondate sulla depres-
sione deir orizonte apparente del mare, cosa iiicomo-
da per verita; poiche quel calcolo sarebbe piu sem-
plice e spedito d' ogni altro.
8ULLE Ln'ELLAZlONI BAUOMLTKICIIE 235
A U 'r I 0 O L O VI
Delle livellazioni coniuni,
65. Ho detto al piincipio cli questa sezione, die
alcuni Fisici coiiferniano le lor regole delle livellazio-
ni l)aroinetriche inostiandone i risultati confornii a
qut'lli dt'Ue livellazioni coinuni. Or duncjiie aggiuiige-
ro alcune avverteiize necessarie per l' esattezza anche
di (jucstp. Sia // ( fig. V ) il luogo, in cui e posto 1' oc-
chio deir osservatore; Ae un arco del cerchio oscula-
tore del punto J, os!?ia il siio orizonte vero; A£ la tan-
geiite dello stesso pnnto, ossia il siio orizonte apparen-
te. Sia m iin punto della superficie terrestre, di cui cer-
casi la distanza nid dalT orizonte vero; md' la lungliez-
za deir asta; alia cui estrernita e posto il segnale, die
per r innalzamento della ritVazione si vede nel punto D
della tangente. Si diianiino al solito /• il raggio del cir-
colo osculatore di J; « 1' angolo al centre AC D; —
r angolo di rifrazione DAd'; ed esprinia I la lunghez-
za deir asta md' . Cio premesso egli e chiaro, die la
distanza md dalF orizonte vero sara = md' — dd' =L
- dd'. Ma dd' h=dD -Dd"; edn = r {sec. « — i).
Avrem dunque m d = I — r sec. ( w _ i )-+-/) t/'. E
siniilniente se per un altro punto m' sara 1' angolo al
centro w' la lunghezza dell' asta /', el' angolo di rifra-
xioue sara la distanza in d dall' orizonte vero =
n
236 V E N I N I
I' — r { sec. u'-~i)-^D d' . Ognun vedc qiiincli , che la
differenza di questi due valori da la differenza di li-
vello dei piinti m ed m'. Restaii pero da dcterminar-
si i valori di D cV corrispondenti agli angoli di ri-
77? « m. u'
/> • lit v III w •! I > r" • 11
irazione — > — ; il che puo tarsi nella seo;uente ma-
re t* ^ °
niera .
Si osservi, che 1' angolo A D cV e = 90° — w;
— ; onde sara Ad D ■= go -h w
n -^ n
00° -t- ( ) „. Avvertasi in oltre, che AD k =
r tan. u. II valore di Dd' sara dunque dato dalla se-
guente analogia
sen. Ad' D : sen. D A d' =, A D : D d' ; ovvero
COS. ( ) w : sen. — = ;• tan. w : B d .
Sia per esempio la distanza A rn = 260 tese; al-
ia qnal sara egiiale anche 1' arco Ad; e siippoiigasi
il raggio ;• = 3267000 tese. In questo caso sara w =
i5", 78; e quindi, snpponendo col Lambert — =— , j
avremo— = 1", 127; ('ill^)a. = 14", 65; eDd' =
sen. i" , \2,Y I S167C00 tan. i5" ,78) -, . , . .
■ 777— TE —^ • Tatto cox logaritmi
COS. 14 5 ^5 °
8ULLE LIVELLAZIONI BAROMETRICHR 2?) f
il calcolo til fjuesta frazione si trova L D d' =^ 7.
13148.^3; e D d' = o , 0013228 tese corrispondeiiti a
linee i , 1428992.
Se i puiul m , m' son posti ad egiiali distanze
dairocchio deH'osservatore, la diflerenza de' lor livelli
e data irnmediatamente dalla diflerenza delle akezze
dei segnali veduii nella tatigente; poiche allora, sen-
do le quantiia e della curvatura e della rifrazione 11-
giiall dall'mia e dall'altra parte, tiitte si disrriiggono
iiel prender la ditTerenza de' livelli apparent!. Ottimo
consiglio c dnnqne qnello di livellare, per quanto e
possi!)ile, a distanze uguali, come ben sovente puo
larsi nelle vaste pianure.
Da non cm'arsi pur sono, perche quasi insensibi-
li, gli eftctti della curvatura e della rifrazione allorchc
le distanze non passano 120 tese. A 25o I'elletto della
curvatura per la latitudine 45" e di linee 8,49. In que-
sto caso da una piccola rifrazione, come di — dell'an-
golo al ceniro, nascerebbe un alzamento del segna-
le di lin. i, 06; e da una grande, come di -^^ dello
stess' angolo di lin. i, 69. lo non livellerei a distan-
ze maggiori e perche in queste e difficile di ben con-
certare le altezze del segnale e perche la menoma de-
viazione della visuale dalla tangente produce nell' al-
tezza del segnale qualche frazion di pollice di diffe-
renza. L' inclinazione di 2 soli secondi ben difficile
ad osservarsi anche ne' migliori strumenti produce
neir altezza del segnale una dilVerenza di j>olHci o,
20944 ^'^^ distanza di 3oo tese, e ch j)ol. 0,27926 a
quella di 400. Or queste lievi dillerenze accumulate
in una Innga livellazioue potrebbero nell' ultimo ri-
T. 11. P. II. 3o
238 V E N I N I
sultato introdurre alcuni pollici cll errore, quantita
per sc piccola, ina clie, potendo, si debbe evitare.
Alia distanza di 120 te. I'elTetto della curvatura,
come bo detto, e quasi insensil^ile. Iinpercioccbe nel-
la laticiidine 45" 1' aico di 120 to. e di 7", 58; e I'in-
tercetta fra la tangente ed il circolo osculatore di
lin. I , 94. Nei terreni inclinati all' orizoute di gradi
2° 52' r alzamento del terreno e d' un ventesimo della
luiigbezza. Or se in una pendenza sifVaita si avesse a
livellare un' altezza di 5oo te.; e se, per abbreviare
1' opera diminuendo il numero delle stazioni, si ado-
perasse un'asta assai lunga, di 6 tese per esempio, le
distanze sarebbero venti voice niaggiori, cioe di 120
te. Ad ogni stazione avrebbesi dunque per la curva-
tura della parte inferiore lin. 1, 94; la qual pero do-
vrebbe diminuirsi alcun poco; perche V altezza del
livello ad un di presso di 4 piedi fa, che il terreno,
su cui posa, e superiore non di 6 tese, ma di 5 ^ al
punto inferiore della stazione; e riduce la distanza a
tese 106 f; cui corrisponde un effetto della curvatura
di lin. I, 54. II settimo di questo, cioe o, 22 e, se—
condo il Lambert;, 1' effetto della rifrazione; e per con-
seguente il punto inferiore della stazione e in quest' i-
potesi distante dall' orizonte vero di tese 6 — lin. i ,
'62. Per la parte superiore della stazione la lungbez-
za deir asta sarebbe zero; 1' effetto della curvatura
lin. o, 024, quel della rifrazione o, go3, e la distan-
za del punto superiore dall' orizonte vero tese o — lin.
o, 021. Dair altezza di 6 tese converrebbe dunque sot-
trarre in ogui stazione lin. i, 299; o piii semplicemen-
te I, 3. Si avverta clie per livellare 5oo te. d' altez-
SULLE LIVKLLAZIONI BAROMETRICHE
289
za a 6 per ogiii stazione sen richiedono 83; e si con-
cliiuda, che la somma di tutti gU efFetti di curvatu-
ra e rifrazione sara 83 ( lin. 1 , 3 ) = lin. 107 , 9 =*
pol. 8, lin. 1 1.
Nelle montagne la pendenza del terreno suol es-
sere almen doppia della precedente; il che rende piii
corte le stazioni; e diminuisce per conseguenza gli
efietti di curvatura e rifrazione, che in quelle livel-
lazioni posson quasi sempre negligeutarsi .
241
SULL' APPARECCHIO LATERALE
Con niiove mocUficazioni clegli Strumentl descritti nclla
precedence Memorla inscrita nella prima parte
di questo tomo.
D I Giuseppe A t t i
presentata il di i5 di febbraio i8ic.
esperienza sovrana maestra d'ogni arte sicco-
me conduce agli utili ritrovamenti, cosi le tante vol-
te ne discopre i difetti di quelli die da prima ci par-
vero giovevolissimi, e che poscia a replicate prove
non ressero, o almeno lasciaroiio desiderio di idterio-
re raffinamento. Cio veggiamo accadere tutto giorno
in quelle scienze, che non si fermano nell' astratta
speculazione, ina discendono ai bisogni ed agli usi
della Pratica. Era queste la Chirurgia operativa piii
spesso forse e meglio d' ogni altra Arte ci fa senti-
re la necessita dell' esperienza degli utili ritrovati ri-
formatrice . Poiche non avvi operazione chirurgica
[nel process© della qtiale non si faccia sovente qual-
[che innovazione talvolta inspirata dalla particolariia
Idelle circostanze, talora mossa da fondata ragione ,
talora anche da una capricciosa curiosita. E qnesti
cambiamenti, quantunque non sempre giovino all' o-
243 A T T I
perazione a cui fiirono diretti, giovano pero sempre
ai progress! deirArte; la quale poiiendo in obblio le
innovazioni sfortuivate ed irragionevoli, e quelle rac-
cogliciulo die dalT esperienza c dal tempo ottennero
liivorevole sufYragio, va tutto giorno accrescendo il
tesoro de' suoi strunienti, e conciliando a' suoi me-
todi semplicita e sicurezza. Fu a questo intendimen-
to die altra volta io esposi i cambiamenti die m'oc-
corsero di fare sul process© operativo deila Litotomia,
o piuttosto sulla forma e figura degristrumenti, che
credetti piu opportuni al compimento dell' operazio-
iie, sembrandomi aver dimostrato die al semplice me-
todo die io seguiva nella pratica della Litotomia, era-
si coiigiunta colla uuova figura degli strumenti la mas-
sima sicurezza. Per essi in fatti evitavansi i piu peri-
colosi scogli deH'operazione, quand'erasi assicurata la
strada al coltello in modo, die ne deviar potesse dal-
la scanalatura del sciringone, ne passar oltre I'estre-
mita di questo, per cui nessun pericolo ci fosse nel-
la direzione, e nell' estensione del taglio. Benclie pe-
ro per il punto interessantissimo della sicurezza con-
tento dovessi cssere delle modificazioni degli strumen-
ti immaginate, eseguite, sperimentate, non potea tut-
tavia cbiamarmi soddisfatto sul riguardo della sem-
plicita del processo operativo. Nel primo metodo un
sol coltello puntuto e tagliente d'ambi i lati serviva
e all'incisione degl'integumenti, ed al consecutivo ta-
glio deir uretra, e della vescica; ma dopo le modifi-
cazioni non potendo il coltello con estremita bottonata
e triangolare servire al taglio degl' integumenti, ed
alia prima incisione dell' uretra, era costretto preva-
sulk' ai'Parecciiio laterale 243
lerml d' altro istnimento per efTettuare quest! primi
tagli, die preceder debbono Tuso del litotomo botto-
nato. Dalla necessita di canibiare il coltello non e
dillicilc ravvisare Timbarazzo in cui puo trovarsi I'o-
peratore allorche coll' ultitno incontrar deve 1' aper-
tura deir uretra, clie sulla scaiialatura del sciringone
fu formata dal primo. Quindi deve soflVire la sein-
pliciti deir operazione, quale riesce tanto pin facile
e sernplice, quanto niinore e il numero degli strumen-
ti, e quanto meno divisa , meno imbarazzata e piu
sollecita si e 1' azione dell' operatore. AUe quali co-
se riflettendo io attentamente feci costruire un nuovo
coltello, il quale a diflereuza di qiiest'ultimo non ha
gia Testremiia bottonata ne acuta come il primo, ma
ottiisa e tagliente, clie serve a dividere gl' integumen-
ti e r uretra onde scoprire la scanalatura del scirin-
gone; lia poscia un bottone clie ne abbraccia il prin-
cipio del dorso, il quale coll' alzare il coltello si fa
entrare sulla parte piu larga dtlla scanalatura del
sciringone (luogo appunto che corrisponde al taglio
gia fatto deir uretra) di modo che con due semplici
movimenti dello stesso strumento, che seguansi 1' un
r altro senza interruzione, il taglio puo compiersi in
pochi second! con tutta sicurezza. Immaginata tale
modificazione, fu mia cura che lo strumento fosse ese-
guito colla rnassima esattezza; e nelle ultime opera-
zioni di pietra per le quali ne volli far prova, fu co-
si sicuro e sollecito il taglio, che nulla ora mi resta
a desiderare per lo scopo ch* io m' era prefisso della
semplicita, e sicurezza. Cosi io non dubito che la Li-
lotomia, la quale fu per si luugo teaipo considerata
244 A T T I
fra le operazioni cliiriirgiche la piu difficile ed az-
zardosa, tale die per essa mettevasi a prova Tabili-
ta d' un operatore, non dubito, dissi, die ove singo-
lari coni])inazioni non ne rendaiK) complicata 1' ese-
cuzione divenvita per se cosi semplice, e cosi facile,
non possa da qualunqiie allievo coa coraggio iiitra-
prendersi. INon c percio die alcuna volta appiiiito
per strane ed inaspettate combiiiaziovu non deb!)asi
mettere a profitto quanto siiggerisce TingegnOj e coii
pronti ed appropriati ripiegbi far fronte agli ostaco-
li, die alia comune inaniera d'operare s' oppongono.
Allora si e che costretti a deviare dal retto camnii-
no ci e forza di scegliere nuove strade, e d'immagi-
nare nuovi mezzi per condiirre a biion terniine la
proposta operazione. Tali dillicili c criticbe circostan-
ze ho io pure incontrate piu volte, c mi sono trova-
to costretto sul momento a diiamar in soccorso com-
pensi affatto nuovi per I'arte, volendo superare quel-
le difficoka, die alia comune maniera di operare si
opponevano. Una fra le altre parnii possa meritare
qualche considerazione, come quella che piu delle
altre m' impegno a mettere tutto lo studio e la dili-
genza per riuscirci; e che lino al [)resente ha costret-
to gli operatori ad abbaudonare in simil caso V Ap-
parecchio laterale come assolutamente ineseguibile.
Ad ognuno e noto che serve di scorta al taglio
nella litotomia un sciringone scanalato, e che quan-
do questo per qualche organico ristriugimento dell'u-
retra non possa per essa introdursi in vescica, manca
air operatore sicura scorta per il taglio; e quindi non
puo egli azzardarlo senza incontrare gravissimi peri-
SULL APPAllECCHIO LATERALE 2^3
coli. In tale circostanza appigliavansi gli opeiatoii
air alto apparecchio, vedendo chiusa ogni altra stra-
da air estrazione della pictra . Per due volte mi e
accaduto di non poter peiietrare col sciriiigone in ve-
scica, ed essere obbligato ad immaginare altro coin-
penso .
In nn Soggetto molto avanzato in eta, e pronto
ad assoggettarsi aH'operazlone della pietra perche af-
flitto da Inngo tempo da atrocissimi cd intoUerahili
dolori, mi riesci impossibile T introdnzione del scirin-
gone malorado i tentativi ripetuti pid volte per sor-
tire neir intento. Indeciso allora a qual partito appi-
gliarmi onde liberare quest' infelice, non seppi deter-
minarmi sulT esempio d' altri operatori all' alto appa-
recchio, temendone ragionevolmente le pericolose con-
sesiuenze si ri2;uard() alTinoltrata eta del soooetto, co-
me ancora per la dilficolta e fors'ancbe I'injpossibi-
lita d' esegniilo; ma fermo egli nella risolnzione di
volere r operazione a costo d' incontrare la morte,
preferibde certamente a vita si tormentosa, la di lui
fermezza e coraggio mi aninio e decise a tentare qna-
lunqne mezzo per sortirne 1' effetto coll' appareccbio
Luerale, ad onta mi fosse toko d' introdiuTe il sci-
ringone in vescica. Costruir feci un sciringone meno
enrvo dell' ordinario, ed aperto nell' estremita della
sua scanalatura; pensai d'introdurlo e portarlo nell' u-
retra fino al puuto in cui fosse trattenuto dall' osta-
colo, il quale il pin delle volte s' incontra nella par-
te membranosa dell' iiretra vicino al collo della ve-
scica. Sn questa scanalatura protninente e sensibile
al perineo, io ideava di fare un' incisione dell' iire-
T. IL P. II. 3 1
2^6 A T T I
tra , die la mettcsse a scoperto per introdurvl una
sortilissiina sciringlietta. Con essa scorrendo sulla sca-
nalatiira fino all'ostacolo, io m'avvisava die non sa-
ria stato clilllcile il siiperarlo, ed entrare in vescica.
Era pronta una sonda scanalata parimenre aperta nel
suo estremo, e die peifottamente coaibaciava col dor-
so ddla sciringhctta di mode che questa avria servi-
to di scorta alia sonda per essere introdotta in ve-
scica. Hitirando allora la sciringa, e portando la son-
da in alio contro V angolo di^l pidje colla scanalatu-
ra in basso, e rivolta ohliqnaniente verso il lato si-
nistro, sn d'essa io poteva strisciare il litotomo, e fa-
re il taglio laterale nel modo stesso che 1' avrei ese-
gnito dietro la scanalatura del sciringone. Che se ri-
gnardo alia ohhliqnita dtl taglio si fosse desiderata
una sicurezza niaggiore^ si avrebbe potnto introdur-
re in vcsrica lungo la sonda scanalata il condntto-
re di Poutean armato del sno moderatore a livdlo,
che serve di norma al Chirnrgo per la necessaria ob-
bliqnita del taglio, e Io assicura dalle pericolose con-
seguenze d'un taglio o perpendicolare, o orizzontale.
Tale fn I'apparecchio ch' io credetti di disporre traen-
done r idea dal metodo il quale ho dovuto segnirc
pill volte nel trattamento di quelle fistole al perineo,
che chindevano alTatto la strada per penetrare in ve-
scica. Prima pero d'accingernii ad operazione si com-
plicata e dillicoltosa, tentar volli di nuovo nel giorno
fissato per la medesima 1' introdnzione del sciringone,
per risparmiare, se pur era possihile, la lunga e dolorosa
manovra di questo nuovo processo operativo. II ten-
tativo fu favorevole nientre senza grandi sforzi balzo
SULL APrAKECCHIO LATEKALE 247
il sciringone in -vescica; ml trovai in istato di operare
nel niodo orclinario , e V operazione riuscimmi per
r eseciizione e per V esito felicissima . Quantinujue
quest' incontro fortnnato mi togliessc ropportunita di
mettere a prova (juesta nuova maniera di operare,
che io m' era proposta ; ne era pero cosi contento
dell'invenzione, e cosi persuaso del successo, che non
dubitando di rimancrne soddisfatto allorchc T avessi
sperinicntata, mi proposi di fare fm d'allora il tenta-
tivo qiiando nuova occaslone mi si fosse presentata .
Essa non tardo guari, e non sono clie pocbi mesi clie
ne feci 1' azzardoso ma indispensabile tentativo, se-
guendo presso a poco il process© operaiivo gia de-
scritto. L' operazione ebbe a farsi su di un uomo di
fresca eta da alcuni aiuii tormentato da dolorose re-
tenzioni d' urina. Non sospettando per modo alcuno
r infcnno di corpo estraneo esistente in vescica attri-
buiva il suo incomodo ad organici ristringimenti dcH'u-
retra, dei cpiali egli Ijcu ne conosceva la causa, e ne
confermava 1' esistenza 1' esplorazione colle candclet-
te, e coi cordoni elastici. Ad onta ])cr6 di una ca-
gione assai sufiiciente a spiegare la suddetta riienzio-
ne d' urina furono rilevati dal Chirurgo cbe ne ave-
va la cura, alcuni sintomi particolari, i quali lo fece-
ro sospettare cbe esistcsse pietra in vescica. L' assog-
geito peicio all' esplorazione, cbe dovette ripeiersi
piu volte per la diflicolta di superare le angu^tie del
condotto, ma cbe ]>oscia riuscita mise fuor di dub-
bio la presenza della pietra. Fummi allora conscgna-
to r infermo per V operazione, e tosto previdi, atte-
sa la difficolta pel passaggio della sciringa, V miba-
248 A T T I
rnzzo ill cui dovea trovariiii per V introdiizlone del
sciiingone, che riesce sempre pin stentata e laborio-
sa. Si avvero il sospetto, ed uu'ora e piii clie io iin-
piegai in inutili tentativi non basto a superaie gl'ia-
toppi clie s' incontravano iiell' uretra vicino alia ve-
scica . Conosciuta rimpossibilita di portarci il scirin-
gone c' iiitrodussi una sottilissima sciringa, determi-
nato d' operailo nel modo sopra descritto. Commisi
air Assisteijte la sottile scirinoa, che fii da liii soste-
niita coiitro il pube dirigendone obbliqiiamente ver-
so il lato sinistro la convessita . Tagliaii gl' integu-
menti nella comune rnaniera azzardai il taglio delTii-
retra sulla rotonda convessiia della sciringa, per cui
scoperta una porzione del suo dorso c'insinuai la son-
da scanalata, c lungli' essa la portai fino in vescica.
Qnesta, come gia ho descritto, servi al compimento
del taglio, mentre su d' essa feci scorrere il litotonio
bottonuto. Colla scorta dell'indice introdussi la tana-
glia colla qnale rinvenui ed alTerrai tosto la pietra.
Per sfortiina r operazione, che per tante conibinazio-
ni era stata si lunga e tormentosa, lo divenne assdi
pin per la roctura della pietra che a pezzi dovette
estrarsi cutta. Un travaglio cosi penoso pareva che
dovesse destar nell' infenno sintoini pericolosi, e far
temere funeste conseguenze; pure quanto questo gio-
vane provo avversa la fortuna e prima e nel tempo
della operazione, altrettanto favorevole I'incontro do-
po la medesima. Nulla turbo la calma, che I'estra-
zione della pietra gli procuro, e dopo quattordici
giorni le urine ripresero il cainniino naturale, 1' ul-
cero si restrinse, e nel vigesimo quinto era gia to •
SULl' APPARECCniO LATERALE 249
talmente cicatrizzato. Cosi ebbi il contento di veder
coronato di favorevol successo un nuovo tentativo in
circostaiiza tanto critica e diiricokosa. Sc stretio a'
priiicipii ed alle regole dell' arte o avessi riciisato
d' opera re quest' infelice, o 1' avessi sottoposto all' al-
to apparecchio, egli o proverebbe ancora gli effetti
di vita cosi tormentosa, o saria rimasto vittima di un
processo operativo cosi pericoloso, e di nialattia co-
si micidiale. 1 compensi dell' arte nori possono stabi-
lirsi per regole; d'uopo e die I'ingegno gli formi sul
punto, e gli applicbi alle circostanze ed a' partico-
lari bisogin'. La pratica chirurgica ba questo di su-
periore alio studio teorico^ die mentre questo dirige
i regolari passi dell' operatore, 1' altra gl' insegna il
cammino, die tener deve quando imperiose circo-
staaze lo deviano dal retto sentiero.
25l
DELLA SIMIGLIANZA MECGANICA
M E M O R I A
Di Pa.olo Delanges
ricevuta il di 20 di marzo 1810
i3e il modello d' una fabbrica, o d' una mac-
china serve a fame comprendere la struttnra senza
aflaticare la fantasia, in confronto del disegno, pre-
sentando esso la materiale configurazione, e la posi-
zione respectiva dalle parti e tiitte raccogliendole in
coniplesso sotto rocchio: egli e altresi vero che il co-
strnirlo osservando puratnente Tegnaglianza degli an-
goli , e la proporzionalita nelle dimensioni, cioe di si-
iniglianza geometrica col propostosi lavoro in grande,
se e in tal gnisa sufficiente per le considerazioni da
farsi sngli utHzj ed nsi della massima parte dclle fab-
bnche appartenenti alle arcliitetture civile e niilitare,
iion lo e, come dimostrereino, ne' casi in cui dal mo-
dflio vogliano dedursi residtati proporzionali, rignar-
do a resistenze ed a equilibrj, a quelli della mac-
china che ralligura. Qnindi e d'nopo conoscere un'al-
tra sorta di siiniglianza, ch'io denomino Sitnigtianza
weccanica 1 e su cui intendo ora di ragionare.
252 Delances
§ I
Che la simigliaiiza geometrica non sia valevole
ad assicurarci degli effetti d' una niaccliina e della
sua riuscita all'intento divisato, da quelli del suo mo-
deller cio e comuneinente note a grado tale, che noa
di rado la scienza ineccanica va soogetta alia deri-
sione del volgo, come se dubbj ed incerti ne fossero
i suoi principj : anzi che sapendosi per esperienza die
ove si tratti di equilihrio, la potenza nel modello co-
struito semplicemente di simiglianza geometrica, e sen-
sibilmente minore di quella che occorre in fatto nella
macchina che rappresenta, venne da' pratici ammesso
I'arbitrario canone o regola, che la potenza per 1' e-
quilibrio concrete nella stessa debba computarsi una
terza parte maggiore di quella che al suo equilihrio
niatematico competerebbe, facendo cioc astrazione del-
le naturali resistenze.
sn
Qualora non abbiasi per oggetto che cV investi-
gare dalla resistenza alia rottura, oppure dalla quan-
tita del carico di cui e capace, vale a dire dalla ro-
bustezza del modello quella dell' opera che vuol co-
struirsi, la sola simiglianza geometrica ci conduce al
desiderato fine, e ne troviamo additata la via nella
Memoria del celebre L. Eulero.,, Regnla facdis pro
diiutllcanda firmitate pontis aliusve corporis similis ex
cognita firmitate moduli,, ( Novi Comm. Acad. Scien-
DELL.V SIMIGLIANZA MECCANICA 255
tiar. Imperialis Petropolitanac. Tom. XX; anno 17-5 ),
in cul due sono i probliMni the da su questo partico-
lare. Nel |)riino dererfiiina il peso occorrente che puo
portare \ma corcia fiiio ai puiuo di spezzarsi , dall'es-
sere per cs^pcricnza cognito qiiello che puo portare una
cordicella siniihiirnte piegata. JNel secondo poscia ,
supponendo che la robustezza d' uu ponte dipender
deJjIja dalla resistenza alia rottura di travi iiguali di
cui fosse architettato, e dato per esperienza il peso,
computato il proprio, che puo portare un travicello
di siniili diniensioni, cioe la sua resistenza respettiva,
determina quella del proposto ponte, ossia il peso che
potrel)be sostenere prima di rompersi; e cjuiudi coa
uno de' soliti artifizj usaii da si somino algebrista tro-
Ya la grossezza di cui dovrchhero essere dotate le tra-
vi per renderlo alto ad una pvescritta forza premente.
§ III
Ma parlando de' modelli di macchine immaglna-
te a vantaggio delle arti e delT agricoltura, nelle cjua-
li debbonsi valutare, e noa reputarle di un' entita
trascurai/ile, le resistenze degli attriti, per non rima-
nere delusi nel conseo-uire la bramata riuscita ; e
manifesto, che supposto eseguito il niodello con si-
migliauza geometrica, stando i pesi de' soli<li simili ,
e di oguale gravita specifica , in triplicata ragione
de' lati omologhi, le pressioiii dij)endenti dal peso
de' rnembri nel modello saranno proporzionatamen-
te di gran lunga minori di quelle che si esercite-
ranno da' simili rnembri nella macchina, e che per-
T. IL P. II. 32
204 Delanges
cio clovendosi vlncere anclie le resistenze di attrito
oausate da tali pressioni, la proporzione clie per 1' e-
qiiilibrio concreto si sperimentera nel inodello tra la
potcnza c la resistertza, non sara giammai qnella che
alia macchina converra: irnperocchc ponendo die le
dimonsioni del modcllo a quelle della macchina ab-
hiaiio la lagione di i a 12, e sia pure i a 12 la ra-
gione de' pesi chc denotano la potenza e la resisteii-
za; mentre per la simiglianza geometrica si oiterreb-
bero dal niodello resuliaci proporzionali, computata
anche la resistenza degli attriti dovuta alia pressione
die nello stato di equilibrio niateniatico esercitaiio la
potenza e la resistenza insienie, a quelli della inac-
cliina, non riescono jiero tali in virtu delT attrito di-
pendente dalla pressione del peso de' membri die deb-
Lono disporsi in istato di equilibrio, seguendo il pe-
so loro non la ragione semplice, ma la ragione tripli-
cata delle oniologiie dimensioni, cioe nell' esempio
assunto, la ragione di i' a 12% cioe di i a 1728.
§ IV
L' esposta considerazione ci fa rilevare, che per
costituire vm modello si die corrisponda e possa ac-
certare degli effetti e dell' efficacia della macchina in
grande, conviene, costruito die sia con simiglianza
geometrica, rettificarlo in maniera die acquisti quel-
la simiglianza, ch' io chiamo, come dissi , siniigliaa-'
za ineccanica. Per giugnere a cio, rappresentate la
potenza e la resistenza d' una macchina da pesi ad es-
se equivalenti, come suol ordinariamente accostumar*
h
BELLA SUnClI.VNZ.V jrUCCAMCA. 2.35
si, di due moduli dovra farsi uso per la fabbrica
del suo moilcllo, il priuio de' quali sara lineare, e si
adoprerii per detenninare le dimensioni de' meinbri; e
r altro sarii di peso per [)roporzioiiare in esso que' pe-
si che devono agire relativamenre a quelli della niac-
cbiua. Freveneudo cbe una delle principali avverten-
ze nelParebitettare il modello, si e quella, cbe i mem-
bri, cbe devono scambievobnente strofinarsi sieno re-
sj>etiivamente della stessa materia e con superlicie
egualmente preparate a quelli della maccbinaj daro
qui un' applicazione delT enunciara regola, oude ne
comparisca i\ grado di sua utilita praticamente.
S V
Preso per modulo delle dimensioni, il pollice per
un piede, e per quello de' pesi, I'oncia per una libbra;
un picciol legno lungo pollici 12 di figura parallele-
])ipeda, di cui I'akezza e largbezza e un pollice, sia
il modello di una trave di dimensioni conformi al mo-
dulo indicato, cbe dee sostenersi in equilibrio intor-
no ad un perno immobile, che V attraversa in dire-
zione perpendicolare alia sua lungbezza in guisa cbe
il di lui asse giace nella sua base, da una potenza
cbe agir deve ad una sua estremita, essendo attacca-
to air ultra il peso di libbre 12. Stante il modulo
prescelto per le dimensioni siano nel nostro modello
respettivamente a ((uelle determinate per la matcbi-
na, la lungbezza del jjraccio dalla parte del peso da
attaccarsi, cbe sara riguardo al predotto modulo de' pe-
si di Oiice 12, pollici 3, e ipiella del braccio dalla
256 D T. L A X O E S
parte tlolla potenza pollici 9, il raggio del perno J di
pull ice; e per esperienza sia noto essere once 6 il pe-
so del travicello. E" ciiiaro die per V eqiiilibrio ma-
teniatlco, prcscindendo cioe deila resistenza di attri-
to, dovrel)he essere la potenza once 4; ma per ot-
tenere requililirio concreto occorra ad essa V anmen-
to di il d'oncia, da ciii si ricavera che i^ d' oncia ,
quarto proporzionale al rnggio del perno, al braccio
della potenza, ed all' ainiiento predetio, e la resi-
stenza di attrito sul perno; e die in conseguenza per
essere once 22, che sono la somma della potenza per
I'equilibrio asiraito e del p<^so da sostenersi con quel-
lo del travicello insieme , la pressione sullo stesso
perno; sara la ragione della pressione all' attrito quel-
la di 5 ad i .
§ VI
Ora essendo nota siffatta proporzione, agevolmen-
te si scopre, che dell' auinento suddetto ^^ di oncia,
i/^ appartengono all' attrito relative alia pressione sul
perno della somma del peso da sostenersi, con quel-
lo che rappresenta la potenza; e che -- e la parte
di aumento nella potenza rispetto all' attrito prodot-
to sul perno stesso dal peso di once 6 del travicel-
lo'. Siccome poscia il peso del travicello a quello del
trave ha la ragione triplicata delle omologhe dimen-
sioni, cioe quella di i' a 12', ovvero di i a 1728;
cosi scorgesi in fatto, come s' e detto superiormente,
che r attrito sul perno per conto del travicello nel
modcllo risulta assai minore respettivamente all' asse-
DELLA SIMIOLIANZA MECCANICA 257
gnato modulo de' pesi, di quello die reca il peso del
trave nel suo; ])olche essendo il peso del trave lib-
bre 864, dovrcbbe essere quello del travicello-once
864 compreso il proprio di ouce 6: si dovra dunque
caricare qucsto di once 858, cioe di libbre 71 i per-
che risulti il modello di siiniglianza meccanica verso
la macchina che rappresenta, e qnindi nella soprac-
ceunata ragione della pressione all' attri(o, si trovera
ciie la potenza nel modello verra aurnentata, oltre
agli ~ di oncia, di once 4^; sicche la proporzione
per r equilibrio concreto in csso tra il peso da soste-
nersi e la potenza j, sara di J2 a oj;; e tale appunto
sara la pro[)orzione die si sperinientera nella macchi-
na medesima .
§ VII
Dal riferlto esempio sulla macchina fra le piii
semplici che possano idearsi si raccoglie, che mentre
la potenza niatematica nel costruito modello con si-
miglianza gcometrica e once 4, diventa once 4 ^ com-
putando l' attrito sul perno dovuto alia pressione di
detta potenza e del peso o resisteuza con cui dee
equilibrarsi , e die diventa, supposto conformato il
modello in simiglianza meccanica, di once 8 ^, cioe
pin die doppia della potenza matematica; da I die
apparisce di quanta importanza sia la correzione, che
dee farsi nel calcolo de' modelli riguardo al peso de
memhri die concorrono ad aumentare G;li attriti, va
le a dire di costituirji-li in simi2;lianza meccanica colle
niacchiue che rassomigliano. E poichc nel nostro esem-
258 D E L A N. C E S
pio r oncia nel modello indica la libbra nella mac-
chini, ne segue die la potenza pel suo equilibrio mec-
canico dovra essere di llbbre o y, conrie esattainente
da il calcolo diretto sulla stessa, usando della raoiiotie
tra la pressione e 1' attrlto, clie si ottenne dal rno-
dello, e valutando il peso della trave dedotto come
s' e fatto.
§ VIII
Trattandosi d' una macchinazione per far asceu-
dere o discendere uu corpo lungo un piano inclina-
to, come abbisogna, a cagion d' esempio per far di-
scendere in acqua o tirare a terra i navigli , il mo-
dello di simi^lianza 2;eometrica e bastante a dimos-
trare cio che succeder deve nella macchina in gran-
de, avvegnache la ragione per V ec[nilibrio tra la po-
tenza c la resistenza sara la stessa si nell' uno die
nell' altra, semj:)re che sia osservata I'eguaglianza ne-
gli angoli cV inclinazione, e le superficie che devono
strofinarsi sieno egualmente condizionate. Sono pero
oggidi talmente conosciute le leggi delle resistenze
d' ogni genere, e singolarmente quelle degli attriti, e
reso si comune il calcolo di esse, che non v' ha d'uo-
po rintracciare dal modello la capacita o I' efficacia
della macchina per il fine a cui si vuole applicare,
purche non si trascurino soprattntto i pesi de' mem-
bri che deggiono porsi in movimento, come s' e di-
mostrato essere necessario nel definire la simiglianza
meccanica. Sara non percio il modello geometrico
utile, si per comprendere in alcuni casi con facilita
DELL\ SIMIGLIANZA. MECCANICA. 25^
la struttura della macchina ideata, che per iscoprire
in altri i canoni o le proporzioni tra le pressioni e
gli attriti pel calcolo di essa.
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DELLA INCLINAZIONE DELLE SPONDE
negll alvei de' fiuml
Di SiMONE Stratico
ricevuta il dl i di maggio 1810.
I. VTli
alvei de' fiumi, dove questi scorrono so-
pra 111! suolo composto di parti facilmente arnovibili,
come di terra o di sabbia, hanno il fondo inclinato
verso la loro foce, e le sponde inclinate dalle ripe
verso il mezzo della larghezza dell'alveo, o similmen-
te, ciocche e piii raro, o disugualmente, ciocche e
[piu frequente; oppure rimane tra le sponde uno spa-
Izio, che si puo riguardare come orizzontale nel ver-
so della larghezza dello stesso alveo. Le sponde e il
fondo formano la sezione del fiume.
2. Nell' inclinazione del fiume pel verso della
lunghezza, si distingue quella del fondo, e quella del-
la superficie dell'acqua corrente. La prima e costan-
Ite in ogni stato del fiume, e puo variare in corso di
[tempo, per I'introduzione di nuove acque, o per di-
strazione di quelle che gH erano proprie. La secon-
T. II. F. II. 33
202 S T K A T I C O
da e divcrsa ncgli stati di magra e di plena. Cosi
mentre 1' arqna de' fuiini in plena s' inalza a moUi
pledi in puiiti lontaiii dalla foce in mare, viciao al-
ia stessa s' inalza assai meno.
3. La cadente de' fminl, cioe rinclinazione all'o-
rizzonte della lliiea del loro fondo^ dlpende dall' in-
cllnazione, e dalT indole del suolo die attraversano,
e dalla mole e akezza delle loro acquc in istato or-
dinarlo. L'incllnazione del suolo e varla e non in una
sola direzione, e V indole del suolo, presentando re-
sistenze dlssimili, fa si clie la linea del corso d'acrjua
acquisti varie tortuoslta, per le quail la cadente si
fa minore. Non si puo generalmente asserire clie le
pianure attraversate dal corso cTe' finmi, slano prodot-
te dalla espansione delle loro acque, e dalle niate-
rle clie vi hanno deposte. Le ghiaie die trovansi a
certe profondlta in alcune pianure, ancorche siniili a
quelle die si osservano in qualclie non loutano fiu-
me, lasciano in dubbio, se il fiume ve le abbia in
altro tempo portate, o se abbia solranto scoperte quel-
le che veggonsi nell'alveo snudandole dalla terra sot-
to la quale giacevano : ed e almeno incerto, se la
produzione delle ghiaje si debba ai fiumi , al mare,
o ad altra origine. Tuttavolta gli strati di anticbe val-
li, e di aggallati, che trovansi a diverse profondita,
coperti di creta, di sabbia, di terra, e gli strati di
corpi marini in situazioni ben lontane dal mare, non
lasciano dubitare, die que' piani, dove s' incontrano
tali sostanze, non siano stati colmati e formati dalla
espansione de' fiumi: lo die si conferma ancora dal
prolungamento in mare degli alvei di molti iiumi ,
DELLE SPONDE NEGLl ALVEI De' FIUMI 263
per ciii evidentemente si e aggiiioto terreoo alle an-
titlie spiaggie.
4. Conviene pero distingiierc gli alvei <li natura
da quelli d' arte, e stahiliti dall' industria dcgli uo-
niini. Alvei di natura possono dirsi quelli che sono
incassati nel suolo, e non giungono colle loro piene
a superare i trrreui aggiacenti, o almeno li superano
per poco: alvei d'arte sono manifestamente quelli che
haniio una parte della profondita loro incassata nel
suolo, e uu' altra parte superiore contenuta da argi-
ni, e quelli ancora che sono pensili, avendo il loro
fondo elevato sopra il piaao de' terreni aggiacenti .
Acquistano gli uomini con questo mezzo delle ampie
estensioni di terreni fruttiferi, comecche cio non sia
senza il pericolo di perdere talvolta tutto il frutto
della loro industria, ne senza la necessita e dispen-
dio di molta custodia .
5. La mole e 1' altezza dell'acqua negli alvei es-
sendo una cagione della velocita del suo corso, fa si
che r inclinazione del fondo sia maggiore o minora,
e corrisponda a qualche funzione della ragione inver-
sa deir altezza. I fiumi grandi, i quali raccolgono le
acque di molti influenti, hanno una pendenza mino-
re di quella degl' influenti. Intendo de' fiumi che scor-
rono nel piano e sopra un suolo di parti amovihili .
A cio si riferisce la massima per se verissima, che
flume non interrisce fiume; perche V iuQuente portan-
do niaterie simili a quelle che porta il recipiente ,
"vi j>ortd insieme la mole d' acqua necessaria a pro-
durre la velocita, che si richiede per mantenere so-
spesa la materia delle torbide, sicche non si depon-
2O4 S T R A T I C O
ga sul fondo , e non lo interrisca. I torrenti poi, o
fiumi tein[>oranei haniio la pendenza del loro fon-
do, proporzionata bensi inversamente ad una fiinzio-
ne delTaltezza delle loro acquc nel breve tempo del-
le lore pietie, e se coiifluiscono nello stesso alveo con-
tenipoianeameiue, determinano la pendenza di cjuesto
come i fiumi, ma non cosi se non sono contempora-
nei; e quindi puo succedere 1' interramento e alza-
niento di fondo dell' alveo comune. Perciocche se la
mole d'acqua contemporanea e niinore, e conseguen-
te che la niateria della torbida non possa restare so-
spcsa, e si deponga sul fondo, e cio si no a tanto che
venga a formarsi con le posature tin' inclinazione di
letto, atta ad impedire con la velocita del corso ogni
ulteriore interramento.
6. Per ispiegare con)e 1' alveo di un fiume , il
quale porti della torbida, e sia scavato in un suolo
composto di parti facilmente amovibili, la cui sezio-
ne fosse in origine rettangolare , e proporzionata al
volume delle sue acque, e alia sua pendenza di fon-
do, si conformi dopo qualche tempo con le sponde
inclinate e convergent! verso im qualche punto del-
la sua larghezza , si adduce che V acqua la quale
scorre lungo le sponde e le ripe si ritarda per il sof-
fregamento con esse;, e per la sua velocita con cio
diminuita depone qualche parte della sua torba; che
si diminuisce ancora la velocita in qualche distanza
dalla ripa, ma in grado progressivamente minore da
questa verso il mezzo della larghezza; quindi che la
posatura della torba e minore verso il mezzo, e vi
si mantiene maggior fondo, e il maggior corso, che
I>ELLE PI'ONDE N£GLI ALVEI De' FIUMI 265
si chiama il filone, o splrito del fmme. Che per que-
ste posature lateral! la sezione si diminuisce, e che
r ac(jna dovendo progredire per una sezione minora
di quella clie le compete, o s' inalza e si espande nel
piano aggiacente, o se e contenuta da argini dirnna,
e fa smottare le ripe, le quali formate di terra, o sab-
bia, non possono sostenersi vertically ma si dispon2;o-
no a certa inclinazione. Quindi la sezione si fa piii
capace, pin larga in alto, piii stretta abbasso: oppu-
re insieme Talveo si profonda, e si scava nella linea
del maggior fondo, e progressivamente meno da que-
sto verso le ripe. Tutto questo avviene sino a tanto
clie si pareggi l' azione delT acqua con la resistenza
e tenacita della materia del suolo. Dove poi il fiume
porta delle torl)ide, e ne portano tutti piu o meno,
particolarmente nelle piene, se puo espanclersi ne' ter-
reni aggiacenti, si va egli forinando con successivi al-
zamenti i confi4ii della sua largbezza, e la base de-
gli argini die gli convengono, e che gli uomiiii poi,
clove loro giova, portano a maggiori altezze, a misu-
ra che la capacita della sezione si trova minore di
quella clie compete alia mole delT acqna, prevenen-
do cosi r opera piu lenta della natura. Si osserva ge-
neralmente che i terreni vicini alia linea de' fiumi so-
kno piu alti di quelli che trovansi a qualche distanza
idalla stessa linea, sicche le terra comprese tra due
iumi, i quali progrediscano con direzioni simili ver-
so le loro foci sono avvallata nell' intervallo che li
Idisgiunge. Qnesta, per cos\ dire, naturale disposi-
done ne' fiumi di arginarsi da per se Insingo qual-
;heduno sino a persuadersi, che fosse miglior consi-
266 S T II A T I C O
glio qiiello dl non costringere il loro corso. con argi-
ni manufatti, ma di lasciarli espandere liberamente
le loro acque, sino a taiito che alzando i viciiii ter-
reni s'incassassero nelle stesse loro deposizioni. E' pe-
ro evidence si rinuncierebbe con cio al copioso frut-
to che si ritrae dai terreni difesi coU' arte per mezzo
degli argini, in espettazione dell' opera della natura,
tarda al paragone della sollecitndine degli uomini a
raccoglierlo. JNon pertanto s' imita quest' opera della
natura con le colmate o bonificazioni per riempimen-
to, con molta iitilita.
7. Che se si supponga libera da torbide e chiara
r acqua corrente in un alveo, qiiella che scorre vi-
cina alle ripe e ritardata dal solhegamento, non e
atta a corrodere il fondo; bens'i quella che scorre piu
distante dalle stesse e piu vicina all' asse: percio I'al-
veo si conforma con maggiore profondita verso il mez-
zo della sua larghezza, e le sponde riescono inclina-
te, e verso lo stesso mezzo convergenti, qualora il
terreno sia composto di parti amovibili.
8. Qualunquc pero sia la cagione per cui la con-
formazione degli alvei de' fiumi risulta quale in fatto
si osserva, si presenta naturalmente la ricerca, se, e
come questa modifichi il corso delle loro acque, aven-
do particolarmente riguardo ai fiumi grandi e di mol-
ta larghezza, ne' quali le pendenze delle sponde op-
poste sono notabilmente disuguali. Ho quiudi notato
nella Tav. 1 le larghezze e le inclinazioni delle spon-
de date dallo scandaglio delle altezze dell' acqua so-
pra il fondo in varie sezioni del Po nelle situazioni
indicate nella stessa Tavola, le quali sono prese alle
I
DELLE SPONDE NEOLI ALVEI DL' FItJMI 267
segtiate distaiize tra di loro. Dai niimerl degli scan-
dagli rilevatisi prossinianiente, anche senza il presidio
delle figure, gli angoli d' iiicliiiazione , e riscaiitransi
ancora i solclii pin profoiidi disgiuiiti da rialzi di ter-
ra proluiigati , die dividono nello stesso alveo un cor-
so d'ac(]ua daU'aUro nel fondo. Nelia Tavola II so-
no rappresentate in figura alcune sezioni dello stesso
fiume iielle quali si riniarca la proporzione della pro-
fondita alia largliezza. Nella Tav. Ill; Fig. I sono
delineate ai loro luoglii le sezioni di un ramo curvi-
lineo di Po, e sono <[uelle stesse clie si rappresenta-
110 nella Tavola I con i nunieri degli scandagli alia
leitera (». Queste tavole rappresentano il fatto fisico
del quale si tratta in questa memoria; e diinostrano
quanto sia grande la pendenza laterale delle spoiide,
nieiitre quella del fondo nel verso della sua lunghez-
za non arriva ad un piede per niiglio ragguagliata-
tnente. L' esempio e preso da un fuune grande, per-
che sebbene la stessa legge abbla luogo auclie ne' fiu-
ini minori , tuttavolta gli elfetti non possono essere
cosi cospicui, come lo sono dove V azione e di gran-
di masse di fluido e in grandi largbezze. Gli autori
della scienza delle acque correnti non hanno trascu-
rato questa ricerca, ma mi e sembrato che vi sia luo-
go ad ulreriori considerazioni.
9. Per figura d' un alveo intendo quella che ri-
sulta dalle sue sezioni, ed e compresa tra le due op-
foste ripe, o quali le da il terreno in cui V acqua
resta sempre incassata, o quali risultano dalle argi-
nature che s' iualzano sopra le stesse ripe, dove l' al-
tezza delle piene supera l' altezza delle terre aggia-
268 S T R A. T I C O
centi. Dove poi gli argini SQno posti a qualche di-
stanza dalle ripe, e rimaiie tra queste e il piede del-
le arginatiire una larghezza di golene, oppure dove
trovaiisi negli alvei isole, gretti, renaj alternamente
scoperti, e coperti dall' acqua per le vicende delle
pieiie e delle magre, ivi il fiume si dee riguardare co-
me corrente in due o piii alvei di figura e proprieta
diverse, atteso che le direzioni del corso trovansi di-
versamente nello stato di piena, di acqua ordinaria,
e di magra. Egli e percio che conviene e prudente-
mente si suol fare molto conto delle osservazioui lo-
cali , e de' particolari fenoineni die presentaiio gli
stessi fiumi ne' varj pund del loro corso, dipendenti
bensi dalle leggi generali del moto delle acque, nia
in mille guise variati dalle particolari circostanze, e
che noa si possono conoscere se non che dal fatto e
dair immediata osservazione.
10. Barattieri uno de' piii utili scrittori intorno
ai fenomeni, e ripari delle acque correnti, osserva che
negli alvei de' fiumi vi spuo due pendenze sopra le
quali scorrono le acque. Una, die' egli, e naturale
dal principio del movimento loro, sino dove hanno
termine in mare: 1' altra e accideutale da dove 1' al-
veo e meno profondo sino dove egli e piu profondo,
cioe dalla piaggia opposta a quella in cui si fa la cor-
rosione, verso questa stessa. Tale pendenza, soggiun-
ge, si puo chiamare accidentale^ perche resta muta-
bile, secondo che si vanno rautando gli effetti de' fiu-
mi, che si alzano o si abbassano con la superficie
de' loro fondi. Questo e per il lodato autore come
un principio, al quale egli sempre si riferisce, quan-
DELLE SPuNDE KECLI AM'EI Dk' FIUMI 269
do ragiona delle corrosioiii de' fiumi maggiorl, e par-
dcolairneiite dell' Adda e del Po, sopra i quali ebbe
raolte occasioni di medicare e di operare, faceiido sem^
pre osservare le direzioiii obblique, o diagoiiali, com'E-
gli le chiama, cagionate dalla pendenza del foiido da
una sponda verso Topposta, alia quale percjo si av-
vicina il maggior corso .
II. Micbelini considcro con qualcbe applicazlo-
ne di studio 1' elf'etto delT acqna corrente in un al-
veo, il cui foiido oltre T essere inclinato all' orizzon-
te nel verso della sua lunghezza, lo e anche per il ver-
so della largbezza;, sicclie la ripa, considerandone I'al-
tezza sua verticale sotto la superficie dell'acqua, sia
piu elevata da una parte ^ clie dair opposta del fiu-
me. Premeite Egli una proposizione, ed e, die se vi
sia un vaso di pareti verticali e col fondo inclinato
all'orizzonte da una parete all' opposta clie le sia pa-
rallela, quella parete clie e piu alta sopra detto fon-
do sostiene una pressione dall' ac([ua contenuta nel
vaso, la quale alia cotale pressione dell' acqua stessa,
ba la ragione del seno dell' angolo d' inclinazione del
fondo alia secante dello stesso angolo . Indi applica
air alveo del liume sopra indicate questa dottrina, c
stabilisce clie la ripa piu alta sopra il fondo sostiene
dull' acqua una pressione nella ragione anzidetta, la
quale combinata con la velocita del corso parallel©
alia sponda viene a produrre un moto obbli<]no die
percuote la ripa e la corrode, lo clie noa avvieiie al-
ia sponda opposta , perclie il moto obbliquo teste in-
dicate, ba una direzione divcrgente dalla stessa. Mi-
cbelini s'inganno nel valutare la pressione cbe I'acqua
T. //. P. IL 34
270 S T R A T I C O
stagnantc esercita nclla parcte piii alta del vaso il
ciii foiulo e iiiclinato. La misura cU questa pressione
noil ha veiuii rapporto all' iiiclinazione del fondo ne
air ampiezza di questo, ma soltanto aH'altezza e al-
ia larghcz/a dclla parete del vaso che e al coatatto
deir acqna. Egli ha iiurodotto nel siio discorso inu-
tihnente questo elemento fallace, ma non s' inganno
neir asserire, che la niassa d' acqua messa in moto
dove ha inaggiore altezza dalla parte del niaggior
fondo acquista una direzione obbliqua, percuote la
lipa con maggiore energia , e la corrode o la fa
smottare.
12. Guglielmini considera come avvenga che I'al-
veo di un funne conformato da princlpio con le spon-
de regolarmeute convergent! verso il mezzo della lar-
ghezza si escavi piu da un lato che dalP altro, e in
consegnenza il maggior fondo o filone si avvicini piu
a luia ripa, e si allontani dalTaltra. Spiega egli que-
sto effetto per la disnguale resistenza del fondo. Per-
ciocclie posta la medesima velocita in tutta la sezio-
nc deir alvro, se avviene che la tenacita del suolo
non sia iiiiift)rme, si escavera egli di piii dove e me-
no resistente, e quindi si fara ivi maggiore la velo-
cita; e cio succedendo in vicinanza ad una delle ri-
pe, la velocita si fara minore vicino alia ripa oppo-
sta : conseguentemente sopra il fondo di questa si de-
])orra della torbida, e s' inalzera la sua superficie .
Cosi, e per escmpio, escavandosi 1' alveo a sinistra,
si alzera il fondo alia destra, il filone si accostera al-
a sinistra, e vi produrra una corrosione, o un seno.
Ma se il suolo sia di materia uniformemente resisten-
DELLE SrwNDE NEGLI ALVEI DE FIUMI 2" I
te in tiitt^ la larghezza dell' alveo, se la direzione
drl siio corso sia rettilinea, iic per iiitoppi, o iulles-
sioiii si muti, T alveo si conservera regolare, e le spori-
de riusciraniio egualrnente incliiiate verso il mezzo
della larghezza. Qiiindi Egli avverte, come per il tra-
sporto del liloiie, e per il suo avvicinaniento ad una
delle ripe, nieiure dalV akra parte il fondo s' inalza,
avviene che tiel liiogo, dove per qiiesto inotivo si fa
la corrosione, I'accpia s' inalza, e il filone nelle piene
si maritiene piu sollevato. E da cio ricava un precet-
to, ed e che nella forniazione degli argini si abhia ri-
gnardo a qnesta circostanza, e tengansi piu alti gli ar-
gini nel Venice della corrosioue, di quello che sopra,
o sotto questo luogo, e facciansi anche piu robusti,
pill larghi, e della migliore costruzione.
1 3. Zendrini discorrendo delle corrosioni, impu-
gna direttainente la dottrina di Barattieri. Che la
spiaggia, die' Egli, rivolti V acqua, o tutta , o parte
a caricare il filone e la ripa che da qnesto e posta
in corrosione, ancorche possS verificarsi in qualcbe
caso, non pno seguire in riguardo alia natnra dell' a-
cqua corrente, ma solamente rispetto ad alcune cir-
costanze, che possono alterare il moto dell' acqua dal-
la sua origine sino alia fine. Ne tampoco pno succc"
dcre, secondo le leggi della Statica, avvegnache man-
tenendosi di livello la superficie trasversa da ripa a
ripa, ne mai 1' acqua dalla destra alia sinistra passan-
do, non puo realmente asserirsi, che nella medcslma
seziotie camminar possa 1' acqua, parte per il suo fine,
e parte con direzione verso la ripa opposta; onde la
proposizione di Barattieri per questo capo, non si ac-
T U A T ICO
coicla con le leggi del inoto delle acqnc. Soggiun-
ge pero , che il sentimento cli Barattieri si verifica,
se non in tutto, alineno in parte, piendendo la cosa
dai suoi piincipj, e ben discernendo quegli accident!,
per i quali succede un tale fenomeno di moto acc'i-
de/imle, come Egli lo chiama. Cio die fa resistenza
al corso delle acque, dice Zendiini, oltre gli acciden-
tali impedimenti di gombiate, e d' altri ostacoli, si c
il perpetuo soflieganiento, ( he 1' acqua e obbligata di
fiire contro le ripe, e contrn il fondo, dal che nasce,
che r acqua progredisce pin con le sue parti alte, di
quello che con le parti vicine al fondo, di modo che
r acqua non sostenuta per difetto di qnella che piii
tarda la segue, cade e stramazza dalT alto sulT aci^ua
della spiagiiia .
14. La prima di queste riflessioni riguarda gli
ostacoli che possono trovarsi nel f )ndo, o nelle ripe,
per i quali la direzione del corso si rivolga verso Tuna
o verso 1' altra sponda. Possono quir.di annoverarsi
fra tali ostacoli anche le alluvioni contigne alle spon-
de, le quali si protraggono dalle ripe iAire la meta
della larghezza dell' alveo, e sino alia spon<la oppo-
sta, alia quale percio si avvicina il filone. In questo
caso restera a dcfinirsi, se operino come ostacoli, i
quali facciano dcclinare la direzione del moto nel ver-
so della Innghezza, oppure se insieme operino a da-
re con la loro declivita una direzione di moto all' a-
cqua dalla ripa, dove tali ostacoli sono pin alti, all'op-
])o?ta, dove il fondo e piu basso. L' alira riflessione
di Zendrini, che per le leggi della statiea la superfi-
cie deir acqua si mantiene orizzontale tra le opposte
DELLE SPONDE ^'tCLI ALVEI Dt' EIUMI 2'^
ripe, puo convenirc all' acqiia stagnante, iiclla f[ua-
le le pressioni verticali si rqiiililjrano in ogni pnnto
della superfuie, ma non alTacqua correute, nella qua-
le le pressioni sono combinate col inoto rlcl fluido,
che second© la varia sua velocita e direzione, accresce
o dimiijuisce 1' efretto della pressione. E' vero che le
abenazioni dulla esatta orizzontale non sono facilmen-
te discerncvoli, e riescono assai teniii in un tratto co-
si anij)io, come la larghezza p. e. del Po: ma coniun-
que teniii, V anqua die non sia di tenuissimo corj)0,
o altezza le risente. Che poi nella medesima sezione
d' alveo non possa camniinare una parte delT acqua
verso il suo sbocco , e un' altra parte verso la ripa,
questa e una diflicolta, la quale deriva dalla suppo-
sizioue, che i filamenti de' quah si rappresenta che
sia composta la niassa dell' accjna correute in un fiu-
nie, giimgano con direzione perpendicolare al piano
della sezione, ciocche non e in natura, e si anim<-t-
te soltanto per metodo di dottrina. Perciocche appnn-
|to in forza dcgli ostacoli, delle irregolarita dell' alveo,
;delle pendenze tanto laterali, quanto longitndinali, le
Iparticelle di'lT acqua concepiscono de' nioti obbliqni,
e tutte non sfguono nello stesso istante la medesima
direziorje. Cost quando si sta osservando 1' uscita de'
flnidi dai fori aperti ne' fondi de' vasi , se conie pa-
re air occhio la snperficie del ttuido si supponga esat-
tamente orizzontale nella sua discesa, non si giunge
mai a comprenderc, come ne succeda 1' ufcita, ed e
[forza di ammettere de' nioti obbliqui nelle particel-
fle del fluido, i qnali poi compariscono evidenti o nel-
|le piccole particelle di diverso colore confuse nell' a-
274 ' S
T II A T I C O
cqua, o nella contrazione della vena. II caso poi nel
quale secondo Zendrini, si puo verificare, che la spiag-
gia rivoki 1' acqua a caricare il filone, si espoiie da
lui in qiiesto modo. Puo avvenire, che 1' acqua viva
di una sezione si trovi in qualclie parte di si poca
altezza, sicclie le resistenze del fondo proj)agliino sen-
sibilmente refletto loro a tutta 1' altezza viva, e tol-
gauo ad essa del tutto, o quasi interamente, il moto
progrcssivo^ col quale 1' acqua sarebbe proceduta pa-
ralU'lamente al filone del fiume, sicche resti stagnau-
te, o quasi stagnante. II filone uon ritardato potra
restare di livello alquanto piu basso, di quello che
r acqua ritardata vicino alle i-ipe, la quale percio
potra per si flitto sbilanciamento essere rivolta verso
il filone; e se questo si trova assai vicino ad una ri-
pa, verra essa ad esserne maggiormente caricata, e
se ne accrescera la corrosione.
i5. Una cagione della doppia pendeuza degli al-
vei deriva dalla Topografia de' paesi, cioe dalle va-
rie inclinazioni della superficie terrestre. Leggonsi del-
le osservazioni intorno ai torrenti del Friuli, per le
quali si vedc, che i loro alvei hanno due inclinazio-
ni, una da Tramontana al Mezzodi , l' altra da Le-
vante a Poncnte, la prima ditnostrata dal corso deH'a-
cqua, r altra dali" appoggio delle acque alle ripe ver-
so Poueute, onde avviene che queste siano soggette
a maggiori corrosioni delle opposte che sono verso
Lcvante. 11 Signor Cenerale d' Artiglieria Andreossy,
nelle belle sue memorie delT Istituto d' Egitto, e nel
pregevolissimo e istruttivo suo libro sul canale del
mezzodi, stabilisce per moke osservazioni, che le a-
DELLE SPONDE NEGI.I ALVEI DE FIUMI 27;^
cque de' fiumi hanno due pendenze, una iiella dire-
zione della luughezza, T altra dipendente dalla gene-
rale topogiafia del terreno, la quale determina la cor-
rente principaie del liunie ad investire piii partico-
larmente quella delle due ripe, che si trova al lato
opposto al piano della pendeuza generale. Quella pen-
denza che deriva dilla topngrafia generale del terre-
no, detertnina la corrente principaie, cioe quella se-
guita dalla navigazione, die si tiene piii vicina ad una
ripa che alT altra; la quale pero e disviata talvoka
dalla sua direzione per gl' interratnenti, che si forma-
no dallo stesso lato, per lo sbocco di qualche inllueri-
te, per lo sporginiento dalle ripe di qualche ostaco-
lo naturale, quale sarebhe un adunamento di mate-
ria franata dalle ripe^, o artificiale, come la costruzio-
ne di qualche opera respingente. La direzione del-
la corrente principaie, fuori delle anonialie indicate,
corrisponde all' intersezione del piano di pendeuza ge-
nerale nel verso dclla lunghezza, col piano di con-
tropendenza de' terreni. Si puo e vero inunaginare
ed eseguire ancora un alveo, il quale indipendente-
meute dalle inclinazioni del terreno. abliia una data
pendenza verso la sua foce, e il suo fonclo orizzontale
nel verso della larghezza, con le sponde similniente
convergenti. Ma per opera della natura, gli alvei si
conformano in generale alia doppia pendenza de' ter-
reni, e ne' tratti particolari non seguono gia la linea
pill breve, che sarebbe c[uella determinata dall' azio-
ne della gravita, ma cjuella che per V indole del suo-
lo e la meno resistente.
16. Si puo rappresentare 1' efletto della doppia
276 S T R A. T I C O
pentlenza, suppoiiendo die (Fig. ]I Tav. Ill) BEFM
sia «a piano rettangolo iiicliiiato all' orizzonte sotto
r angolo A MB. La sezioiie comiine di questo col
piano orizzontale sia la retta M F., la quale taglia ad
angoli retti i lati B M, E F . Un grave posto in B^
o in .£", o in qualunque panto tra B e E^ prescin-
dendo dalla diiezione che si puo alterare dallo sfre-
gamento, o da altri ostacoli, discendera da B per la
Jinea B M perpendicolare alia M F ^ e parlmente da
E per la linea E F perpendicolare alia stessa M F ^
o per un' altra retta tra B M t E F parallela a que-
ste; e se il piano avesse due margini elevati lungo i
lati B M^ EF^ il grave srriscierebbe lungo qucsii
margini senza imprimervi alcun urto: o mancando i
margini elevati, non uscirebhe il grave ne da uno
ne dair altro lato del piano. Ora si supponga clie il
])iano rettangolo s'innalzi girando intorno al lato E F ^
il quale resti fermo nella sua posizionc, sicche si di-
sponga in ECQF. e intendasi prohuigato lo stesso
piano, sicche vada ad incontrare il piano orizzontale
in f FN. 11 grave ora posto in C discendera per la
linea CO perpendicolare a VF N^ e per conseguen-
za andera ad urtare il margine E F sotto un angolo
tanto maggiore, e piii vicino al retto, quanto niaggio-
re sara I'elevazione acquistata dal piano nella sua ele-
vazione e volgimento intorno ad E F. Discendera il
grave per C G con un moviniento coinposto di quel-
lo clie acquisterebbe discendendo per la linea incli-
nata C Q A/ , e di quello che acquisterebbe insieme
discendendo per la linea inclinata CEF. E poiche
gli spazj percorsi in tempi eguali da gravi discenden-
DELLE SPONDE NEGLI ALVEI DL FIUMI 277
ti dalla stessa altezza per linee di versa mente incli-
rate sono come i sent degli angoli d' inclinazione del-
le stesse linee, se ne'lati del piano rettangolo si pien-
deranno due linee CS, CP nella ragione dei seni
degli angoli CNA, CVA, si avra la posizione del-
la retta C G nel piano di doppia inclinazione.
17. Ancorche la discesa delTaccpia per un piano
inclinato non si faccia alio stesso modo, come la di-
scesa di un solido, perche la massa dell'acqua essendo
fluida cambia la sua figura, prendendo quella deiral-
\eo, e delle sczioni per le quali passa, e quella die
le imprimono le varie direzioni di moto comunicato
alle sue parti, dilatandosi dove non sia sostenuta, lad-
dove la massa del solido die discende per un piano
inclinato, conserva la sua figura, e la posizione respet-
tiva delle sue parti; tuttavolta e certo, che e sempre
la forza di gravita quella che sollecita la discesa per
il piano inclinato, tanto del (luido, quanto del soli-
do. Laonde, se il letto del fiume inclini tutto da una
ripa all'altra, essendo gia inclinato per il verso della
sua lunghezza , si comprende agevolmente, che per
questa doppia pendenza, la direzione del moto dell'a-
cqua discendente, dovra essere obbliqua alia linea del
pill basso fondo, e sotto un angolo vario in ragione
delle due pendenze, siccome si rappresento con la fi-
gura. Percuotera dunque la ripa contro la quale di-
scende non solameute nella direzione indicata per il
verso della lunghezza, ma ancora in una direzione
inclinata sotto l' orizzontale, cioe verso la base della
ripa pill profoncla. Quindi secondo la resistenza che
incontrera nel trrreno, produrra una corrosione, un
T. 11. P. II. 35
278 S T R A. T I C O
seno, una liinata, e un maggior fondo piu o meiio
discosto dalla ripa stessa .
18. Si supponga ora che le pendenze lateral! si
estendano sino alia meta della larghezza dell' alveo.
L'azioiie delle due masse d' acqua discendenti col mo-
to composto sopra iiidicato da amendue le parti, sa-
ra d' incontrarsi a vicenda, d' appoggiarsi V una al-
r altra, di pronioversi entranibe con una velocita co-
mune a tutte due, producendo quel maggior corso^
che si osserva nella linea del maggior fondo, che si
conosce col notne di fdone, o spirito, del fiume. Che
se la pendenza nel verso della lunghezza sia picco-
la, o anche nulla, e se il fondo dell alveo fosse ac-
clivc, r efletto delle laterali inclinazioni non isvani-
rebbe per questo, ma si comporrdbbe con la veloci-
ta preconcepira dal lluido nella sua precedente disce-
sa. Non gia, che se la pendenza delle sponde man-
casse affatto, e le ripe fossero tagliate a piombo, e il
letto fosse e per lunghezza e per larghezza orizzon-
tale, nia con la foce aperta , 1' acqua non fosse per
fluire, sopravvenendone di nuova. Essa lluirebbe per
r altezza della sua mole, disponendo la sua supcrfi-
cie ad una inclinazione verso f estremita del suo cor-
so, cioe verso la foce. Ma C[m consideriaino gli alvei
come sono naturalmente conformati, e come riducon-
si, anche nel case che originariamente avessero le
sponde verticali, o col mezzo delle posature delle tor-
bide, o con qu^'Uo dello scavamento, ne' quali non
si puo trascurare T effetto delle inclinazioni laterali
delle sponde, per la modilicazione dei moti dipen-
deixti dalla forza acceleratrice della gravita.
DELLE SI'ONDE NEGLI ALVEI DE FIUMI 279
19. Osservansi ne' fiinni quando sono in piena
due particolari fenorneni relativamente al filone. Uno
e che nella linea di questo T acqna colmeggia, e la
siq^erficie del liume nella larghezza si dispone in una
linea curva che ha la sua convessita rivolra all' insu.
Questo fatto si riinarca con niaggiore evidenza nella
piena de' fiunii larghi, di molta mole d' acqua cor-
rente, e di corso veloce. lo ho veduto con tanta chia-
rezza questa convessita nella superlicie dell' acqua del
Rodano a Lione, in giornate nelle quali quel fiume
era ricco d' acqua piii del solito, e nell' Adige anco-
ra, e nel Po in istato di piena, che non saprei duhi-
tare del fatto, ne attrihuirlo ad errore ottico. L' al-
tro fenomeno e che il filone, in alcuni tronchi dello
stesso fiume non si mantiene nella stessa linea in ma-
gna, e in piena, ina si muta di linea: e di piii che
nelle piene si producono oltre il filone principale
de' filoni secondarj. 11 prinio di questi fenorneni si
puo spiegare considerando, che le due masse d' acqua
le quali discendono con direzioni convergenti tra di
loro, e convergenti col fondo, s' incontrano ad ogni
successive istante, e non possono immediatamente con-
fondersi, o spianarsi verso 1' una o 1' altra parte del-
r alveo, ma si fanno reciprocamente ostacolo, e per-
cio nell'incontro s'inalzano. Dove I'altezza della pie-
na non e congiunta con molta velocita di corso, que-
sto colmeggiamento non e tanto evidentc e osserva-
hile, come nemmeno ne' finmi in istato di acqua or-
dinaria, o magra , ed ancorche vi dehba essere, e pe-
ro cosi tenue che si rende indiscernevole, particolar-
niente ne' fiumi rainori, e di alveo poco largo. Si h
28o S T R \ T I C O
attribuito il colineggiare del filone da rispettablll au-
tori, ad ogni ritardo die il fiume incontra nel suo
corso, dove qiiesto e piu veloce, e dove per conse-
guenza tanto piu prontainente dee alzarsi di superfi-
cie per ogni ostacolo che vi si opponga. Ma questi
ritardi, e questi ostacoli , afrinclie si trovino regolar-
niente, qiiando il fiume va in piena, non si possono
ripetere, se non che dall' incontro delle due masse
d' acqua convergenti con la direzione del loro moto
]' una verso 1' altra, e nella linea del maggior fon-
do . Fu per verita con altra ingegnosa coughiettura
spiegato questo fatto del colmeggiare del filone. L'a-
cqua vicina alle ripe si muove, fu detto, con veloci-
ta minore di quella che ha nel luogo del maggior
fondo: esercita essa dunque una pressione verticale
maggiore di quella die scorre nel filone. Percio a
mantenere V equilibrio trasversalmente nella superficie
del fiume, e di conseguenza che sia piii alta dove e
meno premente, perche e piii veloce. Per occasione
di questa coughiettura si puo osservare la difficolta
di ragionare intorno ai moti ed effetti delle acque
con qualche grado di evidenza, dacclie la stessa os-
servazione della velocita dell' acqua diminuita al-
le ripe ed accresciuta nella linea del filone, fece de-
durre al Zendrini, siccome abbiamo notato ( § 14 )
una conseguenza affatto contraria, cioe, che 1' acqua
dalle ripe si porti verso il filone. 11 supposto equili-
brio della superficie dell' acqua attra verso del fiume,
per cui si disponga all'orizzontale, non ha luogo qiian-
do essa e corrente, ed essa prende in superficie vi-
sibihuente aache dei raoti dal mezzo verso le ripe .
DELLE SPONDE NECLI ALVEI DE* FIUMI 23 1
Spargendo de' galleggiariti sulla superficle di un fiii-
me correute con notabile velocita, alcuni di essi veg-
gionsi tenere la via del filone, altri de' quali la se-
guono rostaiitememe per lunglii tratii, altri ne so-
no rispinti e allontanati, i quali declinano verso le
ripe, lie al filone ritornano. L' acqua dalla maggiore
altezza del filone si rovescia in parte verso le ripe ,
e alloritana que' galleggianti che trovansi agli estre-
mi confini della largliezza del filone , spingendoli
verso le ripe.
20. L' altro fiinonieno del mutamento di linea
del filone dalla magra alia piena, ha luogo bene spes-
so ne' fiumi molto larghi, e dove una parte della se-
zione dell' acqua in piena e occupata da isole, o re-
naj elevati irregolartnente, o distaccati o aderenti al-
le ripe, e variamente prolungati nell' alveo, i quali
nello stato di magra sono scoperti, e nelle piene re-
stano softo la superficie dell' acqua. 11 corso del fiu-
me in questi casi c diversamente niodificato, e come
se si facesse in due alvei diversi, particolarmente per-
che le pendenze laterali si diversificano, e in conse-
guenza si altera il luogo d' incontro delle masse d' a-
cqua, e la direzione del filone. E quanto a cio che si
osserva ne' fiumi di molta larghezza, qual e in piu
luoghi il Po, che nelle piene oltre il filone principa-
le, se ne producano de' secondarj, questo dipende da-
gli ostacoli sopra indicati, e dalla conforniazione del
fondo, il quale, siccome si puo osservare in moke se-
zioni, e solcato a maggiore profondita in piu di un
luogo della sua larghezza. Questi solchi continuati e
piu profundi di quelle che siano nel restanie letto,
282 S T
R A T I C O
fanno viconoscere i moti laterali delle correnti , le
quali si dividono in torsi diversi, e reciprocamente
si fonnano i loro confiui , segnendo insienie i moti
della massa totale nel verso delle Itinirhezze.
2 1. Le pendenze laterali iiisieine con quelle per
il verso della lunghezza, fanno si die il movimento
deir acqiia ne' fiunii non abbia una direzione paral-
lela al fondo, ma inclinata, e die lo incontra con
nn certo angolo d' incidenza. Quindi e die il corso
deir acqiia si rende atto ad escavare il fondo dell' al-
veo, e r escavazione si fa segnatamente nelle piene,
ciocche dal solo soffregamento non si otterrebbe. Si
pareggia pero questo eftetto con la resistenza, o te-
nacita della materia del suolo, ne' fiunii, die percio
diconsi stabiliti, e ne' quali non si altera la confor-
raazione delle loro sezioni. Avviene lo stesso anclie
in alcune svolte degli alvei, nelle quali 1' acqua scor-
re senza punto agire nelle ripe per corroderle, e die
percio ben di rado riduconsi con profitto a rettifili-
Se la pendenza laterale si estende, il fondo al ter-
minare di questa si escava, qualora non sia di mol-
ta tenacita; si fa piii breve 1' estensione della pen-
denza opposta e piu ripida , e la largbezza dell' al-
veo si diminuisce. Di cio se ne ha 1' esenipio nelle se-
zioni IV. V. VI. Tav. II, nelle quali la largbezza e
molto diminuita, le sponde sono ripide, e le profon-
dita insigni: le quali profondita non sono gia gorgbi
di acque stagnanti, mentre col corso degli anni si sa-
rebbero riempiute con le posature delle torbide, ma
bensi parti delle sezioni dell' alveo, nelle quali 1' a-
cqua e corrente, ma con direzioni piu inclinate di
DELLE SPONDE NEGLI ALVEI TtL riUMI 283
quelle che seguono nella siiperficie del fiume. Al con-
trailo in altre sezioni, quali sono nella Tav. 11 le
II, e III si ha T esempio ili larghezze ben grand! ,
di pcndenze lateiali piccole, e di profondita niinoii.
Galileo, sciivendo al P. Castelli, gliiiibizzava, dic'Egli,
intorno agli efletti delle acrjue nel passaie dalle se-
zioni piu larglie alle piu strette. Volendo supporre,
che le parti dell' acqua continuino a nioversi nella
stessa linea retta, e aflatto dilHcile, per non dire im-
possihile comprendere, come si faccia questo passag-
gio, appnnto come nelV uscita dell' acqua dal foro
apcrto nel fondo di un vaso non si puo intendere che
le sezioni nel vaso discendano tra di loro parallele.
23. E' forza di riconoscere, che nel corso delle
acque si producono de'raoti obbliqui, e che attesa Tin-
conipressibilita delle sue parti, dee succedere nella sua
superficie qualche mutazione di livello, tanto nel pas-
saggio dalle sezioni piu larghe alle piu strette, quan-
to da queste a quelle. La pendenza delle sponde nel
passaggio delle acque dalle sezioni larghe alle strette
aumenta i moti obbliqui, e il fondo si escava, o V al-
veo e pill profondo: nel passaggio dalle sezioni stret-
te alle piu larghe, per l' espansione del iluido si di-
minuisce 1' azione delle pendenze laterali, e 1' alveo
e mttno profoiKlo. Hanno tra di loro uno stretto ra.\y-
porto la larghezza delT alveo, la profondita, la caden-
te, il corpo d' acqua, l' inclinazione delle sponde^ e
qnesti elementi tutti si modificano diversamente per
r indole del suolo, nel quale T alveo e solcato, piu
o meno resisteute all' azione della correute. In ah-u-
ni fiumi scorre in un tratto 1' acqua con placido mo-
284 S T R A T I C O
to, con molta espansione, in un altro e rapida, e ri-
stretta per 1' indole del suolo resistente. Quindi 6 che
nel divisare i tagli delle svolte de' fiumi, per fame
dei rettifili si piocura di conoscere tutti quegli ele-
nienti: i quali poi si contemperano tra di loro con
quelle leggi che si conoscono dal faito, e che non si
possono presagire con precisione, ond' e che ne' pro-
getti di tali opere, prudentemente facendo, si debbo-
no calcolare gli effetti e le misure con certa latitudi-
ne. Si consiglia non di rado per vedute econoniiche
di non escavare per intero in profondita e in larghez-
za il nuovo alveo, ma di segnare al nuovo corso la
strada con una cunetta, afTinchc la forza della cor-
rente la dilati e la escavi, trasportando la materia
eccedente, e riducendo 1' alveo proporzionato al fiu-
me. Questo consiglio pero e da seguirsi cautamente,
e facendo prima molti scandagli del suolo, essendo
restata in tali imprese non di rado delusa questa spe-
ranza, o perclie 1' alveo non si allargo, ne si profon-
do per la resistenza del terreno, o perche il corso del-
r acqua incontrando de' terreni cedevoli ha preso del-
le clirezioni tortuose, trasportando il filone piu da una
parte che daU'altra, alterando le pendenze laterali.
23. L'azione dell' acqua corrente nel fondo e nel-
le sponde dell' alveo e di soffregamento, e cV impul-
se in quella direzione che risulta dal moto composto
per le due pendenze, longitudinale, cioe, e laterale.
Per (piesta ragione non si puo paragonare il corso
de' finmi con quello che si fa per doccie di legno, o
per piccoli canali artefatti, ne' quali la larghe/za, e la
peadenza delle sponde per la loro piccola misura noa
DELLE SPONDE NECLl ALVEI Dt' FILMI 285
danno efTetti disccrnevoli dl cjuesta composlzione di
moti, e la resistenza della materia, nella fjuale e sca-
vato r alveo artefatto, e lanto dlssimile da quella de'
varj terreni. 11 sollregainento dcH' acqua con la su-
perficie dell' alveo si rignarda da alcimi come la ca-
gione principale per cui il di lei moto si riduce all'uni-
formita, disrru2;gendosl per esso gV iiicremcnii di ve-
lorita prodotti dalla forza acceleratrice di gravita.
Quindi ridettendo die il solTregamento varia nella
sua misnra, second© che V area della sezione del flu-
me ha una diversa ragione al suo perimetro, che e
al contatto delT acqua, si e istituita xnia ingegnosa
tporia . L' area d' ogni sezione e sempre il prodotto
del suo perimetro, che e al contatto dell' acqua, per
una linea retta che si pno deterininare. Se la sezio-
ne e un sen)icircolo, 1' area e il prodotto della semi-
circonferenza moltiplicata per la quarta parte del dia-
metro. Quindi dividend© il numero di uuita quadra-
te che csprime V area della sezione, per il numero
di simili uuita ma lineari, che esprime il perimetro
al contatto dell' acqua, in qualsivoglia lignra^ si avra
la linea ricercata, cui si da il nome di raggio medio.
Quant© maggiore e questo raggio medio taut© mino-
re e la misura del soiVregamento, perche taut© mino-
re e il perimetro della sezione di area eguale. Cosi
se vi siauo due sezioni triaugolari di base e d' altez-
za eguale, e una di qneste sia isoscele, T altra sca-
lena, poiche il perimetro della i3©scele c minore di
quell© della scalena, il raggio medio della isoscele
sara maggiore di cpiello della scalena, e diinostrera
che la misura del solTregamento e minore nella iso-
1. II. P. II. 36
2E6 S T R A T I C O
scele (li quello the nella scalena, e in conseguenza
che il corso clelP acqiia e menu ritarclato nella pri-
ma, (li quello che nella seconda. E poiche per amen-
dup qneste sezioni, che si suppongono prese nello
stesso fiiiine, dee pa^sare in pari tempo la medesiina
quantita di acqna, dovra seguire, che la sezione sca-
lena si allarghi, o si faccia pin profonda, oppure se
la materia del snolo resiste e lo impedisce, dovra au-
nieniarsi 1' altezza delT acqua e 1' inclinazione della
siiperficie, per compensarc coll' aumento della forza
acceleratrice il decreniento della velocita derivante
dal maggiore sofTregainento. La sezione scalena rap-
presenta 1' alveo di pendenze laterali dissimili, e il
consegnente accostamento del iilone ad una ripa pin
che all'altra. Cv)rrisf)onde percio questa teoria all' ef-
fetto indicate da Gngliehnini ( § 12 ) del maggiore
inipnlso dell' acqna che nelle piene si fn dalla parte
del niaggior fondo dell' alveo, ed all' avvertcnza di
costruire l' argine dalla stessa parte pin alto e piii
robnsto: non risnlta pero dalla stessa, perch^ la su-
perficie del fimne non sia trasversalmeiite orizzonta-
le, ma incliuata e ascendente verso la parte del mag-
gior fondo, come avverti il citato maestro. La teo-
ria del raggio medio non include le altre circostanze
che debbonsi valutare nel corso dell' acqua. Si pos-
sono avere delle figure di sezioni, nelle quali con dis-
simili altezze, e larghezze, essendo le sezioni eguali
si ahbia lo stesso raggio medio. Una sezione rappre-
sentata da un quadra to e egnale nell' area e nel pe-
rimt-tro ( s' intendr sempre del perimetro a contatio
deir acqua ) ad una sezione rettangolare, la qual«
DELLE SPONDE NEGLI ALVEI De' FIUMI 287
abbia la base doppia del lato del quadrate ^ e V al-
tezza egiiale alia meta dello stesso lato. Si pno fare
un triangolo isoscele di larga base, eguale ad un al-
tro triangolo isoscele di base minore, della stessa area,
e dello stesso perimetro, inteso come sopra, ma di
maggiore altezza. In questi casi si avranno altezze
d'acqiia, e larghezze d' alveo diverse, e lo stesso
raggio medio. Si potra percio dcdiirre, che posta la
stessa pendenza del fondo, non induca alcuna diOe-
renza nel corso dell' acqua la maggiore o minore lar-
gbezza della sezione, o la diversa profondita del cor-
po d' acqua, perche i ritardi nascenti dal soffrega-
mento sono egunli, essendo eguale il perimetro, cioc-
che non e conforme ad altri ricevuti principj e teo-
rie.
24. La misiira del soffregamento dell' acqua con
1 corpi solidi, lungo i quali essa si muove, si lia da
varie sperienze fatte ne' tubi e piccoli canali artifi-
ziali. Ma o la piccolezza di questi, o 1' altezza dell' a-
cqua nel vaso dal quale partono i tubi, malagevole
da conservarsi costante, o la difficolta di prendere la
precise misure dell' efietto , lasciano sempre molta
dubbiezza. Le sperienze ist.ituite alcuni anui or sono
con ingegnoso e dispendioso appareccbio da una so-
cieta di Londra, diretta ai progressi della navale Ar-
cbitettura, riescono piu soddisfacenti. Si sono prepa-
rati due panconi, o grosse asse, una lunga piedi 14,
larga poUici 20, grossa poliici 3: 1' altra lunga piedi
2, larga e grossa come la prima. Amendue furono
spianate, e dipinte a oglio nello stesso modo. Immer-
se di taglio verticalmente, e disposte secondo la lo-
288
S T R A T I C O
ro hmgiiezza orizzontalmente, nell' acqiia di mare,
quieta, in iiu' ampia e profonda vasca, col loro cen-
tro di figura a sei piedi sotto la superficie dell' acqua,
si sono fatte inovere in direzione orizzontale, con no-
ta ed tinifornie velocita, inantennte sempre alia stes-
sa profondita d' immersione. I dodici piedi di mag-
giore lungliezza di iino de' panconi facevano prova-
re alio stesso nna resistenza procedente dallo sfrega-
mcnto maggiore di quella die provava il panco-
jie pill corto. La superficie del pancone piu lungo,
oomprese tutte le sue facciate e di 46 piedi qua-
drati. Quindi dividendo per 46 questa resistenza mag-
giore, si ebbe la misura della resistenza derivante
dal soffregamento, che prova nn picde qnadrato di
superficie mossa con nota velocita. Si riniarco una
differenza nella misura della resistenza che provaro-
no li suddetti panconi messi all' esperienza, asciutti
la prima volta, indi dopo che erano stati piu volte
immersi e immollati nell' acqua. II soffregamento si
trovo maggiore in questo secondo caso. Nella seguen-
te tavola si ha il risultato di queste sperienze.
Velocita di niiiilia nau-
ticlie all' ora. Le miulia
nautiche sono di piedi
O087
I
0,
3
4
5
6
7
8
SoiTreganiento coll'a-
rqiia di im piede qna-
drato di superficie del
pancone imniollato .
0,014
0,047
0,095
0,ldJ
o,a60
o,3c9
9?
0,400
c,5oi
So(l'reo;ainento coll' a-
cqua di un piede qua-
drate di superficie del
pancone non imniollato.
t>,0l2
0,08c
0,144
0,279
0,354
o,43i
DELLE SPONOE NEGH AI.VEI BE* FIUMI 2oC)
Se i panconi oltre V essere stati immoUati erano im-
bratiati tli fango, o altro sucidiiine , la resistenza
riusciva maggiore di quella che provavano essendo
tersi. E' pertaiito evidence, che le resistenze derivan-«
ti dal sofTregainento, crescono con la velocitii accre^
Bciuta, e la ragione degli accrescinienii si avvicina
►•.a quella de' quadrati delle velocita, alia quale pero
non giunge mai.
2 5. Gli elTetti, i quali si comprendono col no-
me di sofTregamento dell' acqua con i corpi solidi,
^ 6ono relativi alia scabrosita degli stessi solidi, all' at-
trazione dell' acqua con essi , e all' aderenza delle
parti deir acqua tra di loro, cui si da il nome di
viscosita. La scabrosita de' solidi significa che vi so-
i\o delle particelle sporgenti, e delle altre avvalla-
te nella loro superficie. Quando dunque il solido si
muove neir acqua, le particelle sporgenti urtano la
massa del Ouido, e diminuiscono la velocita del 80~
lido, che comunica coU'urto a1 fluido una parte del-
la sua forza, o quantita di moto. La sperienza del
soffreganiento maggiore osservato ne' panconi iminol-
lati, a confronto dei non immollatl vi consente; giac-
che dair essere stati immollati deriva, che la loro
superficie sia divenuta piu scabra , gonfiandosi le fi-
bre del legno, e risalendo dalla superficie. Si ha di
cio un' evidenza in grande nelle navi, le quali, es-
sendo pari tutte le altre circostanze, sono di graa
lunga piu spedite e veloci , quando la loro opera
viva e ripulita dal musco, dalle chiocciole, dal fan-
go che la imbratti, di quello che se sia da simili
corpi coperta. La fodera che si fa alle navi coa fo-
290 S T K A T I C O
gll di rame, tirati a cilindro, e levigatl, olcreche le
garantisce dai danni delle teredini marine, giova gran-
demente alia velocita del loro corso. Gorrisponde
percio niolto bene la sperienza, la quale dimostra
ciie il soffregamento dell' acqua con i solidi, segue
la ragione di una qualche funzione della velocita,
e non e lo stesso in qualunque ipotesi di veloci-
ta attril)uita al solido che si muova nelT acqua, o
deir acqua che strisci contro il solido. Per lo die
si puo inferire, che la teoria del raggio medio noa
comprende tutte le circostanze del moto dell' acqua
neoili alvei, e sinq-olarniente Y elemento della vc-
locita .
26. L' aderenza delle parti dell' acqua alia su-
perficie de' solidi e assai comprovata dalla volgare
osservazione, che quasi tutti i corpi posti al contat-
to deir acqua, restano piu o meno bagnati, e molli.
Anche i corpi, i quali non hanno una forza di ca-
pillarita rispetto all' acqua, pure esercitano con essa
un' attrazione. Le sperienze le quali dimostrano, che
deschi simili in grandezza, e ligura , di metallo, di
piefra, di legno o d'altre sostanze posti orizzontalmen-
tc al contatto dell' acqua, richiedono una forza di-
versa per esserne distaccati per soUevameuto verticale,
comprovano questa asserzione.
27. Si aggiunge la viscosita dell' acqua, per cui le
sue particelle fanno qualche resistenza a distaccarsi Tu-
na daU'altra. Or come questa contribuir possa a ritar-
dare il moto del solido immerso nell' acqua, o il moto
deir acqua che striscia un solido, si puo intendere in
questo modo. Le parti dell' acqua spiute e promosse
DELLE SPONDE NEGLI ALVEI DE FIU3II 29 1
da iin solido che per essa si muova tendono ad equili-
Lrarsi, e ad occiipare il luogo ahbandoiiato all' indie-
tro dal mobile. Se la velocita del mobile sia maggio-
re di quella con cui le parti delP acqua possono por-
tarsi al luogo abbaiidonato dal mobile, qiieste si rac-
colgono alia parte anteriore dello stesso, ed accresco-
no la resisteivza al suo moto progressive. In fatti se
il solido emerge in parte dairacqua, questa raccolta
d' acqua si rende manifesta dinanzi al solido, ed e
tanto niaggiore quanto e piii veloce il moto del so-
lido. Se r aderenza delle parti dell' acqua tra di lo-
ro e col mobile fosse nulla, e certo che non si fa-
rebbe questo adunamento di acqua dinanzi al mobi-
le, ne questo strascinerebbe una quantita di acqua a
lui aderente. Tale effeito dee anche succedere nel
mobile, che si muove sott' acqua, cioe che strascini
seco una mole di acqua a se aderente, e tanto mag-
giore quanto e maggiore la sua velocita. Ce ne som-
ministra una prova la macchina funicolare, con la qua-
le s'inalza T acqua per mezzo di una fune che si met-
te in moto tra due ruote, una bassa ed immersa nel-
r acqua, 1' altra contenuta in nn recipiente chiuso.
La lune nel passare per T acqua si veste tutta all'in-
torno di uno strato di Huido di osservabile grossez-
za, il quale vi sta aderente sino alia ruota superiore,
ed ivi dalla fune stessa si (li>tacca per il moto cen-
trifugo die la ruota gl' imprime, cade nel recipien-
te, e da questo per ima apertura esce all' uso che
si vui)le . L' aderenza dell' acqua alia fune dipende
maiifestamente dalla forza capillare delia corda , e
dalla viscosita dell' acqua. Una certa velocita nel mo-
292 Stratico
to (lella fune produce maggiore grossezza dello stra-
to d' acqiia che la riveste, e fa si che se ne raccol-
ga in un dato tempo maggiore quantita nel recipieii-
te, non solamente perche nello stesso tempo arriva
alia niota siiperiore un raaggior tratto di fune vesti-
to di acqua, nia perche il vestimento e piu grosso,
lasciando un tempo minora alia discesa dell' acqua
per la fune.
28. La pressione non accresce il sofFregamento
delle parti dell' acqua tra di loro, e con i solidi al
contatto de' quali essa scorre. Perche 1' acqua o e
alTiiito incompressibile, o e compressibile al minimo
grado, e da riconoscersi soltanto, quando sia premu-
ta da forza molto grande, e chiusa in un recipiente
di pareti robustissime : quindi la compressione non
accresce i puiiti di contatto tra le parti dell' acqua.
Galileo faceva osservare al P. Castelli, clle non e ne-
cessario che 1' acqua premuta si condeiisi per scap-
pare con maggior impeto; siccome ?1 nocciolo di ci-
fi •a;ia preinuto scappa con vclocita senza condensar-
'oi. In questo fenomeno di paragone e da osservar^i,
e da far cofito della elasticita de' polpastrelli delle
dita, e di qnella ancora del nocciolo di ciriegia. Ma
neir acqua la condizione di ciascuno strato e la stes-
sa, ne per la pressione degli strati superiori auccede
condensazione negl' inferiori. La resistenza che. dee
superare un corpo, come anche 02;ni particella d' a-
cqua (he per essa si fa.strada^ «lipende dalla reazio-
ne delle parti alle quali si comunica nn moto, e dal-
la viscosiia delle parti dell' acqne. Questa e indipen-
dente dall' azione della massa sovrapposta. Non cosi
BELLE SrONDE NECLI ALVEI DE* FIUMI 29^
pare clella reazione, la quale sembra dover essere pro-
porzioiiata al mimero delle parti insistent! sopra quel-
la che si rnuove. Perciocclie siccome ogni corpo ce-
devole iminerso nell' acqua a varie profondita, in ra-
gioiie di qoesie si diminuisce di volume e acquista
gravira specifica maggiore, cosi pare che un corpo il
quale sia sott' acqua e in essa si muova per qualclie
direzione incontrar debba una maggiore resistenza a
misura che si trova ad una maggiore profondita: pro-
posizione assunta da un celebre matematico, e corri-
&poiideiite a qnalche esperimento fatto in piccole mi-
sure , ma che importerebbe molto di fare con uii
grande appareechio, e simile a cjuello di cui si fece
cenno al § 24, tenendo il solido che si fa correre sott' a.
cqna a profondita notabllmente diverse: cio( che non
si fece a compimento di quella altronde bellissima
serie d' esperienze.
29. Considerando pero il sofTregamento dell' a-
cqua col fondo, o con le sponde di un alveo, com-
posto di parti amovibili, e che presenta all'acqna cor-
reiitc, come altrt-ttanti piccoli ostacoli nelle scabrez-
ze dclla sua snperficie; avvertendo ancora che la mag-
gior pressione derivante dall' aliezza dell' acqua, fa
si ch'pssa penetri piu addentro nella materia dell' al-
veo, si puo facilmente iniendere, come col sue mo-
vimento nelle piene distacchi delle parti, e le traspor-
ti seco, e facciasi torbida. Qiiesta specie di sofTrega-
mento, se cosi vuolsi chiamare, in fondi di parti amo-
vibili, e atta a purgare gh alvei dalle posature re-
ceiui. Ma se 1' acqna stessa artifizialmenie, e coti
mezzi esteriori sia intorbidaia, sommoveudo il fondo,
T. II. P. IL 37
294 S T R A. T I C O
e facenilo sollevare dallo stesso la materia terrestre
o sabbiosa, come fii talvoka proposto, per difftto di
riflessione, coiroggetto di scavare gli alvei de' fiiirai,
la torbida resta sospesa per breve tratto, e ricade,
ne si ottiene 1' immaginato efletto. Si riferiscorio aii-
ciie delle sperleiize fatte in caiiali artefatti di fondo
piano e posto a varie inclinazioni, ne' qnali erano
sparse varie niaterie, onde esplorare quale velocita
di acqua si ricbiedesse per promoverle. In questi
I'acqua con la velocita di due migiia e mezzo alTora,
promosse e trasporto Targilla, la sabbia grossa, e la
minuta gbiaja: con la velocita di mezzo miglio all' o-
ra, trasporto la terra, ma non la piii grossa sabbia.
]Non si possono pero, a mio parere, applicare al cor-
60 de' fiumi si fatte esperienze, ne' quali 1' altezza e
mole del!' acqua, e i moti obbliqui, tanto nel ver-
so della lungliezza, quanto in quello della largbez-
za, quanto verso il fondo, dipendenti dalle penden-
ze laterali, fanno degli urti, per i quali si solleva
della torbida, e I'acqua non corre, soltanto striscian-
do sopra la materia del fondo e delle sponde.
3o. in qiiesto argomento degli efletti delle pen-
denze laterali puo insorgere una difficolta, ed e, che
la massa dell' acqua, la quale si move nel fiume per
il verso della lungliezza, trova sempre luogo da oc-
cupare, percb^ la precedente si allontana a misura
die discende, laddove nel verso della larghezza, poi-
clie ciascuna delle due parti dell' alveo destra e sini-
stra e occupata dall' acqua non resta luogo al moto
da un lato al mezzo della larghezza. La diflicoka pe-
ro si toglie rifletteado, che trattasi bensi di moti dai
PELLE SPONDE NEGLI ALVEI DE' FIUMI 2C)S
lati verso il mezzo, o anche talvolta da im lato ver-
so r opposta ripa, ma die questi componeiidosi col
nioto per il verso della lunghezza, soiio di direzione
obbliqua, e convergenti verso il filone che vanno a
formare. Non discoiiviene a questo proposito il para-
goiie di due fiumi confluenti in ini tronco comune, i
quali arrivando con quantita di aequa diverse, e con
direzioni convergenti, si uniscono ni un solo corpo,
acquistano una velocita coinune, e si adattano ad una
nuova, comune, e minore pendenza. La disuguaglian-
za pero de' confluenti induce nel tronco recipiente una
direzione di corso piii vicina ad una sponda che all'al-
tra, secondo la ragione delle masse, c delle veloci-
ta, e secondo la disposizione del fondo nel tronco,
ft)rmando un solo filone coll' incontro delle loro mas-
se da prima distinte.
3 1. E' relaiivo a questa considerazione il consl-
glio di dirigere le confluenze de' fiumi, che voglionsi
fare coll' arte, ad angolo acnto con la linea del cor-
so nel tronco recipiente. JNon gia che s' ignorino glL
esenipj somministrati dalla natura , di confluenze a
qnalunque angolo, ixon solamente acuto e retto, ma
anche ottuso; ma gli uoniini i quali non possono met-
tere a calcolo tutti gli element i, che entrano nelle
operazioni della natura, dt'bbono tener conto di quel-
le che possono in qnalche modo apprezzare. Per al-
tro dove si tratta della couflnenza di fiumi grandi ,
torhidi nelle piene, arginati, soggetti ad escrescfuze
non sempre contemporanee, qut-l consiglio non si puo
segnire, e il luogo e modo drila couflnenza e dispo-
8to dalla natura ben ampio, e tale si dee disporre
29^ S T R A T I C O
dair arte, sicclie il corso dfU' acqiia possa fjirsi per
varj angoli iielle diverse circostanze de' (iuini stessi. La
resistenza, clie la mole e la velocita delT acqua del
recipieiire, oppone alia mole e velocita delT iiilluen-
te, secondo i varj stati di piena, e di magra di cia-
schedimo: la posatuia della torbida, e raduiuimento
di materia in quella parte, ove la velocita per il con-
corso delle acqne si diminuisce, la qual parte non ha
situazione costante: la disposizione e pendenza late-
rale delle sponde del recipiente, per cui il maggior
corso si fa piuttosto alia ripa dalla quale esce 1' in-
fluente, di qnello die all' oppo^ta, o inversamente:
la proporzione delle portaie de' fumii in piena con-
temporanea, o in piena non contemporanea: i rigur-
giti del recipiente nell' influente promossi a varie di-
stanze, secondo la velocita varia di questo, e V al-
tezza delle piene di quello: I'urto dell'acqua nel so-
lido di angolo acuto compreso tra i due alvei nel luo-
go dclla confluenza, qualora cost vogliasi dirigere la
confluenza, violento alternaraente da una parte o dal-
I'altra, secondo che e alternamente in piena o I'uno o
I'altro fiume: la resistenza del suolo varia, disuguale,
o uniforme ne' dintorni del hiogo della conlluenza;
questi ed altri ancora sono gli elementi che si com-
pongono nel determinare la direzione da darsi all' in-
fluente, che non e mai quella prefinita dall'arte, a
meno che non si tratti di piccoli canali, regolati, di
acque chiare, oppure che 1' alveo non sia solcato in
un suolo ben saldo, ma un'altra la quale si couosce
soltanto dal fatto. Per la qual cosa il partito piu sa-
ne, ove si tratti di fare una nuova inalveazione e con-
DELLK SPOMDE NEGLI ALVEI DP.' FIU5II 297
fluenza di un fiume torbido, o torrente in un altro
maggiore e peremie, e di dirigere la prima linea del
flume da iminettersi ad angolo retto con la linea del
corso del recipience, preparando a quello con spon-
de o arginature bene disposte uno spazio abbastanza
ampio, aflinclic tra ({nelle stabilisca da se cpiella dire-
zione, die vuole il temperamenio delle niemorate cir-
costanze. Qualunque angolo fuori del retto sara casu-
almente stabilito; le declinazioni dal retto saranno
determinate dal complesso delle cagioni operant! so-
pra ri cord ate.
32. Non potendosi dnbitare, che dove si ha pen-
denza di fondo la forza di gravita non modifichi il cor-
so dell' arqua sopra di esso fluente, ed osservando in
molto numero di sezioni del Po, che V inclinazione
delle sponde trovasi di lo**, 14°, 1 5", 20° da una par-
te, e di 2", 4°, 5° dalTaltra, e che queste eccedono
di gran lunga le pendenze del fondo nel verso della
lunghezza, non resta luogo a dubitare della modifi-
cazione del corso dell' acqua dipendentemente dalle
medesime. Tanto piii riconoscendosi col fatto, che
r acqua discendente dalla sponda piu estesa sulla lar-
ghezza dell'alveo carica la sponda opposta, vi si rin-
serra e vi corrode il fondo e la base della ripa: e do-
ve le sponde sono egualmente inclinate verso il mez-
zo, restano salve entrambe dalle corrosioni. Dagli ef-
fetti grandi e discernevoli debbonsi arguire i meno
discernevoli, prodotti bensi dalle stesse cagioni, ma
opera nti con minore energia: e I'impulso dannoso clie
deteriora visibilmente una sponda per la troppo pro-
tratta inclinazione dell' altra dee convincere che la
298 Stratigo
pendenza laterale modifica il corso dell' acqua negli
alvei de' fiumi.
33. Si puo ricercare, se dallo scavarsl il fondo
vicino ad una ripa piii che all' opposta, derivi l" al-
zaniento di questa, oppure iiiversainente dall' alza-
mento di fondo da una parte dipenda la miggiore
profondita che si trova, o si forma nell'altra. 11 prin-
cipio delle pendenze laterali dipendenti dalla dispo-
sizione topografica de' terreni puo in moke occasioni
soddisfare alia ricerca. Ma perclie» non ostante q)ie-
sta disposizione, osservansi delle corrosioni e delle
hotte nello stesso Hume, tanto a destra, qnanto a si-
nistra, e in punti non molto lontani, conviene rico-
Doscere, che lo sviamento della corrente prodoito da
nuovi ostacoli, i qnali si formino da una parte del-
r alveo, e non siano distrutti dal corso dell' acqua,
puo portarla a scoprire un fondo cedevole dall' altra
e produrvi una maggiore profondita. Seconclo il pa-
rere di Viviani, la formazione delle lunate dijjende
da un prirno intoppo, in cui s' incontra la corrente,
di quella grossa materia, che per qualche accidente
di smottamento, o frana d' argini, o di ripe si de-
ponga piu da una parte che dall' altra, creandone
quel rialto, che gretto, piaggione, o renajo si doman-
da, il quale poi con la naiurale sua Scarpa, carica
la medesima corrente ad off'esa della opposta ripa.
Giudica Egli ancora, che vi abbia gran parte la pen-
denza del fondo, se sia molto grande, ciocche bea
corrisponde alle nostre conghietture, giacche posta
la medesima pendenza laterale, se si accresca la pen-
denza. uel verso della luughezza, tanto e maggiore
DELLE SPONDE NEGLT AI.VEI T)E FIUMI 299
r energia «on cui 1' acqua batte la sponda, e si pro-
duce la corrosione e la lunata, la quale si va iiiter-
nando, o si allunga sino a die V inqiulso dell' acqua
si equilihra con la tenacita e lesistenza del suolo,
op|)ure siiio a die con qualche presidio dell' arte sia
arrestato questo efletto.
34. Vi sono in fatti delle svolte ne' fiumi, le qua-
li si possono riguardare come srabilite, cioe tali die
si inantengono senza alterazione o deirimento dell' al-
veo, come per lo contrario ve ne sono di quelle die
continnamente si aumentano, e inducono gravi minac.
cie e danni. Alle prime non vi e motivo di fare al-
cuna alterazione, e, probabilmente, e per lo meno
superflna al sistema del fiume 1' operazione di rad-
drizzarle col taglio de' terreni. Ma alle svolte pro-
gressive, cioe a quelle che per continuata corrosione
insenano sempre [)iu nelle terre il maggior corso, se
non bastano i lavori, de' quali si dira tra poco, con-
viene provvedere coll' apertura di un nuovo tratto
d' alveo . Nel divisare una tale operazione, conviene
^esplorare diligentemente la direzione della linea del
nuovo alveo da aprirsi nel verso della lunghezza, on-
de non faccia angoli sensibili con le direzioni supe-
riore ed inferiore; studiosamente investigare le pen-
denze laterali de' fondi e sponde superiori ed infe-
riori all' alveo da escavarsi; e l' indole del suolo per
lb cui questo passar deve. Non basta la pianta comun-
que esatta del corso del fiume: ma ricliiedonsi le sc-
zioni, o profili di qualdie tratto d' alveo superiore
ed inferiore a quello da escavarsi, onde scegliere i
punti del principio e del fine del nuovo, ne'quaii la
300 S T U A T I C O
inegiiaglianza delle pendenze delle sponde non sia mol-
to graiide, seiiza di che puo avvenire facilmente, chc
dopo fatto il miovo alveo, si produca una nuova svol-
ta . Si troveia non di rado doversi principiare e ter-
miiiare il rettililo in punti diversi da qnelli che la so-
la ispezioiie dcUa pianta siiggerirebbe. E finalmente
la cognizione della narura del suolo sara di tutta im-
portanza, giacche convieue aver sempre presente, che
r acqua di un fiume non segue la direzione derivata
dalla sola gravira, comunqne modificata dalle penden-
ze laterali, ma insieine qnella che le e prescritta dal-
le varie resistenze del suolo che ella dee solcare. Non
ripetero qui la nota dottrina, la quale pero richiede
attente osservazioni, che alcune corrosioni e nascend
svoke si possono lasciar progredire, se non minaccia-
no situazioni gelose per altri rapporti , perche gia
trovano da se il loro limice a misura, die la loro
lunghezza, o ampiezza di giro si aumenta.
35. Ne' tratti dove 1' alveo del fiume e piii pro-
fondo da un lato che dall' altro con dilTerenza con-
siderabile, e percio il fondo discende da una ripa
air altra con molta inclinazione, la sponda corrispon-
dente alia maggiore profondita, non e solamente pre-
muta, ma anche percossa con maggior forza, e sic-
come si avverti dietro il sentimento di Cuglielmini
dee farsi 1' argine piii elevato di quello che alia par-
te opposta. Giovi a questo passo di ricordare la di-
stinzioiie degli argini, che fa Barattieri, dipendeiue
dalla osservazioiie delle pendenze laterali. Gii argini
giusta il di lui parere, sono o soprastauti, o laterali,
o soggiaceuti. Soprastauti sono quelli che seryono a
DELLE SPONDE NEGLI ALVEI DI.' FIUMI 3o I
liniitare le espansioni de' fmnii nelle piene. Tali so-
no quelli, die si formaiio nelle campjigrie, clistanti
dair ordinario corso del fiuine, e che lasciano uii
anipio spazio alle acque da espandersi nelle piene.
Laterali sono ({uelli posti lungo lo stesso alveo, asse-
condanti il corso del liume, ne' quali 1' acqua noii
esercita alcun impeto, nia li preme sokaiito, e vi pro-
duce qualclie soHVegainento. Finalmente soggiacenti so-
no quelli eretti dalla parte dove il fuiine ha maggior
fondo, nientre dalla parte opposta e elevato, e 1' acqua
discende con tnoto ol)l)liquo alia ripa di maggior fon-
do. Quesre arginature sono esposte al niaggiore peri-
colo, perche 1' acqua le investe obbliquaineute, tanto
nella direzione del corso, quanto anclie con niovimen-
to di caduta dalla superficie verso il fondo. Percioc-
che e ben vero, che 1' acqua corrente, con la picco-
la declivita di fondo, che hanno i fiumi in pianura
nel verso della lunghezza, preme il fondo e le spon-
de con forza poco ininore di c[uella con cui preme-
rebbe se fosse stagnante, e quindi che gli argini di
tutte e tre le suddette denominazioni restano sogget-
ti alia pressione tnedesiina per quanto itnporta 1' al-
tezza deir acqua che ad eisi si appoggia; ma sicco-
me la sola pressione senza energia di moto, e senza
direzione. di iirto, si equilibra con sicurezza median-
te la mole di terra configurata in argifie, cosi non
induce alcuu pericolo, se la massa delT argine sia be-
ne calcolata rispetto alia misnra della pressione, cioc-
che facilmente si sa dalla pratica; o facendo riparo
alle tra[)elazioni e alle maggiori vie d' accpia che si
aprissero. iVJa negli argini soggiacenti, la massa mag-
T II. P. IL :3a
3o2 Stratico
giore deir acqiia, che ad essi s' appoggia non e sol—
tanto preinente; essa e combinata con una foiza d'im-
pulso diretta alia loro base, e a tutia la loro super-
ficie.
36. Ho detto, che la pressione delTacqua e pres-
so che fguale ne' fiumi correnti, a qnella che si avreb-
be se fosse stagnaiue. Perclie considerando l' acqua
fluente come \\n grave che discende per un piano in-
clinato, e certo che la forza accelerarrice per cui e
soUecitata a discendere e alia totale della gravita, co-
me il seno d' inclinazione al raggio. Ora questo se-
no d' inclinazione e cosi piccolo a confronto del rag-
gio, attesa la teniie pendenza che hanno i letti de' fiu-
mi in pianura, la quale per lo piu non arriva a un
grado, che la massima parte della forza di gravita
s' impiega a premere. Al contrario la forza accelera-
trice della discesa si puo aumentare in modo che la
forza premente si annulli del tutto. L' acqua che in
molto volume cade da un' alta soglia si dispone in
una curva non sostenuta da veruna parte: alia qua-
le percio se si applicasse un letto con fondo convesso
della stessa curvatura, e con le sponde della stessa
figura di quelle che ha 1' acqua cadente dalla soglia,
e certo che la stessa continuerebbe a fluire, senza eser-
citare in quel fondo e sponde veruna pressione; pre-
scindendo ora dagli effetti del soffregamento, e dal-
r aderenza delle parti dell' acqua con le superficie,
al contatto delle qnali sarebbe.
37. E* un paradosso comprovato dall' esperienza,
che la pressione esercitata dall' acqna stagnante nelle
pareti di un vaso, si puo fare quante volte si vuole
DELLE SPONDE NEGLl ALVEI De' FIUMI 3o3
maggiore del sno peso, bastando per cio aumentare
la superficie delle pareti del vaso, senza \ariare I'al-
tezza delTacqua, e senza mutariie la capacita in piii
o in meno. In un vaso cuhico dell' altezza eguale
air uniia, la pressione clie V acqua esercita nella ba-
se e nelle j)areti e eguale al triple suo peso. Se cjue-
sto vaso si trasformi in un vaso parallelepipedo lungo
quaitrOj alto uno, largo uiv quarto, la sua capacita
e eguale a quella del vaso cubico, la base e eguale
a quella dello stesso vaso, e la pressione che esercita
r aoqua e eguale a cinque volte e un quarto il peso
deir acqua stessa. Questa proprieta del fluido non si
perde, nelle sue varie circostanze di moto, se non
quaudo la veiocita che gli si attribuisce lo riduce ad
una massa figurata, come avviene in urja caduta o
in un gerto, perche le sue parti non sono piii sciol-
te, ma riteuute in una figura costante dalle forze clie
loro vengono iinpresse. La pressione delP acqua in
un fiume e equilibrata dalla resistenza degli argini,
e (juindi r acqua di un aiigustissimo rivolo, poste
eguali le alti zze con quelle dell' acqua in un largo
fiunie, e posta in entrambi veiocita eguale, fa egual
forza di pressione in entrambi. Ma s' ingannerebbe
in (juesto confronto quello che non tenesse a calcolo
i moti obbliqui, che I' acqua acquista negli alvei lar-
ighi, per i quali esercita un' impuUione nelle sponde
|e negli argini. Poche zolie di terra rivolie col solco
[.di un aratro bastaiio a coutenere nell' alvf'O le acque
I che niinac(iano di traciiuare, quaudo non esercitano
altra forza (he di pressione; uoti cosi Sf le acque
ianche superficial] prendono per cjualsivoglia cagione
3o4 S T H A T 1 G O
un rorso obhliqiio contro fjuesti ripari del momento.
38. Non si flisoernono con la vista, per lo pivi,
le (lirezioni parricolari delle parti e delle masse ini-
Tiori deir acqna , allorche seguono insieme e si coiii-
poiigoiio con la direzione della niassa totale. Nella
superficie de' fiuini in istato ordinario o di raagra, nori
si scorge il moto clie deriva dalle pendenze lateral!;
essa apparisce uniiurme, piana, e si giudica anche oriz-
zontale da una ripa aU'altra. Richiedoiisi o grandi
masse di iliiido aggiunted'un tratto, o gradi di velo-
cita iiisigiiemente accresciiita o dirainuita, -come avvie-
ne per una rotta d' argini, per iscorgere anche nella
superficie i moti obbliqui. Cosi se da un vaso ri pie-
no si faccia uscire V acqua per uno o pin fori aper-
ti nel fondo e nelle pareti, e certo die si producono
nella massa contenuta nel vaso moti di direzioni di-
verse, e non pertanto la superficie discende nel va-
so, conservando apparentemente la sua posizione oriz-
zontale, ma che non e tale, come si fa evidence se
i fori si facciano maggiori, o se si osservi la superfi-
cie abbassata a certo segno nel vaso, mentre allora
si scorge piu bassa nel mezzo che ai lati. Queste dif-
ferenze di livello, e questi moti nelle masse d' acqua
che formano un continuo, ancorche non si discerna-
no con la vista , pero si deducono con la ragione.
1 moti delle acque nella laguna e canali della Ghtk
di Venezia presentano un fatto che fa a questo pro-
posito. Un argine ben hingo fatto dalla natura e cor-
roborato dalP arte, separa la grande vasca della La-
guna dal mare, Nel restante del suo perimetro ^ con-
tornata da terre. In questo argiue vi sono delle aper
r
DELLR SPONDE NEGLI ALVEI PL* FIUMI 3o5
ture, die diconsi i porti. Entra 1' acqua per ciascn-
no di questi col (lusso del mare, e a inisiira della
quantita die entra essa si esteiide sino a certi coiifi-
ni, giunta ai quali s' incontra colT acqua die entra
dai porii pin viciiii. Da questi confini, che chiarnan-
si partiacqua, nel riflusso discende V acqua cd esce
per i porti. Le direzioni di questi moii si rilevano
bene dai coiidoitieri delle barche per le resistenze o
facilita nel progredire, ad occhio noii si rilevano, e
diinostrano, come nella stessa continua massa di llui-
do si prodncano mori di diversa direzione. Ma anco-
ra la corrente cosrante del mare adriatico per cni ra-
dendo i lidi della Dalmazia e dell'Istria, si volge poi
segnendo i lidi della Roniagna senza mancare nella cal-
ma, e senza essere turbata dalla marea, ne dai ven-
ti, dimosrra che vi sono dei moti particolari nelle a-
cque, e diversi da quelli della massa generale.
39. Ci guida questo argomento a digredire per
poco, sopra un fatto che puo essere sorgente d' er-
rore, qnalora si presnma di giiidicare con la sola vi-
8ta dei moti ddle arcpie. Quando 1' alveo di un fiu-
me e attraversato da una o pin pescaje po?te a cer-
ta distanza tra di loro, e il letto sia di uniforme in-
clinazione dall' una all' altra, ma dopo ciascuna pe-
Bcaja sia pin basso quanto e T altezza della pescaja,
r acqua magra, o ordinaria, che per esso scorre, ma-
nifesta col salto, o raduta da ogni pescaja la dille-
rente profondita del letto, raggnagliata ad una data
orizzontale. Se le |)escaje sono ben alie, questo salto
61 vede nelle magre e nelle piene: ma se le pescaje
eiano poco ahe a coufronto dell' altezza delle piene,
3o6 S T K A. T I G O
come aU'incirca un decimo di queste, quel salro nel-
le piene non si discerne pin, e pare die la superfi-
cie del fiume sia parallela ad un letto di unifornie
pendenza, perdeiidosi ogni indizio deH'ostacolb delle
pescaje. Questa osservazioiie ha iiidotto alcuni a giu-
dicare, che in questi casi le pescaje non solamenre
non portiiio V abhassamento del fiume nel tratto ad
esse inferiore ed effetiivamente piu basso, nia lo tea-
gano a quell' altezza che avrehbe, se scorresse per
una linea di fondo, la quale fosse condotta per i ci-
gli di tutte quelle pescaje. Che questo sia un crro-
pe, facihnente si dimosira. Perciocche, supposto che
tutte le pescaje riducansi ad una sola eguale per al-
tezza alia somma loro, e il letto sia abbassato come
sarebbe dopo 1' ultTma pescaja, e certo che 1' acqua
dopo la caduta si ridurrebbe all' altezza che le com-
pete per il suo volume, e per le condizioni dell' al-
veo, la quale sara tanto inferiore, rispetto ad una da-
ta orizzontale all' altezza dell' acqua sopra la pescaja,
quanto e 1' altezza della stessa pescaja. Ora non vi e
alcuna ragione, perche un eftetto cosi essenzialmente
di verso si debba avere dalla caduta che segue per
pill pescaje tra loro distant! , o ridotte ad una sola
eguale alia somma delle altezze di quelle. Si sa, che
ogni pescaja, la quale attraversa un fiume si dee ri-
guardare come il termine di quel fiiuue, e il princi-
pio di un nuovo fiume, nel quale 1' ac(fua accpiista
quella velocita e altezza, che sono relative alia sua
mole, e alle circostanze del nuovo alveo. Quindi po-
sta la stessa mole d' acqua, e le medesime circostan-
ze di pendenza, larghezza, e conformazione deli' al-
DELLE SPONDE JJEGU AI.YEl DE* FICMI 3o7
veo, non piio cader tliihbio die 1' altezza dell' acqua
non si stabilisca nel tronco inferiore alia pescaia, co-
me e siabiliia iiel superiore, e percio sara tanto piu
bassa rolaiivamonie ad una data orizzoiiiale, qnatuo
e pill basso I'alveo nel quale essa cade. £' uu equi-
voco qufllo che si prende giudicando a vista V anda-
niento del Hume in piena sopia le pescaje, nel qua-
le e soppresso il salio dell' acqua . L' equivoeo e si
maiiifesta coll' esperienza istituendo la livellaziooe, e
si toglie con la ragione. L' acqua che cade dalla pe-
scaja perde per un nionuMito il suo moto progressivo,
e si alza a maggiore altezza di quella a cui si dispo-
ne in progresso. Questo adunamento e altezza mag-
giore deir acqua caduta e maggiore se il fiume sia
in piena, e quiudi apparentemente ma non realmente
si sopprime il salto che si vede, quando il fiume ha
poca acqua .
40. Kitornando al nostro argomento delle pen-
denze laterali, si puo avvertire che la pratica ha sa-
puto profittare de' Aioti obhhqui che dalle stesse de-
rivaiio. Le pescaje che si costruiscouo attraverso de'
fiumi, obblique alia direzioiie del loro corso, e col ci-
glio incliuato all'orizzonte verso una delle loro estre-
niita, servono per aumenfare I' erogazione disposta e
aperta da quella parte, dove il ciglio e piu basso; op-
pure a rerjdere piii attiva qualchc niacchina piautata
alia stessa parte. Le serre ricordate da Viviani nel
canale d' Amo. con la cresta tanto depressa nel mez-
zo, che per la lunghezza di 40 braccia non si si'lle-
vasse punto sopra il piano o fondo naturale del let-
to, ma fuori di questo tratto andassero soavemente
3o8 S T R A T 1 C O
slzandosi dalle parti con poca si, ma egiiale salita sl-
no alle sponde laterali , non solamente manifestano
coll' esperienza I' elfetto delle laterali pendenze, ma
introducono ancora a ragionare iiitorno ai ripari che
si i'aiiiio, o far si possono ai fiumi per procurare una
difesa piu permanente contro i damii che derivano
dalla percossa delle acque correriti tielle sponde.
41. La cnstodia e governo de' fiumi per la mas-
sima parte consiste nel prevenire le corrosioni, nel
iVenarle, nel sanarle. Ne' fiumi arginati un modo di
provvedere a questo danno e di scaricare e riburtare
1' argine, lo che sigiiilica ricagliare una parte della
sua laro;hezza dal laco del fiiime, coininciando da una
linea lontana alcuni piedi dal ciglio, e ad esso pa-
rallela, o a un dipresso tale, sicche V argine acqui-
sti una Scarpa inclinata, e la terra che si move ser-
va ad iiigrossare l' argine verso la campagna. Con cio
non si fa un rimedio radicale, ma si obbedisce aH'an-
diirnento del finme, cedendogli a poco a poco il ter-
reno, sino a che la corrosione col prolungarsi trovi
un limite^ e cessi di per se, o qualche fortunata coni-
binazione di materia raccolta di niiovo in qualche
parte dell' alveo allontani il corso dalla linea corro-
sa, o se cio non accade ed insiste il danno, vi si
opponga coir arte un o«tacolo piu robnsto. Questo
metodo giova assai volte, e si combina sempre con
le vedute economiche.
42. Un altro modo e di cedere alia bella prima
il terreno al fiume, e di costruire un argine all' in-
dentro a certa distanza, rhe suole chiainarsi argine
di ritiro, o corouella, sulla lusinga che la corrosio-
I
DELLE Sl'ONDE NEOH ALVEI DE' FIUMI 3of)
ne trovi iin limite prima di giungere al piede dell'ar-
gine. Questo ripiego g piu dispeiidioso e piii sicmo,
nia noil piu radicale del prccederite: cgli e soltanto
diretto ad ottonere una dilazione <lc'lle inaa^'ori ro-
vine, talvolta foituiiata, o ad iscliivare il piu di>peti-
dioso partite, e di esito incerio de' tagli e raddrizza-
menti dt'U'alveo. Dico d'iiicerto esito, perclie, come
ho di sopra avvertito, tiou basta cl»e il rcttifllo com-
Lini bene in pianta con la direzione del tronco sii-
periore e inferiore, ma im porta die le pendenze la-
terali delle sponde delT alveo superiore ed iniVriore
corrispondano, senza di clie la dispendiosa opera del-
r inalveazione nel rettifdo escavato, non riesce con-
forme alle speraie conseguenze, posto ancora clie I'in-
dole del suolo non opponga ostacoli. Cosi a cagione
d' esempio,'^e si trattasse di provvedere radical men-
te alia corrosione e svolta di Po alle Saline, dove e
insigne la profondita verso la ripa sinistra, e dove
senza il dispendiosissimo riparo del molo di sasso ivi
formato, avrebbe gia cpiel gran fmme portata la de-
solazione alia Provincia aggiacente, f'acdmenie si con-
clnuderebbe dalla pianta, clie con un taglio di meno
clie un miglio di Itmgliezza, si potrebbe raddrizzare il
corso e rogliere il pericolo di (juella corrosione, la
quale e frenata soltanto con la lurza. Ma se esami-
nando V alveo di Po, supenormente al principio del
miovo tag'io rettilineo si irova?se, die la pendeuza
laterale del suo alveo fosse dalla destra alia sinistra,
e cosi anche al termine dell' idcato taglio, conver-
rebbe allungare la linea delT inalveazione, o anclie
abbreviarla , perdendo piuttosto ni (|ualcbe parLc la
1 . n. p. 11. 39
3io
T n A T ICO
direzione rcttilinea, di quello clie lasciargli Tintrinse-
co difetto di piegare col corso alia sinistra. Oltreccio
in quesd casi conviene avvertire quale sia V indole
del suoloj mentre se questo e formato -da colmate del-
lo stesso fiume sopra fondi di antiche valli, e mal
fermi, la velocita accresciuta con i rettifili, puo snu-
dare la base degli argini, die ne costituisce la loro
maggiore sicurezza.
4.3. Un' altra classe di lavori per difendere gli
argini e le ripe dalle corrosioni, comprende le ope-
re die diconsi mniiienti, e consistono in rinforzi die
si fanno alia base dell' argine nell' alveo con mate-
riali immersi, resistenti piu o raeno all' azione del-
r acqua corrente. Ogni paese, per cosi dire, ha so-
praccio le particolari sue pratiche, relativamente ai
fiumi die per esso scorrono, additate dall' esperienza,
dair indole delle niaterie piu facili ad ammannirsi, e
specialmente dalle mire al risparmio, rtstando sem-
pre la lusinga, che possa il fiume da se abbandonare
jl corso danuoso. I buzzoni, i fagotti, i fassoni, i gabbio"
111, i volparoiii, le volpare, i cantoni di sasso, il sasso
sciolto, sono i materiali die si profondano alia base
degli argini, e delle sponde corrose, per non cedere
al fiume. JNessun materiale pero e piu atto del sasso
per tali ripari, perclie ne si strugge, ne e trasporta-
to dal corso dell' acqua, come succede degli altri,
formati con la terra, e legname, andie se la terra
che s' impiega sia cretosa e lenace, come d'ordinario
si prescrive die sia. 11 sasso tutto al piu per debo-
lezza del fondo puo abbassarsi, e discostarsi alquan-
10 dalla ripa, ma serve sempre di base a quello che
yi si sovrappoue.
PELLE SPONDE NEGLI ALVEI De' FIUMI 3i1
44- Un altro riparo muniente che si pratica coa
ottimo eHetto, e di vestire le ripe e gli argini dalla
parte del fiuine di piante vegftanti e pieghevoli, le
qiiali rintuzzano ahjuanto la forza della correiue vi-
ciiio alia siiperficie die si vuol difendere dalla corro-
sione, e soflermaiio della torbida, che se e soverchia
si scarica coll' opera degli uornini. JNon si pu6 abba-
stanza commendare questa maniera di difesa, parti-
colarmente dove qiieste piante felicemente vegetano,
e con le loro radici rendono il terreao delT argine
piu resistente alle corrosioni. Per altro non sono piu
che nninienii, e mal si avviserebbe chi giudicasse
che potessero resistere all' urto diretto della corren-
te.
45. Ma ne' fiumi maggiori, e dove Y inclinazio-
ne laterale dell' alveo per liuiglii tratti fa si che la
corrente percuota le ripe, e niinacci piii gravi peri-
coli, debbono aver luogo le difese dette propriamen-
te respingenti, che si conoscono con i nomi di pi-
gnoni, speroni, moli, pennelli, traverse. Sebliene que-
sto argomento sia ampio, ne io rai avvisi qui di trat-
tarne in tutta la sua estensione, tuttavolta non e fuo-
ri deir argomento di questa ineinoria lo spiegare il
rapporto clV esso ha coll' osservazione delle penden-
ze laterali . Le piii pericolose corrosioni succedono
sempre, dove la sponda si estende da una parte nel-
r alveo, e dall' opposta parte e ripida, con fondo
maggiore, e il corso pin forte. Quindi il provedimen-
to piii diretto dee esser quello che puo diininnire la
profondita, e allontatiare il corso determinandulo a
farsi per una liuea piii lontana dalla sponda, e \€v-
3ia S T 11 A T I C o
so il mezzo lUlla larghezza deiralveo. Ora il corso
deir acqiia in mi fiiune si pao considerare nella di-
rezione dimostrata dalla sua pianta, e nella direzio-
ne pill occulta, e noti meno ellicace dipendente dalla
ligura delle sue sezioui, dalla quale nou si dee giain-
mai jiresciudere. Perciocclie se le tortuosita deli' al-
veo dimostrate dalla pianta non sono coinbinate con
la molto disuguale iuclinazione delle sponde, esse so-
gliono essere inuocue e indifl'erenti, e ogni artifizio
e lavoro per toglierle, e^ se non , dannoso, alineno
vano e inutile al huon sistema del fiume. In fatti
non po^souo non aver o?servato i pratici, die vi sono
delle svolte e storte stabilite e peiinaiienri ne' fiuini,
le quali ne si aumentano ne indiicono pericoii: come
per lo couirario che vi sono dei diizzagni, ne' quali
si hanno minaccie e danui di corrosioni, e che tut-
to dipende dalla disposizione del fondo e delle spon-
de. Per la qual cosa si dee compreiidere, che V ef-
fetto degli ostacoli respingenti non dipende soltanto
dalla direzione della corrente nel verso della luti-
gliezza, ma principalmente da quello stesso compo-
sto col moLo nel verso della larghezza, per cui sono
percossi gli argiiii e le ripe secondo l' angolo d'iuci-
denza, e iusieme cou direzione obbliqna all' orizzoii-
te verso la loro hase. Giovi raflermare questa propo-
sizioiie osservando, che si costruiscono lalvolta de'
nioli, o pennelli per auimare il corso di un fiuuie,
per uno de' due rami, ne' quali si divide e va a cir-
condare un' isola, e che ne e abbandouato: oppure
per determinare la corrente in un alveo di rettilica-
zioae escavato di nuovo, onde resii abbandouato quel-
J)ELI.E SPONDE NEGLI ALVEI DE' FIUMI 3i3
lo per cui da prima scorieva, e the si vuol soppri-
mere. 11 desiderato efletto in amendiie questi casi si
ottiene piu o ineno, noii gia in ragione dflla dire-
zione piii o ineno coiiservata della liiiea di lunghez-
za, ma esseiizialinente, secondo che il maggior foiido
del tronco c dalla ])atte dell' alveo che si vuol ani-
mare, oppure dalT opposta: ferma restando sempre
la massima di hen osservare V indole del suolo, dal-
la quale dipende ciie la direzione del corso sehbene
dipenda dalla foiza sollecitante della gravita, si mo-
difica pero dalle varie resistenze del suolo. La sab-
bia, la ghiaja, la terra sciolta sono superate e rimos-
se dal corso delle acque, e per c[neste materie essa
si la strada: I'argilla, la creta,il terreno tenace del
foiido dflle valli non si snpera dal solo corso, e ha-
sta Cjuesta sola dilferenza di suolo a rendere vane le
operazioni di qualche rettifilo.
46. Se nel caso di grande disparita di pendenza
delle due sponde, fosse possibile di riempiere lo spa-
zio del maggior fondo in niodo, clie da questa stes-
sa parte si vcnisse a formare mia sponda inolto ine-
no ripida, anzi inclinata a modo sicche andasse ad
incontrare il letto del fiume in un pnnto della lar-
ghezza notahilnienre distance dalla ripa, e verso il
mezzo: e che questo riempimento fosse di tale mate-
ria, sicche la corrente non valesse a distruggerlo o a
sovvertirlo; e cerio (he si otterrebbe un alveo abba-
stan/a regolare, e che le sue lipe e le sue arginatu-
re riuscircbbero difese, e anche iminuni dalle botte,
e dalle pericolose corrosioni. Questo riempimento a-
vrebbe la figura di un solido prismaiico triangolare,
3i4 Stratico
un angolo tlcl quale occupcrel)l)e il maggior fondo,
una facciata dello stesso sarehbe applicata al letto
del inline dalla sponda verso il mezzo, im'altra fac-
cia sarebbe applicata alia sponda, e la terza faccia
fornierebbe il nuovo fondo del fiume, sul quale scor-
rcrebbe Tacqua con la tendenza verso il mezzo del-
la lars>;liezza. INIa in fiume 2;rande, e di molto fon-
do, un tale riempimento continuato per la lunghez-
za di una lunga svolta e corrosione, e opera da im-
maginarsi piuttosto clie da proporsi per eseguirla,
non essendo le forze de' paesi bastanti a lavori di si
grande importanza. Quindi e derivato lo studio per
iscoprire, o tentare almeno, se dividendo la massa
totale del solido di riempimento in varie paiti, distan-
ti tra di loro a certi intervalli^ si possa ottenere dal-
la posizione successiva delle stesse;, die la corrente
si porti pill lontana dalla sponda, e quindi si pro-
curi una piu efficace difesa dalle corrosioni. General-
mente parlando, e questo il fine per cui si costruis-
cono i moli, i pennelli, i pignoni, 1' efTetto de' qua-
li dee risultare tanto dalla deviazione del corso nel
solo verso della lunghezza dell' alveo, quanto dalla
deviazione nel verso della larghezza, trasportaudolo
dalla vicinanza della sponda verso il mezzo dell' al-
veo. Conviene percio considerare la figura, e le di-
mensioni di tali parti del riempimento, T intervallo
dair una all'altra, 1' angolo al quale debbono dispor-
si con la sponda, e il materiale per costruirle. Non
e gia che il fiume talvolta non abbandoni di per se
cjualche dannosa tendenza, particolarmente dove I'al-
vpo e moltp largo, dove nelle piene si forniano d©
BELLE SPONDE NEGLI ALVEI VL FIUMI 3l5
filoni secondarj, e si trasporta per avventura della
materia in situazioni utili, senza clie vi contribuisca-
110 piinto le operazioni fatte dagli uomini; ma sopra
qaeste casualita fortunate, non si dee prudentemente
operaiido, fondare veruna lusiiiga.
47. La figura di tali parti del riernpimento poc'an-
zi coiisiderato e quella di un solido cuiieif'orme , il cui
asse di lunghezza e ad angoli retti con la direzione
della riva, o della sponda. Le sue facciate laterali so-
no a Scarpa, con base quanto si puo, maggiore dell'al-
tezza. Quella facciata laterale cbe e opposta alia cor-
rente comprende con la sua linea di direzione un an-
golo retto con la direzione della sponda: I'akra facciata
laterale comprende con la sponda un angolo ottuso.
L'altezza del solido alia riva e di una misura media tra
I'altezza delTiicqua ordinaria del fiume, e Taltezza del-
le sue piene. Questa altezza va decrescendo, per I'in-
clinazione della facciata superiore dalla sponda verso
il mezzo dell'alveo. La figura del solido si va stringen-
do dalla sponda verso il mezzo, attesa la direzione
che si indico delle due facciate laterali. Essendo ogni
fiume piu lungo tempo in istato di acqua ordinaria
o di magra, cbe in istato di piena, V elfetto di tale
ostacolo sara contiinio, per deternnnare il corso verso
un punto piu distante dalla ripa . Con tale disposi-
zione di ripari si moderano, se non si scbivano del
tutto due gravi inconvenienti, che s'incontrano nella
costruzione de' })ennelli tenuti ad eguale altezza in
tutta la loro lunghezza, e con le facciate verticali.
Uno di questi inconvenienti e quello de' moti vorti-
[cosi che prende 1' acqua, superata che abbia I'estre-
3l6 S T R A T I C 0
mita de' pennelli, nello spazio che e ad essi imme-
diatainente inferiore : T altro e qiiello della caduta
deir acijua dall' altezza del peiuiello, quaiido la ple-
na lo supera. 11 primo di questi inconveiiienti e dl-
uiinuito , perclie 1' acqua non si volge con tutta la
sua massa sostenuta dal pennello soltanto all'estremi-
ta del rnedesimo, ma da ogiii panto della sua lun-
ghezza e quindi da aitezze diverse, e a diverse di-
stanze dalla ripa, ne puo unire le sue forze a fbr-
niare il vortice, come succede, qnando superato un
ostacolo verticale discende da tutta la sua altezza, e
si volge verso lo spazio inferiore al pignone . U se-
condo inconveniente e in gran parte diuiinnito dalla
Scarpa laterale del pignone opposta al corso, la qua-
le nou solamente scema 1' elTeito nocivo della cadu-
ta, ma per la sua posizione relativanieute alia I'ipa,
volge il corso non verso la stessa ripa , ma verso il
mezzo deir alveo, combinandosi con quella direzione
che r acqua puo prenderc disceudendo dalla l\iccia
iuclinata superiore del pignone.
48. la lunghezza da darsi al solido cunei forme,
e la distauza dall' uno all' altro nella linea della ri-
pa, hauno tra di loro nno stretto ri[)porto. Siccome
lino solo di questi ostacoli non [)u6 provvedere ad un
tratto assai linigo, cosi h necessario combinare I'azio-
ne successiva di parecchi simili ostacoli , osservando
qual tlletto prodnca la lunghezza a tiascuno di es-
si attribuita ])er accrescerla poi secoudo che risiilta
dair osservazione. Per gV iutervalli tra questi ostacoli,
conviene dipendere tlall' o^^servazione dell' andamento
della corrosione. Perciocche o questa segue a un di-
DELLE SPONDE NEGLl AI.VEI DI,' FlUMI SlJ
presso la linea della ripa, producendo bonsl un frol-
do, ma senza notabile insciiatura, oppure al contra-
rio s' interna nella rii)a, e vi produce qualche Inna-
ta. Nel prinio caso i pignoni potranno essere a distan-
ze maggiori: nel secondo dovranno essere piii vicini.
E la misiira poi di tali distanze si dee desurnere dal-
le particolari circostanze particolarniente delle pro-
fondita, le cpiali si dovranno superare dalla lunghez-
za de' plgnoni.
49. 11 primo pigtione e da costrulrsi al principio
della corrosione; e qnesto si deterniina con lo scan-
daglio, il quale addita il fondo maggiore. La larghez-
za e la massa di questi pignoni dee essere tale, on-
de resistere aH'urto dell' acqua, sicche ne la rovesci,
ne la disciolga . I pignoni di sasso sono da prefcrirsi,
dove la difesa sia di grande momento, o dove il sasso
non porti ad un grave dispendio. ]\la questa secon-
da coi.dizione e cosi rara, die la composizione de'
pignoiii si suol fare di buzzoni, o fascinoni, disposti
a strati ed assicurati con pali fitti nel fondo per gl' in-
feriori, e in questi per i soprapposti, ripieni di creta,
e qualche qnantita di sasso, legati fortemente all'in-
torno: e coperti di sasso, particolarniente alia loro
estremita, dove per la figura cnneiforme riescono piii
estenuati . Ma il quanto di tuite queste niisure e
sempre oggetto dclle particolari circostanze, dalle qua-
li risulta la piii giusta estimativa. II mio divisanien-
to e di mostrare, come a combinare i moti dipenden-
ti dair inclinazione laterale delle sponde, col moto
delle acqiie di un liume nel verso della sua lunghez-
za, la figura descritta e la costruzione de' pignoni
T. il. p. II. 40
3ia s T
U A T I C O
indicata sia per riiiscire utile ed cfTicace ad arresta-
re il pro2;resso delle corrosloni .
5o. Dopo cio non e da tacersi il sentiinento di
Barartitri , il <piale ancorche non condanni alYdtto
r uso de' pennelli e do' pignoni, non e pero incli-
nato ad attribuir loro inolta efficacia. Dopo aver E-
gli addotto varj esempj di simili opere fatte snl Po,
e snir Adda, le quali non riuscirono uiili, conchin-
de che il mile cagionato dalle corrosioni de' fiuini
sia imniedicabile; e che dove si mostra che i pen-
iielli hanno fatto conseguire I'effetto desiderate, con-
viene sapere, che quel sito fu piuttosto abl^an lonato
per gli efletti della stessa acqua^ che perche lo al)hia-
no forzato le armature delle sponde. Anche Gnglielini-
ni in qualche occasioni paleso la sua ripugnanza a *i
fatte difese. Quando Egli fu consultato per alloutanare
i pericoli minacciati dal Po alia Citta di Piacenza,
pronnncio nella sua Scrittura del 1697 cosi: „ nel case
iiostro nel quale a mio giudizio e possibile col toglie-
re la cagioue, di esimersi dai mali edetti della cor-
rosione, non sarei mai autore che si mettessero pen-
nelli di sorte alcuna, che poi fmalmente sono tutti
rimedj provvisionah ; ma beusl che si applicasse all'e-
scavazione di im taglio , il quale quand' anche riu-
scissc piu dispendioso de' penuelli, o d' altri lavori,
il che non credo, porta tuttavolta il vantaggio di a-
ver rimediato per sempre. „ Se non che si puo os-
servare esservi molta dilVerenza tra la costruzione de'
moli, o peunelli diretti a respingere e forzarc la di-
rezione del corso dell'acqua, e la costruzione delle
descritte masse cuneiformi ordinata a condurre il cor-
DELLE SPONDE NEGLI ALVEI De' FIUMI Sig
80 senza violenza verso il mezzo dell' alveo. Vediamo
coir espericDza, che i trouclii d' alberi forniti de' lo-
ro rami e destramente immersi ne' maggiori fondi vi-
cini alle ripe corrose, arrestano i dannosi effetti, fa-
voriscono le deposizioni delle torbide, e sanano tal-
volta delle corrosioni che sembravaiio minacciose. Ser-
vono con pari utilita i cavalletti fonnati con legname
a guisa di due piramidi triangolari conjugate al loro
Venice, i cpiali o y)er il proprio peso specifico mag-
giore di quello delTacqua, come se sono fatti di ro.
\ere, o per il peso aggiunto di sassi, si affondano, e
per la loro figura, iu cjualunque posizione si trovino
hanno moka stabilita . Questi artifizj , come anche
quelli di riempire i fondi alia base delle arginature
in froldo, con sassi, o con altri materiali pesanti, so-
no mezzi spediti, e si adoperauo con frutto , per co-
minciare quel riparo che portato a maggiori misure
si accosta a restituire alle sezioni dell' alveo quella
rcgolarita di figura, dalla quale dipende la maggiore
dif'esa dalle corrosioni. Nella difficile arte del gover-
no de' fiumi maggiori, si puo bensi non avere pep
dimostrare, in senso geometrico, alcune delle opera-
zioni, che si propongono e si eseguiscono, sicche si
possa rispondere del la certezza dclT esito, ma non e
poi da ridursi la cosa a tale, che si dehbano aspetta-
re dair eventualita gU effetti che si desiderano. Noii
e sempre sicuro 1' elletto de' pignoni, uon e sempre
possibde, o utile il riiiro degli argini, non e assai
volte prudente 1' attendere, che la corrosione la qua-
le covniucia, giunga al suo limite per reudersi inno-
cua, non e sempre certa la riuscita delle nuove iual-
320 Stratico
luili osservazioiii. Fungar vice cotis
veazioni col taglio delle svolte in corrosione.
5i. I pigiioni cuneiforini, de' quali si e detto , |
non sono gia uii ariilizio nuovo. Si sono adoperati, :
e si adoperano con profitto particolarmente in alcuni j
trard del corso del Po, nel JVIantovano. 11 loro buoa '
effetto appoggia cio die si e esposto intorno alle pen- i
denze laterali degli alvei dei fiuini, argomento die
per la complicazione de' suoi elementi non ammette ^
come nessun altro di quelli die appartengono al go- j
verno de' fiumi un rigoroso, e insieme utile ragiona- ^
mento mateniatico, e die non pertanto puo sominini- ?
strare agli uomini d' arte Toccasione d' istitiiire delle
i
.\ I
Pag. 320. Tav. I.
Le pertiche sonoVenete di sei piedi Tuna; i piedi di once dodici.
■'■0
all lie' tronchi A , B , e liraccui iiel troii
fitu con uii punto dalla seconda che si;^ni-
andasti iono datinti unu dull' altro con
\e dalla lijia ileslrn verso it inagi^ior Jon- Profonditu progressive dalla ripa sinistra verso il maggior fon-
distanze eguait nclla linea della sezione . do , scandagtiate a distunze eguali iiella linea della sezione .
til e espressa con due ci/re nunieriche ; la Ciascuna profonditii, e espressa con dm ci/re numeriche : la __
prima signijica piedi iie' tronchi A , B, e iraccia nel tron-Ji^
CO C , ed e disgiunta con un punto dalla ci/ra seconda che
signijica once . Gli scandagU sono distinti una daW altro
con una vir"ola .
4i9.7.'<'.9i".<'.".8,iJ.o,i5.4,i3.9,i4.4,i6.i,
i,9,i9.o,8,s,6,ii,ii.8,ii.4,aa.io,ij.a
5.3,0.2,ii.o,3.i,5.6,4.o,4.<),5.3>5-<'.7'^.*-o.9.8. j 8.5,J4.^,3».u
y.4.30-*.3»-o.3»-"
».<i,j.9,3.i,3.lI,4.S,5.9,6.8,is.»,iy.6,a3.6,i^.o, 14. 3,17. if, 39.1 1,30.0,30.0
.n,i. 1, 1. 4, 1. 5, 3. 3,5. 8, 19. 6,13. 7, 14. 5, as. 3, 27. 3, i3.6,35.6,a8.o,a8.o
4.4,17.10,19. 0,30 .0,30.0, ao. 9, ao.fi.aa.C
4.G,7.io,io.o,n.a,i3.ci,i3.3,i3.io,i4.3,i4.7,i5.9,i6.4,i7.4,i9.6,ao.o,
3o.a,ao.O 33.6
^7..^. Le pertiche sono Venete di piedi sei I'una: il piede e d'once 12.
Pi« .1 t lull Jl IIRI
1. 0,1. 4, 1. 10, 1. 4, 1. 7. a. 1.3.4, a. 1 0,3.6,1.10,4. a,
'4.6.'5.3.'7-7,i9.0i'9.6,30.o,ai.6
19.6,21.6,20.1,19.6,31^6
«vv%MA^^A^^Ar%«M^%t^
>^-'%%%^-%%;^^^^,^^^^,
Pag. 320. Taij. 1.
f " "iiiento del Basso Po, lungu secondo la ii[>a desira pertiche 3o2: secoiido la ripa sinistra pertiche 282. Le pertiche sonoVeneie di sei piedi I'una; i piedi di once dodici. %
M
0 dine discen-\ tie a fior d' acaua or-
f
0. ihttte d'maria
^faggior fondo delh
sezione
''■"•'■--■' -I'l "■nes.or D,,,„,„ j^.^<
del maggior l)iilan2a delta sezio-
ne sii>sfgiiente dalla
prccedente presa lun-
go la rij>a deiira
Distaiza della sez'to- Atigolo d' inclinazione Angola d' incliiii'zione
ne siissegucnte dalla
preccdtntf presa tan-
go la npu iiriisira
all' orizzonte della
sponda destra
all' orizzonte della
sponda sinistra
2.19 4.4
Peniclie ii^ Pertiche i ^.o
t-t
26" . 34'
rjo it maggior Jon- Profondita progressive dalla ripa sinistra verso il maggior fon~j
I rofonaitti pro^re i iia ripa dcsi.-, vn.ju >i, .,„,^^iir, ^i.rj,-* ...^u.nnn. ^.i.^.tjjiuo uuim tijii* immra verso ii rnageior ton~^
dii SLU'tdagtiiite a dutunze egualt netta tmea delta sezione . do , scandagliate a dislanze eguali nella Itnea della sezione .%
Ciascuna profondita e espresso con due ci/re numeriche ; tit Ciascuna profondtt^ « espressa con due cifre numeriche ■ la9
prima sisnijica piedi ne' tronclii A , B , e braccia net tron
CO Gi ed i: disgiunta con un punto dalla secoiida eke signi
pea once . GU seandagli iono distinti una dull' altro con
una virgola
Ciascuna profondttd. e espressa con doe
prima signijica piedi ne' tronc/ti A. , B, e Iraccia net tron-J^
CO C , ed e disgiunta con un punto dalla cijra seconda che^
lignifica once. Gli scandagU sono distinti una da W altro ^
con una virgola , 5
i.io,5,8/i.3,C,9,5.4.S.*,9.7,icj.9,ii.o,ii.B,i3,o,ij.(,,i3.9,i4,4,i6.i,
i7.3,ia.iiao.n,»i.Oj»*«ti|>3.a
i.io,».o,».a,>.4.'J'='*S-J'fi->.Ii.o,j.t,j.0.4.o,4.li,5.3,S.8i7->,'-o.9.*
I4.0,i6.a.i8.0,as.-i.i9.4,jo.6,ja.o,3a.ii
. I), 19,0,8.5,6, 11,1 1. 8, a 1. 4, a a. 10, a j.i
l\ 33
P'. 3i
P«. Sii
. 32'
14". 3'
37.7.39.000-0.50.1
I.J.(l,l,9,J.l,J.ll,^.5,5.^,,(i,8,l5.l,l•^.(.,Ji,Cl,J^.o, 1^.3,17.(1,39.11
2". 33'
.7°. .5'
3V 21' 2". So'
37.0,37,10,33.1
i,&,i,S,J,J,S-8,iy-*i,'*,7.34,5,"S.J,37,j,
.,1.0,3.9,6.0,10.8,14.4,17.10,15. 0,30, 0,30, 0,30, 9, 30, ''■,33. 6
4.6. 7. 10, 10. 0,1 1.0, 13.0,1 3. .3, 1 J. 10, M 3, 14. 7, IS. 9. 16. 4, 17. 4, '9-6, 30.0
i ' ^' ""^ * Uipartimento del Basso Po, lungo secoiiilo la ripa destra pt-riii lie 4.36: secoiidu la ripa sinistra p<Tiiche 4-4. Le pertiche sono Vencte di piedi sei I'una: il piede e d'once 13.
; 1
? II
III
^ IV
J V
r
Peniclie 173
P^
P". 75
P'. 99
P«. 169
Piedi 21.6
P: 3 1
P'. 26 . 9
Pi. 26 . 7
R i5 . 7
Pertiche i63 | Pertiche 10
P^
107
P^ 1 5
Pertiche 85
Pertiche 80
P-. 48
P». 83
P». 142
P". 2.-1
P'. 16
P'. 65
P«. 68
P'. no
P". Ilz
P'. 21
P'. 175
P". 204
in" . 18'
o. 5,0. 3,0. 3,0.3,0. 4,0. S ,1.0, 1. 4, 1.10, 1.4, 1. 7, 3. 1.3. 4, 3. 1^,3.6, 3. 10, 4. 3
.^.0,5.7,7,11,10 0,13.0,14.6,15.3,17.7,19.0,19,6,30.0,31.6
19.6,31.6,30.1,19,6,31.6
44
5" . 9'
o.a.o.i>,i.i,i.4,i.ii.a.o.*.6,j.3,j.9,s.7.n.9.i5-'Jti9-6.:»i.8.a3.1.aj.6,
a5-^i»5.'i>a7-3iay-V.3'-7
■ . 24'
,,S''.7'
g" . 26'
0.io,i.c.ia.S.ai.i.iS,0,aH.j,i4.5,a5.4,a0.o,i6.6,a6.i*
6.ic,8,5,io.i,.ii..i,i3.7,i6,o,i6,7,iS.4,iH.io,iy.9,ao.7,ao.4,ai,:
i.+,3.o,4.o,5.i,5.7,6.+,6.4,6.7,9.o,9,7,ii.i,U.4)'a.'Oi'i'4."3'''.'3-7:
13.7,13-11,1.1-5."* 7 -U.T. '4-7. is. 3-'3.».' 5-7
i.o,a6.4,a5,ti,a6.a if-.i)
i
1
■I
^fC) Troiico di Po a Pole
0
e Crote nel Dipa
t". del Mincio, hingo secoudo la ripa (!<■
-tra pertiche 5
i-: secondo la ripa sinistra pertiche 407. Le pertiche sono ^Alantovane d
braccia 6 I'una; il braccio e di
once 12. ;
; I
0- — .
Braccia 578
B'. 35 . 0
B»
446
W. l32
^" . 28'
14°
. 5o'
B». a.a.■o.:l.■..3.8.a,0.a,(,.a,4.a.<^.a.(,,a,C..3,d.a,6.J.0.i..Q.,.4■4.4.a.
3. iiS-fiiS. 10,6.4,6. 8,7, 6,7 .8,8. 6,8. a, |>.6, 10.4,13. 10, 13.0. 16. o,i«.t.,a2.o
37.0, j», 0.35.0
i,6,l,6,a.[i,a.8,3,6,s.6,6.g.U,0,8.6,y.6,ic.(j,ia.o,i7,u
3>.o,3J.o>35-o *
B». 407
B». 27 . 0
B^
359
B". i38
Pertiche -(>
Pert idle 54
11". 4'
4 . 1 0
a.a,3.ii .a. S,a.4,3.8,3.3,3.6,3.6.^.4,4,5,S,B,6.6,8.o,Jo.6, .3.6,14,0,14. 5.0,a.o,ic.o,ia.t„i7.c,ao.6,33.(.,3S.f .35.(..a5.&.a7.o ^
0, 17, c, 19.0, 15. 6, 30.0,33. 0,a>. 6,35.0,36.0,37 .0,a7.o 1 t
\ -
B». 478
B-. 17.0
B".
345
B». i33
P^ 76
P». 62
7°. -7'
2'^
49'
I. a, I, c, a. 8, 3. a, s. 7, 7. 0,7. 6,8,9 ,9.0, 1 a.o, 13.0, 13.0,1). 6, 14.0,1, 1.6, i5.t.,
1 3.0, 15. 6, 15.0, 17, 0,17,0, 17.0,17, 0,16. 6, 16. 6, 16. 6, 16. 1,17.6,17.6
3. i..3.«, 17.0. 16.0. it..o,i6.t„it-.6. 17.0, 17.0, >7-<. ,
I IV
C". 5.3o
B". 24 . 0
B>.
418
B=. 112
P". 78
W 62
13" , 38'
3".
6'
3.6,6,o,0.j,7.o,7.3i7.s.8.io,g.3.9.y.io.o,io.4,io,C,ii.o,ii.H,ia.o,ii.
O.ii,0,ia,o,ia.o,i3.o,i3,o,i3,o,ii.'»,i3.6,i3.<i,i3.6,i4,o,i4.6.i5.0,i5.
0,1 6.0,17.0,1 8.0, 19. 0,i J. 0,34.0
6. 1, 6. a, i. 8, j. <i, 3. 6, 3. 8, 4.0, 4, ».4. a, 5.6, 6. 9,9. 0,1 1.6,14
6,19.0,34.0 ;
; V
B«. 589
B'. 20 . 0
B^
484
B^ io5
P'. 79
l\ 48
10". 49'
a" .
22'
a.C,,s.(;.6.ft.6.4,7.o,7.1,7.6,7.9.5.0.8.6,8.6.8.9,9.o.9.6..j.C.9,6,io.6.io,
6,10.4,10.6,10.10,10,10,11.0,11.^,13. 0,13. 6, 13, 0,1 3.0, 1.1.3,13.6,15.0,
16.C, i7.e., 17.6,1 8. o,il.o, I V. 0,1 9. 0,1 5.0,30, 0,10.0
1.3,5.9,9.6,10.0,18.6,17.9,18.6,10.0
; VI
B'. 5g2
B'. 18 . 0
B«.
400
B». 102
P'. 24
P'. 26
10". 0'
2*^ .
35'
1.6,4.6,5 6, 5.8,6.5,4.5.8.7,7.0,7.0,8.0,8.0,(1.0,8.0,7.0, 9. 3, .^.3,9.8.8. to,
io.o,io.4,ii.o,ii.6,ia,D,i3.o,i3.o,i3,o,i4.o,i4,o,is.6,r6.6,i7,o,i7.6,
iS.o
9.0,9.4,10.4.13.0,13.0,13.0,1.1,6,18.0
J Vll
B». 569
B'. 28 . 0
B".
520
B^ 49
P'. 54
P'. 31!
29" . 40'
3".
5'
4.6,4.fi.S.o,5.c,s.o,S.4.5.4,S-6.&.o.6.4,6.4,7.o,7.3.T..l,7.''.«o,7,6,8,o,
7.6,8.y,a,3,B.0.9,o,9.fi,y.8,io.o,io.<.,ii.o.u.6,.a.6,ia.(,,i3,6,i,.o,
r4,o,i4,o,i5.6,i6.c,l£'.o,i3.«,i7,6, 13.0,30.0.30-0,3 1. 6. i7,C,a8. 6
i.o.i.a,s.o,6.o,34.6,j8.6
- VIIl
B\ 471
B^ 28 . 0
B".
419
B^ 52
W -0
P». 57
28° . 17'
3".
+ 1'
1. 0,6. 9,6. 9, 7.0,7. 4,?.*. 7. 3,7. 3, 7, 6,7, 6. 7. '0.8 4.8-*. 8. 1,9.0,9 ,0,10. 6,9.
9.11.0,1 I.o,ia,o,i3.«-i3.6,i4,o,i3.6,i6.6,i7.o,i8.o,i8,fc.3i.o,ai.4.a*.
0,33,6,33.0,34,0,38,0
7.'), 7.3 3.3.7,6,3,0,16.0,38.0
j IX
B". 26 . 6
B'
302
k k. k k w k'k. ^ k
B». 35
P«. 78
P". 78
36" . 36'
:> .
20'
5.6,8.9,8.6,8.6 7.0,9.'. 10. 6,1 1.0,13.6,13.0,13.0,13.0, 14.0.15.0,16.6
17,0, 18, c,ig. 6, ig.6,ai.6,as. 6. 35.6,35.6,36.0
4.3-'3-6.»4 o.3S.«,»S.6,>C-0
321
SUPPLE MENTO
Mle osservazloni sopra la teoria del la 'esiscenza
de' Fluidi del sig. Ciorgio Juan.
Di Giuseppe Avanzini
ricevuto il (U i5 d'Agosto, 1810
I
83. XL/lla e opinlone di non poclii ragguardevo-
li Fisici e Matematici che la Teoiia della resisten-
za, e percussione de' fluidi immaginata dal Slg. Gior-
gio Juan sia meritevole di molta cotisideiazioae tan-
to per le sperienze alle quali venne da esso appog-
giaca, quanto pei nuovi elementi che v'introdusse. Non
si reputera qnindi inutile che alle precedenti (a) io
aggiunga poche altre osservazloni valevoli, s'io non
m'inganno, a liberare da qualsivoglia dubbio e diili-
coltk quanto io scrissi contro le une e gli altri.
Delle sperienze
84. Le sperienze consistono, come si disse al-
trove, in quelle dei Piani esposti all' nrto d' acque
(a) Istituto Nazionale. Tom. II ; parte I e II.
322 A V A N Z I N I
correnti, della Riiota di Smeaton, dei Cervi volan-
ti^ e delle JNavi mosse dal vento.
Sperienze del Pianl e della Buota
85. Sia iin piano rettangolare imrnerso vertical-
mente, ma solo in parte, e nel senso dei due lati
loiigitiulinali, in una correiue d' acqua orizzontale,
e di egiiale e costaute velocita dalla superficie verso
il fondo, a la porzione sommersa dei lati medesimi,
ossia la distanza del lato inferiore trasversale dal li-
vello deir acqua, b il lato trasversale, m la gravita
specifica dell' acqua . Le sperienze dei piani e della
ruota vuolsi che provino: die 1' urto esercitato dalla
corrente contro il piano debba esprimersi, come vuo-
le Juan, con la formola -- mbau\/ a (a), e non gia
con la 111 b a u* comunemente adottata , per la ragio-
ne che gli urti sostenuti cosi dai piani come dalle
pale della ruota sono quanto basta conformi agli urti
che ncgli stessi casi ne porgerebbe la formula
J m b a u \/ a e troppo discordi da quelli della for-
mula m b a 11^.
In fatti da tali sperienze si raccoglie
1.° che im piano rettangolare di lunghezza qua-
drupla della larghezza , esposto perpendicolarmente
air azione d' una corrente d' acqua prima col lato
(aj E\aineii Maritime . Toai. I. § C-H
SECUn 0 DELl'eSAME nEI,L\ TEOIIIA DI JUAN 323
maggiore verticale, pol col minore sostenne degli ur-
ti in ragione di 2: i (a), come appunto si ottieue
dalla formula ~ m b a a \/ a ^ quando per la formula
m h a u la delta ragione sarebbe =^ i : i , cioe del
doppio maggiore della vera.
2." che un piano della forma di nn parallelogrammo
rettangolo, laigo un piede, e immerso dun piede giu-
sto in una corrente die percorreva due piedi al secon-
do, incontro un urto equivalence a 25 ^ /( fbj', il qua-
le per la formula - m b a u \/ a esser dovrebbe di
6
zOif; e per la mbau^ d'l 3 5? e 14 once solamente.
3.° che il medesimo piano immerso due piedi in
altra corrente die percorreva * di piede al secondo
soflerse un urto di 26 i ^ (cj; e questo pure per la
formula j m b a 11 \/~7t dovrebbe essere di 39 4 , e per
la m b a u d'l 3 1 ^.
4.*' finalmente che la velocita permanente della
ruota si trovo poco minore, e qualche volta anclie
eguale della velocita della corrente (dj, e tale alTin-
circa e appunto quclla che si rinviene calcolando Tur-
to deir acqua nelle pale colla formula - m 6a m v/ti»
(n) Ibidem. Prefazione ; pa'j;. lii.
(b) Ibidem . § 6+4; pag. 266.
(c) Ibidem . § 644; pag. 266.
(d) Appeadic* seconda ; pag. 395-
324 A V A N Z I N I
quando per la m b a ii la detta velocita esser do-
vrebbe all' incirca un terzo della velocita della cor-
rerite.
86. Osservazione I.' L'esperienze dei Pianl e del-
la Ruota se pure concordassero con la formula
J m b a u \/ a quanto discordano con la formula
mbau^, non potrebbero decidere ne in favore di quel-
la ne contro questa.
II Juan in ciascuna delle correnti clie serviro-
no alle sopraccennate sperienze, suppose, come do-
vea (§ 83) la velocita egnale in tiitti gli strati, di-
niodoche per la velocita, die egli cbiamo della Cor^
rente, non devesi intendere se non la velocita dei lo-
re strati superficiali.
Pongasi ora che, in luogo di essere in tutti egua-
le, crescesse dalla superficie verso il fondo cosi, che
I.'' la velocita media degli strati urtanti il piano aven-
te il lato maggior verticale fosse alia velocita media
degli strati urtanti il piano avente il lato minor ver-
ticale : : v/ 2 : \/ 1 . 2.*^ che la velocita media degli
strati che colpivano il piano immerso un piede, fos-
se di 5 piedi al secondo. 3." di 3 f piedi al secon-
do la velocita media degli strati che percuotevano
il piano immerso due piedi . 4." finalniente H della
velocita superficiale la velocita media dell' acqua ur-
tante le pale della Ruota. Calcolati gli urti relativa-
mente a ciascuna delle quattro sperienze, assumendo
per le velocita delle correnti, non gia , come fece
Juan, la velocita superficiale, ma le medie sopra in-
SECUITO DELl'ESAME DELLA TEORIA DI JUAN 325
dicate, si trovera che la formula ^r m b a u \/~a noa
0
somminlstra piu valori conformi ai veri, ma li por-
ge in vece, e precisamente eguali ai veri la formu-
la w? 6 a «*.
Da uessuno poi si vorra dubitare che le velocity
delle suddette correnti non potessero crescere, e nel-
le supposte ragioni. Imperciocche per assicurarci che
doveano essere eguali, sebbene di tale eguaglianza il
Juan non ci abbia recata prova alcuna, ne fotto al-
cun cenno delle qualita e circostanze locali di quel-
le correnti, bisognerebbe che fosse dimoscrato che ta-
li esser dovessero in ogni corrente, e in qualunque
tratto di essa, e in qual si sia circostanza. Ora egli
e ben vero che in alcune non variano, almeno sensi-
bilmente, le velocita degli strati; ma egli e poi egual-
mente certo che in altre, e di non picciol numero,
le velocita crescoiio (|u;ili in una ragione, quali in
um' altra, dal pelo delle correnti fino al fondo, o al-
meno fino ad una certa distanza dal fondo. (a)
(a) Vejrgaiisi le Sperienze fatte col Pendolo in 17 pcrpendicolari sul Vo
dal Zpiiilriiii . Lepiii e fVnonieni delle acque correnti .
Dal Lec( lii col quadraiite in 9 perpcndicoiari sul finme CLiese . Suo
Trattato d' Idrostati<.a.
Dai Sig. Lorgna co] pendolo a rjiiadiante in dicci perpendicolari nei
Canali rlel Veronese . Sna Disserta^ione sulla distribuzione delle velocita
iielle Sezioni dei I'iuini, IT71.
Dal Sig. Miclielotii col quadrante e col Tubo di Pitot. SdJ Sperien-
ze Idraidirhe .
Dai Saladini coi corpiccinoli naranti. Sua leltera Idrostatica al Citta«
dino Giu*ti . Bologna; s. lonima^o d'Acpiino. Anno 9.*
£ f'liialmpiue I' esnerienze deila fisica Idiometrica.
T. J J. F. 11. 41
326 A V A N Z 1 N I
87. OsstTviizioiie 2.' L'esperienze dei piani e del-
la mora insiituite in niodo da potere defiiiitivamen-
te decidere deir una o dellaltra forniola, decidereb-
l)ero per la ni b a u\ e coniro la ni b a u \/ a. Dal
§ precederue risulta che ad oitenere che 1' esperien-
ze dei cervi e dt-lla ruofa avessero a decidere vera-
ineiite la cjuestioue, bisognerebbe che fossero fatte iti
correnti di costante velocita dalla loro superficie a4
fondo. Ora vedremo che instituite in tal modo deci-
derebbero in favore della formola m b a u.
11 Mariotte (a) espose perpendicolarmente alia
corrente della Senna una tavola di uti mezzo piede
quadrate, e con una corrente che avea la velociui di
tre piedi e mezzo per secondo. La tavola sosteiinu un
urto equivalente a 3 J * il quale non diBerisce dal-
la formula m b a u^ se non di 6 d oncie in meno, e
secondo la formula 7 nib a u y/ a V urto avrebbe do-
o
vuto essere di 8 ^ in circa.
In una seconda sperienza egli assicura, che la
tavola sostenne un peso di 9 oncie, la velocita del-
la Corrente essendo di i ^ piede per secondo. II qua-
le per la formola m b a u avrebbe dovuto essere
di 8 oncie, ( di un' oncia solamente minore del ve-
ro ) e pec quella di Juan di 104 oncie.
In queste sperienze essendo picciolo il piano e
percio piccolo lo sprofondamento, e il lato superio-
re presso che a fior d'acqua, nessuno potra dubitare
(a) Discours troisiemc. Tiait6 du tnouvement des eaux .
SEGUITO DELL ES\ME DELLA TEORIA DI JUAN ^27
che la velocita di tutti gli strati acqiiei urtanti il pia-
no non si potessero supporre eguali alia velocita del-
lo strato superiore, e pernio necessariameiue eguali
tra loro.
Ma vogliasi pur procedere con tutto il rigore ri-
chiesto dairimportanza della qtiestione, e quindi non
si adottino, per cio che risguarda 1' eguaglianza del-
le velocita, come abbastanza sicure le sperienze det
Mariotte.
Won si porra certamente in dubbio che non sie-
no esatte per ogni rapporto quelle del Cav. Borda
(a), e le numerosissime e istituite piu in grande dei
tre grandi Geometri Dalembert, Condorcet, e Bossut
{b); e che da queste non risulti che le resistenze di-
rette incontrate da piani e da parallelepipedi rettan-
goli e immersi in parte nelTacqua tranquilla corris-
pondano benissimo alia formula m b a u . Se dun-
que, come ne coiivengono tutti gl'Idraulici e con es-
si lo stesso Juan (c), e la stessa cosa che una corren-
te d' acqua orizzontale e di costante velocita dalla
superficie al fondo urti un piano immobile, o che il
piano si muova orizzontalmente e con la velocita del-
la corrente per 1' acqua tranquilla, chi non dovra per-
suadersi che anche le sperienze dei piani e della
rnota come quelle dei Geometri francesi non doves-
sero conformarsi colla teoria del XNlewton qualora fos-
sero istituite come vorrebbero essere, o come lo sup-
(a) Wtiuoiies de T Academic Royale ties Sciences; anuces i7C3, 1767
(h) Nouvelles exp^rieaccs 6ur la r^sisiauce dea fluides, 1777; e
Hydiodynarnique de Bos'Siit .
(c) Examen inariciioe . Tom. I. § ji>o
3a3 A V A jf K I N 1
pone il Juan in correnti animate ad ogni altezza da
eguali vclocita?
Sperienze dei Cervi
88. Nel caso che il piano ( § 85 ) sia tiitto im-
merso, e clie il lato longitudinale possa considerarsi
picciolissinio in confroiito drila distanza del trasver-
sale superiore dal pelo della corrciite, chiamata A
qnesta distanza, a il lato longitudinale, secondo Juau
r urto diretto che sosterra il pjano sara espresso da
-mbau\/A, e non da m b a u^ ^ e 1' obbliquo dal
prodotto del diretto -mhaus/A nel semplice se-
no deir angolo <P d' incidenza, e non dal prodotto
del diretto m h a it nel quadrato del seno niedesi-
mo (a). L' esperienze dei Cervi si vuole che com-
provino ambedue le formule del Juan, e contradicano
tutte due quelle del Newton, perche i fenomeni che
ofFrono i Cervi esponendoli all' urto del vento corri-
spondono alia formula ^^ in b a u \/ A . sin cp, e discor-
dano dalla Newtoniana ni b a u^ sirV- (p. In fatti si os-
serva che per esempio ad innalzare un cervo e a so-
stenerlo in una linea parallela aU'orizzonte basta un
vento di piccola velocita; e calcolato I'urto del ven-
(nj Examen maritime. Torn. I. Ap^iendice I.
SEGUITO DELL ESAME DELLV TEORIA DI JUAN ^2f)
to con la formula -^ ni b a u \/ A . sin $ trovasi die la
velocita del vento per produrre TefTetto osservato do-
vrebbe essere di ii linee in circa al secondo, quan-
do per la formula ordinaria esser dovrebbe di \2 i
pirdi al secondo; velocita cbe spingerebbe il cervo
nella linea verticale, e lo straccierebbe fa).
89. Osservazione 3'. L'esperienza dei Gervi, con-
cordando con la formula - ni b a u \/ J . sin (p ^ e non
con la m b a u* sin <p, potrebbe tutto al piu dimostra-
re che I'urto obbliquo non sia proporzionale al qua-
drato del seno dell' angolo d'incidenza, ma non gia
che il diretto non abbia ad esprimersi con la formu-
la rn b a u comunemente ricevuta.
Calcolando T urto del vento con la formula
m b a u sin' P trovansi 3 ^ linee per la velocita ne-
cessaria ad innalzare il cervo in una linea orizzon-
tale. Ora se con la formola m b a u sin^. p si ottengo-
no 13 ^ piedi, e con la m b a a' 5m'. <p, 3 ~ linee, h
manifesto die vi sara necessariamente una potenza
del seno tra la seconda, e la prima, per esempio /j ,
per cui la formula ni b a u sin". <P ci porgerebbe pel
valore della velocita del vento, appunto come fa la
formula di Juan, j i i lin. Cio posto, se 1' esperienza
dei cervi concordando con ^ m b a u\/ J sin. $ si vuo-
(a) Opera ciuc«k Tom. I. Appendice I. §§ 5i, 90.
3^0 A V A N Z I N I
le che (liniostri che 1' urto diretto debba esprimersi
con „ mbau\/A^ e T obbliquo con - mbau\/Asln.:p
e manifesto che 1' esperienza stessa potendo concor-
dare egualmente bene anclie con la formula mbaa^
sin'* p potrebb' anche egualmente ben dimostrare che
r urto duetto dovesse esprimersi con m b a u\ e Tob-
bliquo con ni b a W sin", p.
90. Osservazione 4*. L' esperienza dei Cervi insti-
tuita in modo da dover decidere veramente per Tuna
o per I'altra formula delTurto diretto, deciderebbe in
favore della formula rnbau, e contro la mbau\/A.
Dalla precedente Osservazione chiaramente appa-
risce che 1' esperienza dei Cervi potrebbe decidere tra
le due suddette formule allora solamente che con es-
sa si determiuasse I' urto diretto del vento e non I'ob-
bliquo. Ora vedremo che in tal modo deciderebbe
per la m b a u*.
Gli sperimenti del sig. Ab. Ximenes (aj fatti con
quella sua ventola rettangolare immersa tutta e pro-
fondamente uelle acque del fiume Arno e del Cana-
le di Castiglione concordano tutti, qnanto basta, con
la formola m b a u\
Ma neppure queste sperienze come quelle del
Mariotte vogliansi considerare bastantemeute sicure si
per riguardo alia richiesta eguaglianza delle velocita
degli strati, come per Taltezza a cui la ventola era
immersa. Abbiamo veduto che, sia che iin piano ret-
(uj Nuove Sperienze idrauliche . Siena. 1780 •
SEGUltO DELL IJSAME DELLA TLOKIA DI JUAN 33 I
tangolare si esponga airnrto cVuna corrente orizzon-
tale, o che si muova orizzontalmeiue e con eguale
velocita pel lluido tranquilio, e la stessa cosa . Ora
dair esatte sperienze del Cav. Borda (a) risulta che
le resistenze dirette incontrate da tre piani della gran-
dezza di 3.6.9 pollici qiiadrati mossi orizzontal-
mente e con dillerenti velocita per T aria tranquilla
possono riguardarsi come esattamente proporzioiiali ad
m b a u\ quand' esse velocita non fossero ne molto
grandi, ne troppo piccole ; come appuuto couviene
che sia perche possa supporsi I'aria uu lluido inconi-
pressibile .
Se ad alcuno facesse difFicolta 1' avere il Borda
fatt' use ne' suoi sperimenti di piani troppo piccioli,
faro osservare ch' io otienni gli stessi risultati facen-
do inuovere per I'aria tranquilla, ma con diverse ar-
tificio, direttamente dei piani della grandezza dall'uno
fino ai sette piedi quadrati, che e appunto la gran-
dezza dei Cervi .
Non si potra dunque dubitare che per la stessa
ragione anche i Cervi esposti all'urto diretio del ven-
to , o mossi direttamente per I'aria tranquilla, non
avessero a porgere valori conformi alia formola
m b a u^ .
Sperienze delle Navi
91. Snpposto un piano picciolissimo rettaogolare
(a) Mt-uK>ires de I'Acad^mie Boyale de» Sciences: aiiDce 1763
33a AvANziNi
che si muova per un fluido incompressibile tutto, e
ad una qualunque profondita iminerso, e supposta
d b la larghezza, dt I'altezza del piano, t la distan-
za della superficie del fluido dal lato orizzontal su-
periore del piano medesimo , u la velocita ; secon-
do Juan la resistenza diretta dovrebbe esprimersi con
^ m d b . d e . u \/ e, e non gia con m b a ii (a) , e la
obbliqua dal prodotto della diretta -mdb.diu.\/e
nel semplice seno dell' angolo (p d' incidenza, e non
dal prodotto della diretta m b a u^ nel quadrato del
medesimo seno .
L' esperienze delle navi vuolsi che comprovino
ambedue le forniole del Juan, e mostrino 1' insussi-
stenza delle ordinarie, perche i fenomeni che ci offro-
no le navi niosse dal vento corrispondono alia formula
■^ rii d b . d f u y/ 1 sin tp , e discordano da m b au*^ sin,^ <P .
Si osserva per esempio che per far percorrere ad
una nave di linea, spirando il vento in poppa, 7 5
niiglia all' ora sarebbe mesiieri che il vento percor-
resse 25 piedi in circa al secondo (bj. E calcolato
tanto r urto del vento contro le vele quanto la re-
sistenza deir acqua contro la prora con la formula
- m d b . d e u \/ i sin <P si trova per la velocita del ven-
(a) Exnmen maritiinc Tom. II. § ih)
(b) Ibidem. §§ 35i, 352.
SECUn O DELl'eSAME DEI.LA TEORIA DI JUA.N 333
to appunto 25 piedi in circa, quando col calcolo del-
la m d b . d e . u sin P si ottengono, per la velocita.
del vento, i lo piedi al secoiido.
92. Osservazione 5". Con ragionamento simile a
quelle della Osservazione terza si comprendera facil-
mente che anclie Tesperienza delle navi potrebbe di-
mostrar tutto al piu, cbe la percossa, e la resistenzu
obbliqua non sia proporzionale al quadrato del seno,
ma non gia cbe la percossa o resistenza diretta non
s'abbia da espriinere con I'ordinaria formula indb.dcu\
piuttosto che con la Juaniana m d b . d ^ . u y/ i-
Cakolato cosi V urto del vento come la resisten-
za deir acqua con la formula ni d b d e u sin!^ P tro-
vasi che per far percorrere alia Nave 7 ' miglia alTo-
ra abbisognerebbe al vento una velocita di 17 piedi in
circa al secondo. Ora se con la formula nidb-d^ u sin^<p
si ottengono per la velocita del vento 110 piedi, e
con la m d b . d i . u sill' tp 17 in circa, vi sara neces-
sariamente una potenza per esempio n del seno tra
la seconda e la prima per cui la formula m db.di a^
sin" (p ci porgerebbe pel valore della velocita del ven-
to, appuuto come fa la formula di Juan, 25 piedi al
secondo. Cio posto se I'esperienza delle navi concor-
dando con -^m d b . d ^ u . \/ t sin <P si vuole che di-
mostri che 1' urto diretto debba esprimersi con
- mdb.diu v/T, e 1' obbliquo con - mdb.de. u\/ ^ sin <P
e manifesto che la sperienza stessa potendo corri-
spondere egualmeiite bene anche alia formula
T. II. F. 11. 4a
33^. A V A N Z I N I
HI 'I b . d i u sin" ^, potrebbe anche egiialmente ben
diiuostrare, che Turto e la resistenza diretta si aves-
se ad espriinere con mdb.de. a\ e I'obbliqua con
m d b . d - u si/i'^ i$.
93. Osscrvazione 6". Anche Vesperienza delle na-
' vi facta in maniera da dover decidere definitivanien-
ti per r una o per V altra formula dell' urto e resi-
stenza diretta , deciderebbe in favore della formula
m db . d i u, e contro la formula ^ m d b . d i . u \^ t.
Da cio che si disse nella precedente osscrvazio-
ne rendesi cbiaro che Vesperienza delle navi potreb-
be decidere delle suddette formule allora solamentc
che con essa si potesse determinare 1' urto o la re-
sistenza diretta di un picciolissimo piano. Ora si ve-
dra che instituita in tal modo comproverebbe piena-
mente la verita della formula ordinaria rndb-d'^u^.
La formula m b a u \/ A ( § 88 ) fondasi sopra
r ipotesi die A sia talmente grande rispetto ad a da
potersi supporre la distanza di ogni punto delT area
ba dal livello del lluido eguale ad J. In oltre una tal
condizione si verifica appuntino nelle formule
m d b . d e u \/ e , m d b . d B u, imperciocche essen-
do db.de un'area infinitamente picciola, ed - quan-
tita fmita , la distanza del livello del lluido da ogni
punto deir area db.de potra supporsi eguale ad e.
Dunque tra le due formule ni b a u \/ A , m b a u\
e le m d b . d s u \/ e 3 in d b . d e . a non si potra
considerare altro divario se non che nelle prime Ta-
rea urtante o urtata e finita, e nelle altre picciolis-
SEGUITO DELl'eSAME DELLA TEOUIA DI JUAN 335
sima. Ora se T esperlenze die porgono V into, o la
resistenza diretta d' un piano finito sono(§9o) con-
formi alia fornuila 7)ibau\ e discordi dalla mbau\/ A,
perche del pari anclie I'esperienze delle navi, ijna-
lora porgessero 1' nrto e la resistenza diretta d' iia
])icciolo piano, non dovrebbero concordare con la for-
mola mdb .ih .li' e dissentirfe dalla 5 mf/6.f/f .f/ v^^ ^
Conclusione .
94. Da queste osservazioni parmi die si possa
ginstaniente conclndere, cbe I'esperienze del Juan ben
lontane dal poter confermar pienarnente, come si cre-
de, le sne formule dell' nrto o resistenza diretta, do-
vrebbero per r opposto mostrarle difettose e fallaci,
e diventare una nnova prova della ginstezza e verita.
delle coniuneniente ricevute. Lo stesso vorrebbesi pur
concbiudere ancbe relativamente alle formule die se-
condo Jnan dovrebbero espriinere la resistenza o 1' nr-
to per qnalnnqne altro caso. Imperciocdie queste so-
no una necessaria eonseguenza di quelle, dimodoclie
non potrebbero le une esser vere , se uon lo fossero
ancbe le altre.
• • Deidl Elementl.
o
95. Dalle formule m h a 11 \/~a , m h a u y/ A j
mdb.de \/~e .11 (§§ 86, 88, 91 ) del Juan, e dalle
m b a ii" , m d b . d I a' del Newton relative ai tre
casi, ai qnali, come si e veduto, sono dirette le spe-
336 A V A N z I N I
rienze del Juan, cliiaramente si scorge die gll Ele-
menti da esso introdotti nel i". caso si restringono al-
ia sola radice della porzione iininersa del lato verti-
cale del piano; nel 2°. alia radice della distaiiza del
livello del lluido dal lato orizzontale superiore del pia-
no; nel 3". alia radice della disianza del livello del
lluido dal picciolissinio piano db.de.
Ora non poteudosi per le cose fiiior diinostrate
dubitare che non sieno false le fonnule del Juan, e
vere le INcAvtoniane, ne segue di couseguenza, che
nelle forniule della resistenza o non debbono compu-
tarsi in nessun modo gli elemeuti introdottivi dal Juan,
o lo debbono essere in una nnaniera molto diversa.
Nulladinieno trattandosi di un argomeiito di tan-
ta importanza reputo necessario il far riuiarcare che
cio viene anche dimostrato direttamente ed a priori,
e coi principj di una sicura teoria, e con esperienze
le piu decisive.
A tal fine si osservera attentainenre; 1°. che la
formula m b a u \/ a e dedotta immediatamente da
quest' akra in d b d e u \/ e., supposto d b . d s un
difierenzio-diflerenziale dell' area urtata, o urtance, e
la distanza di essa d b . d « dalla superficie di livello
del fluido; 1". che essendo la formula in db d e . us/ e
simile alia formula m b a y/ A . u (§93) del secon-
do si dovranno riguardare tutte e tre per simili inte-
ramente; 3°. che ciascuna di esse e simile a quella
che secondo i principj di Juan dovrebbe esprimere la
resistenza diretta di un piano orizzontale che si muo-
va verticalmeiue, e sommerso nell' acqua tranquilla
a tale proloudua, che il moto da esso piano eccitato
SEGUITO DELL JiSAME DELLA TEORIA Dl JUAN 33"
nel fliiido non gimiga alia siipetTicie di livello. Tin-
perciocche cliiainata b' a' Tarea di questo piano, A' la
distaiiza di esso dal livello del lliiido, u la velocita,
la resistenza da esso incontrata sarebhe ni b' a' u \,'^ /I' .
Da qneste verita sulle (jiiali non potra certo ca-
der dubbio alciino, segue di legiitiina e nocessaria
consegiieiiza che per diniostrare coinpletamente il mio
assuiito bastera ch' io ditnostri che nella espressione
della resistenza incontrata dal piano orizzontale ino-
ventesi nel niodo accennato non entra funzione alca-
na deir altezza, il che viene, s' io non m' inganno,
rigorosamente dimostrato dalla mia teoria esposta ai
§§ 3o fino al 37 inclusive, e dalle sperienze da me
instituite, e descritte coi necessarj dettagli ai §§ 28,29.
96. La formula -- m b a u \/ a finora esaminata
6
spetta al caso che il piano si miiova con picciola ve-
locita. Ill fjiiella con la quale il Juan esprime la re-
sistenza del piano moventesi con grande velocita en-
trano due elementi; Y altezza a cni il tluido s' innal-
za davanti e si abbassa dietro del piano, e la radice
deir inimersione.
Illc>;nardo al i". non porro gia in dubbio che non
si debba computare. Faro soltanto riflettere non po-
tersi asserire, come si fa <la talnno, che siesi ommes-
so dal INewton. La teoria di (piesto grand' nomo spet-
ta solraiiio al caso die il solido sia talmente iinuier-
so nel Iliiido incompressibile, o si muova con tale ve-
locita che il moto da esso eccitato nel llnido non giun
ga fino alia superficie, o in una parola, die dietro il
338 A V A N Z 1 N I
solido noti nasca vacuo; nel caso cl\e il solido sia gal-
leoojante egli avverte espiessamente (a) die il lluitlo
s' innalza clavanti, e si abbassa di dietro, e percio si
dovra alqnanro aumentaie la resistenza. 2°. iion esser
vero, come lo pretende Juan, e come sembra creder-
lo alcuni Ceometri, che pei principj stessi della teoria
di Juan il lluido debba innalzarsi e deprimersi, ne
che debba innalzarsi, e deprimersi ugualmente, e di
cjuella quantita ch' egli determina. (b)
Rignardo poi al secondo eleniento, cioe alia ra-~
dice dello sprofondaniento si osservera 1°. che esseu-
dosi dimostrato che qnalora il nioto eccitato dal so-
lido nel riuido non giunge fino alia superficie di li-
vello, nel la formula della resistenza non entra fun-
zione alcuna dell' altezza a cui e immcrso, ne viene
di consegiienza che se entrera 1' altezza dello sprofon-
damento quando il moto del fluido giungera alia su-
perficie di livello, che e il caso di cui ora si parla,
essa altezza non potra essere se non una funzione di
quella a cui il fluido medesimo s' irmalza davanti, e
si deprime di dietro, e la formula della resistenza in-
contrata dalla porzione imraersa dell' area urtante do-
vra essere composta di due termini, de' quali il pri-
me dovra esprimere la resistenza che incontrerebbe
r area stessa, se il moto del fluido non giungesse al-
ia superucie , e percio in esso termine non entrera
(a) PhilosopliiM nataralis principia matbematica . Scollo al Lemma 7
della Prop. 17 del Lib. 2..' Amstelodami ; 172.3.
(I>) Oiservazioni e sperienze sopia la Teoria della resistenza de' fluidi.;
del sig. Juaii •• § ^iV.
SEGUITO DELL'eSAME DELLA TEOUIA. T>I JUAN 3^9
fiinzione alcnna dello sprofDiiclameiito; il secondo sa-
ra una fmizione delTarea^ o dimensioni dell' area, e
deir altezza a cui il lliiido s' innalza. Iinperciocchc in
questo caso solo sarebbe soddisfatta la comlizione, clie
fatta zero la sudderta akezza , cio che riniane noii
contenga funzione alcuna dell' altezza niedesinia; si
potra quindi conchiudere foiidatamente, clxe ne pure
il secondo elemento potra computarsi, o si dovra coin-
putare in un modo diverso da quello die vuole il
Juan.
Con un discorso simile si dimosrra la stessa co-
sa anche per cio che spetta agli elementi calcolati
dal Juan nelle formule che risguardano gli altri casi.
Conclusione.
97. Da questi brevi cenni parmi che si possa con
molto fondaniento raccogliere, che anche i nuovi ele-
menti rnessi a calcolo dal Juan, ben lontani dal po-
tersi ammettere, come si avvisa, per giustamente ed
utilmente calcolati, debbansi per lo contrario consi-
derare per una delle cause principal! che rendono
falsa e pericolosa la sua teoria , se pure a rigore puo
dirsi sua. (a)
(a) Considerando attentamente tiitta intfira la Teoria del Jiian si cora-
prendera ad evidenza non essere die uno svihippo ed appiicazione di
una formola , che 26 anni prima pul>blic6 1' Eulero come bisognosa dei-
]' appoejjio dcir esperienza : veCL'ansi i nouveaux principes rV Artillerit
de M Benjamin Robiiis commences par M. Leonard Eider , e£ traduits
*ie I' uUemund par M. Lombard, k Dijoii. 17^3. pag. 3^0.
. 1
341
SULLE LIVELLAZIONI BAROMETRICHE
Di Fkancesco Yenini
Altra Continuazione delta pane II.
ricevuta il di 23 d'Agosto, 1810
S E Z I O N II.
Delle regole date da alcuni fislci per le llvellazioni
haronietriche.
I.
Articolo I.
Begola del sig. De Luc.
66. J.1 celebre de Luc, avendo attentamente esa-
minati i raetodi dei Fisici, che lo precedettero, tro-
v6 in essi tre principali sorgenti di errori. La prima
e r imperfezion dei baroinetri ; che quasi nessuno
aveva purgati scacciandoiie T aria coll' ebollizioue : la
secouda I' incertezza della vera lunghezza della co-
louna mercuriale; che niuno aveva aucor immagina-
to di ridurre ad una temperatura o costante o ngna-
le nei due barometri inferiore e superiore: la terza
linalmente nelTuso generale de' suoi predecessori d'ap-
plicare senza correzion veruna le regole loro a qiia-
lunque temperatura dell' aria, come se questa non si
condensasse pel Ire-ddo, e [)el calore non si dilatasse.
Al che si deve aggiugnerc, che ncssun dei barometri
T. II. P. II. ^^
343 V E N 1 N I
fino a' suoi di conosciuti poteva con sicurezza traspor-
tarsi a clistaiize considerabili, o alnieno senza perico-
lo d' alterazione.
La prima ciira dell' accurate fisico di Ginevia
quella fu dunqiie di costruire uii biion barometro por-
tatile; di cui egli da im' ampia e miniita descrizioiie
iiella sua grand' opera delle modificazioiii dell' atnio-
sfera al capo 1°. della terza parte . La scala del suo
barometro e divisa in pollici ed in linee con rette di
color nero; e ciascuna linea e sottodivisa in quattro
con rette di color rosso. Egli lascia poi , che I'osser-
vatore sottodivida ad occhio ciascun quarto di linea
in altre quattro parti; onde possa aver Taltezza ap-
parente del barometro in sedicesimi di linea. A cor-
regger gli effetti del calore sulla lungliezza della co-
lonna mercuriale sostenuta dalla pression dell' aria e
destinato un termometro incastrato nel corpo del ba-
rometro siesso verso la sua meta. Questo termome-
tro e di mercurio come quello di Farlieneit, ma con
una scala diversa. ll De Luc graduava i suoi termo-
nietri sotto una pressione atmosferica di 27 pollici po-
nendo lo zero al ghiaccio in fusione, ed il grado 80
air acqua bollente. Con questi terniometri egli tro-
vo, come ho gia detto al num. 9; che la colonna di
27 pollici si dilata di sei linee passando dalla tem-
peratura zero a quella di 80 gradi. La dilatazion del
mercurio, da lui supposta uniforme, e dunque di -^ di
linea per ogni grado: ma troppo incomodo sarebbe
r uso di questa frazione nel ridurre le altezze baro-
metriche ad una temperatura costante. Quest' incon-
vcniente determino l' autore a divider 1' intervallo po.
SULLE LIVELLAZIONI BAUOMETKICHE 843
8to fia il ghiaccio e V acqua bolletite non ia 80 ma
in 96 gradi; per ognuii de' quali la dilatazione ve-
niva ad essere di ^ o di 73 di linea, cioe della quau-
tita stessa, in cui e divisa la scala del suo barome-
tro. II grado dodicesimo di questa divisione f"u scel-
to dair autore per temperatiira costante: egli pose a
questo lo zero d'una nuova scala; nella quale la tem-
peratura dell' acqua bollente fu ad 84 gradi, e quel-
la del ghiaccio in fusione a — 12.
„ II mio scopo principale in quest' opera, di-
„ ce il sig. De Luc, e quello di paragonare delle
„ altezze note cogli abbassameuti del mercurio ncl
J, barometro osservati a queste medesime altezze j af-
„ fin di trarne una regola generale, per mezzo di cui
„ si possano in avvenire misurar le aliezze accessibi-
„ li, e dappertuito e in ogni tempo conoscere la den-
„ sita ed il peso assoluto dell' aria. Ho esposte fin qui
„ tutte le precauzioni, che ho prese per non esser in-
„ gannato dal barometro; trattasi ora di quelle, che
„ ho impiegate nel n)isurar le altezze dei luoghi, ove
„ ho futte le mie spei'ienze.
Egh misuro dunque sul ghiaccio d'un fosso una
base di tese 566 e ?, e servendosi d' un buon qua-
drante di 3 piedi di raggio, trovo la distanza d' una
delle estremita della base dalla cima del monte Sa-
leve di te. 4727, 5. Dice, che il risuitato della misu-
ra geometrica, non computata ne la curvatura della
Terra ne la rifrazione, fu di 486 tese.
Ora applicando questi dati al triangolo A B F
(fig. I') ne \\o A D =i 4727, 5; e B I F ^ 486. Cio
posto chiumo y 1° angolo apparente d'akezza LAB-^
344 V E N 1 N I
e ne formo T equazione (4727,5) sen. y = 486; e da
questa traggo y = 5° 64' 2", 12. Questo fu clunqiie il
valore dell' angolo appareate d' akezza osservato dal
sig. De Luc. lo lo suppoiigo esatto; e cerco per mezzo
suo il valore dellangolo al centro «^. Nel triangolo CAB
abbiam 1' angolo C A B = gS° 64' a", 12; e per con-
seguente = 42" 2' 53" ,94. La base, come dice
I'autore al paragrafo 648 delle sue Ricerche, fu su-
perior al mare di te. 211 , 67; e queste aggiunte al
raggio osculatore della latitudine di Ginevra daimo il
valor di C^. Ora la latitudine di Ginevra e 46" la'
17"; e supera di soli 19 secondi la latitudin media
del grand' arco misurato in Francia dai signori Me-
chain e De Lambre. La lunghezza del grado a que-
sta latitudine si e trovata di tese 57018,4; cni cor-
risponde il raggio osculatore 3266914,29. E' dunque
C A = 3267126 ; e per conseguente C A ■— A B =
3262398,5; e C^ -H J ^ = 3271853,5. Fatto con
questi dati il solito calcolo trovasi =4i*'58'2",
18 ; e quindi C = w = 0° 4' 56" , 76.
Cerco ora l' efFetto della rifrazione; ed osservo ,
che fra i valori di — posti nella tavola III' del num. 58
niuno ve n' ba per la Svizzera; ma die ci sono quei i
deir Italia e della Francia, tra le quali essa e situata. |,
lo prendero dunque il lor medio cioe 0,081181; e 'i
SULLE LIVELLAZIONI B.VROMETRICIIE Z^S
r applichero a Ginevra. vVvendo il De Luc misurata
la base sni gliiaccio;, si puo credere, clie anche I'an-
golo d'elevazione sia stato da lui misurato in tempo
che r aria era alia temperaiuia del ghiaccio. lo non
so c(uale sia stata Taltezza del barometro nel tempo
deir osservazione, e non potendo far meglio, la sup-
porro di 27 pollici altezza media per Ginevra. Nelle
circostanze della misura dell' angolo d' elevazione sa-
, J m (o , 081 181 ) _ „
ra dunque stato — = 27 - — - — ^ = o , 078282 , e
•* n ' 2.0 '
/-I
per conseguente — = 296", 76 (0^,078282) = 23", 23.
TV
Con questo valore della rifrazione si faccia il calco-
lo deir altezza vera, e troverassi B d = 488 , 94 te.
= 2933 pie. e ~. L' altezza medesima misurata dal
sig. De Luc colla livellazione fu di piedi 2926 ^, cioe
minore di 7 piedi. Qnesta differenza puo nascere dalTer-
rore d' un mezzo minuto nell' angolo dell' altezza ap-
parente, se si suppone d'un'estrema esattezza il ri-
sultato della livellazione. Che se questo fosse di qual-
clie piede minor del vero, V error dell' angolo si ri-
durrebbe a pocbi secondi.
Ma lo stesso non puo dirsi dell'altra misura geo-
metrica, di cui parla I'autore. In questa per la distan-
za di tese 2026 | egli ebbe un risultato di 432,5 d'al-
tezza, non computata la curvatura e la rifrazione: on-
de segue, che il suo angolo d' elevazione apparente
fu = 12" 19' 33", 09. Fatto il calcolo con questi va-
lori A\ E A B e ^v A B trovo l' angolo al centro =
2' 4" , 67 . Calcolata poi la rifrazione col valore di
346
V E N I N I
— posto qui sopra, ella risulta =9", 76; e quindi I'al-
tezza vera insensibilmeiite diversa dall'apparente e di
tese 433 o di piedi 2598. La livellazione ne die soltan-
to 2584; onde la differenza fu di piedi 14. Affirtche la
misura geometrica fosse d' accordo colla livellazione,
Tangolo dell'akezza apparente dovrebb'essere = 12° iS'
40" in luogo di 12" 19' 33", 09, cioe minore di 3' 53".
II De LnC;, non avendo alcun dubbio intorno all'esat-
tezza deir angolo osservato, attribuisce l' eccesso del-
la misura geometrica alia rifrazion sola. Ma, se cio
fosse, la rifrazione avrebbe dovuto accrescer 1' angolo
deir altezza vera di 233 secondi, cioe quasi del dop-
pio deir angolo al centro, che fu di 124", 67. Tanta
rifrazione, essendo assolutarnente contraria a tutte le
osservazioni, io credo, che I'errore stia pressoche in-
teramente nella misura delT angolo d' elevazione.
La diversita de' risukati delle misure geometriche
e delle livellazioni determine il sig. De Luc a rinno-
vare quest'ultime. „ Noi trovammo, dic'egli, alcune
„ diflerenze {tra le due livellazioni) nelle stazioni in-
„ termedie, il che solo bastava a render utile la se-
„ conda operazione. Ma ne fummo piu largamente
„ ricompensati quando trovammo nella sonmia totale
„ la sola differenza di dieci pollici e mezzo. Tutte le
altezze, alle quali io ho osservato il barometro pos-
son dunque considerarsi come determinate con tut-
ta la possibil precisione.
Se la precisione nella misura di queste altezze
sia tale quale il sig. De Luc la suppone e cosa in-
certa ancora; ed io avro altrove occasion di parlar-
SUIXn LIVELLAZIONI BAROMLTUICHE 34?
ne . Per ora le supporro esatte ; ed aggiungero, die
negli anni lySS, 56, 58, 59, e 60 1' istancabile fisi-
co di Ginevra fece in i5 stazioni del monte Saleve un
numero grarulissimo d'osservazloni. In ognuna di que-
ste egli noto I'alcezza apparente del barometro, i gradi
del termonietro attaccato per fame la correzione, e
quelli del termometro distaccato esposto at Sole, dic'e-
gli , quanto piu alto fu possibile; il che parmi voglia
dire a circa cinque piedi d'akezza. Mentr' egli osser-
vava sul monte, suo padre faceva ad ogni quarto d'ora
le osservazioni corrispondenti nel pian terreno d'una
casa distante tre quarti di lega ad un di presso dal-
la prima stazione. 11 termometro destiiiato ad indica-
re il calor dell' aria era sospeso fuor della casa sopra
una piccola eminenza.
67. Prima di proceder piu oltre stimo opportu-
no di riferire cio die il Cav. Shuckburg ha osserva-
to intorno all' altezza diversa dei termometri o espo-
sti al Sole o tenuti allornbra, e di rapportare altresi
la serie delle belle osservazioni fatte dal sig. Pictet
sulla corrispondenza di due termometri a diverse ore
del giorno; de' quali uno era posto alia distanza di
cinque piedi, e T aitro a quella di 75 da terra.
II primo in una nota della pag. 526 del volume
LXVII parte II* delJe Transazioni filosoficlie si espri-
me a questo modo. „ lo bo preferito di sospender i
„ termometri all' ombra ; e ne adduco la seguente
„ ragione. Ogni riflessione di calor locale e spurio
„ schivasi piu facilniente: niun concentrato e falso ca-
„ lore e acquistato dalT incastratura del termometro,
„ e quindi comunicato al tubo anche quando la pal-
348 V E N I N I
„ la e isolata: e finalniente perche io sospetto, chela
„ real temperatiira dell' atmosfera al Sole ed aU'om-
„ bra sia la stessa o almeno insensibilmente diversa.
„ La mia proposizione piio senibrare esagerata ; ina
„ per confermarla io ho fatto non meno di 80 osser-
„ vazioni con quattro diversi terniometri d' incastra-
„ ture dilTereiiti appesi alternainente ed esposti ai
„ raggi del Sole, o da questi difesi dall' ombra d'un
„ albero in un' aperta pianura a qualche distanza
„ <lalla citta di Ginevra. II risultato fu, che nel mio
„ rniglior termometro a palla isolata la differenza per
„ le due diverse situazioni fu solaniente di due gra-
„ di Far.; negli altri piu o meno secondo che piu o
„ meno eran connessi coll' incastratm-a. „ A questo
s' aggiunga, che I'autore in quattro delle osservazioni
da lui fatte alia cima del raonte Mole, avendo osser-
vato il termometro al Sole ed all' ombra, trovo anche
allora una differenza di 2° , oyS Far.
68. Per determinare la temperatura media della
colonna aerea da raisurarsi col barometro comune
usanza e di sospendere nelle due stazioni considerate
come estremita della colonna medesima due termo-
metri distanti circa cinque piedi da terra, e di pren-
der la madia delle due altezze da questi indicate.
Ma il sig. Pictet osserva con ragione, ottenersi per
tal inodo non la temperatura media della colonna,
ma quella dei due strati d' aria distanti cinque pie-
di da terra alle due stazioni, dove il calor dell' aria
e sensibilineiite alterato dal riverbero della terra seal-
data dal Sole. Quest' incoriveniente o in tutto o in gran
parte si sfuggirebbe se i tennometri si sospendessero
SULLE lilVELLAZIOXI BVllOMETUICIIE 849
ad iin'altezza molto maggiore; ma in pratica assai dif-
ficile o a dir meglio impossibile ne sarebbe V esecu-
ziorie. Ma 1' inconvenieiue puo togliersi eziandio de-
terminando con esatti esperimenii e fatti a tutt' agio
in ore, giorni, e stagioni diverse la corrispondenza
di due termometri , 1' un posto a cinque piedi da ter-
ra, e I'altro ad una distanza molto maggiore. Or que-
st© e cio appunto, che 1' eccellente fisico sig. Pictet
lia con somma diligenza eseguito, e colla solita sua
chiarezza spiegato ne' bei Saggi di Fisica da lui pub-
Llicati a Ginevra sua patria nell'anno 1790. Alia ci-
ma d' un gran palo atuierita per toglier la riflessione
de' raggi solari, ed alia distanza di yS piedi da ter-
ra egli sospendeva un termometro che nel breve tem-
po di 5 a 6 secondi si faceva scendere a terra per
osservarlo ; ed un altro ne coUocava all' altezza di
cinque piedi. II snperiore posto tra il palo ed il So-
le nel piano del meridiano era sempre esposto ai rag-
gi solari: e lo sperimentatore teneva sempre all' om-
bra del palo I'inferiore. In giorni e stagioni e circo-
stanze diverse del Cielo egli osservo la corrispoeiden-
za di questi termometri nelle diverse ore del giorno;
e n'ebbe i seguenti risultati espressi coUe sue mede-
sime parole.
„ Alia mattina due o due ore e mezzo incirca
„ dopo il nascer del Sole i due termometri son d' ac-
,, cordo, ed indican la stessa temperatura prescinden-
„ do dalle piccole oscillazioni prodotte da circostan-
„ ze accidental. A misura che il Sol s' innalza il ter-
„ mometro inlVriore si scald.i piii del snperiore; e la
„ loro maggior difTerenza, che ha luogo nel mouiCi>-
TILF'.IL 44
35o V E N I N I
„ to pill caldo del giorno, e di circa due gradi del-
„ la divisione in 80 parti; de' quali il termometro in-
„ feriore e pin alto del snperiore.
„ Passato qiiesto massimo di difTerenza i due ter-
„ mometri si riaccostaiio; e qualche tempo prima del
„ trainontar del Sole si raggiungon nuovainente; poi
„ si sorpassano in senso coiitrario: il termometro in-
„ feriore sta piii basso dell' altro : caduto il Sole la
„ diflerenza cresce velocemente ; e verso la fin del
„ crepuscolo giunge a due gradi, e talora aiiche piu.
„ Questa diflerenza segue ad esser la stessa durante
„ la notte ed il crepuscolo del mattino; e solo alcun
„ tempo dopo il nascer del Sole i termometri comin-
„ ciano a riaccostarsi per raggiungersi di nuovo e at-
„ traversarsi circa due ore dopo.
V Tal e il movimento costante dei due termometri
„ distant! cinque e yS piedi da terra ogni volta che
„ il tempo e tranquillo e sereno: egli e lo stesso nel-
„ le varie stagioni dell' anno, e non ostanti i venti
„ e le nubi, sebben meno sensibihnente in quest' ul-
„ timo caso: e ne' soli giorni compiutainente e uni-
„ forniemente nuvolosi, e quando regna un vento for-
„ tissimo o una densa nebbia i due termometri di-
„ sianti -Q piedi son presso a poco d' accordo in
„ tutco il corso del giorno. „
Da questo ragguaglio dell'autore 10 non posso
raccoglier la legge, con cui il termometro inferiore \a,
in confronto del superiore, innalzandosi dopo il na-
scer del Sole per lo spazio di due gradi nelT inter-
vallo di circa due ore e mezzo; e di altri due gradi
dal momento, in cui ha raggiunto il superiore Quo a
SULLE LlVrXLAZlONI BAnOMETUlCIIE 35 I
tre ore di sera: e lo stesso dicasi del suo abbassainen-
to dalle 3 ore fino a quella del Sol cadente, e poi
della flue del crepuscolo vespertiiio. Per iiscir di qiie-
sta incertezza e diinque d' uopo ricorrere a qnalciie
supposizione; e la piii naturale a nie par quella del-
ruiiiformitii nella progressione delle dillerenze dei due
termometri . Di quesca mi serviro dunque allorche
avro occasione di ridurre le altezze osservate ad una
data ora d' iin dato giorno in un termonietro distaute
cinque piedi da terra alTakezza, che nello stesso mo-
mento avrebhe avuta un altro terinometro alia distan-
za di piedi yS.
69. II celebre Bouguer aveva detto che negli al-
ti monti del Peru, se dalle prime quattro cifre del-
la differenza dei logaritmi delle altezze barometriche
osservate al piede ed alia sommita d'un monte si sot-
trae un trentesimo, il residuo da la vera altezza del
monte in tese di Francia; ma aveva anche soggiun-
to, che quesra regola si verifica soltanto nelle parti
dclia Cordeliera, che stan sopra la valle di Quito.
II sig. De Luc osservo, che in que<;ta regola non fas-
si menzion veruna della tempeiatura dell' aria, seb-
bene al variar di questa debba variar la Innghezza
della colonna aerea, che corrisponde ad un'egual dif-
ferenza dei logaritmi. Egli vide pero che, se per la
temperatura poco variabile nelle osservazioni barome-
triche degli accademici francesi convien sottrarre nn
trentesimo della differenza logaritmica per aver V al-
tezza del monte, la sottrazione sarebbe stata minore
ad una pin alra tem[)eratura ; e che questa cresriura
ad un certo grado avrebbe resa nulla la sottrazione.
352
E N I N I
e data 1' altezza in tese francesi coUa sola differenza
logarirmica. Ma questo (io credo avra egli detto se-
co niedesimo) perche non dovra verificarsi nelle nu-
merose osservazioni da me facte sul monte Saleve a
tante diverse temperature? Esamiiiiamole dunque at-
tentanieiite; e vediamo a quale altezza media dei ter-
niometri esposti all' aria nelle due stazioni iuferiore
e superiore corrisponda una dilTerenza logaritmica e-
guale alia vertical distanza delle stazioni. Egli fece
r esame, e trovo^ come dice al num. 588: „ die cal-
„ colate tutte le osservazioni coi logaritmi; e combi-
„ nando tutte quelle, nelle quali la difl'erenza dei lo-
„ garitmi dava presso a poco T altezza dei luoghi in
„ niillesimi di tesa, il calor medio nel tempo delle
„ osservazioni era stato corrispondente a i6° i del ter-
V mometro di mercurio diviso in 8o parti fra i due
„ termini fissi. „
L' autore, dopo aver dato questo seinplice cen-
no, nulla ha detto del modo, con cui trovo il suo
risultato: ond' io mi son determinato a verificarlo. A
tal fine ho avvertito primieramente, che le osservazio-
ni facte alle tre prime stazioni; nelle quali per le lo-
cali circostauze indicate dall' autore la temperatura
media e troppo incerta, debbon esser escluse. Ho se-
parate le osservazioni fatte al nascer del Sole, per-
che dan risultati troppo diversi da tutte 1' altre. Fi-
nalmente ho distinte le osservazioni fatte al Sole dal-
le fatte a ciel coperto, o in di sereni, ma a Sol tra-
montaro.
Affiu d' ottenere con qualche precisione la cer-
cata temperatura mi son ristretto a quelle osservazio-
6ULLE LIVELLAZIONI BAKOMETUICIIE 353
ni sole, nelle qiiali la differenza tra 1' altezza vera
ed il risultato loj>;aritmico non e sensibilmente maii;-
giore di 4 piedi, differenza, che puo esser attribuita
air incertezza d' un ventesimo di linea nella niisura
delle altezze barometriche. Questa condizioii si vt*ri-
fica in 16 osservazioiii fatte in giorni sereiii; in 8 di
ciel coperto; ed in quattro del nascer del Sole. Cal-
colaie senz' alcuna correzion dei termometri le osser-
vazioni fatte in giorni sereni, e chiamate T, f le al-
tezze dei termometri , ho trovati i seguenti vaiori del-
la temperatura media
16 , io5
16 , io5
16 , 965
17 , a3
17 , 39S
16 , 535
16 , 75
17 , 825
18 ,47
16 , 535
17 ^ 717
16 , 965
16 , 75
17 , 395
16 , 3a
16 , 64.H
Somma 271 , 7o5
35.i
V E N I N I
La somma e 271 , 70$; la qual divisa per 16 d^
16,982 per valor medio.
I valori di
perto furono
T
nelle osservazioni di ciel co-
16
16
16
17
16
16
16
16
, 535
» 7S
, 965
, 395
, 96S
, 965
, 535
, 4a8
Qui la somma e i34 , 538, e la temperatura me-
dia 16,817. La differenza di questi due medii e di
i65 miliesimi di grado .
Unendole poi tutte insieme, come soleva fare il
De Luc, si trova la somma 406,243; ed ii medio
16 , 927; la cui differenza da 16 , 78 e di 177 mil-
iesimi di grado; quantita, che senza iucouveuieute si
puo negligfiitare.
70. Per le sperienze del sig. Pictet nelle osserva-
zioni fatte a ciel coperto le aitezze d' un termome-
tro distanie 75 piedi da terra sarebbero state uguali
a quelle del termometro distance cinque piedi. Ma lo
stesso non puo dirsi delle osservazioni fiitte al Sole
in ore diverse da quelle, in cui 1 due tenuometri son
9ULLE LIVELLAZIONI BAROMETRICHE 355
d'accordo. Nelle altre ore per aver la corrisponden-
za dei due termometri convien primieramente dimi-
nuir di due gradi Far. tutti i valori di T , t; affia
d' avere le altezze, a cui si sarebber tenuti all' om-
bra. A 2 gra. Far. corrispondon o » Re:, cui per mag-
gior semplicita si puo senz'inconveniente sostituire un
grado intero. D' un grado ho io quindi sminuite tuc-
te le altezze T ,t dei termometri esposti al Sole. Ora
dichiarero in qual maniera da queste altezze dei ter-
mometri supposti air ombra e distanti cinque piedi
da terra ho dedotte le altezze corrispondenti dei ter-
mometri esposti al Sole alia distanza di piedi yS.
Le osservazioni del sig. De Luc furon fatte pres-
so a Ginevra per la cui latitudine ho calcolate le ore
del nascere e cader del Sole, e della fine del crepu-
scolo vespertino pei mesi e pe' giorni delle osserva-
zioni. Cio premesso suppongo, die per un dato gior-
no deir anno il Sol nasca a minuti A^ del mattino ;
nel qual momento il termometro superiore e di due
gradi piu alto dell'inferiore. Or, dovendo per le spe-
rienze del sig. Pictet questa diflferenza esser nulla due
ore e mezzo dopo all' incirca , cio avverra a minuti
iV H- i5o. Sia T r altezza del termometro inferiore
osservata a minuti n del mattino; e si chiami T' I'al-
tezza corrispoiidente del superiore. Se fosse iV=:n. sa-
rebbe Z" = 7' -1- 2; ma quando // e = A' -+- i5o, T'
e = T. Affin di trovare il valor di T' nelle ore in-
termedie; nelle quali io suppongo, come ho gia det-
to, le variazioni uniformi; avrem dunque V analogia
i5o : rt — JV = 2 : j^—: il cui quarto terroine indi-
75 A
356
E N I N I
ca dl qiianto nei due termometri e diminuita la dif-
fcrenza. JNel tempo dell* 03servazione e dunque T' =
75
Nella seconda osservazlone della stazlon IV, a
cagion d' esempio; clie si fece nel giorno 12 Febbra-
jo ad ore 9 I del mattino fu N = ^\^\ n, = 555 •
/i-iV= 141-, ed^-=-^= I ,88. Dunque T'=^T-^
75
2 — I , 88 = Z" -4- o , 12. Le temperature osservate al
Sole furono 7" = -»- 3 , 85; t = o , 84; e, fatta la ri-
duzione per 1' esposizione all' ombra, 7"= -h 2 , 85;
f = — o , 16. Or quindi viene J" = -t- 2 , 97; e t' =
— 0,4. La correzione in questo caso e piccolissima,
perclie 1' osservazion si fece a due ore e quasi mez-
zo dopo il nascer del Sole.
Se r osservazione e fatta tra T ora, in cui i ter-
mometri son d'accordo e le tre della st^ra, V interval-
lo di tempo, cui corrisponde 1' alzamento di due gra-
di nel termometro inferiore in confronto del superio-
re e di minuti 720 •+■ 180 — A' — i5o = 700 — N ,
e qnello, die sta fra 1' ora suddetta e 1' osservazione
n — iV— i5o. Sara dunque 750 — iV:« - A^— i5o = 2:
a ( ra — • N — i5o) rp, rp _ a (re — JV— iSo )
750 — iV ' ~" 700 — A^
NelV osservazion \V della stazion IV fatra il di 7
Agosto ad ore 8 | del mattino fu yV=2o8; n = h2.b\,
SULLE LlVELLAZIONl BAKOMtTRICHE 357
75o-iV=46a; n-N-i^o^^i; ^ M^-iV- i5c) ^
75o — JS
^^^ = o , 38. Cio posto e 7" = T - o , 38. Le altez-
ze osservate colla solita diminuzione d' un grado fu-
rono 16,29; ^3,92; e per conseguenza fu !r'= j5,9i;
r s= 1 3 , 54 .
Dopo 3 ore di sera il termornetro inferiore s'ab-
bassa; e raggiunge il superiore verso il cader del
Sole. Se questo tramonta ad TV minuti della sera, Tin-
tervallo per la dimiiiuziou di due gradi sara A'— i8c;
c quindi, se T osservazione fassi a minuti n della se-
>»r o r. a(« — 180)
ra , SI avra N ~ 1 80 : n — 180 = 2: —^ jr— .
N — loo
lo posto sara i ' = T ->. 2 -f. — -— i
Nell' osservazion i5* stazion IV del giorno 12 Apri-
le, ore 3 | della sera fu iV=44i; /i = 225; e qum-
di — — 5— '= -4- =0,345; r' = r— 2-+-o,345 =
N — j8o a6x ' ^ ' ' ^
7^ — T , 655. Le altezze osservate dei termometri col-
la solita diminuzione furono 17,685; 14,782; e per
conseguente fu jT' = 16 , o3; f' = i3 , 127.
final mente dal cader del Sole fi;io al crepusco-
lo vespertino il termornetro inferiore scende sotto il
superiore di altri due gradi. Siano TV i minuti del
cader del Sole; N' quei del crepuscolo; ed n quelli
T. II. P. IL 45
358 V E N I N I
deH'osservazione; saraiV' — A^:/i — A^=2: -—■ — j~ ;
e T' = T •*- —~ j^. In questi casi, non essendo
i terraometri esposti al Sole non dee farsi alle altez-
ze loro la solita diminuzione d' un grado .
L' osservazion i5" della stazion V fu fatta nel
giorno 7 Settembre a 6 ore e mezzo della sera . In
essa fa dunque iV' = 492; A' = ^87; n = 890; e per
^ a (re — N) 6 . Ti, rr ^
conseguente -^rr:^^ = -^ = 0, 057 ; e T' — T-*-
0,067. Le osservazioni diedero T=i6,9i5; f=i6»
io5; onde risulta 7" = 16 , 972; e t' = 16 , 162.
Con questo metodo io ho calcolate tutte le tem-
perature delle 16 osservazioni fatte in giorni sereni;
. . T' -^- t'
e n' ho avuti i seguenti valori di
16 , 705
14 , 735
1 5 , 6o5
14 . 64»
i5 J 225
i5 , 4i5
14 3 161
i5 , 655
17 , 099
SULLE
LIVELLAZIONI BAROMETRICHE
l5
> 4'9
^4
> 909
i5
, 871
i5
, 533
i6
» "7
i3
, 6ia
]5
, 5a2
359
La somma e 246 , 224; e questa divlsa per 16 da
il valor medio i5 , 389. Se noii avessi fatta la ridii-
zione delle temperature dal Sole airombra,il medio
sarebbe j6 , 889 minore del termine fisso di De Luc
un po' meno di f di grado. Ma questa differenza gia
per se stessa assai piccola pao anche in gran parte
attribuirsi all' incertezza dei calcoli alquanto ipoteti-
ci . iSloi possiam duiique ritenere il termine fisso 16,
75 del sig. De Luc pei termometri esposti al Sole a
cinque piedi da terra; e ridurlo a i5,75 pei termo-
metri egualmente esposti al Sole; ma alia distanza di
piedi 75.
In quattro delle osservazloni fatte al nascer del
Sole la differenza non oltrepasso i quattro piedi; ma
la lor media temperatura fu solo di gradi 11 , 59 .
Per mancanza di esperienze fatte al nascer del Sole
io non so di qiiaiito il termoiiietro debba in quell'ora
esser piu alto al Sole cbe all' ombra; ma non credo,
che la differenza possa esser maggiore d' un mezzo
grado. D' un mezzo grado avrebbe dunque a dimi-
nuirsi l' altezza osservata; poi, come voglioii gli spe-
36o
V E N I N I
limeiui del slg. Pictet, si dovrebbe accrescer di due:
il cbe la ridurrebbe ad 1 1 , Sc; -<- i , 5 = i3 , 09 an-
cor troppo piccola. Le osservazioni fatte al nascer del
Sole, non potendo combinarsi coll'altre assai piu nu-
merose io son d'avviso, die si debbano escludere. E
COS! ha fatto il sig. De Luc; il quale ha procurato
eziandio di spiegar quest' anornalia per mezzo del ven-
to orientale, che spira per 1' ordinario al nascer del
Sole .
71. Trovato il termine fisso, cioe la temperatura
media della colonna aerea, posra la quale la ditferen-
za logaritniica n'esprime immediatamente Taltezza in
millesimi di tesa, resta ancora a determinarsi di qiian-
to qufsta hinghezza sia accresciuta per ogiii grado di
calore sopra il terrain suddetto, di quanto dimiuuita
per ogni grado al di sotto. 11 sig. De Luc avrebbe
potuto liberarsi da quest' indagine Jaboriosa prenden-
do un medio fra i risuUati delle sperienze manome-
triche fatte dai Fisici, e note ai tempi , in cui egli
scriveva. Ma a lui probabihnente non parve ben si-
cura la supposizione; clie il calore operi egualmente
neir aria aperia dell' atmosfera e nelle piccole masse
d'aria -chiuse in un manometro. Determinossi adunqne
a cercar la legge delle ddatazioni e condensazioni
deir aria con un attento esame delle osservazioni da
lui fatte al monte Saleve; nella qual risoluzione non
so se piu sia da lodarsi la prudenza di lui, o il co-
raggio e la pazienza. Ma 1' irregolarita delle osserva-
zioni fatte al nascer del Sole rendeva inntili i suoi
tentativi ; e sol dopo averle separate dalle altre ed
escluse, egli pote giugnere al fine desiderate.
8ULLE LIVELLAZIONI BAUOMETRICIIE 36 1
„ In tutte le inie stazioni (dic'egli al num 607)
„ io cercai qual era il rapporto fra I'altezza del liiogo
„ ed il nuinero medio dei piedi da aggiungersi o da sot-
„ trarsi per ogni grado del termometro presso al punto
„ fisso, e qual legge seguivano i cangiameiiti di que-
„ sti rapporti neirallontanarsi da una parte o dall'al-
„ tra di questo punto deterininato. Finita quest' ope-
„ razione vidi tanta conformita fra i rapporti trovati
„ in ogni stazione, e cosi poca regolarita nelle lor
„ piccole differeuze; che mi determinai a comhinar
„ tutte le frazioni, ch' esprimevano questi rapporti.
„ Trovai per tal mezzo , che presso la temperatura
„ fissa la correzione per ogni grado del termome-
„ tro era all' altezza del luogo come i a 2i5; e che
„ gli accrescimeiiti o diminuzioni da farsi a questo
„ rapporto per la dififerenza dei pesi degli stessi vo-
„ lumi d' aria diversamente scaldata erano con suffi-
„ ciente esattezza proporzionali agli eccessi o ai di-
„ fetti deir altezza trovata coi logaritmi in confron-
„ to deir altezza del luogo. O piu generalmente: che
„ la correzione da farsi in piu o in meno per ogni
„ srado del termometro era all' altezza data dai lo"
„ garitmi come i a 2i5„.
Anche qui I'autore s'e contentato di comunicar
ai lettori il suo risultato senza dimostrarne ahneno
con qualch'esempio la verita e 1' esattezza. lo procu-
rero dunque di supplire a questa mancanza; ed a tal
fine comincero a calcolare per mezzo delle osserva-
zioui fatte alle due ultime stazioni, che son le piii
alte, di quanto 1' aria si dilati e condensi ad ogni
grado del termometro diviso in 80 frai due termini
v.
362 Y E N I N I
fissi. Tutte le regole conducenti a trovar I'akezza dei
luoghi per mezzo delle ditt'erenze logaritmiche, non
ommessa la correzion del calore, son contenuce pel
num. 39 in questa formola generale:
X = 1 0000 ( I -♦- :^-^ ) L —\
n a
nella quale T' espiime la temperatura o il termine
fisso; cui corrisponde x = loooo L - ; la tem-
peratura media della colonna aerea per qualunque ca-
se particolare; ed - la dilatazione o condensazione
* n
deir aria per ogni grado del termometro sopra o sot-
to il termine fisso. Fongasi ^ in luogo di -; e la for-
mola diverra
X — looco ( I -»- ( ^-^^-~ T')E)L-.
II valor di T' determinato colle osservazioni del sig.
De Luc e 16 , 76. Per mezzo delle stesse osservazio-
ni resta dunque da trovarsi anche il valore di E\ lo
che facilmente si ottiene nella seguente maniera. Sia
D la distanza verticale dei due barometri posti in
osservazione, e sostituendo D ad x la formola sara
D = loooo ( I -H ( ^-^^ -T')E) L-;
nella quale E sara incognita. Or questa equivale a
SULLE LIVLLLAZIONI BAROMETRICHE 363
F) D = loooo /y — -t- 1 0000 { \6.ih)EL— ;
e pel sue mezzo si trova
E
A
D — roooo L —
a
a a
Se e = i6 , 75 = J"' la formola /"si riduce
a
A
a Z> = 1 0000 L — e piu non serve a trovare il valor
T -^ t
di E. Ma se e magglor o minore di 16,75 po-
tra talvoka avvenire, che nella frazion precedente il
numeratore ed il denoininatore sian di segno contra-
rio; onde risuki per E un valor negativo . Or cio
T -f- t
vuol dire che, se in sifFatti casi supera il ternil
ne fisso, la correzione in luogo d' esser additiva di-
vien negntiva, e vice versa; la qiial cosa, supposta I'e-
sattezza del termine fisso e manifestainente contrad-
dittoria. L' osservazion che conduce ad un risukato
di tal natura non puo esser esatta; e per i' iinper-
fezion sua dev' essere rigettata. Tal e la sedicesiina
della stazion iV; in cui fu i) = 121 , 444 tese; A =
rri ,
5 1 55 sedicesimi di linea; a =5oii ; = '7 •> -^P^*'
364 V E N I N I
a
— i6 , 7.5 = o , 645. Con questi dati trovasi
A A
1 0000 Z/ - = 1 23 , 043 ; /> — 1 0000 Z/ — = — I J 5qq ;
a a ^ ^
e o , 645 ( 1 0000 Z/ — ) = -»- 79 , 263. Sarebbe dunque
E = — — ' ^^- = — o , 020148. Per una temperatu-
-t- 79 , 363 ^ ^
ra, che supera il termine fisso di 0,648 invece d'ac-
crescer il risultato logaritinico dovrebbesi aduiique di-
minuirlo; o per isfuggir questo assurdo converrebbe
accrescer il termine fisso, e renderlo maggiore di 17,
395. Suppongasi, per esempio, = 20; e sara 17,39$
— 20 = — 2 , 6o5 . Avrem dunque — 2 , 6o5 ( loooo
Z,-) = -.32o,53; ed E== rLL.'j99 ^ o , 0049887 .
Questo -valor di E non contien piii alcun assurdo; e
lascia, che la correzione tal si faccia qual e richie-
9ta dalla difFerenza della temperatura media e del
supposto termine fisso, cioe diminuendo I'altezza lo-
garitmica. Ma questa necessita di cangiare il termi-
ne fisso legittimamente dedotto da un gran numero
d' altre osservazioni e un certo indizio dell' inesattez-
za di questa. |^
Applichiam ora la forraola alle due ultime sta-
zioni per trarne il valore di E. L'ultima contiene 11
osservazioni; delle quali 6 a temperatura minore del
termine fisso, e cinque a maggiore. In questa stazio-
SULLE LIVELLAZIONI BAROMETRICIIE 365
ne Z) e = 487 , 778 te. Per le sei prime osserva-
zioni le altezze medie dei barometri sonO/^=520i,
T -^- t
33; a = 4635; e 16 , 75 = — 5 , 5oi . Con
questi dati troYO D — loooo L — = — 12 , 869;
( 16 , 75) 1 0000 Z — ■= — 2754,066; e quia-
0046727 =
3754 ,066 ^ ' • ai4 ) 01
Per le altre cinque fu /4 = 6184 , 6; a = 4641 ,
T-+- ^
2; e 16 , 75 = -t- 2 , 924. La forinola calco-
lata con questi dati mi conduce ad i7= 0,0049274 =
r • II valor medio di E vien dunque ad essere
202 , 95 1
o , 0048 = ,/ -^ .
ao8 , 33
JNella penultima stazione; (in cui D e =457,08)
sei osservazioni fnron fatte a temperature minori del
termine fisso; ma la temperatura della sesta e taiito
viciiia al detto termine, die si deve aver per ugua-
le; e non puo servire a determinar il valore di E.
Le altre cinque osservazioni danno i segueuti valori
raedii
^ = 5214,2; a = 4683, 2; e 16,75 = — 4, 33225.
T II. 1\ II "* 46
366 V E N I N I
Calcolo con questi dati la formola; e trovo Zi" = o ,
0046368 =
ai5 , 665 *
Per le 4 osservazloni di temperatura superlore
al tennine fisso e J = 5i85 , 5 ; a = 467.5 , 5 ; e
— 16 , 75 = -4- 2 , 5499; e quindi risulta E
o , 0048609 = / „, .
■^ ao5 ;, 735
II medio dei quattro valori di E dcdotti dai cal-
coli precedenti e o , 0047744$ =
aoy , 4-5 *
La differenza tra qiipsto valore e quello del sig.
De Luc e 0,00012326 quantita cosi piccola , che nel
calcolo delle osservazloni del monte Saleve non puo
mtrodurre alcuna sensibile differenza. Ed invero nel-
la prima osservazione della stazion VII, la tempera-
tura essendo stata alia massima distanzu dal termine
fisso, da questa deve nascer la massima differenza fra
i risiiltati dellc altezze calcolate coi due valori di E.
II calcolo si fa col la formola
X = 1 0000 ( I -+- (
i6,75)ii')Z/-; enel pre-
Si Q0
sente caso A e = 52 1 1 ; a = 49 1 6 ;
— i5 , 695. Sara dunque
T-t- t
— 16,75^
SULLE LIVELLAZIOKI BAROMETKICIIE 867
X = 1 0000 ( I - ( i5 , 695 ) E) L -^ . Sostituendo
in quest' equazione i due valori di E si otterranno i
due risultati in lese x = 2.34 , i3 per la supposizio-
ne ^\ E = -; ed x= 2?)4,6i6 per qutlla di E
3,09 ,45 ^ * A
= — r'-, cosicche la differenza dei due risultati non e;iu-
gtie a 3 piedi per un' altezza di 1420 ; ed e poco
maggiore di % per 100.
72. E qui non credo inutil cosa il dimostrare in
qual modo dalle osservazioni delT ultima stazione pos-
son immediatamente dedursi i valori cosi del terinine
fisso come dell' espansione o condensazione dell' aria
quasi eguali a quelli del lisico di Ginevra. Nelle i-
potesi delle espansioni dell'aria uiiiformi, e della teni-
peratura della colonna aerea espressa dal medio ari-
tmetico delle due osservate alle sue estremita, la tor-
mola generale pel calcolo delle altezze e
X =z B I 10 (1 -t- T E) L —; nella quale A , a son
le altezze corrette dei barometri, e 7" la temperatu-
ra media dei termometri. Se in essa sostituiremo ad
X la distanza vertical dei barometri data dalla mi-
sura geometrica o dalla livellazione, ed espressa da />,
potremo considerar come incogniri i valori di E, e di
£ t 10; e determinarli nel modo seguente.
Per un certo numero d'osservazioni siano /i,a le
altezze raedie dei barometri, T la temperatura media,
368
V E N I N I
e per nn numero similmente dato d' akre osservazio-
ni A' , a , T' le quanrita corrispondenti . Da queste
supposizioui nascon le due equazioiii seguenii
D = B I io( I -t- T £) L-
^ 'a
D = B I 10 ( I -i- T' £) L~; ovvero
B I 10 =
D
(i -H TE)L
a
Bl 10 =
D
A'
Col mezzo di questi due valori dl B I \o si for-
mera dunque una nuova equazione ; dalla quale si
dedurra
E^
a a
T' L— ~ T id
a'
a
Nella stazion XV fu Z) = 487 , 778 te.; ed i va-
lori medii per le prime 6 osservazioni A = Saoi , 33 ;
a = 4635 ; X - = o , 0500647 ; ^ = 1 1 » 2149 • Qiielli
delle altre cinque fnrono J' = 6184 , 6; a' = 4641 ,
A'
a; L —=0,0480850; e T' = 19,674. Ora per mea-
a
SULLE LIVELLAZIONI BAKOMETRICIIE 869
A A'
zo di questi valori si trova L Z, — =0,0019797;
T'L-,-TL- = o, 38284; e quindi
J. 0,0019797 -
E = _i-— ^^-^i = o , 0051711 .
o , 38io4
Sostitiiisco qnesto valor dl E in un di quelli di
B I \o; e mi risuka B t 10 = 9207 , 37.
Determinate cosi le due iiicognite ne sostituisco i va-
lori nella formola generale; e mi viene
T -*- 1
X = 9207 ,37(1 -»- ( o , oo5 1711) ) L
A
a
Per dare anche a questa una forma simile a quel-
la del sig. De Luc la paragono colla formola gene-
rale {F) del num. 39, cioe
X = loooo ( r — - ) ( 1 -+- —. ^. ) E-;
e mi vengon queste due equazioni
7" t
10000 ( I ) = 9207,37 ; — = o , 0081711 ;
^ n ^ n — 1
ovvero, sostituendo ^ ad - ,
n
10000(1 - r'i:) = 9207,37; --—^^ = 0,0051711.
E per mezzo di queste si troveranno i valori di E^
e di T'.
Fatto il calcolo ne risulta £" = o , 0047612 =
370 V E N I N I
x; e 2"' = 16 , 648; i quali valori sostituiti nel-
la forniola (F) del num. 89 danno
, T-f-^— 16 ,648 , , ^
a; = loooo ( 1 h , '-~p~ ) L-.
a ( aio , o3) ' a
I valori di T' e di n sono in questa formola tan-
to vicini a quelli del sig. De Luc; clie nel calcolo
delle akezze non possoji condurre a risultati sensibil-
mente diversi . In fatti nel caso di 7" -h r = o , che
ben di rado puo aver luogo nelle akezze alquanto
grandi, la differenza sarebbe una delle maggiori; ma
non passerebbe 1' uno e mezzo per mille.
7-3. Per determinare il valor di E colle osserva-
zioni facte a ciel coperto 10 bo calcolate separata-
mente tutte quelle, che il sig. De Luc ha registrate
nelle sue tavole cominciaudo dalla stazion V. Sedici
di queste furon fatte a temperatura inferiore al ter-
mine fisso, e nove a temperatura superiore. Le pri-
me ora son maggiori or minori di o ,0046512 =
— : espansione del sig. De Luc; e la lor media e =
o , 0046.348. La differenza tra questo valore e quel-
lo del fisico di Ginevra e = o , 0000164; e questa
moltiplicata anche per 16 gradi, ai quah nelle os-
servazioni del monte Saleve non e mai giunto il va-
• T" -4- ^
lore di — 16 , 76, porterebbe nei risultati dei
calcoli la dilTerenza d' un quarto per mille nell' al-
w»-
SULLE I.IVELLAZIOXl B.VllOMETKICHE 07!
tezza clella stazione. In tutte le os«ervazionl fatte a
ciel coperto, etJ a temperatura iiiferiore al terniine
fisso parmi dimque, die si possa con sicnrezza a-
doitare il valor di E asse<>;nato dal siu;. De Luc.
Welle osservazioni di teujperatura superiore al
tennine fisso una sola, cioe I'ultima della stazion IX
da ad E un valor superiore a o , 0046.512. tutte Tal-
tre lo dan minore, ed alcune d'assai. L' osservazion
decima drlla stazion XII conduce ad .£"=0,0016996
minore del valor di De Luc di o , 0029516. Or que-
sta diff'erenza moltiplicata per 2 , 2576 valore di
16 , 75 nella detta osservazione produce un
eccesso di 6 millesimi e f delT altezza totale, o al-
quanto pin di 17 piedi. £ tale appunto e in questo
caso r errore della regola, come si vede nella tavo-
la di questa stazione. 11 valor di E per 1' ultima os-
servazione della stazion IX e o , 0055714 superiore
al sopra indicato della stazion XIE di o,oo387i3.
Qual possa esser la cagione di tanta irregolarita nel-
le espansioni dell'aria corrispondenti alle osservazioni
fatte a ciel coperto ed a temperatura superiore al
termine fisso io non saprei: so pero, che una irre-
golarita cosi fatta rende molto incerti i risultati del-
le livellazioni baronietriche fatte in tali circostanze
di temperatura e di cielo; e clie miglior consiglio e
r astenersi allora dal farle.
74. Ma quali saranno i valori di E nelle osser-
vazioni fatte a ciel sereno ma in ore non distanti
pill di 3o minuti dalle tre pomeridiane? Per qucste la
372
V K N I N I
correzione tledotta dalle sperienze del sig. Pictet di-
niinuisce quasi di due gradi la tcinperatura osserva-
ta . ]Ma si avverta, clie la correzion deve farsi anclie
alia temperatura del termine fisso; la quale nell' os-
servaziou 4* della stazione XIII fatta a due ore 48
minuti di sera fu di gradi i3,6ii pei termometri
aH'ombra. Con questo valore del termine fisso , e non
con 16 , 75 si avran dunque a calcolare i valori di
E nelle osservazioni fatte alle ore anzidette; volen-
do a quelle applicar la correzione. Eccone alcuni e-
sempj
Stazione VI, osservazion 9^ Aprile 19, sera 2 "45'.
i) = 2o3^iii; J = 5i56; a = 491^; tempera-
tura media dei termometri al Sole
= 12 , 665 ;
air ombra 11 , 665.
T\T 9 nor T -^ t a(« — iV— l5o) ,, f f-r
iV = 3io; ;i=885; ^ — r ~ — i=ii,665—
' - 750 — iV
I , 93 = 9 , y35 =
a,
T' -^ t'
Sara dunque i3 , 612 = — 3 , 877 . Senza
la correzione si ha 16 , 75 = — 4 , o85 .
Fatti i calcoli con questi dati trovo per E i se-
guenti valori
8ULLE LIVELLAZIONI BAROMETRIC HE SyS
senza correzione colla correzione
jF = o , oo5632o JE = o , 005934a
Stazion YI, osservazion 17^; Agosto 29, sera 3°' i5'.
D = 2o3 ,111; ^ = 5196; a =1 4960 ; =
17,825; iV=4ci; n=i95; i3 , 612 =
-♦- I , 349.
Valori di E
senza correzione colla correzione
o , 0057001 o , 0045423.
Stazione VIII, osservazion i5s Agosto 7, sera 3 «' 3o'
Z) = 3oo , o83 ; ,4 =5189; n = 485o; =21,48
N = 432 ; 71 = 2 1 o ; i3, 612 = 5,1 06.
a,
Valori di E
senza correzione colla correzione
o , 0048008 0,0044474
lo ho calcolate per simil guisa le altre osserva-
zioni delle tavole del si^. De Luc, fatte alle ore an-
zidette ( fccetinaiidone per le ragioai da me gia la-
T. II. P. LL 47
374
V E N I N I
dicate quelle di temperatura troppo vicina al terrai-
ne fisso) e u' lio avuti i segueiui nsultati
Valori di E per le temperature inferior! al tennine fisso.
senza correzione
o , oo563ao
45301
60281
6o83o
51662
colla correzione
o , 005934a
49959
64301
6296a
S4959
0 , 0274349
0 J o29i5a3
per le temperature superiori
al termine fisso
0 , ooS^ooi
0 , 0045428
48008
44474
45881
42192
48^81
47.98
45415
42586
39303
37839
6o5o4
4970*
78338
6764a
4891 1
46 ICO
o , 047164a
o , o4a3i56
SULLE LIVELLAZIONI BAUOMETRICIIE SyS
I valori rnedii dei quattordici sono
senza correzione colla correzlone
o , 0053285 0^,0051048.
Sostituendo questi valori di £", e qnelli dl 7",
cioe 16,75; e i3-,6i2 nella formola
X — 10000 ( 1 -^ ( T') E)L- trovansi risul-
tati quasi eguali fra loro, e per 1' ordinario assai vi-
cini a quelli della regola del sig. De Luc.
Prendiamoiie per esempio 1' osservazioiie 14' del-
la stazion IX; nella quale fu Z> = 32 7, 5^1 ; ^^=5190;
T -^ t T' -*- t'
0 = 4820; 16,75 = 4,3; e i3 , 612 =
a a
4,676. II valor di £" senza correzione e =o,oo53285;
e colla correzione = o , 0051048.
Calcolando 1' altezza senza correzione la formola
diviene
X — loooo (1 -♦-4,3(0, 0053285 ) ) L — ^ ; ed in
' 4oao
questo caso il risultato del calcolo e di tese 328,56.
J\Ia per calcolar I'aliezza colla correzione e d'uo-
po supporre , che i barometri sian trasportati a 75
piedi d' altezza sopra le due stazioni; per la qual
supposizione 1' altezza del barometro inferiore diini-
nuira presso a poco di i5 sedicesimi di linea, e qutl-
la del superiore di 14. Sara dunque J=5j75; ed
376 V E N I N I
a 5= 4806. Per queste supposizioni la formola vien ad
essere
X= ICOOO ( I -+-4,676 (0,0051048) ) L —rr-T == 327 ' 9^'
La dilTerenza* trai due risultati e dunqne di | di
tesa su 3^7,5:^.1 , cio^ alquanto ineno di due per mil-
le. Per la regola del sig. De Luc £" e = o ,0046512;
e calcolaudo la formola con questo valore trovasi x =
327 , 63 maggiore dell' alcezza llvellata di o , 089 di
tesa o poco piu d' un mezzo piede. Degli altri due
risultati uno supera 1' altezza livellata di te. 1 ,019;
r altro di o , 369.
In genere calcolaudo le 14 osservazioui coi valo-
ri assegiiati dal sig. De Luc al termiue fisso ed all'e-
spausiou delTaria si liau uove risultati o eguali a quel
della livellazioue o minori tutto al piii di 4 piedi ;
nelle altre cinque i risultati sono quattro volte mag-
giori di piedi 5,6, 12, e 16; ma uno e minore di
12; il che iiidica per mio avviso, doversi le diff'eren-
ze attribuire ad altre circostauze che a quella dell' o-
ra» in cui furon fatte le osservazioni.
Da tutte le cose dette parmi di poter finalmen-
te concliiudere F die il valore — r dal sis;. De Luc
ai5 °
assegnato all' espansioni e condensazioni dell' aria e
legittiniamente dedoito dal complesso di tutte le sue
osservazioni: 11" die la sua regola puo sicuramente
applicarsi auche alle osservazioni fatte in ore assai vi-
cine a1le tre pomeridiane; per le quali le sperienze
del sua dotto concittadino potevan farla temer difet-
tosu.
SULLE L1VELLAZIONI BAKOMLTRICIIE 877
75. II calcolo del la forrnola
a; = 1 0000 ( 1 H ^^ ', -^ ) L - ha clue in-
convenient!: il primo di dover in ogni caso particola-
re sottrane il termine fisso 16,75 dalla temj)eratura
media osservata: il secondo di aver sempre a calcolar
•1 1 V s (T-f- ?) — 16 , 75 . , ,
11 valore di i -h — ^ . -^ : per cui deve mol-
tiplicarsi il risultato logaritmico affin d' avere la cor-
rezion del calore. Ognun vede, che il primo incon-
veniente si puo facilraente schivare trasportando al
termine fisso 16,75 il cominciamento o zero della sea-
la; nel qual caso i gradi superiori al detto termine
son positivi; negativi gVinferiori. II grado deiracc[ua
bollente e in questa scala -♦-63,25; quelle del ghiac-
cio in fusione — 16 , 75. Cliiamando Z", t' 1 gradi
osservati su questa scala sara Z" = 7" — 16 , 75; t' = t
— 16 , 75; e le altezze si calcoleran colla forniola
X = 1 0000 L — »- . ( 10000 L — ) .
a a . a 1 5 ^ a '
Piu difficile era il liberarsi dal secondo inconve-
niente; ma il sig. De Luc ci pervenne coll' ingegno-
so ripiego di dare alia scala del tennometro una nuo-
va graduazione. Ecco in cosa consiste questo felice
ed utilissimo ritrovamento. Sieno T" c" i gradi d' un
termometro diviso in maniera , che equivalga
J 000
378
V E N I N I
a r. In tal caso il moltiplicatore del risultato
logaritmico si riduce ad un millesimo della somma
dei due gradi indicati dalla nuova scala del terinome-
tro. Or dalla siipposizione di
rpii
t'
diice immediatamente T" h- f"
1000 a.2ii5
ai 5
side-
Si osservi, die i gradi T\t' son presi in un ter-
mometro, il cui intervallo frai due termini fissi e di-
viso in 80 gradi. Dividasi ora lo stesso intervallo in
un nuraero di gradi, clie sia ad 80 nel rapporto di 5oo
a 21 5 cioe in 186 numero intero dato dalT analogia.
I gradi di questa nuova divisione saran dunque Z"' =
]86 T
80 '
5co ( T
00
i86(r'-t- t')
n
; e per conseguente
80
T" -4- t'
a.ai5
ai5 ' *■ ^ 1000
Al grade 16 , 75 della scala divisa in 80 parri cor-
risponde il grado 88,944, opiu sempliceniente 3q nel-
la scala divisa in 186. Alia temperatura dell' acqua
bollente corrisponde adnnque in c[nesta nuova divisio-
ne il grado •+■ 147; ed il grado — 89 a quella del
ghiaccio in fusione.
Con questa nuova dfvision del termometro la re-
gola del fisico di Ginevra e espressa da questa for-
mola semplicissima
t")
.X = 1 0000 Z/ — -t- i-
a. icoo
I GOOD L —
a
SULLE LiVELLAZIONI BMIOMLTRICIIE 679
Per verier di ciuatuo essa reiula piu agevole il
calcolo ne serva d' esempio 1' osservaziou prima della
stazioii XV; in cui fu J= 6209; a = 46.32; =
7 , 5o5 nel termometro di Go gradi; e quiiidi —
16 , 75 = — 9 , 245. In questo caso abbiam duiique
f 9 , 245 , , 5 ioq ^ 9 , a4'> ,
X = loooo ( I — - — — ) L ~ . Ora ^ ^ e =
^ ai5 ' 463i ai5
, 0 , 245 r T" 1 r -^ <
o , 042099; ed I— 7- = o , 067 . 1 inalmente jL — e =
o , o5o9858; e da tutti quest! dati viene il calcolo se«
guente
L loooo = 4 ■ 0000000
X{L^) = 8 . 707449a
a
Lo,()5'j = g . 9809119
X a: = a . 68836i i ; a; = 4O7 , 984 .
Nel termometro del sig. De Luc e T" = — 14, 5;
f" = — 28 , 5 ; e T" -i- t" = — 4:5 . Dunque per la sua
regola e x = 509 , 838 — ( 609 , 858 ) = 487 , 934.
I due risultati sono esattamente uguali; ma il calco-
lo della regola di De Luc e senza paragone piii spe-
dito di quello dell' altra formola.
38o
V E N I N I
76. Ma il Professore Hennert nella sua disserta-
zione da me piii volte menzionata sulLa mi sura delle
ahezze per mezzo del barometro disapprova aperta-
mente questa regola, ed il metodo, con cui fu tro-
vata come quelle, ch'e secondo lui troppo empirico,
o fondato unicamente sopra una spezie di giuoco e
fortuita combinazione dei niimeri. Dice, die il ter-
mine fisso ha luogo soltanto iiella formola
X = { ) B L — prossimamente vera, non gia nel-
Q, C c A
Vesatta x = (7^ ) B L — : che aiiclie nella prima il
C -i-c
a
termitie fisso non e costante, ma varia col variar del
coefliciente B di verso in Inghilterra ed a Ginevra.
iVfferma, che tra le osservazioni di Ginevra sette so-
le ne ha trovate vicine al calor medio 69°, 7 F. (cor-
rispondenti a 16", 76 i?. ); ma che due di queste e
non piu son esatte; le altre, coiitenendo errori d'ol-
tre a cinque piedi , non posson aversi per accurate.
E qui non linisce la guerra da lui fatta al termine
fisso.,, Questo, die' egli, e meramente precario, o al_
„ meno empirico; poiche e fondato su d' un' ipoiesi
„ non provara dalTautor suo con alcuna ragione, cioe
„ che s' abbia a prender il calor medio fra il supe-
„ riore e V inferiore. Ma qual puo essere la ragioa
„ di cio fare? Non altra che quella triviale usanza
„ aritmeiica; per cui tra varii eventi non molto iue-
„ guali, prendendone il medio, si determina 1' even-
„ to prossinio al vero. Or da questa supposizione del
SULT.E LlVnLLAZIONI BAROMKTRICIIE 38 I
„ calor medio il chiarissimo De la Grange ha dimo
„ strato spgiiirne; che il calore e presso a poco in
„ progrt-ssioiie aiitmetica , cosa ripugnante alle osser-
„ vazioni di iiitti ,. . Finalmente T auror disapprova
anclie il modo con ciii il sig. De Luc ha fissata 1' e-
spansione e coiidensazion dell' aria sopra e sotto ii suo
termine fisso ad — ^ ; e ciia a questo proposito il sig.
Damen , che aveva gia fatto lo stesso nella sua dis-
seria^ione intirolata De montium altitudine dimeilen^
da &c. Hagae Comiturn 170.3.
Alia congerie di tante obbiezioni pafnii, che il
celebre fisico di Giiievra avrehbe ad un di presso
potuto rispondere a questo modo. Voi m' opponete,
che d«'lle sette osservazioni vicine al termine fisso due
sole son esatie; le altre, conteneiido errori maggiori
di cinque piedi non posson aversi per accurate. Ma
la mia fissazione del grado 16,75 /f = 69,69 F. non
e traita da sette osservazioni: essa e dedotta da tut-
te quelle, in cui la dilTerenza tra il risultato logari-
tmico e la vertical distanza delle stazioni non e mag-
giore di quaitro piedi. In queste prendete i valori di
; uniteli tutti in una somma; dividetela pel nu-
mero delle osservazioni; e giungerete ad un risultato
ben vicino a 16 , 76 .
Ma il mio metodo, dite voi,^troppo empirico:
esso e unicamente fondato sopra una specie di gino-
co, e fortuiia coinbiiiaziune dei nuuicri. Sia pure. Ma
T. II. P. II. ^«
in tutti i metofll pii'i diretti la deterniiiiazione del coef-
ficinite costume, e qiirlla d< iresjiansion dell' aria per
ojriii grado del termouutro sopra una data temp<ra-
iiiia si deduce da hwa qiiaiirita graiide di mimeri da-
ti da osservazioiii ed esperien/e accurate. Direte voi
dmiqne, che jiikIk' qiieste determiiiazioni sieno uno
scherzo dei iiiinirri aocidentale? Voi nol direte certo;
ed io ne coiuliiudd: iiiiina biiona ragione avervi iii-
d(>tto a dirlo del mio sotto il nome d' einpirico da
voi disprezzaro.
Ali op|)oiiete, ch' io suppongo il calor decrescen-
tp presso a poro in progressione aritmetica; e date
per certo, esser (|uest' ipotesi contraria all' osserva-
zioiie universale. Ma quali sou diuique le osservazio-
ni, che provin la falsita delT ipotesi della progressio-
ne aritmetica; e che di quella dell' armonica stabdi-
scano la verita e 1' esattezza? Le osservazioni termo-
metriehe fatte contemporaneamente a varie distanze
verticali servon a deterininare la quantita dell'abhas-
samento del liquore nel terrnometro per un dato in-
nalzaniento di questo nelPatmosfera. Ma cio non ba-
sta per conthiuderne di quanto il liquor s'abbassi per
ogiii tesa a cagion d'esempio, di cui s'inualza il ter-
rnometro. Convien sapere di piii qual sia la legge del-
la diminuzion del calore ascendei)tt ; e per iscoprirla
dovrebbe farsi un gran numero d' osservazioni a di-
stanze uniformemente crescenti, come sarebbe di lOO
in 100 tese; alBii di vedere coU' ajuto di qnesto me-
todo empirico da voi spregiato ma necessario in t|ual
ragione si corrispondano gl' innalzanienti del terrno-
metro, e le depressioni del sue liquore. Ma queste
SULLE LIVELLAZIONI BAROMETUICIIE 383
ofiservazloni ne si son fatte, ne sarebbero agcvoli ad
esfgiiirsi. Lo stesso sig. De la Grange da voi citato,
dopo d' aver diinostrato, die la inia regula conduce
IP . Tn- -1 ^ y d X I \(i
all equazion dilierenziale — -^ = : ove t esi)ri-
me il numero dei gradi del terniometro sopra 16,78
soggiunge cjiieste pit cise parole : „ qui non si dovra
„ far altro die avt're il valor di r in x o in y; ma
„ qnesto non e facile: poiche, sebben sia costante
„ che, crescendo le altez^e delT atmosfera colTallon-
„ tanarsi dalla superficie terrestre, il calor dinnuui-
„ see, non si e ancor potuto deterininar la legge di
„ questa diminuzione ne per teoria ne per esperien-
„ za „. £ notate, che lo stesso egli avrcbbe deito del-
la formola generale -= jr-r.\ ^ioe che I'espressio-
ne della fnnzione X in x o in y non s' e ottenuta
ancora ne per troria, ne per esperienza. Kgli par la
in appresso dell' ipotesi della diminnzion del calore
in progressione arinonira proposta dal sig. Enlero; ina
non ne fa nso verimo per detenn'oar la leggf delle
rilVaz'Oiii asironomithe; al (pial fine si serve della
nna re2;()la, che snppone i decreincnti del calore in
una progression*' assai vicina all' ariiniecica.
lo non so dunqne con qual fondaniento voi ab-
Liate afTerinato, esser la formola x=(^ )BL —
3O4 V E N I N I
esclusivainciite vera ed esatta ; il die suppone, chela
tliminuzioii del calore ascendente in prOji,ressione ar-
nionica sia la vera ed unica legge della natura. Ma
quando qiiesto aiicor fosse vero, ne seguirebbe egli
per cio; che i risultati della vostra formola dovesser
essere seiisibMmente diversi da quel della mia? Ve-
diamo. La sola dilTerenza delle due forinole sta nelle
due frazioni ; ; delle quali la prima e il
2 C -t- c *
medio aritmetico, la seconda 1' armonico frai calori
delle due stazioni. La prima e alquanto maggiore
della secouda; e la differenza loro si riduce a
(C-cY ...... , ,
— rp; r quantita piccolissima anche per ie massime
distanze verricali delle stazioni; cui corrisponde ancbe
la difrerenza massima dei calori . Chiamata E Y e-
spansion dell' aria per ogui grado del termometro
detto di Reaumur comiiiciaiido dalla temperatura del
ghiaccio la differenza diviene — X^ — „ — ^=-7- H va-
° a (a -t- ( r-*-t) E)
lor di E per la mia regola e =0,0046512 facendo
cominciar le espansioni dal grado 16,75; ma traspor-
taiidone il comin< iamento al grado zero e =0,0050441;
e di questo valore mi serviro per determinare una
differenza cosi grande, che non puo aver luogo nel-
le altezze dei nionti accessibili, ma in quelle soltan-
to, cui giiiDgono qualche volta i giobi aerostatici cou
osscrvatori provveduti di strumenti metcor(jlogici. Sia
STJLLE LlVELLAZiONI BAKOME I'RICIIE 385
T =i 25; ^ = — 5; il the suppone un'altezza di cir-
ca 3ooo tese. Sara chuupu; ( ( /' — ^) /^ )'= 0,022899;
e 2(2-+-(7'-+-f)£') = 4,20i 764 . La diflerenza sara
quindi = ^—^^ — o ' 000^498; cioe poco piu de
mezzo per cento; cui corrispondereb])ero circa i 5 te-
se su 3ooo. Neir osservazion del Moribianco fu T =
22 , 6; e t = — 2 , S . Calcolate con questi dati la
differenza ; e la troverete =0,0036187; la quale
per 2200 tese d' altezza e di te. 7,7.
JNelle mie osservazioni del monte Saleve il valor
massimo di T — t iioii giunse mai a 9° R. Ma aiiche
per 9 gradi, supponendo 7"= 10; f = i, avremo
—. ^ — —r-= o , ooo5; val a dire, clie la differenza de'
a (G -«- c)
risultati per le due formole sara d'un mezzo per mil-
le. E per 5oo tese d'alrezza, alia qual noii giugne
alcuna delle mie stazioni sarebbe d" un quarto di te-
sa. Si calcoli coUe due formole la prima osservazio-
ne della stazion XV; cd i due risultati sarauno di
te. 487 , 93; 487 , 83; oude lutta la differenza ridu-
cesi ad un decimo di tesa. 11 calrolo della mia for-
mola e cert^inento a-^sai piii spedito cbe quel del-
la vostia . Perche duuque, a risultati uguali, dovra
darsi alia vostra la preft-reuza?
Al paragrafo 20 voi preudfte a dimostrare clie,
eupposti esatti i risultati dt-lla vostra formola
X = ( -^ — ) B L — calcolati coUe dilatazioui tlelf a-
C -»- c ' a
386
V K N I N I
ria della vostra tavola I* iiiun termine fisso piio aver
luogo (juaiitlo assai diversi sono i calori delle due sca-
zioiii; il qiial termiae peio si verifica sempie uell al-
tra formola x = {
) D L
A
Per non allungarmi di troppo io non entrero in
un niimito esame della vostra dunostrazioiie; alia qua-
le non poche cose avrei da opporre, e per mio av-
viso non lievi. Diro soltanto, che, se pel nome di
termine fisso s" intende il caso, in cui la differeuza lo-
garitinica uiohipiicata per 6cooo da iuunediataineute
r akezza in piedi francesi, esso lia luogo egualinen-
te nelle due ipotesi della diininuzioii del calore : in
quello della progressione armonica quando
aCc
600C0
B
: in quella della progressione aritmetica quando e
C -¥- c 60000 T.^ • C '• ^ 1 -1
- — = — -— . Ma se per termine nsso s intende 11 nu-
mero dei gradi corrispondeiite alia temperatura media
della colouna aerea nei casi anzidetti, esso conviene e-
sclusivameute alia progressione aritmetica: ed eccoiie
la ragioue. Per 1' ipotesi della progressione aritmetica le
C -t- c A
altezze son date dalla formola xz=B lie { ) ^ — ?
e dal complesso di tutte le mie osservazioni si dedu-
ce, che per averla in piedi di Francia dee p^rsi
B I \o=- 55325 , 5S; C = i n- (o , 0000441 )T\ e c =
JV
6ULLE LIVELLAZIONI BAKOME TKICIIE 807
1 -+- ( o , 0060441 ) t\ i qiiall valori la riducono ad
X = 553a5 , 58 ( i m- ( o , 008044 1 \ --— ) L - .
Ora, afliiiciie qu'^sta formola dia le aUezze in piedi
franctsi per intzzo dtlla sola dirteretiza lo<»aiiiiuica
niuliiplicaia per 60000, egli e mestieri, che Oocoo
sia = 55j25 ,.58 ( i -«- (o , 0060441 ) ): e quindi
i-H(o,ooo044»)-- = ,33^3 33= i ,0845. la
quest' cquazione prendo per incognita la temperatura
I- T" -+- ^ o , 0845
mtuia ; e trove, esser questa = -:r-- =
a ^ o , C00C441
16 , 761 .
INell' ipotesi deila progressione aritmetica le al-
t^zze son dunque date in piedi dalla dillerenza lo-
garitmica inoltiplicata per 60000 quando la tempera-
tura media aritmetica della colonoa d'aria e = 16", 75.
La formola per la progressione armonica e
X == B I 10 ( ) Z — ; e questa, chiamando E I'e-
C -t- c a ^
spansion delT aria supposta uniforme, diviene
P . {2(1 -^rE)(i -*- t E)) r -4 A I
X = B I 10^ — ^ yJ ^ — , „ — '-^ L - . Anche que-
a -t- ( T -¥■ t) E a ^
sta dara x = 60000 L — quando sia
a ^
388 V E N I N I
-A^^il^'lI^JHIlA^^J^. Ma da quest' e-
quazione non si piio dednrre alcnn valor fisso dl
. a Tt
T-^t
media temperatura armonica della colonna aerea da
misurarsi .
Voi osservate, the anche per la formola
a; = ( ) B L \\ terniine fisso non e costante, ma
a ' a
■varia col variar di B diverso in Inghilterra ed a Gi-
nevra. Ed io ne condiiudo, die, se le osservazioni
del General Roy soiio esatte, e dan nondimeno un
coefliciente diverso dal mio, cio vuol dire, die ad
egual temperatura non corrisponde in Inghilterra ed
a Ginevra lo stesso rapporto frai pesi specifici del-
r aria e del mercurio sorto un' egual pressione at-
mosferica; e die nei due luoghi diverso debh' essere
anche il termine fisgo. Ma questa diversita non to-
ghe, die il mio non sia esatto |>el luogo delle mie
osservazioni , e probabilmente per tutti quelli, ai qua-
li non giugne 1' aria manttima per la sua maggior
umidita piii dilatabile della terrestre ad un' egual
temperatura.
Voi nii rimproverate d' aver senza veruna plau-
sibil ragioiie sosiituito it caior medio costante al ca-
lor variabde della colonna aerea da misurarsi; ed a
questo io rispondo, che parmi d'avf^rlo fatto con fon-
damento. Se ndia diniiimzion drl calore dal basso
air alto ha luogo qualche legge costante, quella del-
SULLE I.IVELLAZIONI BAKOAJ ETKICIIK ^09
la progressione ariimctica e la piii senij>lice e na-
tuiale; ed io per cio V ho atlotcata. F/ vero, die
sosfiuH-tido al calor variabile tli (piesta ipotesi il
calor oostante e medio aritmetico fra qnelli delle
due stazioni, non si hau precisaniente i incde'imi ri-
snltati; ma la dillerenza tra (juesti e quasi iuseiisi-
Lile il) tutte le mie stazioni; eJ aiiclie per le massi-
me alrezze dei moiiii, ove si puo salir col harome-
irn , non e maggiore di 2 o 3 tese . Quindi il sig.
De la Grange alia pag. 264 del la sua AJemoria non
ha avuto difficoha d'affemiare, che„ frattanrlosi sol-
„ tanto di misurar le altezze dei monti col harome-
„ tro si potra senza error sensibile riguardare la quan-
„ tita t come costante, e per maggior esattezza potra
„ prendersi per t il grado medio fra gli osservati al-
„ le due estremita dell' alfezza da misurarsi. faj
Vengo fmalmente alT ultima delle vostre obhie-
zioni ; in cui si tratta della correzion da farsi all' al-
tezza logaritmica per ogni grado di calore sopra o
(a) II si>;. Dc l.i Grange rliiama t il valor varialiile dei gradi del ter-
mometro sopra o sotto il lermine fisso 16,75. Quindi io credo, ch' epli
abbia intpso di diie; die per f potra preiidi-rsi la ilifferenza tra il grado
medio dcgli ossetvati al|p due stazioni ed il terniine lisso .
Auche nella foruiola del big. Laplace rjurlla paite del coefEciente,
che spetta al calore h espressa da ( ) ( 0,00875 ); dove t , t' sono
le altezze del termometro a srala centpnaria sopra la temperatura del
gliidcrio in fusione, o sotto pe h.inno un valor negative. Oiimiii vede
adiinqup , che an' he in quella loruiola irovasi il medio aiiiinetico tiai
calori deile due stazioni; contro il quale il sig. Hennert ha tauto dccla-
mato.
T 11. P. II 49
390 V E N I N I
sotio il termine fisso 16,75, e da me fissata ad --=
III quest' obbiezione voi dice:,, non ha egli dunque
„ arbitrariainente stahilito, die i gradi di calore cres-
„ cauo o deirescaiio colla diHereuza delle aliezze?
„ Questo inet(3do e gia stato ceusuiato dal doitissi-
„ mo Dameii nella Dissertazione sulTakezza dei mon-
,, ti ecc. alle pagiiie 34 , 35 „. Rdeggete con qualche
attenzione il paragrafo 6o5 della mia opera; e tro-
verete, c!ie io nulla ho stabilito arbitiariamente; tro-
verete auzi, die lio dedotto da un laborioso confron-
to delle osservaziotii questa conseguenza : che lecces-
80 ed il difetto delTaltezza logaritmica sopra e sotto
la vera e proporzionale al iiumero dei gradi del ter-
mometro sopra e sotto il termine fisso con piccolissi-
me dilVerenze da un caso all' altro.
Ed io non credo, che della verita di questa pro-
posizioiie si possa ragionevolmente aver alcun dubbio.
Imperciocclie anche nei metodi, die si chiaman diret-
ti, dopo di aver determiuato coH'esperienza il coefficien-
te costante B corrispondente ad una determinata al-
tezza del barometro, e ad una data temperatura T'
deir aria e del niercurio, se ne conchmde la formola
x= B I 10 ( '• ) L - ; la quale, nella supposizio-
ne delle espansioni E delT aria unifonni, si cangia
in x = Bl \o {i ^ { ^^ ~T' )E)L^ equi-
valente a quest' alira
SULLE LIVELLAZIONl BAROMETIUCHE 89!
la quale il primo termine espriine V altezza per la
temperatura T\ ed il secondo I'eccesso o il dil'eito
di queir altezza sopra la vera. Or quest' eccesso o
difetto e manifestameiue proporzionale alia dinereu-
za delle temperature e T' . La proporzionalita
avra dunque luogo anche nel caso di J"' = 16 , 76;
pel quale Bl 10 e = 10000, che eappunto il caso inio.
Voi terminate le obbiezioni vostre dicendo, die
il mio metodo di determinar la quantita della corre-
zioue da farsi al risultato logaritmico e stata censu-
rata dal sig. Damen. Ma la sua ceusura a che si
riduce? Or ora il vedremo. Egli calcolo separata-
ineiue quattro dtlle mie osservazioni; e trovo queste
correzioni — ; - — : — ; — . La secouda a dir ve-
aix doa 214 Ai^
ro s' allontana sensibilmente dalla mia; la prima le
si accosta assai piu. Ma si avverta, die queste osser-
vazioni furon faite uella secouda e terza stazioue rim-
petto ad uuo scoglio, che col suo riverbero reude
irregolare la temperatura della colouna aerea da mi-
surarsi. Quest' irregolarita fu picciola uelT osser-
vazion prima fatta ad una bassa temperatura; per
cui lo scoglio uou pote guari scaldarsi; ma ben piii
grande fu neila secouda fatta al 7 d' Agosto a ciiujue
ore di sera, e ad una temperatura media di gradi
39a V E
N 1 N I
22 , -jS R. AW opposto le altre duo osservazioni fat-
te ill circostaiize iion soggette ad eccezioiii dan le
correzioiii cjuasi eguali alia mia. II sig. Daint^ii ag-
giunge d' aver calcolate altre osservazioni fiite in
tempo caldo ed a piccole' altezze, e d' aver trovato,
che in quelle circostanze la correzione — : era per
il>0
lo pin troppo picriola. Ed io rispondo; die in quel-
le circostanze appnnto troppo grande fu Tirregolari-
ta del calore; prr cui furon piii o nieno erronei i ri-
sultati della correzione.
Ascoltiani ora la general conchiu^ione del sig.
Damen.,, Ma poiche, dic'egli, le dill'erenze trovate
„ sono assai piccole, il valor della correzione — ras-
„ segnato dal sig. De Luc sembra, che sicnrament^
„ si possa ammettere come un valor medio; quantun-
„ que io creda^ ch' egli avrebbe pin esattarnente o-
„ perato calcolando separata niente tutte le sne osser-
„ vazioiii.,, Io non m' oppongo a qnesta conchinsio-
ne per me favorevole. Dico soltanto, die, calcolando
ad una ad una tutte le mie osservazioni avrei dovu-
to faticare assai piu per giunger finaimente al mede-
simo risultato.
Ed io qui terminero questa specie d' apologia,
con cui mi sono arrischiato di flir parlare il celebre
fisico di Ginevra. Essa potra sembrare ad alcnno trop-
po prolissa; ina non a chi pensera , che un autore
tanto esatto e laborioso, e di questa parte ddla fi-
SULLE LIVLLLAZIONI BAUOMETIUC Illi 5<J?i
sica tanto bcnenn'rlto non dc vc lasciarsi scnza una
comniuta difV'sa quand" e ingiustaincntf reusurato da
uuo scriitore auiorevole in uu' opera picmiaia dail ac-
cadeniid di G ttinira.
77. Ln' ultra uhbiezione potrtbbt farsi alia rego-
la del sig. De Luc, la quale al pruno aspi'tio uou par
inal foudaia. luipc^rciocrlie, seudo essa iratia da os-
seiva/ioui fane ad altfzze tune niiuon di 5oo tese;
nt:lle tpiali a«ssai piccola e la diiuiiuizione della gra-
viia, si potrebbe dubitare se la ivgola possa esser ap-
plicata aiicbe alle altezze luolto niaggiori. Per uscire
di quest' iucertezza 10 appbcbero le osservazioui del-
la stazion XV uou alia lurmola della gravita costan-
te, come bo fatto al num. 72, ma a quella della gra-
vita decresceute in ragion duplicata delle distauze; e
per suo mezzo determiuero i valori cosi del coeflicien-
te costante come dell' espausioue dell' aria. La tbr-
mola pel num. 53 e la seguente
x = B I 10 ( )/>-+- ^^ esprnnen-
do per R il raggio osculatore del luogo dell' osser-
vazioue .
Suppongasi nota la discanza vertical dei barome-
tri, cbe si cbiami D, ed incognito il valor di B. Sa-
ra dunque
D = B lio{ ^^^ ) L - -i- ;
dalla qual si deduce
394
V B N I N 1
{R-D)D
a a
Chianiando T la temperatura media, ed ^ 1' e-
. C -*- c
spansione dell' aria sara
= I -t- T E, e per con-
seguente £ =
{R~D)D
{Rl loL- ^Q.D){i-^TE)
a
■ ; ove A ,aj
e T esprimon le altezze medie dei barometrl e del
termometri per un dato numero d' osservazioni.
Sian ora A\ a' , T' le altezze medie corrispon-
denti per un altro numero d' osservazioni ; e queste
daran similmente j5 = (R~ D) D
(RlxcL-,-i-iiD){i-^T'E)
Da quest! due valorl di B risuka quest' altra e-
quazione { R I \o L-, -^ o. D ) { \ -^ T' E ) ^
{Rl 10 L^ -^- 2 D){i -i-TE); dallaqual si deduce
E= -
Rl io( L-~L~)
a a'
T'{Rl\oL- -k-s.D)~T{Rl\oL--^% D)
a' a
Nel case della stazion XV abbiamo pel num. 73
4
D = 487 , 778; Z/ - = o , 0600647 ; T = 1 1 , 249 ;
6ULLF. LIVKLLAZIONI BAKOMLTIUCIIE 39.5
Z — = o , 0480860; e T' = 19 , 674. Finalmeiite il
valore di R pel num. 67 e = ^2669 14 , 29.
Facta neir equazioii precedence la sostitiizione di
tutti questi valori trovasi E =. ' ^"^ = o , oo5i36.
Sostituisco qnesto valor di E in uno di quei di B;
e trovo B = 3988 , 405. Sara dunque B I 10 = 9183 ,
<625.
La formola generale vien quindi ad essere
a: = 9183 , 625 ( I -+- ( o , oo5i56 ) ) Z — -*-
-^ i ' ' a
7976,8.(1 -(-I1:^(o,oo5i56))£>-hD*
r— 7 . ; nella quale Z?
0^60914 J ag ^
esprime il valor dell' incognita x calcolato col primo
termine solo.
Applicando per esempio questa formola alia pri-
ma osservazione della stazion XV si trova Z? = 486,
354; raccrescimento corrispondente al secondo termnie
5= I , 3o6: e per conseguente 1' vdiimo risultato e di
tese 487 , 66. Calcolando colla formola della gravita
costante posta al num. 72, si trova 487 ,611; e col-
la regola del sig. De Luc 487, 9^. Le dilTerenze di
questi risultati son piccolissimci e tutti sou (jiiasi e-
guali air altezza della livellazione 487 , 778.
Calcoliam ora la massima altezza, per la rpiale
siensi fiitte col baroinetro esatte osservazioui ( voglio
di rquella del Monbiauco sopra il Lemaiio ) cosi col-
3y6 V E N I N I
la regola di De Luc come colla formola precedente
della gravita variabile affin di vedere quanta sia
la tli(Tereuza dei risultaii. Si avverta pero, die in
(jueste osservazioui i termomeiri furono alTonibra; on-
de per applicarle alia regola, che li suppone espo-
sti al Sole, ne accrescero le altezze d'ua grado di Re-
a\imur quasi eguale a 3 di Far. Per calcolar le os-
servazioui abbiam duuque i dati seguenti
J = 326 , 6 liu.; a = 192 , 9 ; T= 23 , 6; e f = — i ,5.
A queste altezze dei termometri corrispondou quest'al-
tre neila scala del sig. De Luc T = -^ j5 , 892; t =
— 42,48; e 7' -H f = _ 26 , 588. Da questi dati, risul-
ta Z - = o , 2287903; e per conseguenza 1' altezza
cercata e second© la regola = 2287 , 9o3 '- —
^ ' -^ 1000
( 2287 , 903 ) = 2227 , 072 .
Per far il calcolo colla formola della gravita de-
crescente abbiamo =: 11 , o5. Sara duuque
J -H ( ) (o , oo5i56) = I , 056972; e da questi
dati risulra il valore del primo termlne Z) = 222o,83
tese. L' accrescimento dato dal secoudo terrniue e ^=
7,242; e per conseguenza I'altezza totale e =2228,
072; e la dilTerenza dei due risultati si riduce ad una
tesa quauiiia, per un' altezza tanto graude assoiuia-
meute uegligeutabile.
Coiichiudiam duuque, die la regola del sig. De
SULLE LIVELLAZIONI BAUOMLTRICHE 897
Luc d' un calcolo semplicissimo si puo nolle livella-
zioni barometriclie senza alcuii sensibil erroie appli-
care anclie alle massime altezze.
Articolo II
Correzione del/a rcgola del sig- De Luc projxista dal
Cavalier S/iuckburg, ed.esnine delle misure
Qeometriche , sulle quali k fondata.
70. II Cavalier Sliuekhiirg, trovaiidosi a Ginevra
con una copiosa suppellettile di buorii struinenti astro-
nomici e fisici, voile verificar la resiola del si". De
iuc nel luogo niedesimo, in cui Y autore avea fatte
tante osservazioni |H^r istahilirla. A qiiesto fine egli
niisuro geoinetricaniente 1' altezza della sominita del
iiionte Sale\'e sopra una stazion i'lferiore; e trovo,
dopo aver fatte con somina diligenza le osservazioni
barometriclie contemj)oranee alia cima del monte ed
alia stazion inferiore, die cjneste calcolate coUa re-
gola di De Luc davano un' altezza niinore della geo-
metrira di 2 e quasi un terzo ])er loc.
lo non dubito dell' esattezza delle sue osserva-
zioni barometriclie; dubitando pero , ch' egli abbia
potuto ingannarsi nei calcoli della niisura geonieiri-
ca, ho voluto verificarli; e non senza maraviglia gli
ho trovati erronei per modo, che la vera altezza cal-
colata esattamente suHe sue misnre della base e de-
j^li angoli e qa;Hi perf«"ttamente conforme alia rego-
la del sig. De Luc: poiche ne snpera il risultato d'un
sol terzo di tesa su 4-3^ , 72, o di 8 j)er dieciaiila.
T II. P n. 5o
SqS V e n I n I
Ora, alTiiu'Iic il lettore possa giudicarne con fonda-
niento, riferiio in priino luogo le osservazioni geome-
triclie del fisioo inglese; esporro in appresso i miei
calcoli unicaniente appoggiati alle sue misure della
base e degli angoli; e inostrero in fine qnanto il ri-
8ultato, cui questi conducono, sia diverso da quello
del Cavalier Shnckburg, e ([uanto per lo contrario
s accosti a quel della regola dell' accuratissinio fisico
di Ginevra.
Sir SUuckburg ( com' egli dice nella II' parte
del volume LXVIl delle Transazi^ni filosofiche, pag.
5i8 ) misuro appie del monte Saleve la base A' B'
(fig. VI) d'un triangolo, il cui vertice C era la som-
mita del nionte; e trovolla di piedi inglesi 2760 , 8.
JVlisuro poi gli angoli A\ B\ C'; e n' ebbe A' = 58*
28' 49", 25; B' = III" 52' 16"; e C = 9" 35' 54", yS.
Finalmente, calcolato il triangolo ne conchiuse A' C
= 15286 , 4 pie. ing. : e B' C' = 14041 , 7. Verifica-
ti i calcoli io gli ho trovati esatti colla sola differen-
za d'un decimo di piede in amendue le lunghezze.
L' inclinazione delle visnali A' C , B' C alia
retta orizontale fu dall' osservatore determinata nel
modo seguente.
SULLE LIVELLAZIONI BAROMETRICHE
Altezza di C sopra A'
Inclinazione 6\ A' C lo" 33'
Correzion della parte osservata del
segnale — l'
Correzion per la linea di collima-
zione
Correzion per la rifrazione
399
• • »
33"
59"
27"
Vera altezza di C sopra A' . . . . \o° 29'
Depressione
Depressione di A' sotto C 10" 29'
'pel segnale
Correzion sper la collimazione ,
(per la rifrazione .
Vera depressione di A' sotto C . . 10° 3i'
Arco intermedio o curvatura ... — a'
58"
18"
16"
59"
27"
o"
3o"
Vera altezza di C sopra A' per Tos-
servazione in C" 10* 28' So"
Altezza media di C sopra A'. . . 10° 29' 14"
400 V E N I N 1
Altezza di C sopra B'
Inclinazione di ^' C n" ao' 26"
(pel segnale — 1' 33"
Correzione j per la collimazione . . — 59"
'per la rifrazione .... — 26"
Vera altezza di C sopra ^'. ... 11° 17' a3"
Depressione
Depressione di B' sotto C 11° 19' 47"
rpel segnale — $9"
Correzione jper la collimazione . . -»- 59"
'per la rifrazione .... ^_ 26"
Vera depressione di B' sotto C . . 11" 20' i8"{a)
Arco intermedio — 2' 18"
Vera altezza di C sopra B per I'os-
servazione in C ij" i8' e"
Altezza media di C sopra B' . . . w" 17' 41", 5
(n) Qui h scorso qnalch' errors di stampa o nella sonirna o iiella cor- |K
rezion del segnale. lo siipporrik esatta la 80Qima , e che la ccrrczion del f>|
segoale debba esser — 5+" .
SULLE LIVF.LLAZIONI BAROMETIIICIIE 40 1
Altezza di B' sopra A'
Angolo d' inclinazione della ba-
se J' i?' o* 27' o"
Error della coUimazione _ $9"
Altezza di B' sopra A' ...... . d° 26' i"
Depressione
Depressione di A' sotto B' 0° 27' 4"
Error della coUimazione h- 59"
Depressione di A' sotto B' 0° 28' 3"
Arco intermedio — 27"
Altezza di B' sopra A' per 1' osser-
vazione in i5' 0° 27' 36"
Altezza media di B' sopra A' . . . 0° 26' 49"
Prima di esporre i miei calcoli io faro su que-
sti dati alcune osservazioni. E primieramente io non
80 vedere per qual ragione il fisico inglese, volendo
determinar 1' altezza di C sopra A' per mezzo dtl-
r angolo medio frai due d' altezza e di depressione,
abbia posta frai dati aiiche la rifrazioue; poiche que-
8ta nel far la somiua, di cui prendesi poi la meta,
^02 V E N I N I
deve per la contrarirta de' segni necessariamenre sva-
nire. In oltre perche ha egli supposto uell' osser-
vazlone fatta in A' 1' angolo al centro di 2'3o'» e
la ri(Va/ione di 27 secondi? Agevol cosa e il dimo-
strare, die, se gli angoli d' alcezza e di dt-pressione
appareiue sono esatti, le due supposizioni son con-
traddittorie tra lore Imperocche nella formola di ri-
frazione a -^ r = </ — w -h r si ha in questo case
a — jo" 3o' 2 5" , e f/ = 10" 3o' 33". Dunque, se I' an-
gola al centro « e = 2' 3o", posti nella formola que-
a' 22"
sti tre valori, sara r = = 1' u'' non 27". Ma,
a
se r e = 27", V angolo al centro w = 2 /• — a -t- (/ sa-
ra i' 2" non 2' 3o".
Ma, lasciate qiieste inesattezze da parte, 10 dico;
che le osservazioni facte in A' ,C' non danno altro
che gli angoli d' altezza e di depressione appareiui;
ma aggiungo che, se questi sono esatti, si puo [)fr
mezzo loro e della lunghezza gia nota della visuale
A' C determinare V angolo al centro e la rifrazione.
Or, cio non avendo fatto I'osservatore, io lo faro in
vece sua; ma a qiiesto fine non sara cosa inutile il
determinar prima di quanto la sua base sia stata su-
periore al livello del mare. Le tre osservazioni baro-
metriche faite contemporaneamente al punto inferior
della base ed alia sommita del Saleve calcolate colla
regola di De Luc ridotta dal sig. Hnrsley alle misu-
re iuglesi danno, giusta il Cavalier Shnckburg, uo'al-
tezza di 2271 pie. ing. Ma le sue osservazioni fnron
fatte coi termometri distaccati all' ombra, laddove la
regola li suppone esposti al Sole. Al num. 67 ab-
8ULLE LIVEI.LAZIONI BMIOMLTRICHB ^oZ
Liam vediito, clie qnest^a cirrostanza arcresce la tem-
peratura di clue gradi l"ar. 11 calcolo delle osservazio-
ni dee diinque farsi con quest' auineiito di teinpera-
tura; ed il risultaro sara di 2277 , 604 pie. ing. equi-
valenti a te. fran. 4^4 , 36. Le un.Iici osservazioiii
deir ultima stazioiie di De Luc calculate nello stesso
modo faiiDo la cima del moiite superiore alia sua ba-
se di tese 487 , 5. Fu dunque la base del primo su-
periore a quella del second«i di te. 53 , 14. (uj
II De Luc dice cbe la sua base fu superior al
mare di 211 , 67 te. ( llicerclie ecc. par. 648 ); onde
segue, cbe quella di sir. Sbuckburg fu piu alta del
mare di te. 264 , 81 .
Nel nostro triangolo ABC (fig. I") abbiam dun-
que C A = R ->f- 264 , 81 esprimendo per R il raggio
osculatore della latitudine di Ginevra; il quale pel
num. 67 k = 32669 14,29. Sara dunque CA = 8267 1 79
(a) In fine della meuioria di Sir Sliiirkhurg liavvi una tavula; in i-ui
fra molt' altre ^ registrata un' osservazione facta al pnnto A' della I)ase
ed al tPtto della <liicsa di S. Pietro di Ginovra . In pssa la distanza del
punto A' Jnl tetto d mnata di pie. ing. 24486 , .1 ; e 1' an<;olo di depres-
sione del tetto sotto A' 3i' iS"* . II risnltato dol calcolo dato dall' osser-
vatore k di 2^4 , ^ pi.°. ing. cr 35 , o 76 te. fran. altezza del piioto A'
sopra il tetto di San Pietro. lo ho cab^olata quest' altezza coHa mia for-
xnola del num. 63, supponrndo la rifrazione di J- deirangolo al ceatrocor-
rispondente ad un di presso alle circostanze di luo^o e di tempo ; ed lio
trovata I'altezza medesiaia di te. .S4 , 77 minore d' uno scarso rerzo di
teia. Secondo la stessa tavola il tetto di S. Pietro ^ su|)eriore al Lemano
di pie. ing. 249, 1 =38,95 te. fran. L'altezza di A' p.into inferior del-
la base sopra il Leniano ^dunque f>el niio ris-iltato di 7S , 72 te. Al par.
648 delle ricerche del sig. De Luc leggesi , che la sua base fu snperiore
al lago di 2+ te. La dibtanza verticale delle due basi sarebbe dniupie per
queste misure di 49 , 72 te. in luogo di S^ , 14; lo rlie porterebbc una
dilTerenza di te. 3 , 42 quantity del tutto negligentabile nei calcoli, che
iiieaio in appres$o>
404 V n N I N I
negligentando iin decimo di tesa. Vediam ora qual
sia Tangolo al centro nel triangolo CAB, uel qua-
le il laio A D corrispoiide alia visuale A' C \ che si
c trovata di pie. ing. i5286 , 4 = 2S90 , 55 te. fran.
L'angolo d' altezza di C sopra A' noa corretto dal-
la rifrazione f u = 10' 3o' tio '. Quiiidi per far il cal-
colo abbianio C J = 3267179; y4 ^ = 2^90 , 55; e
l'angolo intermedio = ico" So' 25". La meta della
sonima dtgli akri doe angoli k per consegiiente 39''
44' 47", 5. Ahbiamo in oltre CA — y^Z? = 3264788,45;
C A-^ A B = 3269569 ,55; e da tutti questi dad
viene il calcolo seguente
L tang ^ "*" = 9 • 9'99^86
L[CA — AB)= 6 . 5i38549i97
16 . 4337635197
L[CA-^AB)= 6.5144905787
L tang -' = 9 . 919172946 ;
a
^^ = 39" 42' 19" , 12 C = 2* 28" , 38 .
L'angolo di depressioiie di A' sotto C' non cor-
retto dalla rifrazione fu 10° 3o' 33". Nella forinola
di rifrazione r = ^-^'^^^^ pongo i valori preceden-
ti; e mi risulta
SULLE LIVELLAZIOWI BAROMETKKMIL 4o5
lo" 3o' a5" -H a' a8" , 38 — lo' 3c' 33"
= r lo" , 19,
Se la inisura degli angoli d' altezza e di depresslone
fosse esatta, la rilVazione sarelibe diinque piesso die
la meta dell' angolo al centro, rosa inaiiirestameiite
impossibile : e quindi non si piio diibitare, die le
misure degli angoli noii siaii fallaci. Ora per vedcre
a quaiito possa ascender presso a poco 1' errore, io
osservo, che pel num. 67 11 valore di - sara stato
* n
= 0,081181 per una pressione armosferica di 28 pel.
e per la tenqieratura zero. JNon mi e noto a qnali
akezze fossero il haromeiro ed il termometio quando
furon misurati gli angoli d' aliezza alle due estremita
della base. Nou potendo far megiio io le supporro
dunque uguali a quelle, cb' ebber luogo alia stazioa
iiiferiore nella prima osservazion barometrica del li-
eico inglese, epoca piii d' ogn' altra vicina a quella
della misura degli angoli. Or questa supposizione mi
da il barometro a pollici francesi 26 , 64^; ed il ter-
mometro a gradi 18,6 /?. Per questa temperatura
il valore di — si riduce a o , 073782. Nelle circoscan-
ze della misura degli angoli sara dunque stato
m 36,643 (0,073782) f
_ = — '—-1 — !-'__£_£ — i = o , 070206; e per conse-
n
a8
guente — = (0,070206) 148", 38 = 10", ^17. Quin-
T IL P. JI 5i
4o6 V E N I N I
di avremo il vcTO angolo d' elevazione = io° 3o' 25"
— lo" , 417 = TO° 3o' 14'' , 583; ed il vero di d'l-pres-
sione= 10" 3o' 33" =2' 28", 33 -+• 10", 41 7= 10° 28 i5",
037. Ora, supposte le misiire esatte, qiiesti angoli do-
vrebbon esser uguali; e cio posto la differeiiza loro,
cioe i' 59", 546 viciiiissinia a due miniiti e una con-
seguenza del valor inesatto degli angoli.
Agli errori comniessi nelle inisure degli angoli
credotce 1' antore di poter rirnediare coll' nsitato espe-
diente di prender mi medio fra gli angoli osservati
d' altezza e di depiessione diininuito pero questo del-
r angolo al centro; ch' egli snppone = 2' 3o" : ma
non osseivo, clie nel triangolo AB F, dati i due la-
ti A B , J F^ e dato anche T angolo F J B; il quale
in questo caso sarebbe diversissinio e dall' angolo 05-
servato e dal medio. Infatti il lato A F, il quale pel
num. 54 si confonde colla tangente dell' angolo al
centro moltiplicata pel raggio, 6=3267179 tang. 2' 3o".
Ma lo stesso lato A F d anche = A B cos. FAB.
Da questi due valori nasce dunque T equazione
J-, J r, 30,67170 tans;, a' 3o" , ,, ■, ■ ■,
cos FAB = ^— K- ^- ; dalla qual si de-
aoyo , 55 *
duce L cos FAB^=g 9973412; cui corrisponde I'an-
golo 6" 20' minor del medio piu clie di 4 gradi.
Concbiudiam dunqne, clie, essendo tutto il cal-
colo trigonometrico appoggiato all' angolo osservato
d' altezza, ed alle lungbezze della visuale e del rag-
gio osculatore, qnando 1' angolo osservato e troppo
incerto, la prndeuza vuole, die 1' osservazion si ri-
getti; percbe 1' incertezza dell' angolo si spande su
6ULLK LlVELLAZIONl BAKOMIi'l'RIC Hli 1:^.07
tutti gli elemt'titi e risultati del calcolo.
79. Facciain ora lo stesso 'jsame degli angoli nii-
surati ai due estremi dell'altra visuale B' C'. Per a-
ver il valor esattissiiiio del raggio osciilatore del pun-
to B' convien prima determinare di quanto B' sia
stato superiore ad A' \ il che s' ottiene per mezzo
degli angoli d'altezza e di deprcssione dei punti me-
desmii, e del valore di A' />'. Ma anche nelle niisu-
re di questi angoli souo scorsi alcuni errori; la cui
somma passa un minuto e mezzo. Cio non ostante
r altezza puo ancor calcolarsi per approssimazione;
e si trova, che B' fu superiore ad A' di tese i , 4
valor quasi eguale all' assegnato da sir Shuckburg,
che lo dice di pie. ing. 22 , 18 eqnivalenti a,3 , ^69
tese di Francia.
AU'estremita B' della base fu diiiique C A (fig. I*)
= 3. '6 7 1 82 negligeiitando 4 decimi di tesa. La visuale
JB lu di pie. ing. 14041,7 = 2193,9 te. Iran.; Tan-
golo apparente d'altezza EAB nou corretto dalla
rifrazione = 11'' 17' 49"; e quindi = 39°2i' 5", -S,
Fatto con quesd dati il solito calcolo si giugne al
risultato :£-Il? = 3(/ ,8' 49" , 57; e C= 2' i5" , 93.
L' angolo di depressioue non corretto dalla ri-
frazione tu = 11° 19' 52". Sostituisco i valori di a ,
d i u = C nella formula di rifrazione; e mi risulta
4o8 V E N I N I
Qii(*sta rifiazione sembrera forse a taluno im po'
piccola; ma ptTo non e guari di versa da qiiella, che
si troverebl)e colla regola del sig. Mayer; ed ecco
iu qual inodo. Abbiam veduto poc'anzi che nel tem-
po della misura degli angoli il barometro fu a pol.
26 , 643; ed il termometro a gradi 18,6/?. A que-
sto grado di calore la rifrazioiie sarebbe per la del-
ta regola = ( o , 06777 ) ^ st^ 1 altezza del baro-
metro fosse di 28 pol. ( vedi il num. 5j ); ma si ri-
duce a ( o , 00497 ) C per 1' altezza di 26 , 643. Nel
caso nostro C e = i36"; e questi moltiplicati per
o , 06497 tlaniio 7" , 476 rifrazione d' un solo secon-
do maggior della nostra.
Facendo uso ancbe in questo caso del valore di
m
n
medio fra quelli d' Italia e di Francia, ed appli-
candolo alle circostanze della misura degli angoli
avrem di nuovo == o , 070266; ed — =(0,070266)
1 35" , 93 = 9'' , 54. I veri angoli d' altezza e di de-
pressione dovetter dunque essere 11^ 17' 39', 46; ed
11° 17' i^5" , 61 ; la cui diUVrenza si ridnce a 6" , 1 5.
Questa e cosi piccola, che gli angoli si posson consi-
derar come esatti, o almeno non abbiam motivo di
crederli erronei .
Cio posto si i^no passare al calcolo dell' altezza;
al qual fine si ha CA = ^2Gi\S2; EAB= 1 1" i7'49"' ^
= 2' i5" , 93 ; e 5 = 78° 39' 55" , 07 . Con questi da-
ti fassi il calcolo se2;uente.
SULLE LIVEIXAZIONI BAUOMETKICHE 409
L COS E A D = 9 . 9((i5o3oa
LC A = 6 . 51417827
16 . 50867639
L sen B = 9 . 9914457294
LC B — 6 . 5i4.i3o56o6
C B = 3267612 , 49; D B =■ 480 , 49.
Vegglarn ora qiianto quest'altezza possa esser alte-
rata dalla rifrazione. Qui sopra abbiatn trovato, che
questa e = 6" , 465. Sara tlunque E Ab = E A B —
6", 465= 11" 17' 42'' ,535; ed AbC = B -*- G'^^SS =
78" 40' 1" , 535. Replico il calcolo con questi nuovi
valori dt-gli angoli; e n' ho per risultato L C b =
6.5i423o56o6 valore perfettadiente ugualc a (juello
di L C B; onde segue, esser in quesio caso iusensi-
bile i' eiietto del la ritrazione.
Prendeudo un medio fra Vangolo apparente d'al-
tezza e quello di depressione diuiiuuito deli' angolo
al ceutro si trovera E A b =^ 11" 17' 42" , 533; e per
conseguence J /> C = 78" 40' 1" , 535, cioe i valori
medesimi trovati pur ora. E qtiindi si vede, die il
calcolo dell' altezza fatto coil' angolo medio conduce
agli sressi valori di Cb^Db posti qui sopra.
Col inetodo del num. 53 si deiermuia \ altezza
D B per mezzo del triaugolo A B Z), e colia formo-
sen {E A B -^ - )
U DB = J D -—- - — ^; . La corda J Z) e =
cos {L A h -^- u)
410 V E N I N I
2 C A sen - ; e, sostituiti i valori di C A, sen — ,
a a
= 2l53 , 12.
L' altezza D B e data dal calcolo seguente.
L sen {EAB •*--)=: 9. 29278654
LAD = 3 . 333o68a7
I a . 6a58o48f
L cos {EAB -*- u) =: 9 . 99144573
LDB = a . 63435908 ; D Z? = 430 , 88 .
Questo rlsultato supera il precedente calcolato
col triangolo CAB di 4 decimi di tesa.
Calcoliamo alfiae T altezza inedesima anche per
mezzo del triangolo A B F. Se vuolsi determinar il
Yalore deH'aiigolo al centro C supponendo y^/'ugua-
le alia tangente di C presa in uu circolo del raggio
r> A • 'r /o A B cos E A B ^ n o ic
L A SI avra L tang C = j^—z = 6.81894235;
cui corrlsponde C= 2' 1 5", 946. Questo valore debb'es-
ser alquanto niaggior del vero, com' e in fatti; ma
la diflerenza e di soli 16 millesimi di secoiido; poi-
che il calcolo rigoroso del triangolo C A B ha. date
C = 2' i5",93.^
r» 1 n 1 A B sen E A B , , , s
Uovendo essere B d = ^ ( num. 54 )
cos L)
SULLE LIVELLAZIONI BAROMETRICHE 4I 1
per determliiarue il valore si calcolera a quesio inodo
L sen E A B =. 9 . agaoao^G
LAD = 3 . 34i6ia6
la . 03363336
LcosC =2 9 . 9999999
LBd= a . 63363346; 5^ = 430, 1 63.
II valore di d D pel num. 54 e dato dal calco-
lo seguente
( 120'' )' : ( 1 35 , 93 )" = O . 0000002 : X
L X = d . 4o9a98a
LC A = 6 . 51417337
LdD = 9 . 9a347f47; JD = o,838; 2?D = 43i,ooi.
Qiiesto risukato supera di 5ii milleaimi di tesa
quello del triangolo CAB.
Le differenze dei ire risultaii sono assai piccolcj
e prendeiidone un medio si potrebbe fissar 1' altezza
dt'lla sommita del Saleve sopra 1' occliio deir osser-
vatore aU'estreniita piu elevata della base a tese 430,
79. Supposta r altezza deli" occbio di cinque piedi o
tese o , 83, 1' altezza media sarebbe 4^1 , 62; e so-
pra r altra estremita della base (infcriore di 3 , 4 te. )
di 435,02. Ma io credo, die il calcolo del triango-
lo C A B dia le altezze piii esatte; e cio posto m'at-
4ia V n N I N 1
terro al risultaio del ealcolo di ([iiel triangolo, il qnal
da per 1" akez/.a di C sopra rocchio 4^0,49; sopra
^' 4^1 , 32; e sopra A' 4X4 , 72.
II Cavalirr Shiickburg, Sftiz'indlcare in qual mo-
do abhia calcolata Taltezza di C sopra B\ dice seiu-
plicenieiue, ch' essa fii di 2806 , 27 pie. iiig. = 4S8 ,
8566 te. fran. maggior del inio risultaio alquanto piu
di te. 7 f. Ma per aver 1111' altezza presso a poco
egiiale alia sua converrebbe supporre 1' aiigolo d'ele-
vazione maggior deH'osservato di 12' 3o" alio iucirca,
Infatti se E A B fosse = 1 T 3o' 20", il ealcolo del
triangolo AB F darebbe C = 1' 1 5 " , 847 ; 5 f/ = 438;
d D = o ^ 6v6\ e D B = 438 , 616 minore delT altez-
za assegnata dal calcolator inglese d' un quarto di
tesa; ma maggiore alquanto piu di mezza tesa aggiun-
gendo al risultato 1' altezza dell' occbio sopra B .
80. Se co' suoi dati, cbe sono ^ i5 = 219.3 , 9;
angolo medio d' elevazione = 11° 17' 41" , 5; ed f =
C = 1' 18" egli avesse calcolata 1' altezza per mezzo
del triangolo A B F ^ avrebbe trovato
r, J 219.5^9 je« ( 1 1" 17' 4i",5 ) _ T ^
^^= cosi.-J) =430,09 te. Inoltre,
essendo probabile (come spieghero qui sotto), cb'egli
abbia supposta la sua base distante dal centro della
Terra di tese 3269297; egli avrebbe poiuto determi-
nar il valore di d D con questo ealcolo
( 120" )* : ( l38" y = O , 0000002 : X
SULLE I,IVELL\ZIONI BVUOMETRICUE 4l3
Z/ a; = 3 . 4aM-i58
LC A = G . 51445443
LdD = () . 98088023 ;
c? /> = o , G65 ; Z> i? = 43o , 965 te.
Questo valore puo dirsi eguale a fjiiello, ch' io
ho trovato pur ora calcolando iiello stesso modo; poi-
che la diH'erenza loro e di 3 pollici soli .
Ho detto, esser proljabile, che il calcolator iii-
glese abbia supposta la sua base distatite dal ceutro
della terra di te. 3269297; ed eccone la ragione. So-
gliono alcuni per soverchio amore di breviia ( clie
soverchio dee dirsi quaudo sensibilmente pregiudirhi
air esaitezza ) calcolar T angolo al centro nella se-
giiente maniera. E' suppongouo in primo luogo col Pi-
card e col Cassini il raggio terrestre di te. 3269297,
e per couseguenza ogni ininuto primo della circonfe-
reuza di te. 951. Suppougon poi, che Tarco AD mi-
sura deir angolo al centro sia, come debb' essere, al-
quanto minore della visuale J B , e, ditniuuita que-
st a di quel numero di tese, die lor setnbra piu coii-
venevole, la dividon per o'ii; ed harmo cosi nel qno-
ziente 1' arco intermedio A D espresso in minuti. Che
cosi abbia fatto auche sir Shuclcbiug io lo cougf*ttu-
ro dal valore 2' 18" per lui assegnato all' angolo al
centro. Imperocche, se diminuiremo d'uiia do/.zina
di tese la visuale AB riducendola a 2184: iudi la
divideremo per 951, ne avremo il quozieute 2' , 20'> =
2' 17", 76 valor vicinissimo a qiiello di Shuckburg;
T. II. P. IL 5a
4T4 V E I? I N I
cui poco importava il tener conto di 24 centesimi di
secoudo .
Vediarn ora a qual risultato ei sarebbe giunto
se coi medesiini datl avesse fdtto il calcolo per mez-
zo del triangolo C A B. \ dati son quesii
angolo medio d' elevazione j£' y^ ^ = 1 1° [7' 41" , 5;
angolo al centro C = 1' 18"; angolo B = 78° 40' o",
S; C A = 3269297. II calcolo e dunque il seguente.
L cos E A B = 9 . 99 1 5o6 1 7
LC A = 6 . 51445443
16 . 50596060
L sen B = C) . 99 14480 1
LC B =: 6 . 51451259
C B = 3269735 , 26 ; Z) i? = 438 , 26 te. (a)
Suppongasi, che il Cavalier Shuckburg abbia co-
si calcolata Takezza di C' sopra I'occhio, ed aggiun-
d al risultaio 83 centesimi di tesa altezza dell' oc-
(a) II risultato del triangolo CAB siipera quello del triangolo A B F
di te. 7 , 3o5 ; e questa considerabil dilFerenza nasce d-il valor troppo
graiide attribuito all' angolo al centro; il quale infliiisce pochissimo nel
calcolo del secondo triangolo; ma altera assai seniibilmente qnello del
primo ■ In fatti , se i calcoli si faranno, noii supponondo arbitrarianiente
un talio valine dell' angolo al centro, ma dediicendolo dai dati; che so-
no E A B zz 11* 17' n\" , 5 ; A B =^ 2195 , y; C A ~ iib'^)i<)-] ; si troveri
C = i.' 1 5" , !;6 j)el triangolo A B F, e 2.' i5" , 83 per CAB: ed i risiil-
tati dei doe calcoli sarauuo 4J0 , 817 ; 43[ ,1^2.; la cui diU'erenxa passa
tli poco una mezza tesa .
SULLE LIVELLAZIONI BA.KOMETUICHE 4l5
chio sopra B., vedrassi clie I'altezza di C' sopra B'
gli sara riuscita di te. 4^9 , 09 quasi precisaiuente
uguale a quella, ch' egli ha assegiiata.
J\Ja i dati, ai quail il oalcolo e appoogiato, so-
no, come lio gia detio, contraddittoiii. In latti per
la supposizione, che l' augolo al centro sia 2' 18"
il logariimo della sua taugeute e C. 8254540, ed a que-
sto aggiunto il logaritmo di Cy) = 6.5i44544'^ si lia il
logaritino di ^f/= 3.53990843; cui corrispoude il nu-
mero 2187,3. Ma per la supposizioue dell'angolo EAB
= i I ° 1 7' 4 1 " , 5 ; il valore di J F= A B cos E A B e
= 2 1 53 , 37: vale a dire, che Ad in luogo d' esser
minore di A F , come necessariameute dev' essere, e
anzi niaggiore di quasi 34 tese. Manifesta cosa e
duuque, che nei calcoli conducenti a quest' assurdo
e coutenuta qualche coutraddizione. Ed essa ci e di
fatti ; poiche, essendo A B = i\()\i ,9, se snppousi
^ J )9 = I i" 17' 41" , 5, r aiigolo al centro debb' es-
sere al<|uanto minore di 2' i5",9; ma, supponendo-
lo = 2' 18", I'augolo EAB vien ad essere = o^ 4' 22"
non 11° 17' 41" , 5. fli tutte le contraddizioni nascoii
dalla falsa supposizione; che l' arco iniermedio A D
sia minore della visuale A B non piii che d' una
dozzina di tese laddove io con un calcolo esatto 1' ho
trovato minore quasi di 43. Ed invero, diminuendo
di 43 tese il valor di AB\ il che lo riduce a 21 53;
poi dividendo questo numero per 901, si trova il
quoto di minuti 2 , 264 = 2' i5" ,84 non 2' 18".
Conchiudiam finalmi-'nte, essere da' miei calcoli
posto fuor d'ogni dubbio, che T altezza di C' sopra'
B assegnata dal calcolator inglese supera la vera al-
4i6 Venini
nieno di tese 7 v; cd aggiiingiamo, che le preceden-
ti osservazioni indicano, per qiianto anoi pare, d' 011-
de possa esser nato il siio sbaglio.
Ho detto alia fine del num. 78, che qiiando I'an-
golo osservato d'altezza e rnolto incerto, la pruden-
za vuole, che V osservazion si rigetti: ma I'ho detto
siipponendo, che nella misura delle altezze non vo-
glian tollerarsi gli errori, che giungano ad una tesa
o la passino. Ma, se non cureremo iin errore di po-
co maggior d'una tesa, potremo calcolar Taltezza di
C sopra A' anche coU' osservazione fatta in A'. In
essa Tangolo deU'elevazione apparente fii 10° 3o' 35";
C A = 3267179; r angolo al centro, come gia ho mo-
strato = 2' 28" , 37 ; e per conseguente B — 79° 27 6",
63 . 11 calcolo deir altezza si fara dunque cosi
LcosE^ B = 9 . 99a65635
L C A = C . 5141727
16 . 5c68a9o5
L sen B = 9 . 99^5982857
LC B — 6 . 5142807643
C B = 3267614 ,02; D B = 435 , 02.
Tal sarebbe 1' altezza di C sopra I'occhlo. Si ag-
glungano o , 83; e 1' altezza di C' sopra A' sara di
tese 435 , 85; la qual supera quella, che si e dedot-
ta dair osservazione fatta in Z? di i , 16 te. Chi vo-
lesse preiider un medio fra quesii due risultati lo iro-
SULLE LIVELLAZIONl MAROMETllICHE 417
verrblje di 435 , 280 te. ; ma correggendo per tal mo-
do il risuliato d' un'osservazione prolj.djilineiue buo-
na per quello cV uri' altra certameiite meno esatta ,
egli sempre piu si alloutanerel)l)e dal vero.
11 Cav. Shuckhurg dice, esser C superiore ad A'
di pie. ing. 28'^5,07 corrispondenti a te. fran. 443,36.
II risidtato del suo calcolo supera dunque quello del
mio di te. 7 , 5i. Secoudo lui 1' angolo al centro fu
in quest' osservazione =: 2' 3o"; il die mi fa credere,
cir egli ahbia supposto 1' arco J D di i3 te. minor
della visuale ^^ = 2390,55. In fatti, dividendo 2377
per 961 si trova il quoziente 2' , S'. Anche in questo
caso, s'egli avesse co'suoi dati calcolata 1' akezza per
mezzo del triangolo A B F^ \ avrebbe trovata seusi-
bilmente minore. I suoi dati sono C y/ = 3269297 .
^^=r 2390, 55: r angolo medio d'altezza =10'' 29' 14";
e r angolo al centro C = 2' 3o"; dai quali risulta
J5 tZ = ^ , ,„ „■ — -^— =435,12 te. Per mez-
coj ( 2' 3o')
zo deir analogia ( 120" )* : ( i5o" )' = o , 0000C02 : x
si ottiene L.t = 3 . 4948502; e LdD = Lx-*-LCA=:
O . 00930^6; cui corrisponde d D = \ , 02. L'altezza
D B= B d-^ d D e dunque = 435 , 12 -^- i , 02 =
436 ,14, non 443 , 36: per lo cbe la ditlerenza e di
te. 6 . 29.
Che se egli avesse calcolato col triangolo CAB^
lo avrebbe faito nel modo seguente, avvertenJo, die
r angolo B & =-(f 28' 16"
41 8 V E N I N I
L COS E A B = 9 . 99168404
LCA=i 6 . 51445443
16 • 50713347
L sen B = 9 . 99262544
LCB = 6 . 5i45i3o3
C B = 3269738 ,57; D B == 441 , 57 te.
S' pgli avesse aggiunto T accrescimento di o , 83
r altezza di C sopra A' risulterebbe tlunque di te.
442 , 4 ininore dell' assegnata dal calcolator inglese
di 96 ceiitesimi di tesa. Cliecche ne sia, avendo egli
supposto r angolo al cent 10 maggior del vero, non e
da stupire, che sia stato condotto ad un' altezza trop-
po graiide, e di te. 7 d maggior della mia.
Concliiudiani final mente che, dovendo a quest'os-
servazione preferirsi quella dell' altro estremo della
base B' ^ la vera altezza di C sopra A' e probabil-
mente di te. 434 , 72.
\o ho gia detto; che le tre osservazioni barome-
triche fatte dal fisico inglese e calcolate colla regola
del sig. De Luc danno per T altezza di C' sopra A*
te. 43^ , 36 minore della precedence di 35 centesimi,
ossia d' un terzo di tesa: cosicchc il difetto della re-
gola e in questo caso di 8 diecinidlesimi dell' altezza
geometrica . Ma ben diversa e la conchiusione del
Cav. Sliuckbiirg, il quale ingannato da' snoi calcoli
delle altezze geometriche assicura, che il difetto del-
la regola e di 23 1 per diecimila, cioe quasi di 2 ^
per 100. Ma io non so come 1' autor medesimo non.
SULLE LIVELLAZIONI BAROMETRICIIE 4I9
abbia duljitato d'niia sifTatta asserzione quaiido scris-
se la nota dclla pag. 5^2 del sopra citato volume del-
le Transazioiii lilosoficlie. „ 11 risultato medio, dic'e-
„ gli, di tre osservazioiii da me fatte e Tuna dalTal-
„ tra indipeudenti sulTaltezza della sominita dt-l Sa-
„ lece sopra il lago di Giiievra s'accoi\laiio col risul-
„ tato medio delle due misure prese dal sig. De Luc
„ col livello e col quadraute, dal qual dilleriscon me-
„ no di iiu piede „ .
Ora questo accordo e in una niauifesta contrad-
dizione col supposto difetto della regola del lisico di
Cinevra. Imperciocche la media delle due indicate
misure di quest' ultimo fa la cima del Saleve supe-
riore alia sua stazion iuferiore o base di tutte le os-
servazioni barometriche di piedi 29^1, come si vede
al par. 5i3 delle sue Ricercbe. Leggesi iu olrre al
par. 648, cbe la base fu piu alta dell' appartameuto
deir autore circa 94 piedi, e 1' appartameuto superio-
re al lago d' altri 5o. L' altezza della base sopra il
lago fu diinque di piedi 144, i quali aggiuuti agli al-
tri 2931 fauno ascendere r altezza della cima del mon-
te sopra il lago a piedi 307.'); e quest'altezza s'accor-
da, come dice sir Sliuckburg, colla sua misura a me-
no d' un piede di differenza. Ma cio come puo es-
sere se la reoola del sig. De Luc da le altezze mino-
ri di 23 1 diecimillesimi? Le undici osservazioni della
stazion XV, cioe della sommita del moute calcolate
con questa regola dauno \in' altezza media di 2925
pie.; e questa coll' accrescimeuto, cbe dovrebbe farsi
per supplire al difetto della regola di salircbbe
420 V r. N I N I
a 2992 , 57. S' aggiiingano pie. 144, de' quali la ba-
se e superiore al lago; e ne risulteranno ^6\?>6,dj in
liidgo cli 3075. La regola con quest' accresciineoto pec-
cherebbe duiique in eccesso di piedi 61 ,67. All'op-
posto r altezza calcolata colla regola senz' alcun can-
giamenro e di pie. 2925 ■+■ 144 = 0069 minor della
iTiisiira del fisico inglese di 5 piedi o 6.
Jn an luogo superiore di pie. ing. 2,8 ad A'
sir Shuckbiirg lia fatte 4 altre osservazioni barome-
triche; le tpiali calcolaie colla regola senza vernn ac-
crescimento gli ban dato un'akezza di pie ing. 2753,oS
equivalenti a te. fran. 480 , 53. lo ho rifntto il oal-
colo dopo aver accresciuto di 2 gradi F. V altezza dei
termonietri distaccati da lui tenuti all' ombra; e son
giuiito al risultato di te. fran. 432 , 8i65. I 2 , 86 pie.
ing.; de' quali la stazion pin bassa fu superiore ad
/i' corrispondono a o , 4473 di te. fraii.; oiide segue,
cbe per (pieste osservazioni 1' altezza di C sopra A'
fu di te. fran. 433 , 2638. 11 medio fra questo risul-
tato e qnello delle altre 3 osservazioni e 433,81 mi-
nore dell' altezza geometrica di 91 centesimi di tesa
o pie. fran. 5 , 46; per la qual tenue differenza non
credo debba farsi alia regola alcun cambiamento. In
fatti nel gran numero delle osservazioni; dalle qnaU
il sig. De Luc ba dedotta la sua regola inolte sen
trovano; per le quali la differenza fra il risultato ba-
rometrico e quel della livellazione e assai maggiore
di questa. E si aggiunga, cbe, se nel calcolo io aves-
si avuto riguardo alia diversa pressione atniosferica,
colla quale son graduati i termonietri a Londra ed
a Ginevra, aviei trovata un' altezza alquanto mag-
SULLn LlVELLAZIONl IJAROMLTRICUE 42 1
giore, ed una rlinVrenza piii picrola di tre o quattro de-
cimi di tesa; il die la ridurieh})e a poco piii di 3 piedi.
8 1. 11 Cav. Shuckburg non conteiuo del suo pri-
me risultato al Saieve voile esaininar la regola anche
al Mole akro inoiue non guari distante di Ginevra.
Quivi egli determiiio geontetricarnente I'altezza della
soinmita del monte sopra il ptinto inferior d' una
base niisurata a tal uopo; e fece sei osservazioui ha-
rometriche, die calcolo colla regola del sig. De Luc.
I risultati delle due inisure furono secondo kii di pie.
ing.' 4212 , 4 per la geometrica, e di 4121 , 14 per
la barometrica: cosicche la differenza e di 92,26
pie. L' error della regola sarebbe dunque di o ,
0224 in difetto quasi eguale a quel, che gli diede
il calcolo delle sue osservazioni al Saieve.
Ma se i dati, dai quali dipende la misura geo-
metrica fossero esatti, io trovo, cbe la regola pecclie-
rebbe in eccesso non in difetto; e cbe 1' errore
passerebbe il cinque per cento. Aflln di metter il let-
tore in istato di giudicarne io debbo in primo luogo
esporre le osservazioni del fisico inglese; poi calco-
lar rigorosamente le altezze, cbe ne dipendono, e per
levare ogni dubbio dare i miei calcoli per esteso.
Sir Sbuckburg dice, die con replicate misure
determine la liuig4iezza d'una base A' B' in pie. ing.
laSo , 325; ed aggiunge che, calcolate le visnali per
mezzo di questa e degli angoli A' = gG" Sy' 28 '; B' =
77° 48' 53 '; e = 6° 33' 49", trovo le visuali A' C =:
10691 , 9 pie. ing.; e B' C = 10886 , 7. Verificati t
calcoli trovo anch'io; che qnesti valori delle visuali
son giusti. Ben e vero, che la somma dei tre angoli
T IL P. IL 53
422 V E N I N 1
siipera i due retti di lo second! ; e che clascuno do-
vrebbe esser diininuito di 3", 33; ma le liinghezze
delle visuali non sarfbber da questa correzione can-
giate sensibiWneiite. Ora riduceiido le misure inglesi
alia autiche fraiicesi ne risulta A' B' = 196 , 53 te.;
^' C = 1 672 , o5 ; e i?' C" = 1 702 , 5 1 .
Per determinar P altezza della base sopra il li-
vello del mare abbiamo i dati seguenti. La soininita
del moiite, per cio che ne dice V autore, e superio-
re al Lemano di pie. ing. 4885; ed alia sua base di
4211 , 3. L'akezza della base sopra il lago e duiique
di pie. ing. 673 , 7 corrispondenti a io5 , 35 te. fran.
Se quest' altezza non e esatta, com' io ho ragiou di
credere, essa e di poche diecine di tese lontana dal
vero; e non puo per conseguente introdurre nel cal-
colo delle alcezze alcun sensii^ile errore. Giusta il De
Luc I'altezza del lago sopra il mare e di te. 187,67.
Quella della base sopra il mare fu dunque di te. 393,
02 , o a questo numero ben vicina. Ora una tale al-
tezza aggiunta al raggio osculatore della latitudine di
Ginevra da pel valor di C A (fig. P) tese 3267207 ,
3i; o per raaggior semplicita 3267207.
L'autor non ha dato per queste osservazioni co-
me per quelle del Saleve tutti gli angoli d' altezza e
di depressione; ma ha detto soltanto, che gli ango-
li medii d' elevazione furono
per C sopra y^' = 21° 29' 84"
per C sopr-a B' — 21° 3' 41"
per B' sopra A' =■ 0° 47' 24".
SULLE LIVELLAZIOM BAUOMETRICIIE 42^
Quest'incertczza non ci lascia sapere quanto esatte
o diffttose siano state le misure drgli aiigoli; e non ci
permette di calcolar direttamente gli angoli al centro.
Ben e vero, clie le lunjibezze delle visuali dimostra-
no per se sole; che gli angoli al centro cosi per A'
come per B' furon miiiori di due miniiti. Impercioc-
che, dividendo 1' arco AD misura dell'angolo al cen-
tro per 9504 cioe pel numero delle tese coutenute in
un nnniuo [)nmo del circolo, il cui raggio e di 3267207
te. si trova il valor dell' arco in minuti primi. Ora,
supponendo, clie I'arco A D (certamente minore del-
la visuale A B) sia egnale alia medesima, avrenio
r arco anzidetto per la visuale del punto A' dividen-
do 167a , o5 per 960 ,4; e ci risultera = 1' , 759.
E dividendo per lo stesso numero 1702 , 5i visuale
del pimto B' troveremo i' , 791 .
Cio posto la difterenza tra la perpendicolare BF^
e la vera altezza D B sara certamente minore di una
tesa; poiche Bd h = ^; e bD = {secC- i) C A.
* cos C
Ora i due valori di C posti qui sopra , e maggiori del
vero danno = i , ocooooi ; il che significa, che i
cos C
due valori di Bd superan i due d'l B F d'un dieci-
milionesimo. E, poiche B F non puo, come vedre-
mo, arrivare a 700 te.; le dlfTereuze tra B d^ e BF
saran minori di sette centomillesimi d'uiia tesa. Le se-
canti degli archi minori di due minuti duiiinuite del-
r unita non giungono a due diecnndionesimi ; e per
424 V E N I N I
consecvuente {sec C — 1) C J non puo arrivare a 66
centesiini <J' una tesa.
Ma come potrem calcolare i due valori Hi JB F
non sapeudo esattaniente quali siano stati gli angoli
d'altezza di C' sopra A' e sopra B'? Poich^ akro non
possiam fare ci serviremo degli angoli delle altezze
medle dati dall' osseivatore ; de' quali anch' egli iia
fatto uso per misurare 1' altezza del monte sopra le
due estremita della base.
I dati per calcolar Y altezza di C' sopra A' sono
i seguenti. C—i', 769; J B= 1672,05; ed EJ B =
ai" 29' 34". Abbiam dunque B d =
167a ,o5 5m ( 21° 20' 34") „ , . -111^
— —^ / / r , ' ■■> d' onde viene il calcolo po-
cos ( 1' , 759) *
sto qui sotto
L A B = 3 . aa3a494
LsenEAB = 9 . 5689364
la . 7871858
LcosC = 9 . 9999999
LBd~ a . 7871859 ; jBJ=6ia, 61 .
Dunque, polcli^ d D e < o , 66, il valor vero
Ax B D non giugnera a 61 3 , 27 te.
Per calcolar I'altezza di B' sopra A' abbiamo AB=^
195 , 53 te.; E A B = ^f 24"; e per conseguente
SULLE LIVELLAZIONI BAROMETRICHE 42$
L sen E A D = ^ . 1 394907
LAD = a . 2912134
o . 4307041
In questo caso Tanpiolo al centre e =-^-^ — =o°o',2;
ySo, 4 ' '
cioe di due soli decimi di minuto, o di 12". e quin-
di opera perduca sarebbe il farlo entrare nel calcolo;
non essendo ne il coseno ne la secance d' un angolo
cosi piccolo diversi dall' unita. 11 logaritnio dell' al-
tezza di B' sopra A' e diinque o . 4307041 ; ed a que-
sto corrisponde il numero 2 , 696 te,
Finalmente i dati per calcolar 1' altezza di C'
sopra B' sono ^i^= 1702,51 te. ; E A B = 2\^ Z' ^i",
e C = 1', 791 .
Cio posto abbiamo
L sen E A B = 9 . 55553946
LAB = 3 . 2310897
12 . 78662916
L COS C = 9 . 99999994
L B d = a . 78662922 ; B d= 611 , 83 .
La secante di i' , 791 diniiiuiita dell' unita non
giunge ancir essa a due diecimilionesinii; e quiudi c,
die in questo caso eziandio il valor di d D c mino-
ra di c , 60 te. L' altezza di C sopra B' e dunque
426 V E N I N I
alquaiito minore di te. 612,49. Si aggiuiiga a questa
TaJtezza di B' sopra A\ cioe 2,696; e si avra un'al-
tr' altezza di C sopra A' alqiianto minore di te. 6i5,
I06. La media delle due akezze di C sopra A' e
614,228 alquanto maggior del vero . (a)
Ma il Cav. Shuckburg, avendo fatti i suoi cal-
coli coi dati medesimi e giunto a risiiltati beii diver-
si da' miei. Imperocclie egli afterma., che le due al-
tezze di C' sopra A' sono di pie. ing. 4212 , 8; e 4212;
onde risulta la media 4212 , 4. Ora a questa corrispon-
dono 658 , 75 anticlie te. fran.; cosicche la sua altez-
za media supera la mia scrupolosamente calcolata so-
pra i suoi dati di te. 44,622 sopra 614 , 228, cioe un
poco pi LI del sette per 100 dell'altezza da me calcolata.
Che il risultato del calcolator inglese sia erroneo
si dimostra facilmente in questa maniera. Sia 1' ango-
lo d' altezza di C sopra A' = 23° 12' 16" in luogo di
21" 29' 34". Torniamo a fare il calcolo col cangia-
niento solo di questo dato; ed avremo
L sen E A B :=: g . SgSS 1 076
L A B z= 3 . 2i3a494
la . 81876016
Lcos C = g . 9999999
LBd=z a . 81876026; i?^= 658, 81.
(a) Quaiulo ii calcclo si fa colT angolo medio noii si deve teiicr ron-
to dell' altezza dell' occliio superioie iigiialmente alia due esireiniti della
visuale A B ; cosirdie 1' angolo medio sartbbc lo stesso se 1' occliio t'osse
situate nelle estremita medesirue /4 e B. Quando I'ho agfiuinta ai risiilta-
ti dei calcoli , die ho attribuiti a sir Shuckburg , io ho dunque supjjosto,
ch' ei siasi ingannato anche in quesio .
SULLE LIVLLLAZIONI UAROaiETlUGIIE 427
Essenclo D d < o , 66, sara anche 1' altezza di C'
sopra J' alquanto miiiore di 669 , 47. Ma 1' altezza
media di sir Sliuckburg e 658 , 76 minor della pre-
cedence di sette deciini soli di tesa . Dunque, allin-
che il SLio risukato fosse esatto, 1' altezza angolare di
C sopra J' dovrebb' essere stata 23" 12' 16", cioe
maggiore dell' altezza media da lui assegnata di 1'
42' 42".
Ma per conferniare i miei risultati io calcolero
le due altezze di C sopra J' e Ji' anche col trian-
golo CAB senza far cangiaraento veruno ai valori
delle visuali, e delle altezze medie angolari. Comin-
ciando dall'estremo A' della base ho A£ = 1672 , o5;
£"^^ = 2i"29'34";^^-:^'= 34" i5' i3" ; e CA =
3267207 . Queste premesse conducono a determinar
gli angoli B e C nel modo seguente .
L tang — ^^^^— = 9 . 833ia669
a
KCA-^AB) = 6 . 5189543567
16 . 3470810467
L{CA-t-AB)= 6.5143988067
L tang i^-TL? = 9 . 83a682a4
2,
-^^ = 34° i3' 34" , 81 ; ^ = 68° 28' 47" , 81 ; e
C= i'38", 19.
4^8 V E N I N I
Qui si vede , clie V angolo al centro e, come
debb' essere , minor di qiiello , che si deduce dalla
supposizioue erronea dell' arco A D eguale alia vi-
suale A B .
La vera altezza D B s\ detcrminera dunque a
questo niodo
LcosEAB = 9 . 9686994B
LC A = 6 . 51417663
16 . 482S7611
L sen B = 9 . 9686 [79823
LC B = 6 . 5i42<58i277
CB = 8267819 , 76 i jD 5 = 61a , 76 .
Col calcolo del triangolo A B F abbiam trovata
la medesima altezza alquanto nvinore di 613,27. La
difl'erenza tra i due risuUati non giuiige aduiique a
5 1 centesimi di tesa; ma quelle del presente calcolo
e probabihnente il piu esatto.
Per I'estremita B' abbiamo C A = 3267207 ■+■ 2,
696= 3267209 , 696; A B = 1702 , 5i; E A B = 21"
3' 4,"; e^^^=34°28'9",5.
Fatto con questi dati il calcolo degli angoU, si
trova ^^^ =34° 26' 29", 22; B = 60" 64' 38" , 72; e
C= r 40", 28.
L' altezza D B si determine ra dunque calcolando
a questo modo.
SULLE LIVCLLAZIOXI BAllOMETRICIlE 429
L COS E A B ^= 9 . 96997279
LCA = 6 . 5141771C8
16 . 484(49898
L sen B = 9 . 9698914682
LCB = 6 . 5 1 42584348
0^=3267822,066; Z> 5 = 61 2, 37.
Aggiunte 2 , 696 te. abbiamo una second' altezza
di C sopra A' = 6\5 , 066: e presa la media delle
due 61 3 , 913 minor della media del Cav. Shuckburg
di te. 44 , 837; o pill semplicemente 45. Se i miei
calcoli sono esatti, come ho ragion di credere, il ri-
sultato del fisico inglese supera il vero di 46 te. su
614, cioe quasi di 7 j per 100.
lo credo, die qiiesta dilTerenza de' nostri risul-
tati debba come quelia del Sale^e atiribuirsi al me-
todo, con cui sir Shuckburg puo aver fatti i suoi cal-
coli; ed ecco in qual rnodo. AH' estremita inferior del-
la base la visuale fu di te. 1672,00; ed io suppon-
go, che il calcolatore 1' abbia creduta maggiore del-
r arco AD d' una dozzina di tese . Cio posto, per
trovar i minuti dell' angolo al centro, supponendo il
raggio terrestre = 8269297, egli avra diviso 1660 per
951; e n' avra avuto il quoziente i' , 748 = i' 44" , 7;
cui per maggior semplicita avra sostituito 1' 45". I da-
ti per calcolar 1' altezza col triangolo CAB son dun-
que i seguenti. ZT/i ^ = 21" 29' 34"; C^i = 8269297;
ei? = 68''""28'4i". Fatto il calcolo trovo 0^=3269953,
T. II. P. IL 54
4^0 V n N I N I
23; e D B = 6r)6 , 23 altezza supposta di C sopra
r occhio. Aggiinua V altezza di qut'sto o , 83 ne ri-
sulta C superiore ad A di te. 667 , 06.
Colle stesse supposizioiii e con uii calcolo simile
trovo Talttzza di C sopra ^' = 654,21 te., e sopra
A' = 656 , 906. La media tra questa e la precedtnte
C 656 , 983 minor della media del calcolator inglese
d'lma tesa e %. Questa piccola ditlerenza piio nasne-
re da qiialche diversita tra le mie supposizioni del-
I'angolo al centro, e quelle del Cav. Shuckhurg, die
ho cercato d' indovinare.
82. Vengo era alle osservazioni barometriche da
lui fatte al punto inferior della base ed alia sonmii-
ta del monte. Queste fnron le seguenti; ma si avver-
ta, die i termometri furon tenuti alTombra.
I-
^' = 28 , 1253 poll, ing.; a = 24 , i525
T
=
6i%
9
A'
=
38 ,
12
58
T
=
6i%
8
A'
^'^^—
28,
12
78
T
—
63"
A'
28 ,
i3
18
T
63°
'9
f = 5i
o
IV
III-
IV'
a' = 24 , i5i I
t = 56'
a' = 24 , 1797
^=56"
a' = 24 , 1899
t = 56"
SULLE LIVLLLAZIONI BAUOMETRIG HE 481
v
^' = 28 , i3o8 a' = 24 , 1913
T = 6^° t = 57°
y^' = 28 , 1268 a' = 24 , 194P
Le akezze medie del barometri furon dunque
^' = 28,1 2805 ; a' = 24 , 1 7643 ; e quelle dei termo-
metri J':=63 ^; f = 55° ;. Volendo calcolar l' altez-
za coUa r^gola del sig. De Luc fatta pei termoinetri
esposti al sole, i gradi precedeuti si debbou accre-
scer di 2; e quest'accrescimento li porta a 65 s; 57" ».
Ora a questi gradi della scala di Far. corrispondoa
in quella di De Luc — 4 -j; e — 12 ^; la cui somma
e — 17. Cio premesso ecco il calcolo dell' altezza.
L A' = \ . 44913967
ha' z=i \ . 33339214
657 , 47^3
Per la regola del sig. De Luc 1' altezza sara duuque
= 657 , 4753 ~ (657 , 4753 ) = 646 , 2983 te. La
media delle due altezze geometriche di C sopra A'
da Qie calcolate col iriangolo CAB e di te. 61 3 >
432 V E
N I N I
9i3 minore della barometrica di 3a, 5853. La rego-
la pt'ccherebbe dunque in eccesso di Say per dieci-
mila, cioe di 5 + per loo fjuantita senza dubbio ec-
cessiva .
Ed invero nelle osservazioni delle i5 stazioni di
De Luc i massimi errori iu eccesso sono i seoiuenti
secondo Tordiue delle stazioni.
0,12; 0,044; o,o3i; o,oi9;o, 009; o , 009; o,oo3;
0,004; 0,001; o,oo3; o,oo5; 0,007; 0,006;
o , 002; o , 002. Qui si vede, che gli errori in eccesso
sono assai piccoii fuorcbe nelle tre prime stazioni;
nelle quali ebbe luogo la circostanza particolare d'u*
no scoglio verticale scaldato direttamente dal sole.
Veggasi il num. 621 delle Ricerche del sig. De Luc;
ov'egli ne da anclie la spiegazione. Ma la medesima
circostanza non essendosi, per quanto io ne so, veri-
ficata in qiieste osservazioni del monte Mole, io cre-
derei, che la gran differenza tra i risultati delle due
iriisure geometrica e barometrica dovesse attribiiirsi a
qualcbe sbaglio occorso nella misura degli angoli d'al-
tezza ; o almeno non saprei indovinarne la cagione
per altro modo.
83. Nella tavola posta in fine della memoria del
Cav. Shuckburg son registrate le niisure trigonome-
triche delle altezze relative di varii monti posti intor-
no a Giiievra: ed io qui n' esporro i calcoli dai dati
della sua tavola dedotti esattamente; e ne confron-
tero i risultati con quelli delle osservazioni barome-
triche calcolate colla regola del fisico di Ginevra.
SULLE LIVELLAZIONI BAROMETKICIIE 433
Saleve e Mole .
La distanza delle due sommita dei monti in pie-
ing. fu 7091 3 , 7 = 12497 ' 2^ ^^' ^'*^"-
Ai)golo dVlevazione del Mole sopra il Saleve = 1*2' 6"
Semisomma degli angoH B c C nel tiiangolo C AB=:
44° 28' 57"
Altezza del Saleve sopra il Lemano per le livellazio-
ni di De Luc := 5 1 1 ,78 te.
Altezza del Lemano sopra il mare 187 , 67
Kaggio osculatore per la latitudine diGinevra 3266914,
£9. Dunque la somma = C A = 3267613 , 74.
n (J
Da questi dati risulta =44" J^' 28",o5;e
per conseguente C= i3',8",95; e i? = 88° 44'45", o5.
D^ r, 3267613 ^ 74 C05 ( 1° a' 6") r> /■ or r>
""1"^ '^^= 1(88- 44' 4", 05) ' = ^'M6^-93.
Q D B =^ 249 , 19 te. altezza sopra 1' occhio. A que-
ste aggiungo V altezza deir occhio o , 83; e mi risul-
ta quella del Mole sopra il Saleve di te. 260 :, 02.
Nella tavola di sir Shuckburg quest' altezza e di
pie. ing. 1596 = 249, 69 te. fran. minor della prece-
dente di 43 centesimi di tesa; onde apparisce, non
aver lui tenuto conto della rifrazione, die io pure ho
nel calcolo prectdente iiegligentata .
Ora per calcolarne V ellctto suppongo primiera-
mente come al num. 66; che il valore di - sia stato
n
43+ V E N 1 N I
0,o8ii8i. Osservo poi, die quando sir Sluukburg
ando per la prima voha alia ciina del Saleve, egli
ron prevedeva d' averci a tornare; ond'e assai proba-
bile, ch' egli abbia allora tnisurati gli angoli d' ele-
vazione o di depressione apparente dei monti ; de'
quali voleva determinar le altezze relative. L'altezza
media del barometro fu allora di pol. fran. 24 , ti3;
e quella del termoinetro 14" R. A questa tempera-
tura il valore di —si ridiice a o , 075612. Nel luogo
n
e nel tempo delT osservazione sara dunque stato
in a4 , I i3 ( o , 075612 ) rr r . .. m C
~ = ~ —„ — ' = o , o65 1 1 5 ; e quiiidi — =
788", oS (o,o63ii5) = 5i", 37.
Dunque Z:^6=ri'i4",63,eC:6//=88''45'S6",42.
Ripetuto coil questi angoli il calcolo dell' altezza si
trova C b = 3267860 , 09; e D b = 246 , 35 altezza
del Mole sopra Tocchio; cui aggiungendo o,83 si ha
quella del Mole sopra il Saleve = 247 , 18 te. E quin-
di r altezza del Mole sopra il Lemano vien ad esse-
re di tese 247 , 18 h- 5i i , 78 = 758 , 96.
Al num. 756 delle Ricerche il sig. De Luc dice;
che colla livellazion barometrica trovo la sommita del
Alole superiore al Lemano di te. 760. Per un' altra
osservazion barometrica fatta dal suo fratello e dal sig.
de Saussure calcolata anch'essa colla solita regola Tai-
tezza dello stesso monte sopra il lago fu di ■jh2 , 83.
II medio dei due risultati e dunque 756,416 minore
del geometrico di te. a , 645 .
SULLE HVELLAZIOXI BAROAIETIIICHE 4^5
il/o/e e la Dole .
Essendo il Mole, ove I'osservazione fu fatta, piu
zhn della Dole io calcolero la depression delia Dole
coUa forinola del num. 6i, cioe
CJcos{(P-^"L£)
C B = -^ (vedi la fig. IP)
cos{(p-^'!l^-C)
n
Per far il calcolo abbiamo i dati seguenti
Altezza del Mole sopra il lago 708 , 96 te.
Altezza del lago sopra il mare 187 , 67
Raggio osculatore 8266914 , 29
C J = 3267860 , 92.
Distanza A b= 146656 pie. ing. = 22984 ,71 te. fran.
Angolo di depressione cp = 25' i3".
Da questo valor di cp si deduce =45*'i2'36",5:
e, fatto il solito calcolo si trova — = 44''44'3o";
e per conseguente C = 28' 6" , 5.
Se si prescinde dalla rifrazioue, la formola si ri-
436 V E N I N I
1 ^n C A COS (p 8267860 J qa co^ (a5' 1 3")
dace a C -o = — ; ^. = 7 r-r^. — =-t =
cos[p — C) coj- ( — i' 53", 5)
326-7774,45. Sara dunque C J — ^^ = 86,47 te. de-
pressione apparente della Dole sotto Y occhio; dalla
quale sottraendo o , 83 altezza dell' occliio sopra la
cima del Mole resta la depression della Dole sotto
il IMole di tese 85 , 64. Questa nella tavola di sir
Shuckbiirg e notata di pie. ing. 562 , 5 equivalenti ad
87 , 97 te. frail. Egli e dunqiie chiaro, aver lui anche
in questo caso negligentata la rifrazlone; ma il sue
calcolo avergli dato te. 2 , 33 piu del mio.
Facciam ora entrar nel calcolo anche la rifrazio-
ne, la quale per un angolo al centro niaggiore di 28
minuti non puo ragionevolmente essere ommessa. Poi-
che la depression apparente della Dole e di te. 85,64;
]a depression vera sara assai vicina alle cento. lo cre-
do adunque, che non mi allontanero molto dal vero
supponendo, che nel tempo, in cui dal Mole si mi-
suro r angolo di depression della Dole, il barometro
ed il termometro avrebber dovuto essere piu alti al-
ia Dole che al Mole, il primo d' un mezzo pollice
incirca, ed il secondo d'un grado. Ora le altezze me-
dic delle 6 osservazioni fatte sul Mole furono pel ba-
rometro di poUici francesi 22 , 685; e pel termometro
gradi 10, 5 11. Questi strumenti sarebbero dunque
stati sulla Dole a pol. 23, i85; e gra. 11 , 5. 11 va-
lore di — alia temperatura del ghiaccio e come diaa-
zi = o , 08 1 1 8 1 , e per gra. 1 1 , 5 si riduce a o , 07660O5
SULLE LIVELLAZIONI CAROMETKICIIE 4^7
Nflle circostaiize dclT osservazione sara diiiujiie stato
m a3 , I as (o ,0766065) ,, ,, t
-= « ^=0,06.3433. In (jucsto caso
essciulo C= a8 6", 5; sara "— = i6{{6",5(o,o03433)
n •
= 1 06', 98= i'^6",()(i; e cio posto, la foniiola divieiie
^ jy 3:^67860 , qa co^ ( a6' So" , 98 ) , . ^ ,
Ci? = ^-y_^„^^^^_^' = 3267760, 47^; e
C A — C B — ICO, 447 tlepressionc della Dole sot-
to r occhio . Ne detraggo o , 83 ; e mi resta la ve-
ra depression della Dole sotto il Mole di te. 99,617
inaggior di qiiella del calcolator inglese di te. I r , 647.
Sottratte 99 , 617 da 758 , 96 te. altezzi del Mole so-
pra il Lemaiio ne resta no 6.59 , 343 altezza dclla Do-
le sopra \\ niedesimo.
II sig. De Luc niisuro 1' altezza del Venice del-
la Dole sopra il lugo per mezzo di due osservazioni
barometrielie. La prima gli diede 394+ pie., e la se-
coiida 39.')2; la cui media e di 3948 pie. =658 te.
\}v\ altra osservazion baromerrica iatta da lui e dal
sig. De Saiissure ebbe per risultato 39.54 pie.; mi in
qnesta il barometro snperiore fu alquanto piii basso
della vera sommita del monte. II De Ltic dice, die
lo fu di poco ; ond' io supporro , die all' altezza pre-
cedente dehbano aggiugiiersi tre altri piedi portando-
la COS! a 3957. Aggiunta questa alle altre due, e di-
visa la sonima per tre si trova T altezza media di 3931
pie. =68,5 te. miuore della niisura geometrica di
O , 843 di tesa.
T. IL P. IL 55
433 V E N I N 1
Salcve e Buct.
La distanza JB delle due sommii^ fu dl pie. ing.
182446 = 285.31 , 7 te. fran. L' aiigolo d' elevuzioiie
£JB (fig. 1') = 1" 3o' 46"; C A = 3267613 ,74; e da
, B -t- C B C
questi dati conchiudesi =44° ^4 ^7 5 =
43° 44' 37"; C=3o'; e ^ = 87° 69' 1 4". Fatto il so-
lito calcolo deir altezza appareiite si trovd C B =
3268491 ' 'i^' ^ D B = Sji ,3-b; e coll' aggiunta di
o , 83 = 878 , 2o5 altezza del Buec sopra il Saleve .
Nella tavola di Shiickburg quest' altezza e di pie. ing.
56 1 5, 6 = 878, 19 te. frati. cioe quasi eguale alia mia.
m C
Per calcolar r altezza vera ho — = 3o' (o,o65ii5) =
i'57",2: onde mi viene £"^6= 1° 28' 48", 8; ed AbCz=z
88° r 1 1", 2. Ripetuto con questi angoli il calcolo, tro-
vo C 6 = 3268474 , 99; e D b = S6i ,25. Aggiungo
0,83; e mi risulta 862,08 altezza corretta dalla rifra-
zione; la qual fa in questo caso di te. 16 , 120.
Aggiunte 5ii ,78 te.; delle quali il Saleve e su-
periore al lago, ne risultano i373 , 86 altezza vera del
Buet sopra il Lemano. II sig. De Luc per mezzo
d' un' osservazion barometrica calcolara colia sua re-
gola trovo quest' altezza di te. 1371 ,5 miuore della
geonietnca di 2 , 36*
SULLE LIVELLAZIOM BAUOMLTR.'CIIR ^?>()
«>
Saleve e Moubianco .
Distanza A B = 206B60 pie. ing. = Jii'Voo , ?i?> te-
frail, aiigolo d' elevazione = 1" ^7' Sy". Dimque
^^=^3° 36' I", 5; ^^^^ =43 "2' 2", 88; C =
33' 58", 62; e 7? = 86° 38' 4" , 38.
Fatto con questi dati il calcolo senza consldcrar
Ja rifrazione si giunge a C /?= 3269-552 , 8S; D B —
1739,11; e col solito accrescimento per I' altezza del-
V occliio I 739 , 94.
II Cav. Shuckbiiro; nella sua tavola fa il Mon-
bianco snpcriore al Saleve di pie. ing. i 1 124 corri-
spondenti a te. fran. 1739,6 altezza minor dclla pre-
cedence dun solo terzo di tesa .
iSelle circostaiize delle misure degli angoli alia
cima del Saleve ho gia osservaio, clie — f u = o , o65i i5.
Qui abbiamo (?= 33' 58" , 62 : onde viene = i32",
n
74 = 2' 12", 74. Neir osservazione fu dunque EAb=:
2%5'44'' ,26; ed J6C=86''4i'' 17", 12. Ripeto il
calcolo con (|uesti veri valori degli angoli; e trovo
C^ = 326933 1 ,93; /)6=i7i8, 19; ed agginnta 1' al-
tezza dell' occhio 1719 , 02. Quesra e dun(pie I'altez-
za vera del JMonbianco sopra il Saleve; e per conse-
guenza I' eftetto della rifrazione c di te. 20,92. L'al-
tezza vera del Monbianco sopra il I^eniano sara dun.
que = 1719 , 02 -♦- 5i I , 78 = 223o , 8.
44^ V E N I N I
Mole e Monhianco.
Dlsfanza A B — 1436.32 pie. ing. =32461 . 8 te.
fran. aiigolo cl' elevazione = 3° Sy' 7": e quiudi
^-^=43° ir26",5.
Alia sommita del Mole ho gia mostrato esser
0^ = 3-467860,92; ed or conchiudo; clie da tutti
R — C
questi dati risulta col solito calcolo = 42" 27'
52", 2; C = 23' 34", 3; e ^ = 85" 59' 18", 7.
Cio premesso, il calcolo del triangolo CAB con-
duce a 0^=3269355,697; e per conseguente a
B D = \^c^^ ^ 111 altezza apparente del Monbianco
sopra r occhio; e sopra il Mole 1495,607. JNella ta-
vola di sir Shuckbiirg quest' altezza e di pi<^. ing. 9570,
6 = 1496 , 7 te fran. inaggior della mia di te. 1 , 093.
Qui pure e manifesto; non aver il calcolatore ingle-
se tenuto conto della rifrazione.
Per calcolar 1' effietto anche di questa abbiamo,
come qui sopra ho spiegato, - = o , 081 181 per la
temperatura del ghiaccio; 1' altezza del barometro in
pollici francesi =22,685; e quella del termotnetro
= 10° , 5 R. A questa temperatura il valore di — si ri
8ULLE LIVELT.AZIONI BAROMETRICHE 44 1
duce a o , 0770042. Quando si misuro I'aiigolo d' e-
1 • , 1 m aa ,, 685 ( o , 077004.4 \
levazione sara duiuiiie state = ■ — ~ — — — ^^—l
^ n ao
m C
= 0,062387. ^'' quindi viene — '=i4i4",3(o,o62387)=
TV
88", 234 = i' 28'' , 234. I veri angoli fiiron dunqtie
E A b = r 35' 38", 766; ed AbC = '6(i'' o' 46" , 934 .
Fatto con questi dati il calcolo del triaiigolo C A b
si trova C b =3269345,948; I'altezza vera sopra \ oc-
chio D b = 1485 ; 028; e sopra il Mole 1485 , 858.
L' effetto della rifrazione fu duuqiie in qaesto case di
te. 9 ,749.
Essendo il Mole superior al Lemano di te. 708,
96 abbiamo un' altr'altezza del Monbianco sopra quel
lag,o; la qual e di tese 2244 ,818. IIo gia detto al
num. 22; cbe una inisura geonietrica del sig. Fictet
fa la cima del Monbianco supcriore al Lemano di
2238 te. Supposto , com' e verisimile, cb' egli non
abbia negligentata la rifrazione, la media delle tre
altezze sara di te. 2237 , 873 quasi egnale a qnella
del sig. Picter, perclie ancbe la media di sir Sbuckburg
e di 2237 , 809.
lio gia detto alia fine del num. 26, cbe contem-
poraneamente alle osservazioni del Monbianco e di
Ginevra il figlio del sig. De Saussure ne fece un' al-
tra al Priorato diCbamonni. In qnesta I'altezza ctir-
reua del barometro fu di linee 3o3 , 36; e quella flel
termometro all' ombra di gradi 18,4 K Accresciuta
d' un grado la temperatura, e fatto il calcolo colla
ftgola di De Luc, trovo laliczza del barometro del
44- V E N I N I
jMonbianco sopra ([uello di Clianionin di te. 1894, 853;
e Tahczza del baroinetio di Chainouiii sopra quel di
Giiievra di 327 , 32,4. La soiuina delle due altezze e
duuque di tese 2222 , 177 niiuore di 4 , 896 di quel-
la, die abbiaiu trovato al uuui. 77 calcolauilo nello
stesso modo le osservazioui del ]Moubiaiico e di Gi-
nevra. 11 medio dei due risulcati e 2224,625 te II
barometro di Giuevra fu superiore al lago di te. i3,5;
e quel del Moubiauco inferiore alia ciina di tre pie-
di. La vera altezza della soininita del uionte sopra il
lago fu duuque per le osservazioui barometriche cal-
colate colla regola di De Luc di te. 2238 , 625 mag-
gior della media geometrica di f di tesa^ conformita
veramenie singolare, ma da attribuirsi a qualclie ac-
cidental compeuso di errori piu che Jail' esatiezza de'
risultati cosi della regola couie delle misiure trigouo-
metricbe .
Le differenze tra i risultati della regola del sig.
De Luc, e le altezze vere delle raisure geometriche
luroa duuque
pel Mole ~,V ^f = - o , 003353
^ 758 , 96
per la Dole — — ^"^ = — o , 0012785
* 6^9 , 343 '
pel Buetr-^^|=- 0,0017178
pel Moubiauco — -^ --l-n = -+- o , ooo336o3 .
*^ 4287 , 873
Tutte queste differenze son cosi piccole, die non
8UI.I.E LIVELLAZIOXI BMlOMl.TUICUn 4^3
pure alia rcgola non s'oppongono; ma puo cliisi, die
la cont'cnniiio inirabilmeme. li, (jiiindi io sfinpre piii
mi coiilcriiio nell' opinione ; che il grand' errore cli
pill del cinque per lOO in eccesso, di rui ho parla-
to alia fine del num. prec. dtljlia attr bnir<ii a (jual-
che coiisideraljil errore degli augoli d' eleva/ione. In
fatti, supponendo che questi in luogo di 21" 29*34";
21** 3'4i"sian 22° 29' 34"; 22° 3' 41", e caltolate le due
altezze col triaugolo CAB i risultafi suno di te. 640,
556; e 643 , 2; il cui medio C41 , 878 esj)rirne Y al-
tezza del JMoIe sopra 1' occhio dell' osservatore. Ag-
giungo o , 83; e vitmmi 1' aliezza sopra il punto in-
ferior della base di te. 642,708. Essendo il risnlia-
to della misura barometrica 646,3: la difFeienza lo-
re e dunqiie di te. 3,r>92 su 642.708, cioe poro piii
del mezzo per 100. Se tali fossero stati gli anuoli d'e-
levazione qnali io gli ho siipposti, la ret;ola del fi^i-
co di Gine\ra pec( herebbe ancora in erc« sso, ma po-
co piu del mezzo per loo, ed a time he la supposi/iiui
mia si verifichi basta, che sia seguito Io si aglio di leg-
gere o di scrivere nn' uniia di men(j nei gradi degli
angoli d' elevazione.
JMa terminiam finalmente qnesta discussione di-
venuta ormai troppo lunga, e conchiudiamo : 1" che
tutte le osservazioni barometrirhe fafte inrorno a
Ginevra sui monti jMole , la Dole, Buet e Bianco
da' signori De Luc, de Saussure , e Senebier cal-
colate colla regola di De Luc danno risultati che
s' accordano assai bene con quelli delle misiire tri-
gonometriche corrette, come conviene, dalla rifrazio-
ue; ir che Io stesso e da dire delle os!?ervazioni del
-t^^. V E K I N 1
Cav. Shuckbiirg al nionte Saleve; poiclie anche que-
ste calcolate colla regolu medesima couducoiio ad un
risiiltato; la ciii diileienza da qntllo della inisura geo-
nietrica calcolata esattameiue e di i6 centesimi di te-
sa ill ditVtco su ^34 ,72, o di B dieciinillesimi delTal-
tezza totale, non gia di 2.3i come alciini lisici haii cre-
duto ingannati dai c.ilcoli erroiiel del Cav. Sluickbiirg:
III" chf le osservazioni barometriche di questo fisico
al nionte Mole contraddicoii sole la reijola facendola
peccare in eccesso d' oltre al cinqne per 100; ma che
Terror si riduce a poco pin d' un mezzo per 100 se
per isbaglio fu scritco un grado di nieno negli ango-
li d' elevazione.
Mil nel seguente articolo si vedra, che la regola
del fisico di Ginevra applicara alle nuinerose ed esat-
te osservazioni del General Roy da le altezze minori
delle trigonoinetriche di 0,0134.5 per la temperatn-
ra di 10'' R. cioc alquanro pin di i ' per 100. lo Tho
applicata all' osservazione del sig. Ramond al Pic du
7uidi, ed a quella del sig. d'Aubnisson al nionte Gre-
gorio; ed ho trovato, che anche per cpieste essa pec-
ca in difetto: nella prima di o,oi66<} a 9° i R : nel-
la seconda di o,gi35i5 ad 1 1° 2 R. Fnialmente i
risultati della stessa regola son minori di qnelli della
ionnola pnbblicata dal sig. Pictet in nno degli ultimi
giornali britannici di o , 01 705 a 10° R. La media e
0,014924, o quasi i 2 per 100 per la temperatura
di circa 10'' h R. Ma della piu precisa quantita di
questo difetto, e della causa da cui puo dipendere,
parlero alirove piu distesamente.
4^5
]M E ]\I O R I 7V
in ciil si espone un metodo </' inilag>nc i diiisuri
di quaUivoglia data nutnero.
Di Sebastiano Canterzaki
presentata a' 20 di gennajo 181 1.
I. lSu(
iccede in molti problemi di Algebra iiule-
terminaia, clie la soluzion loro esiga che si trovino i
divisori di un dato numero, ne qnesti divisori trov.ir
si possano^ se non si trovino cjuei valori di una quan-
tita indeterminata, die fanno riuscir ecjuale a un nu-
mero intiero vma forniola frazionaria data per (juella
ind<'t(Mininata; qualora poi si passa a cercare questi
tall valori co' metodi, che coinuneinente si dauno per
trovarli. si ricada nel bisogno di ritrovare i divisori
del numero dato.
11. Uno di tali problemi si e il seguente : Troca-
re un numero intiero, che posco in luogo di x nella for-
mola \/.TX=ti^, dove A e un numero intiero dato,
faccia che la fornwla si conveita in un numero rnzio-
na/e. Senza cercare con quale de' metodi proposti da-
gli Autori si possa sciorre questo problema, io mi fo
a sciorlo nella maniera, die verro subito csponeudo
dopo di aver notato, che dclle due formole v/t-c-*- J,
T. II. P. IL 56
44^ C A N T E tt Z A N I
\/ X X — A riJotta clie sia a razionalita 1' una viene
ad esser ridotta anche I'altra; poiche se y/x-x-H// = y,
sara x x = y y — J, cioe x =\/ y y — A, e vice versa :
or .T, e y gia si suppongono jiurneri iiitieri, e razionali.
HI. Sia primierainente A nuiiiero pari, e \/xx-^.A
la forinola da ridiirre a razionalita in nnnit^ri iutieri.
La serie dei quadraci dei niimeri iiaturali ha pt^r se-
rie delle prime dillerenze la serie dei nnineri dispa-
ri. Preso un nnmero pari di queste dilTerenze, e som-
niatele insienie si fonnera sempre un nuinrro pari; e
se le dilFerenze, die si saran prese, non sieno sparse
qua e la nella loro serie, ma sieno consecutive, la
Icjro somina sara sempre la dilFerenza d'uno dei qua-
drati della serie de' quadrati da un altro quadrato, e
pero aggiuntala dei due qn;idrati a! minore si avra il
uiaggiore. Snppongo dunque ciie 2 h -*- i sia la minore
delle dillerenze consecutive, die si saranao s xnniite;
la seguente dilTerenza sara 2 A -»- :5, e la loro soin-
ma 4 /t -+- 4; quella, die vien dopo queste due, sara
2 h -*- S, e la sonima delle tre 6 /i -»- 9, e cosi via
discorrendo, di modo die ben si scorge die general-
mente se il numero pari di dillerenze consecutive, die
si saran sonmiate, sia 2 f, la soinma loro sara ^ f h -^
4 f f- Posto pt^rtanto che il numero pari A sia que-
8ta somma, si avra 4 f k -+- ^ f f ^= A; dove tosto ap-
parisce, che I'equazione non pno sussistere in numeri
intieri, se A non sia parimente pari: onde si di-e con-
chiudere, che la ridnzione della formola ^ x x -^ A
a razionalita in luimeri iiuieri, quando A e pari, e im-
possibile, se ji non bia divisibile per 4.
STj' DIVISORI DI QUALSlVOGLI.\ NUMERO 447
IV. Sia dunque A divisibile per 4. Sostitueiulo
4 ^ ad A requazione ricsce hf -^ f f = /?, the da
h = - ~ f; e la difFicolta e ridotta a trovare i diviso-
J
ri del niimero B. Per la qiial cosa se 13 e un nu-
mero primo, il probleiiia non avia clie una sola so-
luzione , cioe quella, che si ottiene preudendo f=i,
la quale non manca mai: se poi B non sia nuinero
prime , qnante saranno le nianiere diverse di risol-
verlo in due fattori, tante saranno le altre solnzioni,
che il ])rol)lema avra; e cio perche risoluto che sia
B in due fattori , e indilTerente valersi dell' uno di
essi, o deir altro, poiche aniendue somniiuistrauo la
stessa soluzione.
Trovato poi il valor di h e trovato insieme quel-
le di x, perche x = /i . In fatti se nella forniola
\/ X X -t-A si nu'ita il valor di ^ = 4 f /i -+- >^ f [{fll)
si ottiene \/ x x -»- 4 / // -^ n ff , che non diventa
razionale, se non poueudo h/i in luogo di x x. Quin-
di e, che trovato che si sia il valor di f, e ricava-
tone quelle di /t, sara Jl -^ 2 f \\ razionale, in cui
la fermola \/ x x -*- A si converte.
V. Sia ora A numero dispari, che non sia I'uni-
ta [esseudo chiara 1' impossibdita della riduzione a
razionalita in numeri iniieri della formola v^ i .rzti],
e sia \/xx—A la formola da ridurre a razionalita
in numeri intieri. Per fare il numero A col sommare
le differeuze j)rime drlla serie dei (juadrati cousecu-
tivameute prese e manifesto doversene prendere uii
44^ Canteuzani
iiiimtMO disparj. Chiamata, come prima, 2 /t _4_ i la
piu piccola di tali diflereuze, la somma delle tre pri-
me sara 6/t-»-9, la somma delle prime cinque ioA.-»-25,
e generalmente se il numero delle dilTereiize, die si
somniano, sia 2^-*- 1, la loro somma sara
2(2/-H l)/i -^.(2/^ i)' = (2/h- 1)(2A-H2/^- I).
Faccio dunque {2 f •+■ \) {2 h -k- 2 f -*- \) = J, e su-
bito in' accorgo, che la soliizione del problcma esige
che si trovino i divisori del numero A. Se in quest' e-
quazione separo h , trovo die lacendo A— i = 2 B
riesce ti = • -/-^ = — - — /, e che per conse-
2/ -♦- I 2j -i- I -^ '
guenza si troveranno i divisori del numero A, se si
determinera / in modo che la forinola frazionaria
O f
— > risulti ef»;uale a un numero intiero. Trovato poi
2/-1- I o I
die fosse /", gia si sarebbe trovato il fattore del nu-
mero A rappresentato da 2 f-*- 1. II valore poscia di
X sarebbe x = —^/ "^ ^ -*- /• 1 11 fa"i con questo va-
lor di .T si avrebbe x — h = 2f-+-i, x-*-h= — ^ ,
oiide X x~ hh = 2 B -^ \: ma 2B-+-i=:A. Dun-
que xx — hh = A, e pero xx — A = hh^ e quiiiJi
y/ X X — A =^ h, cioe la formola proposra ridorta a
razionalita in numeri intieri. Dove vedesi, die trova-
to d valor di h e gia trovato il razionale, in cui la
proposta formola si coaverte.
SU' DIVISOR! DI QIJArSlVOGI.IA NUMERO 449
VI. Ora e cliiaro clic /=o rencle la forinola
-> eguale aU'iiitiero B. Per la qiial cosa e&li e
certo, clie il prohlema lia seinjue aluuMio una solu-
zione: rna oltre qiiesta ne avra altre, se il miinero
j4 oltre r uiiita avra altri fa i tori , e taiite ne avra,
quanti saraniio i modi diversi di risolvere A in due
fattori.
VII. Se a trovare i fattori, o dir vogliamo i di-
visori del numero J prendo a cercare i numeri, che
B — f
posti in luogo di / rendono la formola -~. — — egua-
le a un intiero, e a quest'effetto nietto B ~ f = m^
e 1 -H 2 f= n. (che e forse 1' unico meiodo, onde ot-
tenere in numeri intieri la risoluzione deirec[nazione
2j r
z = — ;: — -— ) ed eliminato f dalle due equazioni ri-
a/-+- I ' ■' ^
cavo I'equazione 2 B~2m = ii — i , e quindi 2 ^-»_ r ,
cioe J = 2 m ■+■ n, non posso nnvenire — , che rap-
presenta la formola , la quale dev' essere un
intiero, senza aver — — - =-, cioc senza esser da ca-
a n ^ n
po, e dover trovare i divisori del nuinero A, i qua-
li doveado essere numeri dispari, perche dispari e A,
45o Canterzani
faranno die — liesca del la forma , cosi die
3, n
— - sia appunto =6 numero irjtiero. Da cio
apparisce, die il problenia: Dato II numero intiero
dispaii A trovare ijuel numeii inticrl , die postl in luogo
di X nella formola \/ x x — A rendono (juesta fonnola
razionule, e iino di quei, die ho acceniiati da piinci-
pio (/). Poiche alia di lui soluzione si richiede, die
si trovino i divisori del numero A, e a trovare que-
sti divisori convien deteriniiiare / in niodo die la
formola ^ riesca eo;uale a un intiero; qualora poi
a/n- I °
mi accingo a determinare f ritorno alia necessita di
ritrovare i divisori del numero A.
Ylll. Pare adunque, die il problema : Dato it
numero dispari A, che non comincl per 5, trovare se
sia, o no numero prinio , e se no trovnrne i fattori,
ove per sciorlo non s'abbia in pronto la tavola, o il
numero A sia al di sopra di quelli, ai quali la tavo-
la si estende, non possa sciorsi se non tentando. In
tal caso non sara inutile I'avere qualdie scorta ;, on-
de regolare il tentativo. Finora tra le diverse strade,
per cui mi sono incamminato verso la soluzione di
questo problema, la meno tortuosa e scomoda mi e
riuscita quella, die in seguito verro additando. Pri-
ma convien uotare le seguenti cose.
Se il numero A sia risolvibile in due fattori di-
scguali, egli e evidente, die uno di essi sara sempre
SU' D1VI50KI DI QU.VLSIVOGLIA NUMEIIO 4^1
minore, e i'altro inaggiore della raclice del piu gran
quadrate conteiuito in A.
Se la fijijLira iniziale del nnmeio J sla i, V uno
dei supposti due fattori avra per figura iniziale 7, e
I'altro 3, o avranno aniendue per fi^uia ini/iale i,
op pure 9.
Se la figura iniziale del nuniero A sia 3, 1' u-
no dei supposti due laitori avra per figura iniziale 3,
e I'altro 1, oppure 1' uno g, e I'altro 7.
Se la figura iniziale del nuniero A sia 7, 1' uno
dei supposti due fattori avra per figura iniziale 7, e
r altro I, oppure 1' uno 9, e T altro 3.
Finalmente se la figura iniziale del nuniero A
sia 9, I'uno dei supposti due fattori avra per figura
iniziale 9, e 1' altro i, o avranno amendue per figu-
ra iniziale 7, o|)[)nre 3.
]X. Sicconie V ordine da tenersi nella serie delle
operazioni, die occorreranno, e senipre il niedesimo,
o coininei A per i , o eoninici per 3, o per 7, o
per 9, cosi mi limito a iudicarle in un caso solo. Sia
dnnqne A = iioooi \ . Se qn^-sto nninero possa risol-
ver*i in due fattori, egli e certo^ clie dovru verificar-
gi una delle tre equazioni
( lo/rt-t- 7)( ion-+-3) = 820001 1
( 10 m -*- I ) ( 10 « -+- I ) = Satooi I
( 10 m H- 9 ) { ic n -¥- i)) = 3aooci 1
Nella prima, che ha i due flittori di diversa for-
ma, separo I'mia. e I'altra indeterniinata , perclie non
61 ba a quale delle due forme sia rifenbde il fattor
I
403 C A N T E U Z A N I
minore: nelle altre clue equazioni, ciasciina delle q\ia-
li ha i clue lattori della stessa forma, basta separar
una sola delle due indeterminate. Si ricavano quin-
di quattro formole frazionarie
3 1 9999 — 3m
I o m -t- 7
3
'9999-
7'i.
: — fji
10 ft 4-
3
3aooor
— n
10 rt •+- I
319993 —
9 n
= m
10 ?l
m ognuna delle quali il denominatore rappresenta
uno dei supposii due fattori, il minor de' quali de-
ve esser minore di 1780 radice del piii gran (juadra-
to coiiienuto nel numero 32000ii, e pero dovra es-
sere 10/2 -h 3, come pure \oin -«- 7^ e ion -+- i^ e io;i
-♦- 9 < 1788, cioe /i, come anche in non maggiore di
178. Dovrebbersi per tanto in ciascuna delle f[uattro
formole provare in luogo deirindeterminata uno do-
pe r aliro tutti i nuineri cominciando da o fino a
178 per vedere se alcuna di esse si converta in nu-
mero intiero. Ma questo sarebbe forse un lavoro al-
cjuanto molesto.
]Mi limito percio a provare solamente o , i , 2 , 3 ,
4,5,6,7,8,9,6 trovo, cbe nissuna formota riesce
eguale a un iiliiero. Cosi mi sono assicurato, che se
il numero proposto si puo risolvere in due fattori,
il minore di essi non e esprimibile per meno di tre
figure. Passo dunque a vedere, se puo esservi un fat-
ture, che si espruna con tre figure; cioe dalle quat-
8U DIVISOUI DI QUAT.SIVOGLIA NUMF.ItO ^SS
tro formole precedent i, clie possono chlamarsi le pri-
me, passo alle secoiitle, the si trovano mlla segiien-
te maniera.
Al 7, per cui si snppone che possa coiniiiciare
lino tlei due I'attori, scrivo apprt-sso, cioe in secondo
posto, una dopo P altra le dieci figure ariuneticlie ,
come si vede in yl/, e scrittele pure ap|>resso 3, per
cui dovrebl:)e cominciar 1' altro fattore, noto in A di-
rimpetto a ciascun numero scritto in M (]uello di
questi altri nunieri, che niohi[)hcato ]>el suo torri-
spondente scritto in M produce un nuujero, che co-
mincia per 11, come per 11 comincia il numero pro-
posto. E' facile trovar raccoppiameuto di cjnesti nu-
nieri, poiche trovatolo per li primi due, o ire si scor-
ge suhito r ordine, col quale si seguono I'un T altro
i tuimeri scritti in IV: in questo caso il seguente si
ottiene aggiungendo 10 al precedente, e trascuraiido
nella sonuna la terza fignra, dove la sornina la por-
ti. Con queste dieci coppie di numeri formo i tlieci
prodotti, a ciascun de' quali metto eguale il numero
proposto .
M N
07 .... 78 ( 100 m -H 7 ) ( 100 re -f- 78 ) = SaooDii
17 .... 83 ( 1 00 772 -»- 1 7 ) ( I oc /i -4- 83 ) = 3acoc I I
37 .... 98 ( 100 W -•- 27 ) ( 100 re -♦- 98 ) = 32COOI I
87 . . . . o3 ( ICO rez -»- 87 ) ( ICO re -H 3 ) = 8acooi i
47 .... 1 3 ( r 00 /n -»- 4? ) ( ' 00 re ->- 1 3 ) = 8aoco 1 1
57.... a8(ico?72-4-57)(ioore-4-a3) = Sarcoi i
T. II. P. IL 57
454 Ca.nterz,\ni
67 .... 33 ( ICO wz -H 67 ) { 100 /?. -4- 33 ) = 320O0II
77 .... 43 ( 100 w -»- 77 ) ( 100 7i -«- 43 ) = Sioooir
87 .... 53 ( roo TO -t- 87 ) ( roo re -t- 53 ) = Sicooj i
97 . . . . 63 ( 100 w -H 97 ) { 100 n -+- 63 ) = Saoooii
Lo stesso faccio per rigiiardo ai due fattori, che
si suppone che possano cominciare amendue per i .
Se noil che aveiido questi due fattori la stessa forma,
i prodotti saranno nieno di dieci, e nel nostro case
solamente cinque: e cinque saranno pure quei, che
soggiungero per riguardo ai due fattori, che si sup-
pongono cominciare per 9. Anche negh accoppiainen-
ti tanto dei numeri, che cominciano per i, (juanto
dei numeri, che cominciano per 9, regna un ordine;
poiche ne' primi la somma dei due accoppiati comin-
cia costantemente per 12, e nei secondi per 88, co-
me mostrano le parentesi in X , e in Y.
• 11)=: 3aooor r
91 ) = 3aoooi r
81 )= 3iocoi I
71 )= 3aoooi I
61 )= 32000I I
79 ) = 3aoooi I
• 69 ) = 3aoooi I
59 ) = 3aoooi I
49 ) = 3aoooi I
99 ) = 3aooo 1 1
X
Y
01 ^ 09 '
( too m -H I )( 100 71
( I CO TO -♦- a I ) ( 1 00 re
A i
19
ai >
^9
( 100 rez -H 3i ) ( loore
3i
4'
) 39
( 100 w -4- 4' ) { 100 re
( ICO w -+- 5i ) ( 100 re
5i
59 '
( 100 /re -4- 9 )( 100 re
61
69
( 100 w -+- 19 ) ( 100 re
( loom -+- a9) ( loore
7'
79
81
89 \
( ICO /re -H 39 )( 100 re
91
99 \
( roo/re-«-89)( 100 re
SU' DIVISORI 1)1 QUALSIVOGLIA NU3IEU0 455
Separo amendue le indeterminate in ognuna del-
le venti equazioni, e ottengo venti coppie di foruiule
frazionarie, cioe --
3ifiq5 — yn 81995 — 7^ w
1. m , — n
100 « -»- 7^ 100 m -t- Y
31986— 17/1 _ 31986 — 83 w
12« -:- — — - 77Z J ■ — ms 7t
100 «. -«- o3 ICO w -»- 17
3 31975 — a7rt_^^ 3(975— 93 m_^
100 /i -H 93 100 m -t- 27
4. 31999 — 37n_^^ 31999— 3m_^
ioo«-i- 3 100 TO -4- 37
5. 3 1 994 — 47 re _ ^ ^ 31994— '3to_^
1 00 /i -H 1 3 1 00 m -H 4?
, 31987 — 57 n 31087 — 2.3 m
6. — i-i L— =TOj — ^^— i -— =re
100 re -t- 23 100 TO -t- 57
31978 — 67 re 31978 — 33 TO
100 re -»- 33 100 TO -H 67
g 31967- 77re__^^ 31967 — 43to_^
icore-»-43 ICOTO-+-77
31954 — 87 re 31954 — 53 TO
9. — TO, — • — n
100 re -»- 53 100 TO •+- 87
10.
31989 — 97 re 31989 — 63 TO
^-^ ZJ-_=TO, — .^LJ. =/t
J 00 re -H 63 loo TO -t- 97
Saooo — n 3aooo — 1 1 to
II. = TOj =n
100 re H- 1 1 100 TO -♦- I
12.
81981 — aire 3iq8i — 91TO
1 =772, -? ^< =71
100 71 -H 91 lOOTOH-ai
456 Canterzani
, 81975 — 3r re 31970 — Sj m
1 00 /i H- 8 1 ICO ni -i- 61
, 3i97r — 4' n, 3i97t — 71 m
1 00 « -»- 7 1 1 00 m -t- 4 1
r 3 1 969 — 5i n 3 1 069 — (yi m
10. = Tre , _ — = A
1 00 At -I- 6 1 1 CO /« -»- 5 1
16. 31993— 9ra_^^ 31993 — 79 m _^
100 /I -t- 79 100 /» -t- 9
31987—19^ 3r987 — 69W
1 7. — 2_f _i — = m , — ^—i- — = n.
100 /I -»- 69 100 /» -H 19
g 31983 2971 31983 59 W
ICO /i -t- 59 100 /?i -t- 29
,^ 3.981 — 3n re 31981 — 4Q w
1 9 . — I i — = m , — ^ ±1 — = n
J 00 re -K 49 100 w -I- ^9
„^ 3 1 9 1 a — 89 re 3 1 9 r a — 9() 7?i
ao. — ^ i — = m, — — — =»
1 00 re -V- 99 1 00 m -H 89
In ciascheduna di queste formole frazionarie in
luogo deir iiiJetermiiiata provo una dopo 1' altra le
nove figure aritmetiche significaiui (e inutile provare
il zero, perche si e gia veduto che 11 uuinero propo-
sto non ha nissuu fattore espresso per meno di ere
figure). Ma solamenie giunio alia deciinaquinta cop-
pia trovo, che al mettere 7 in luogo di m nella se-
conda fornaola ottengo ' "^- = 42 = n . Duuque un
fattore del numero proposto Saoooii e ySi: T akro
€ara 100 /i -t- 61, cioe 100 . 42 -«- 61 «= 4261 , il qua-
SU' DIVISORI DI QUALSIVOGI.IA NUMtRO 457
le sara certainente niiniero primo, perclie la radice
del piu gran qnadrato in esso {oiitennto non ha the
due figure, e pero il ininore dei dtie fatiori, 111 ciii
fosse esso risolvibile, non potrehhe aver piu di due
figure; or se vi fosse un tal fattore, siccome dovreb-
be egh esser coniune andie al numero proposto, cosi
si sarel)be gia trovato mediante le quaitro forniole
prime, hssendo per tanto e il factor ininore ySi , e il
maggiore 4261 numero primo, egli e certo, die il
proposto numero oltre cpiesti due non puo avere al-
tri fattori.
X. Quando il numero proposto sia espresso per
un numero grande di figure, converra tame volte dal-
le seconde formole passar alle terze , e fors' anche
dalle terze alle quarte, ec; il qual passaggio si fa
sempre alia maniera stessa, nella quale si e veduto,
che dalle prime si passa alle seconde . Egli e vero
che in questo modo il numero delle formoh:, in cui
si ha da operare, cresce grandemente, massime se per
avveutnra il proposto numero sia numero priiuo. Ma
non e piccolo vantaggio quello di non dover mai ten-
tare in luogo delle indeterminate che i numeri scrit-
ti con una sola figura.
Cio che puo maggiormente rincrescere in quesfa
specie di operazioni, e la divisione, che a formola
per formola convien fare per vedere se si faccia, o
no senza avanzo. Ma appunto perche altro non si
cercd se non di conoscere se la divisione si ottenaa
con avanzo, o senza, si agevolera molto cjuest' ope-
razione (giacche il divisore e sempre dispari) iacendo
la divisione a rovescio, cioe non da sinistra verso la
458 C
A N 1' h R Z A N 1
destra , come ordinariamente si pratica, ma da de-
stra verso la siiiistia; la ([ual oj^erazioiie riesce spe-
ditissima nou aveiidosi a far altro che soitrarre suc-
cessivaineiite i midtipli del divisore dal dividendo, e
dai diversi avaiizi, die di mano in mano si ottengo-
no, trasciiraiido in qnesti il zero, che seinpre risulta
a destra, finche si giunga ad avere per avanzo zero,
o uii niunero ininore del divisore, o del multiplo, die
dovrebbe sottrarsi . In questo secondo caso e certo ,
die la divisione non ha luogo senza avanzo : nel pri-
nio caso e cliiaro, die si e ottenuto un quoziente in-
tiero, il quale c il numero forniato di quelle figure
scritte una dietro 1' altra da destra verso la sinistra,
per le quali si e successivameute molciplicato il divi-
sore per averne il conveniente multiplo, cioe quel
multiplo, la cui prima figura e qnella stessa, che e
priuia nel dividendo, o nell' avanzo, da cui dovette
sottrarsi: dove e da avvertire, che se in alcuno degli
avanzi, die han preceduto V avanzo zero, sia risul-
tato a destra pin di un zero, allora bisogna nel quo-
ziente porre tanti zeri, quanti ne sono in quell' avan-
zo oltre il prinio, i quali stiauo in luogo di quelle
figure significanti, che sarebber venute nel quozien-
te, se in vece dei zeri, che nelV avanzo si trovano
oltre il primo, vi fossero state altrettante figure si-
gnificanti. Ahre avvertenze pratiche, che sul fatto
non isfuggono mai all'esperto calcolatore, possono sce-
niar non poco la gran mole d'operazioni, die a pri-
ma vista si prescntano alia raente come necessarie ad
oitenere 1' intento.
XI. A buon conto tutte le volte che chi calcola
8U' DIVISORI DI QUALSIVOGLIV NLMERO 4,59
s'accorge, clie il denoininatore d'una formola riesce
un numeio coinposto, cioe non primo, egli deve ira-
scuiailo, e non fare la divisione; poiclu' rappres-intan-
do sernpre ( IX) il denominatore uno dei siipposii fjt-
tori del nuinero proposto, non puo esso esser com-
yjosto, giacchc se potesse esser numero coinposto, i
suoi fattori, che dovrebber esscre auclie fattori del
numero jiroposto , si sarebber gia trovati nolle for-
mole precedenti; or non essendosi trovati, e eviden-
te, che non debbono aver luogo . Questa ritlessione
risparinia un numero ben grande di operazioni .
Trattandosi di un metodo, che nella pratica am-
mette dei compendj , giovera soggiungere qualche
esempio.
XII. Sia il nxnnero 2^ -»- i =4294967297, che
secondo un teorema di Fermat avrebbe doviito es-
ser numero primo, ma dal celebre Leonardo Euler
fu poscia accideiualmente scoperto esser benissimo
numero composto.
I due prodotti (iom-+- i)(ion-+-7),(tom-4-3)
(iOrt-+-9) eguagliati al numero proposto sonnnini-
strano le quattro formole prime
4g94()67a() — n _ ^^ 429496729 — 7 m _ ^^
10 rt H- 7 ' 10 W -I- I
429496727 — Zn _ ^ 429496727 ~qm __ ^^
10 rt -♦- 9 ' 10 m -+- 3
nissuna delle quali al mettervi in Inogo dell' indeter-
minata una dopo 1' altra le dieci figure aritmetiche
o , I , 2 . . . . 9 SL converte in numero intiero. Dun-
4^0 C .\ N T R R Z A N I
que il ininore dfi due siipposti fattori iion puo esse-
re scritto con n\eno di tre figure. Percio passo alle
formole secoiule: cioe dictro al 7, per cui puo co-
niiiioiare V uno dei due fattori, scrivo in AI le dieci
figure aritineticlie, e le scrivo pure dietro i , per cui
dee coininciar Taltro, e accoppio in JV a ciascuii dei
prin\i numeri queHo di questi secondi, clie moltipli-
cato pel suo corrispondeute da un prodotto, die co-
niincia per 97, come per 97 comincia il numero pro-
posto. Lo stesso faccio in /*, e in Q per riguardo
ai due fattori, uno de' quali cominci per 9, e I'altro
per 3. Se si aggiunge 70 al precedente dei numeri
IV, e ^o al precedente dei numeri Q, si ha il seguen-
te tralasciaudo la terza figura , ove la somma la porti.
Con queste veuti coppie di numeri formo i venti pro-
dotti notati accanto ai numeri medesimi.
M N p Q
07. ...71 (locwH- 7)(ioo«-4-7i) 09. ...33 (ioow-4- 9)(ioo;i-+-33)
17. ...41 (icow-»-i7)(ioo»-»-4i) 19. ...63 (ioom-Hi9)(ioo/i-t-6.3)
37. ...II (ioow-t-a7)(ioo«-t-ii) 39. ...93 (ioom-4-a9)(ioo«-«-93)
37. ...8r (ioom-«-37){ioo«H-8i) 89. ...aS (ioow-H39)(ioo«-f-23)
47-. ..5 1 (ioow-h47)(ioo/i-i-5i) 49. ...53 {iccm-^4q){iocn-*-53)
5j..^.3.i (ioo/?z-H57)(ioo/i-+-ai) 59....83 (ioom-4-59)(ioora-4-83)
67... .91 (ioow-»-67)(i iore-4-9i) 69.. ..i3 (ioo»2-t-69)(ioo«-»-i3)
77. ...61 (ioom-i-77)(ioo«-»-6i) 79. ...43 (ioom-»-79){ioori-t-43)
87..,.3i {ioo/«-H87)(ioort-t-3i) 89. ...73 (ioo»2-i-89)(ioo«-*-73)
97. ...01 (ioo//?-t-97)(ioo«-t- i) 99. ...o3 (ioo/«H-99)(ioo/i-»- 3)
SU' DIVI50UI IJI QUALSIVOGLIA. NUMEKO 46 1
A ciasclieduno dei vend notati prodotti metto
fgiiale il niimero proposto, e separaiido in ogniuia
delle venti eqiiazionl, die nascono, taiito 1' una in-
determinata m, qnanto I'ahra /i, ottengo le vcnii se-
gueuti coppie di forniole Irazionarie.
42949668 — 7 re .42949668 — 71 rn
100 /i -I- 71 100 W 4- 7
42949666 — \1 n _^ 42949666 —41 /?i_
1^ • — — _^____-__^____ __ ffi J «__ ji
100 n -»- 4' 100 //I -4- 17
3_ 42949670 — a? ^ _ ^ 42949670— II w_^
100 7Z -H I I 100 7« H- 27
^^ 42940643 — 37 7Z _ ^ ^ 42949643 — 81 W_^
ICO re -H 81 ICO /re -H 37
5. 4^949649 — 47 " — ^ ^ 42949640 — J I w _ ^^
J 00 re -H 5 1 I CO w -t- 47
/- 4a94')^6' — 57 re 4^949^^' — ^' '^
joo Ai -t- ai 100 7re -»- 57
429496 1 a — 67 re _ ^ ^ 42949612 — 91 ^«_^
100 re -f- 91 100 7re -+- 67
^ 42949626 — 77 re_^ 42949626 — 61 w_^
ICO re -»- 61 IOC w -♦- 77
^^ 42949646 — 87 re _ ^ 42949646 — 3 r re^ _ ^^
100 re -t- 3 1 ICO /« -+- 87
10. 4=^949672 - 97 ^ ^ ^ 4294967a — rn_^
100 re H- 1 ICO m H- 97
^j 42949670— ^n_^ 42949670 — 33 m ^ ^
100 re -»- 33 IOC /« -t- 9
r. //. p. //. 58
4^^ Canter zANi
I a. 4^^949661 — '9/^-,^ 4^94966 1_-^63^_
100 /I -H 63 100 m -«- 19
J 3 42949646 — 39 ra _ ^ 42949646 — 93 TO _
ioo«H-93 100 w -»- 39
, 42949664 —3qn 42949664— a3w
100 « -t- a3 IOC /n ■+- 6t)
r 4^949647 — 49 rt _ ^ 42949647 — 53 m
''*• — r-3 "* J — — :^ = n
100 n -t- bo 100 m -t- ^9
,6 4=^949^^^ ~ 5o '^ _ ^ 42949624 — 83 m
100 n -i- 6i 100 m -t- 5g
42949'>64 - 69 n _ 42949664 — 1 3 m
»/• -— *• — m, — : _ =zn
ICC n -t- i5 100 w -I- 69
o 42949639 — 79 n_ 40949639 - 43 TO _
1 u . — — f/i ^ — __ n
100 ra -t- 43 100 TO -t- 79
42949608 — 89 ra 4294q6o8 — 73 TO
19. 1-ZZZ = m, T-ZZ.! i =:;i
100 ra -I- 73 100 TO -t- 89
42949670 — 99 re 4?94o67>') — 3 to
100 /I -H 3 1 CO TO -t- 99
Intra prendendo la sostitiizione successiva delle nove
figure aritmrtiche sigmfic ami in luogo deiriudetermi-
nata giunto alia forraola prima della seconda coppia
trovo che la sostituziotie dc;l nuinero 6 fa riuscire
42949564 J I J- • •
, ; = m, dove tatta la divisione a rovescio, co-
041
me
SU' DIVISORI m QUALSIVOCLIA NUMEUO 463
qui si mostra 4'^^W''^ c
a5»>4 **7oo4
4acj47^^o
44^' 7
3»40o
3846
si ottiene m iiitiero =67004. Duiique dei clue fat-
tori, ill cui si risolve il luiniero proposto, il niinore
e 641. L' altro sara loo nx -^ y-j =^ loo. 67004. -♦- 17
= 6700417.
Ma non potrebb' egli ancor questo maggior fat-
tore avere due fattori uno di tre, 1' altro di quattro,
o cinque figure, i quali sarebber pure fattori del nu-
mero proposto^ Certo cbe si, prrcbe esseudo 2 583 la
radice del piii gran quadrato in esso couteuuto . po-
trcbbe ancbe averue due amcudue di quattro iigu-
re. Duufpie poicbe questo uumero 6700417 coniincia
ancli egli, come il nurnero da prima proposto, per 7,
toruo alle seconde forniole gia ricavate, e seguito in
esse la sosiituzione delle nove fn2;ure si";iiifit-anii , e
trovo il lavoro assai ineuo peuoso di quel che par-
rebbe consideraudo, cbe le form^le souo treutasftte ,
e che ill ognuua si dovrebbero fare nove sostituzio-
ni, e altrettaiite divisioni. II graudissiino nuinero di
volte che il deuominatore riesce uii numero, che j>er
cosi dire a colpo d' bccliio si vede, die e divisibile
j)pr 3, o per 7, o prr ir, o per i3, o per 17, o
per 19, fa che non 9' abbiano da eseguire die assai
poche divisioui. Ma siccome niuna di qiieste si fa sen-
za avanzo, cosi si puo conchiudere, che il luiinero
464 C A N T E R Z A N I
6700417 non puo avere im fattore scritto con sole
tre figure, quaiido per avventura il numero proposto
2' ■+■ 1 non avesse due volte il fattore 641, che si e
gia trovato, del die tni accorgero col sostituire anclie
il zero in cpiella delle terze formole, a cui dovro passa-
re, la quale avra per denominatore 1000 n-t- 641.
Vediani dunque se possa risolversi in due fatto-
ri amendne di quattro figure, Supposto che possa,
siccome il minor di essi uon puo esser maggiore
di 2588, cosi nelle terze formole non si avranno da
nietter alia prova die due numeri, cioe 1, e 2. Qui
dunque il lavoro piu gravoso parra quello di prepa-
rare i numeri, die hanno da servire a formar i |)ro-
dotti da mettersi eguali al numero 6700417 per ca-
varne le terze formole: ma questo aiicora si rendera
facile avvertendo che, come ne' numeri scritti gia in
iV, e in Q, cosi anclie in quesii regna una legge
neir ordine loro. In fatti a ciascuno dei numeri stes-
si notati in AI metto dietro in terzo luogo una dopo
r altra le dieci figure aritmetiche, e forino le dieci
colonne 7? . Dirimpetto ai numeri della prima colon-
na R noto quel numero, die avendo per figura iui-
ziale I , e mi)ltiplicato pel corrispondente numero R
da un prodotto, die comiiicia per 417, come comin-
cia il numero proposto, e formo cosi la prima colon-
na S. Non e difficile trovare questi tali numeri, co-
me neppure quello da scriversi dirimpetto al primo
della secouda colonna /?, trovato il quale m'accorgo,
che le segnenti colonne 5 si formano col seinplice
aggiungere 700 al corrispondente numero della colon-
ni S precedeiue sopprimendo nella somma la quarta
SU' DIVISOUI DI QU\L?IVOCLIA XUMERO 465
figiira, quando la somnia sorpassa 999.
Nella stessa maniera valenclomi del nuineri scrit-
ti di sopra in P forino le dieci colonne T, e dirim-
petto ai tuiineri della prima, come pure dirimpetto
al |>rinio della secoiida colomia scrivo il iiiiinero, die
aveiido per fignra iniziale S, e moltipluato pel eor-
rispotulente nuinero T produce uii miinero, (lie co-
niincia per 417,6 cosi formo la prima coloniia F, e
dal paragone del primo nurnero della seconda colon-
na V col primo della prima colonna V rilevo, die
per avere le susseguetiti colonne V basta aggiuiigere
3oo al numero corrispondente della colonna V prece-
dente sopprimendo la quarta figura della somma, qua-
lora questa sorpassa 999.
R
5
R
5
R
5
R
5
R
S
007..
..63i
107..
..33i
207..
..o3i
307..
..731
407..
..431
017..
..aoi
117..
..901
217..
..601
3,7..
..3oi
417..
..cor
027..
..571
127..
..271
227..
..971
327..
..671
427..
..371
087..
..741
137..
..441
287..
..14.
337..
..841
457..
..541
047..
..711
147..
..4.1
247..
..1 1 1
347..
..811
447"
..5ir
057..
..481
,57..
..i8r
257..
..881
357..
..58r
457.
..281
067..
..o5i
167..
..751
267..
..451
367..
..i5i
467.
..85 1
077..
..42.
•77"
..I 21
277..
..821
377"
..521
477"
..221
087.,
..591
187.
..291
287.
..991
887.
..691
4fi7-
..3qi
C97..
..56i
197..
..261
297..
..961
397-
..661
497"
..':56i
466
R
507...
517...
527...
537...
547...
557...
567...
577...
587...
Canterzani
S
.i3
.70
.07
M
.21
.98
.55
597.
T
009...
Ofg...
029...
039...
049...
cSg...
069...
079...
089...
099...
.9 a
,09
06
R
607.
617.
6^7.
637.
647.
657.
667.
677.
687.
697.
F T
.7t3 109.,
.443 '19
.773 129.
.703 139.
.a33 149
.363 159.
.093 169.
.4i3 179.
.353 189.
.883 199.
S
.83
.40
•77
•94
.91
.68
.25
.6a
•79
.76
F
R
707..
717..
727..
737..
747^^
757..
767..
777^^
787..
797^^
T
S
.53
.10
•47
.64
,.6i
,.38
.95
..32
-49
..46
F
R
807.
817.
827.
837.
847.
857.
867.
877.
887.
897.
T
.oi3 209..
.743 at 9..
.073 229..
.oo3 289..
.533 249 •
..663 259..
.393 269.
.723 279
.653 289
.i83 299
..3i3 309.
..043 819.
..373 329.
..3o3 339.
.833 349.
.963 359.
..693 369.
,..023 379.
.953 389,
,..483 399.
S R S
...23i 907. ...981
,..801 917. ...Soi
..171 927... 871
...341 937. ...041
...3ii 947. ...01 1
...081 957. ...781
...65i 967. ...35i
,..021 977. ...721
...191 987. ...891
..161 997... .861
F T F
...61 3 ^o^....giS
...343 419. ...643
...673 429-- 973
...6o3 4^9 ■••9o3
...i33 449. ...433
...263 459. ...563
,..993 ^6()....2C)S
...323 479--^23
...253 489. ...553
...783 499. ...o83
SD' DIVISORI Dl QUALSIVOGLIA KUMtUO 467
T V T F T F T V T y
509..
..ai3
609 .
...Si 3
709.
.,8i3
809..
.ii3
909..
.413
519..
..943
619..
..243
719.
..^43
819..
.843
9'9
.143
5.49..
..173
629..
..573
7=»9
..873
829..
..73
929..
..473
539..
..ao3
6.39..
..5o3
7^■■
..8o3
839..
.io3
989..
.403
549-
..733
649..
..o33
749
.333
849..
.633
949 ■
.933
559..
..863
659..
. i63
759.
..463
859..
.763
959..
..o63
S69..
..593
669..
.893
769.
..,93
869..
.493
969..
793
579.
..gaS
679..
..aa3
779-
..5a3
879..
8a3
979
.123
589..
.853
689..
..i53
789.
...453
889..
.753
989..
..o53
S99.
..383
699..
..683
799-
..983
899..
.283
999-
..583
Con queste dugeuto coppie di muneri fonno i du-
geiito prodotti
{ 1000 m -^- 7 ) ( 1000 n -\- bit )
( 1000 m -4- 17 ) ( 1000 n -H 201 )
&c. &c.
e messo ad ognuno eguale il nuinero 6700417 sepa-
ro in ciascuna eqnazione 1' una e Y altra indft«"riui-
nata m , n, e ricavo dugento coppie di forinole iVa-
zionuiic
6696 — 7 «
m
66n6 — 63 1 m
— I = n
2.
1000 n -f- ()3i
1000 m -i- Y
6697 — 17 ra
: i = m,
1000 a ■+■ aoi
6697 — an m
louo m -♦- 17
&c.
&c.
n
468 C A N T 1. 11 Z A N I
ill ognuiia dclle tjuali si devono sostituire uri dopo
r altro ill liiogo delT iiideteriniuata, die coiitiene, i
lunncti i ^ e 2 per vedeie se t|iialcuiia si couveite in
nuinero iiuiero, noii dimeiiticaudo di sostituire aiiche
il zero nella prima lorinola della settantesima quarta
coppia a fine di vedere se il nurnero da prima pro-
posto avesse mai due volte il fattore 641; la qual
indagine, clie parrebbe sommamente vasia, riesce sul
fatto assai spedita; perciocelie faciliiieute m'accorgo,
a cagion d' esempio, clie la prima fonnola metteudo
1 in luogo di n porta il denominatore i63i divisibi-
le per 7, e metteudovi 2 porta 263 1 divisibile per
3; onde la omeito {XI). IMa quand' anclie noii mi
Ibssi di cio accorto, egli e cbiaro, che iu questa, co-
me in ogui alira delle quattrocento formole, o si met-
ta 1,0 si metta 2 in luogo dclT indeterminata, tan-
to il numeratore, quatito il denominatore riesce . iiii
iiumero di cjuattro figure, e pero ancbe setiza aver
la penna in mano veggo che il numeratore di quella
prima formola al mettere i in luogo di ri comincie-
ra per 9, e per conseguenza non potra aver luogo la
divisione senza avanzo, perche facendola a rovescio
converrebbe da quel numeratore sottrarre il nonuplo
del denominatore, il quale e certamente maggiore del-
lo stesso numeratore; mettendo poi 2 in luogo di a
veggo, che il numefatore cominciera per 2, e sottra-
endone il doppio del denominatore ne viene un avan-
zo, che trascurato il zero a destra e di tre figure, dal
•juale non si potra certamente sottrarre il denomina-
tore di quattro fig«re, e molto meno un di lui mnl-
liplo: sicche non puo mai riuscire la divisione senza
SU' DIVISORI ni QUALSIVOGLIA NUMEKO 469
avanzo In soinina ben presto scopro, die nissuna del-
le quattrocento forinole iVazionarie si converte in in-
tiero, e concliiudo, die il numero 6700417 e nunie-
ro primo, e quindi die il numero a* ■+■ 1 non ha al-
tri lattori oltre 641, e 6700417.
Xlll. Jltro esempio. I nnmeri compresi nell' es-
pressione 3**^ ■+- 2 sono nunieri priini linche si mette
/= I ,r=2jr=3. Si cerca se sia numero primo
anche 3" -h 2 = 43046723.
I due prodottij ne' quali si possono rappresen-
tare due fattori, in cui si risolva questo numero, sono
{ io m -t- 3 ) { 10 n -i- 1 )
(10 w -^9) (lO«-H7)
e questi eguagliati al numero medesinio somministra-
no le due equazioni, donde si cavano le quattro Ibr-
mole prime
430467a — S n 430467a — rn
xo /i H- I 10 m -+- 3
4304666 — c) « 4304666 ~ 1 "i __
\o n -\- 1 10 /n -*- t)
Mettendo o , i , a 9 in luogo deH'indetermina-
ta, le prime tre formole uon danno mai iin intiero;
ma la quarta al jnettcr die si fa m = i si converte
neir intiero 226061 =n. Dunque il numero 3' -+- 2
ron e primo, ed il minore de' suoi lattori e 19: il
maggiore sara 10.226561 -+-7 = 2260617. Seguitando
a nietter in luogo di ni in qudla quarta formola gli
T. Il F. II. 59
470 Canterzani
akri numeii 2 , 3 9 piii non si converte essa in
numero intiero, e pero noii ha il numero proposto
alcro fattore di sole due figure oltre 19.
Se il numero 3' -*- 2 oltre questi due gla tro-
vad avesse altri fattori, sarebbero essi fattori anche
del maggiore di questi due, cioe del numero 2265617,
e sarebbero rappresentati in uno dei due seguenti
prodotti
( 10 /W -4- 7 ) ( IG rt -4- I )
(10/71-4-9) (ion.-f-3)
Ora questi due prodotti messi eguali al numero
<22656i7 somministrano le quattro formole
22656 I — 7 n
i — =z m ,
10 n -i- I
22656r — m _
10 m -t- 7
226559 — 9 ."■
10 ra -H 3
226559 — ^ ^
lo rn -*- q
n
n
nelle quali e inutile fare la sostituzione dei numeri
1,2,3 — 9, perche si e gia veduto, che il nume-
ro proposto non ha fuori del 19 verun altro fattore
scritto con meno di tre figure: solamente nella quar-
ta sostituisco in luogo di in 1' unita per vedere se vi
fosse due volte il fattor 19. In fatti risulta 1 1924 = n.
Dnnque il numero 3* -t- 2 ha due volte il fattore
19, e per consegueuza un altro fattore di esso sara
19 . 19 = 36i: un altro fattore poi sara 10 . 1 1924 -h
3 = 1 19243.
Per sottoporre all'esanie anche questo nuovo fat-
tore II 9243, il quale poti:ebbe esser ancor esso nu-
SU' DIVISORI DI QUALSIVOOLIA NUMERO 4- 1
mero non priino, si avranno le quattro formole prime
1 1024 — 3 n 1 1 024 — "i
— i_i ■=. m. , — r = n :
lo/i-t-i 10 m -^ 6
II c) 18 — on 1191^ — y'" — ^
— m , — ■ — = «■
10 rt -t- 7 10 m
e qui pure noii fo altra sostituzione che quella di i
in luogo di m nella qiiarta formola a fine di vedere
se il numero proposto avesse niai tre volte il fatto-
re 19; ma trovando che no, passo a preparare le
venti coppie di numeri a due figure, ognuna delle
quali coppie sia formata in modo, che mokiplicati
insieme i due numeri si abbia un prodotto, che co-
minci, come il numero ora proposto, per 43. Le ven-
ti coppie sono
o3....8i 09. ...ay
i3....ii 19. ...97
23. ...41 29. ...67
33. ...71 39.. ..37
43. ...01 49'-'°7
53. ...3i 59... .77
63. ...6i 69. ...47
73. ...91 79--«7
83....ai 89. ...87
93. ...5i 99... .57
dalle quali nascono al solito venti prodotii , che egua-
472
Canterzani
gliati al numero 119243 sommlnistrano venti coppie
di formole, die sono le seguenti
a.
3.
6.
7-
8.
10.
II.
la-
II 90 — 3 n
100 n
81
m
I loi — i3 re
— 1 =: m ,
100 re -t- II
1 183 — a3 re
1190 — 8r m
100 m -+- 3
1 191 — ri m
100 m
i3
re
re
100 re
4'
=.m ,
ii83 — 4i w
J. =re
100 /re -H a3
1 1 6g — 71 m
. 1 169 — 33 re
4. z = m ,
100 re -♦- 71 100 /re -t- 33
e 1192—43 re 119a — /re
43
;re
J 00 re -t- I
1 176 — 53 re
100 re -»- 3i
I r54 — 63 re
m
Joo m
1 1 76 — 3 1 in
100 re
iia6 -
bi
/re ^
100 /re -t- 53
1 1 54 — 61 /re
= re
100 /re
03
re
73 re
100 re -t- 91
1 1 75 — 83 re
100 re -H ai
1 145 — 93 re
100 re -♦- 5i
1 1 go — 9 re
100 re -I- 27
n 74 — 1 9 re
/re
/re ,
/re
I ia6 — or /re
i- — =re
ICO //z -t- 73
I I 75 — a I m
1 00 m -t- 83
1 145 — 5 1 m
:/J
100 m
93
re
100 re
97
= m ,
1 190 — 27 /re
JOO in ■+- 9
1 1 74 — 97 w.
= re
re
ICO //z
'9
SU' DlVISOni 1)1 QTTALSIVOGT.IA NU.MEUO 478
i3. ^'73-^9"_,„ 1173-67 »^_„
xoo n -H 67 100 m -I- 49
,4. llj!Lz^=m, "78-37^^^
100 « -«- 37 100 m -I- ^9
1 5. ^'^9 — 49".,„, 1189 — 7 r?i__
16.
w , ^ '. — = n
1 00 « -t- 7 1 00 m -t- 49
1 r47 - 5() n _ ^ ^ 1147 -77 m __ ^
ICO /i -H 77 ' 100 m -H 59
J 1 60 — 6q n 1 1 60 — 4? w
ICO /I -»- 47 100 m -t- 69
,8. "79-79^^^^ ii79-i7m^^
100 ;j -+- 17 100 /» -4- 79
lllS — 80 n Iil5 — 87 TO
19. L_ = TO J 1 — =;t
100 71 -♦- 87 100 TO -f- 89
ao. i'36-99;^_^^ ii36-57to_„
100 « -t- 57 100 TO -+- 99
Siccome il fattor, che si cerca se vl sia, dee esser
minora di 845 radice del piu gran quadrate conte-
nuto nel numero 1 19243, cosi in ciascuna di que-
ste formole basta in luogo dell' indeterminata sosti-
tuire i soli tre numeri i , 2 , 3. Ma con somnia
facilita usando le avvertenze notate alia fine del pa-
ragrafo XII trovo che nissuno di questi numeri con-
vene formola alouna in numero intiero. II numero
adunque 1 19343 e primo, e il numero 3* -t- 2 non
ha akri divisori oltre quelli, che si sono gia trovati,
cioe J 9 due volte, 36 1 , 119243 , 2265617.
474 C A N T i: K Z A N I
XIV. In qucpto secondo esemplo subito che si
arrivo mediante le prime (juattro formole a scoprire,
che il nuinero proposto 3"^ -♦- 2 non puo aver f'uori
di 19 aliro fattore scritto con meno di tre figure, si
poteva iminediatamente per esso intraprendere la di-
visione deH'altro fattore 2265617, e vedendo che rie-
sce senza avanzo, ma che il quoziente 1 19243 non e
poi divisibile per 19, conchiudere che il numero
3' H- 2 ha due volte e non piu questo divisore 19,
e quindi passar senz' altro a trovar le venti coppie
di formole seconde per metter alia prova il numero
119243. Cosi si sarebbe avuto un risparmio di for-
mole; il quale si potra in pratica sempre avere, quan-
do dopo trovato un fattore si vuol conoscere, se egli
divida piu di una volta un numero proposto.
XV. Non dee recar maraviglia, che in questo
stesso secondo esempio cercando se vi fosse un fatto-
re scritto con tre figure si sia trovato che no, quan-
do per altro si e veduto, che il numero proposto
3* -»- 2 e divisibile per 19. 19 = 36i , che e pur scrit-
to con tre figure. Ben si vede, che il metodo di ten-
tativo, che si e esposto, e tale, che quando ha da-
to una volta un divisore, non puo tornar a darlo un'
ultra volta , se per avventura il numero proposto non
lo contenga piu d' una volta. Ora il metodo, che ha
gia dato due volte il divisore 19, viene cosi ad aver
dato auche il divisore 19 . 19 = 36i, e quindi noa
poteva tornar a dare questo divisore 36 1, il quale
una sola volta puo dividere il numero proposto.
XVI. Forse si dira, che 1' esposto metodo in som-
ma si riduce a dover provare come possibili divisori
SU' DIVISORI DI QUALSIVOCLIA NUMEKO 476
del proposto numero A tuttl i nuineri dispari, che
non comifjciano per 5, e die sono mlnori della ra-
dice del piii gran quadrato contt^mito in A. Cio e
\'ero; ma e vero ahresi, die per lutti cjuesii nuuieri
si hanno da dlvidere, non gia il nnniero A, ma Hu-
meri piu piccoli, e seinpre piu piccoli di A^ e cosi
le divisioni si eseguiscono tanto [)iu lacilmente, di
modo die alT ultimo, anche senza scrivere, si scorge
se possano, o no riuscir senza avanzo, massime se ,
come e stato notato {X) facdansi a rovcscio. Ne
questo, in maiicanza massimamente della tavola dei
numeri primi, e piccolo vantaggio in una ricerca , in
cui pare certamente, che non possa procedersi che
tentando. Per poco poi che il calcolatore abbia la
pratica del conteggiare, facilmente s'accorge egli quan-
do il denominatore d'una formola rit-sce divisibile per
uno anche dei soli sei numeri molto semplici 3,7,
II , i3, 17, 19, nel qual caso si omette {XI) di di-
videre per esso il numeratore: ed e ben grande il
numero delle operazioni, che vengono cosi a rispar-
miarsi .
XVIT. Nonostanteche si usino queste avvertenze,
c tutte le altre, che di sopra si sono all' occasione
notate, e quelle, che sul fatto ofterir si possono al-
I'abile calcolatore, le quali tutte danno luogo a mol-
ti e molti compendj, non si puo negare, che I'espo-
sto metodo non ricliieda una gran serie d'opfrazioni ,
qualora il numero proposto sia molto gramle. Pure
trattandosi di un problema, che forse non pno scior-
si che tentando, saro contento, se avro indicato il
tentativo piu sicuro, e meno al parer mio faiicoso;
476
Canterzani
e molto maogiormeiite lo saro, se abbia cosl dato oc-
casione ai valeiui Aiialisd, clie o.iorano la nostra Ita-
lia, di scopriie una via per giunger aU'iateuto affat-
to cUreua, o almeno piu coiupendiosa .
I N D I C E
D
iscnrso e OssPrvazioni intorno i reccnti progress! dovutl agl' Ita-
Jiaiii delle scieiize mateiuaticlie c lisicLc pag. Ill
I. Fine dpgli elementi di trigonometria sferoidica . Di Barnuba
Oriatn . . . . , pag. i
a. Continnazione delle nsscrvazioni e spcrienze sopra la teoria della
resisieiiia de' fluidi del sig. Giorgio Juan . Di Giuseppe Avan-
zini 59
3. Sopra i Criterj clie distingiiono i Massimi dai Minimi delle for-
mole iniegrali doppie. Di Fincciizto Brunacci Ill
4. Continnazione della parte a*, snllc livellazioni barometriche . Di
Francesco Vcnini 171
5. Suir apparecrhio laterale ; con nuove modificazioni degli strumcnti
desniiti in alira memoria inserita nella prima parte di (juesto
toQio . Di Ciuscppc Ant 241
6. Delia siiniglianza meccanica . Di Paolo Dclangcs aSt
'J- Delia inrfinazione delle sponde negli alvei de' fiuaii . Di Simone
Straiico 261
8. Supplememo alle osservaaioni sopra la teoria della resistenza de'
fluiili del sig. Tiian . L)i Giuseppe Avanzini 3ai
9. Altra Cnnrinuazione della parte a*, sulle livellazioni barometriche.
Di Francesco Vcnini 341
lo< Metodn d' indapare i divisori di qualsivoglia dato nuroero. Di 5e-
basdano Canterzani 44^
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